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防砂技术调研

国内外防砂决策及工艺技术调研报告

1.出砂机理理论基础

1.1地层出砂的影响因素

油层出砂是由于井底附近地带的岩层结构破坏所引起的，它是各种因素综合影响的结果，这些因素可以归结为两个方面，即地质条件和开采因素，其中地质条件是内因，开采因素是外因。

1.1.1内因—砂岩油层的地质条件

（1）应力状态

砂岩油层在钻井前处于应力平衡状态。

垂向应力大小取决于油层埋藏深度和上覆岩石的密度；水平应力大小除了与油层埋藏深度有关外，还与油层构造形成条件及岩石力学性质和油层孔隙中的压力有关。

钻开油层后，井壁附近岩石的原始应力平衡状态遭到破坏，造成井壁附近岩石的应力集中。

在其它条件相同的情况下，油层埋藏越深，岩石的垂向应力越大，井壁的水平应力相应增加，所以井壁附近的岩石就越容易变形和破坏，从而引起在采油过程中油层出砂，甚至井壁坍塌。

（2）岩石的胶结状态

油层出砂与油层岩石胶结物种类、数量和胶结方式有着密切的关系。

通常油层砂岩的胶结物主要有粘土、碳酸盐和硅质、铁质三种，以硅质和铁质胶结物的胶结强度最大，碳酸盐胶结物次之，粘土胶结物最差。

对于同一类型的胶结物，其数量越多，胶结强度越大。

油层砂岩的胶结方式主要有三种（图9-1），一是基底胶结，砂岩颗粒完全浸没在胶结物中，彼此互不接触或接触很少，其胶结强度为最大，但由于其孔隙度和渗透率均很低，很难成为好的储油层；二是接触胶结，胶结物的数量不多，仅存于岩石颗粒接触处，其胶结强度最低；三是孔隙胶结，胶结物的数量介于基底胶结和接触胶结之间，胶结物不仅存在于岩石颗粒接触处，还充填于部分孔隙中，其胶结强度也处于基底胶结和接触胶结之间。

图1-1油层砂岩胶结方式示意图

a—基底胶结；b—接触胶结；c—孔隙胶结

容易出砂的油层岩石主要以接触胶结方式为主，其胶结物数量少，而且其中往往含有较多的粘土胶结物。

（3）渗透率的影响

渗透率的高低是油层岩石颗粒组成、孔隙结构和孔隙度等岩石物理属性的综合反应。

实验和生产实践证明，当其它条件相同时，油层的渗透率越高，其胶结强度越低，油层越容易出砂。

1.1.2外因—开采因素

（1）固井质量

由于固井质量差，使得套管外水泥环和井壁岩石没有粘在一起，在生产中形成高低压层的串通，使井壁岩石不断受到冲刷，粘土夹层膨胀，岩石胶结遭到破坏，因而导致油井出砂。

（2）射孔密度

射孔完井是目前各油田普遍采用的沟通油流通道的方法，如果射孔密度过大，有可能使套管破裂和砂岩油层结构遭到破坏，引起油井出砂。

（3）油井工作制度

在油井生产过程中，流体渗流而产生的对油层岩石的冲刷力和对颗粒的拖曳力是疏松油层出砂的重要原因。

在其它条件相同时，生产压差越大，流体渗流速度越高，则井壁附近流体对岩石的冲刷力就越大。

另外，油、水井工作制度的突然变化，使得油层岩石受力状况发生变化，也容易引起油层出砂。

（4）其它

油层含水后部分胶结物被溶解使得岩石胶结强度降低或者油层压力降低，增加了地应力对岩石颗粒的挤压作用，扰乱了颗粒间的胶结，可能引起油井出砂。

不适当的措施如压裂和酸化等，降低了油层岩石胶结强度，使得油层变得疏松而出砂。

总之，不适于易出砂油藏的工程措施、不合理的油井工作制度及工作制度的突然变化、频繁而低质量的修井作业、设计不良的措施和不科学的生产管理等都可能造成油气井出砂。

这些都应当尽可能避免。

由于油田开发过程中压力变化而引起的岩石应力状态的失衡及油气渗流的冲刷力，虽然是不可避免的，但应尽量防止和减少它们可能对造成出砂的影响。

对于胶结物中粘土含量高易发生粘土膨胀而可能引起出砂的井，采取必要的防膨措施则可防止和减少因此而造成的油层出砂。

对于疏松油层除合理的工作制度外，主要是选择合理完井方式和采取先期防砂。

1.2岩石破坏机理理论基础

1.2.1岩石破坏准则

（1）库仑（Coulomb）破裂准则

库仑假定：

若岩石内部某面上的正应力和剪切力满足条件：

（1-1）

则该面将发生破裂。

式中的S0和

是与岩石种类有关的材料常数。

S0叫做聚合强度（Cohesion）,工程上称为内聚力；

叫做内摩擦系数，工程上常令

称为内摩擦角。

以上就是库仑准则的原始描述。

下面据此进一步讨论岩石破裂的条件和破裂与加载应力场的关系。

进一步推导可以将库仑破裂条件（准则）写成：

（1-2）

其中：

（1-3）

为岩石单轴抗压强度，而q的表达式为：

（1-4）

（2）摩尔破裂准则

摩尔于1900年提出，当一个面上的剪应力

与正应力

之间满足某种函数关系时，即：

（1-5）

材料沿该面会发生破裂，这就是摩尔破裂准则。

其中函数f的形式与岩石种类有关。

不难看出，摩尔准则是库仑准则的一般化。

因为库仑准则在

平面上代表一条直线，而摩尔准则代表了

平面中的一条摩尔曲线，我们可以由岩石中的三个主应力，用建造三维摩尔圆的方法，求出任意方位面上的正应力和剪应力。

如果岩石内部各种可能的应力状态在摩尔曲线的下方，则不会发生破裂；如果以

为半径的大圆与莫尔曲线相切，则岩石会发生破裂，破裂面的方位可以由摩尔圆直接求出。

（3）格里菲斯破裂准则

格里菲斯给出了另外一种岩石破裂准则：

当

时，

（1-6）

当

时，

，（1-7）

此处T0是岩石的单轴向抗张强度。

格里菲斯准则是基于断裂力学得到的，它的优点是企图把抗张破裂准则与剪切破裂准则统一起来。

（4）默雷尔破裂准则

1966年，Murrell（默雷尔）总结了砂岩实验的资料，给出了岩石剪切破裂的条件。

Murrell的经验公式为：

（1-8）

对于砂岩，

。

默雷尔公式从解析的角度给出了

的具体函数关系式。

在

平面，表征这种关系的是一条向下弯曲的曲线（因n<1）。

所以，如果破裂准则是由默雷尔经验公式所确定，那么一个明显的结论就是当围压十分高时，破裂面与最大主应力轴的夹角趋于45°。

1.2.2剪切破坏机理

剪切破坏是大多数现场出砂的基本机理。

通常以岩石力学的库仑-摩尔破坏准则为基础，认为出砂是由于炮孔及井眼周围的岩石所受的应力超过岩石本身的强度使地层产生剪切破坏，从而产生了破裂面，破裂面的产生降低了岩石承载能力并进一步破碎和向外扩张，同时由于产液流动的拖曳力，将破裂面上的砂子剥离、携带出来，导致出砂。

剪切破坏与过大的生产压差有关，岩石一旦发生剪切破坏，将造成大量突发性出砂，严重时砂埋油层、井筒，甚至造成油井报废。

1.2.3拉伸破坏机理

流体流动作用于炮孔周围地层颗粒上的水动力拖曳力过大，会使弹孔壁岩石所受的径向应力超过其本身的抗拉强度，脱离母体而导致出砂。

它与过大的开采流速及液体粘度有关，并具有自稳定效应。

M.B.Dusseault对弹孔周围的岩石进行了力学分析，图1－1是射孔造成弱固结砂岩破坏的示意图。

经过射孔后，炮孔周围往外的岩石可依次分为颗粒压碎区、岩石重塑区、塑性受损及变化较小的受损区，并可与岩样做压缩试验时的全应力-应变曲线上的各区相对应（见图1－2）。

远离炮孔的A区是大范围的弹性区，其受损较小，B1~B2区是一个弹/塑性区，包括塑性硬化和软化，地层遭到不同程度的损坏，C区是一个完全损坏区，岩石经受了重新塑化，产生了近于完全塑性状态的应变。

紧挨弹孔周围的岩石由于受到剧烈的震动被压碎，一部分水泥环也受到了松动损害。

如果岩石材料的抗剪切强度较低，射孔后使孔周围的岩石强度进一步下降，如果掩饰的强度无法抵抗由原地应力作用在弹孔周围的形成的应力场，便会产生剪切破坏或屈服，进而逐层剥离孔壁，形成出砂。

另一方面，在开采时，由于存在差应力的应力场（生产压差），流体的流动会降低岩石的剪切强度。

微粒运移造成部分孔隙的堵塞所形成的表皮效应也会使压力降升高，导致在低拉伸强度的岩石中产生颗粒的拉伸剥离，如图1－3所示。

从图中可以看出，切应力几乎永远是压应力，它与径向应力组成弹孔周围的差应力，这是产生剪切破坏的力源。

研究认为，因为弹孔周围地层的孔隙度和渗透性高（疏松砂岩），因而，其孔隙压力近似等于孔穴内的压力，即有效应力为零，于是孔壁的岩石处于单轴压缩状态，很容易发生剪切破坏。

与此同时，由于流体的流动在孔穴周围形成剧烈的压力降，而部分孔隙堵塞造成的表皮效应将使流动压降增大，从而可能使径向应力变成拉伸应力，使孔壁材料产生拉伸破坏，导致岩石颗粒剥离孔壁而随油气产出。

由于砂岩储层是由颗粒材料组成的，水动力拖曳力作用于靠近孔穴壁自由表面的颗粒上，它能够克服周围材料作用于单个颗粒或颗粒群体上的接触阻挡力（包括颗粒间的联结力和摩擦阻力）而使颗粒剥离下来。

岩石颗粒材料之间接触的法向联结力和切向摩擦力而使岩石固结在一起，这是保持孔穴稳定的作用力。

开采时，流体向井内流动产生作用在材料上的内向应力，单个颗粒或不稳定颗粒群体由于在孔隙内外压差dp的作用而出现指向孔穴内的拖曳力，这两种力同时产生颗粒的剥离作用，只要这两种力克服了保持孔穴稳定的力，便会出砂。

这个模型更适合由于射孔使孔周材料已被剪切屈服的弱化材料。

这时颗粒间的摩擦力和法向拱应力是很小的，压力降很容易驱走固结最弱的大颗粒或颗粒群（团块/碎片）。

不过，尽管固相砂粒产出是个别剥离事件的连续，但最后总要达到某些颗粒的稳定而形成自然砂拱。

环绕孔穴的桥拱应力会有助于砂拱的稳定，甚至在有流体向内流动时也是这样。

使砂拱稳定的另一因素是发展起来的破碎区会承担一些应力而提供部分支撑力（这可以从岩石材料强度的峰后效应看出来）。

弹孔周围岩石受单向压缩应力或一向为拉伸、一向为压缩的应力，使岩石极易产生剪切破坏和拉伸破坏，这是开采过程中地层出砂的主要原因。

1.2.4微粒运移机理

在疏松砂岩油藏中，地层内部存在着大量的自由微粒，在流动液体的拖拽力作用下，自由微粒会在地层内部运移直至流入井筒造成出砂。

如果这些微粒在被地层孔喉阻挡后，会使流体渗流阻力局部增大，进一步增大流体对岩石的拖拽力，使未被阻挡的更细的微粒随流体进入井筒造成出砂。

油层充填砂受力分析如图1－4所示。

设充填砂半径R、组成岩石的骨架砂粒半径为RS、多孔介质孔道中的流速U。

充填砂在运动方向所受的推力Fx、和与运动方向垂直的升力Fz、统称为水动力。

砂粒本身重力FG。

任何两颗微粒之间、微粒与孔壁之问，总存在有相互吸引力，即范德华力FA。

处于多孔介质孔道中的充填砂，当流体的流动速度不断增加时，则砂粒受到的流体冲刷力会越来越大、当达到某一流速时，水动力和双电层斥力就会克服各种阻力，推动砂粒在孔道中随流体运动，大砂粒会在孔喉处聚集，使渗透率降低、小砂粒则会通过孔喉，进入油井，引起油井出砂。

表1－1不同粒径对门限速度的影响

由实验得到的表中数据可看出，粒径R越大，则砂粒的启动速度VS越小，因为R越大、所受的水动力也越大，砂粒越容易起动。

因此，出砂油层中如果颗粒较大的砂粒比例越多，则越容易引起油层出砂（在相同条件下）。

表1－2不同孔隙度对门限速度的影响

从表中实验结果我们可以看出，油层孔隙度φ越大，则门限速度越大。

其原因是，当油层φ增大时，相当于油层中孔道变多、或变大，在表观视速度相同时，则流体的真实流速变小、水动力减小、故砂粒越不易起动。

2.出砂预测技术理论及应用

由于出砂造成的危害极大，所以准确的预测出砂是非常重要的，而出砂预测是一项复杂而又困难的工作，它涉及到多孔弹性介质力学、岩石力学、流体力学、油田化学等多学科领域的理论，且受地层力学性质、流体性质、完井及开采工艺等多种因素的影响和控制。

出砂预测方法的发展经历了一个从简单到复杂、从定性到定量的曲折发展过程。

起初，人们是通过观察岩心和分析初始生产动态资料来预测出砂，此为出砂预测方法发展的第一阶段。

经过对岩石力学性质如弹性模量、剪切模量等的认识，找出一个地区不出砂的岩石特性临界值来预测出砂是出砂预测方法发展的第二阶段。

该阶段较为典型的方法是组合模量法和斯伦贝谢法。

进入八十年代后，出砂预测向实验室模拟研究和数值计算方向发展，从前两个阶段的定性研究转向定量研究，可以得出油气井不出砂时的临界产量和临界压差，这一阶段为第三阶段。

也是当今油气井出砂预测方法研究的主要方向。

但是，这方面的研究还很不完善，出砂预测模型的发展历史较短。

Stein于1972年引入了第一个重要的基本概念，他将地层的剪切强度与油井出砂机理联系起来，利用声波测井及密度测井的数据来建立出砂井与分析井生产状态之间的联系。

此法的局限性在于油井必须先进行完井与测试，要求地层大量出砂后才能获得可靠的数据，而未考虑到油藏压力衰竭及产水对出砂的影响，并假定不存在油层损害，故其结果只能反映生产中的瞬时情况而无法预测将来的动态。

Tixier（1975年）等人采用类似于Stein的方法，利用密度测井和声波测井资料来分析评价当前生产状态下的油井出砂，但其得出的结果只能是定性的，且考虑的因素也有限。

后来，Coates等人（1981年）提出了“砂岩强度”的测井模型，利用摩尔圆应力分析的方法描述了出砂的可能性与井眼应力状态间的关系，可用于产水量不大的油井出砂预测。

R.J.Selby等人于1988年进行了模拟井眼及其生产环境的径向流动实验（薄壁岩心圆柱实验），并得到了油井出砂受到油层压力、流速、颗粒大小及形状等因素的影响的实验结果。

Morita等人（1989年）的研究表明：

利用目前的岩石力学理论分析模型可以定性地认识各种油藏及生产工艺参数对不稳定出砂、突发性大量出砂的影响，但对生产过程中的连续性出砂没有得到高度的重视。

出砂预测方法还有一种矿场出砂监测的方法，它是根据油井的产砂数据与生产工艺参数建立拟合关系，用以预测油井出砂。

目前存在单参数模型、双参数模型和多参数模型等不同的预测模型，由于单参数模型只通过一个极限井深来预测油井是否出砂，它的预测结果偏于保守，而多参数模型由于需要长期监测和记录出砂数据，使用困难而受到限制。

由Dussealt对弹孔周围岩石的受力分析可知，弹孔周围岩石的应力分布既和原地应力有关，又和流体的流动有关，要得到真实情况下的解析解几乎是不可能的。

为了进行理论分析，研究者将弹孔的形状简化成理想状态——弹孔前部为一柱状，尾部为球形。

国外出砂模拟试验及理论研究结果均表明，针对不同的生产条件，弹孔前部的柱状部分易产生剪切破坏出砂，而尾部的球状部分流量大，易发生拉伸破坏出砂。

具体来说，经常采用的出砂预测方法有：

孔隙度法、声波时差法、出砂指数法、组合模量法、斯伦贝谢比法和岩石稳定性力学分析法。

2.1孔隙度法预测出砂

地层的孔隙结构与地层的胶结强度有关，胶结强度大小与储层的埋深、胶结物的种类、胶结方式、地层颗粒尺寸形状密切相关。

理论研究结论表明胶结强度的物理量就是地层强度。

一般来说，地层埋藏越深，孔隙度越小，地层强度就越高，泥质胶结的胶结强度较差。

研究表明，若地层岩石孔隙度大于30%时，极易出砂；孔隙度在24.6%~30%之间时，出砂减缓；小于20%时基本不出砂。

2.2声波时差法预测出砂

利用地层的声波时差Δtc值进行出砂预测，是目前国内外油田进行出砂预测最普遍、效果比较好的方法之一。

地层声波时差值越大，表明地层孔隙度越高，地层胶结越疏松，生产中越容易出砂。

但各油田采用的声波时差门限值有所不同（因地层条件和其他影响因素千差万别）。

国内外资料和现场应用均表明，Δtc临界值在312μs/m左右：

Δtc<312μs/m为稳定砂岩，不易出砂；Δtc>395μs/m为不稳定砂岩，极易出砂；312μs/m<Δtc<395μs/m，地层可能出砂（轻微出砂），后面两种情况一般需要考虑防砂措施。

通过大量的现场数据统计表明，胜利油田疏松砂岩油藏的Δtc临界值大约为310μs/m。

2.3出砂指数法预测出砂

出砂指数法是利用测井资料中的声速及密度等有关数据计算岩石力学参数，计算地层的出砂指数从而进行出砂预测的一种方法。

地层的岩石强度与岩石的剪切模量G、体积模量K之间具有良好的相关性。

岩石的出砂指数定义为：

（2-1）

B值为出砂指数，B值越小，表明岩石强度越低。

按胜利油田长期的生产实践总结得到的出砂判定标准（经验值）为：

当B>2×104MPa时，油井正常生产不出砂；

当1.4×104MPa

当B<1.4×104MPa，油井正常生产严重出砂。

经过数千口井的生产数据验证，上述判识标准的符合率在90%以上。

2.4组合模量法预测出砂

组合模量法是采用声波时差及密度等测井资料，计算岩石的弹性组合模量Ec。

见式2－2：

（2-2）

式中：

EC.为岩石弹性组合模量，MPa；EB为岩石弹性体积模量，MPa；ES为岩石弹性剪切模量，MPa；

为地层岩石体积密度，g/cm3；

为纵波声波时差，µS/m。

根据岩石的测井资料以及出砂史分析，EC值越小，出砂的可能性越大。

即地层岩石体积密度越小，声波时差值越大，地层胶结越疏松。

根据胜利油田多年来的开发实践，由胜利油田采油工艺研究院防砂中心对现场大量出砂油井的统计回归研究，结果认为：

当EC≥2.0×104MPa正常生产油层不出砂；

1.4×104

EC<1.4×104MPa生产中油层出砂严重。

2.5斯伦贝谢比法预测出砂

斯伦贝谢法主要考虑剪切模量与体积模量的乘积值，斯伦贝谢比值越大，岩石强度越大，稳定性越好而不易出砂，反之则易出砂。

斯伦贝谢比R定义为：

（2-3）

式中：

为岩石体积模量；

为岩石切变模量；

为岩石密度；

为纵波波速；

为横波波速。

表2—1油层出砂斯伦贝谢比经验门槛值

参数（MPa）

一般砂岩

疏松地层

坚硬地层

R

4.14×103

8.97×103

37.1×106

2.76×103

5.31×103

14.7×106

稍大于4.14×103

高至27.6×103

稍大于114×106

2.6岩石稳定性力学分析法

在完井工程设计中，必须根据产层特性和各种工程要求来优选完井方式，而在影响完井方式优选的诸多因素中，有些需要作出定量判断，这是确定采用防砂型完井还是非防砂完井的定量判定指标，即“C”公式。

C≥σMax

对于垂直井：

（2-4）

对于水平井：

（2-5）

式中：

C为岩石抗压强度，MPa；

υ为泊松比，无量纲；

ρ为上覆岩石平均密度，g/cm3；

g为重力加速度，m／s2；

H为油层中部深度；m

Ps为原始地层压力，MPa；

Pwf为井底生产流压，MPa；

σmax为地层岩石承受的最大切向应力，MPa。

根据有关文献的研究成果，井壁岩石所受的切向应力是最大张应力，因此可以得出：

。

根据岩石破坏理论，当岩石的抗压强度小于最大切向应力时，即

时，地层岩石不坚固，将会引起岩石的破坏而出骨架砂。

3.出砂规律研究的理论基础

目前，对于出砂规律的研究，主要是利用测井资料（密度、声波时差、泥质含量、井径等），计算岩石的强度参数，然后计算出砂指数并进行判断，进而计算地层的临界出砂生产压差和临界出砂产量、出砂量。

3.1临界出砂生产压差的预测和计算

依据所采用的参数的不同，临界出砂生产压差的预测方法有两种，即依据岩心实验室数据进行单点预测和依据测井数据进行连续预测，临界出砂生产压差预测的理论依据是：

随着井底压力的降低，炮孔周围的岩石的塑性变形量超过岩石的极限变形量，岩石颗粒将从炮孔表面脱落下来，造成出砂；

临界出砂生产压差的连续预测：

为了对一口井的整个油层进行出砂预测，这里采用了单轴抗压强度法，单轴抗压强度法认为，当生产压差超过岩石单轴抗压强度（UCS）的1/2时，油气井开始出砂，即极限生产压差为：

ΔPc=UCS/2（3-1）

通过测井数据获得单轴抗压强度后，即可求出极限生产压差随井深变化的剖面。

3.2临界出砂产量的预测和计算

依据所采用的参数的不同，临界出砂产量的预测方法有两种，即依据岩心实验数据进行单点预测和依据测井数据进行连续预测，临界出砂产量预测的理论依据是：

炮孔周围流体的压力梯度过高，在炮孔周围产生诱导拉伸应力，使岩石颗粒从炮孔表面剥落下来，造成出砂。

极限产量的连续预测公式为：

（3-2）

其中：

Qc、K、C、r、φ、μ分别为极限产量、岩心渗透率、岩心内聚力、弹孔半径、岩心内摩擦角和流体粘度。

若已知弹孔半径及岩心中流体的粘度和岩心的渗透率，将测井数据计算出的岩石内聚力C和内摩擦角φ代入上述公式，即可获得极限产量随井深变化的剖面。

3.3出砂量的预测和计算

在油气开采过程中，由于地层压力的衰竭，当井底压力低于某一临界值时，油气井开始产砂。

产砂虽然会给油气生产带来很多麻烦，但是一定量的产砂能够改善地下渗流环境，增大油气井产能，尤其是对一些松散砂岩地层的稠油油气藏进行冷采时，无砂生产的产量几乎没有任何经济价值。

因此，准确的预测出砂量，为制定合理的油气开采（模式）方案提供理论指导，将产砂量控制在既不影响油气井正常生产，又能最大限度的增加产能的范围内，是十分必要的。

为了解决出砂量的预测问题，研究者提出了很多经验模型，如根据某一区块油气井的出砂历史与生产参数和测井参数间的关系建立起来的单参数或多参数回归模型。

虽然经验公式也能很好的预测出砂量，但是经验公式的建立需要大量的生产实践资料；因此，它不适用于刚投产的新区块。

另外，经验公式中只含有限个参数，而其它参数的稳定性也直接影响计算精度。

这样一来，经验公式的适用范围就受到了很大限制，这里介绍两种出砂量预测模型。

M.B.Geilikman和M.B.Dusseault在他们的文章中分析了塑性区的性质极其与出砂量的关系，他们认为，出砂主要是由于塑性区的发展引起的；出砂后塑性区的岩石材料与弹性区的岩石材料相比，孔隙度明显增大。

造成孔隙度增大的主要原因是岩石屈服后材料发生微破坏造成的。

由于流动流体的存在，微破坏产生的岩石颗粒被流体带入井眼，随油气产出。

M.B.Geikman和M.B.Dusseault采用物质平衡法得出如下出砂量的物理方程：

（3-3）

式中：

Sc为累积出砂量；

y、I分别为塑性区和弹性区的孔隙度；

R、rw分别为塑性区半径和井眼半径。

从上式可以看出，出砂量的预测模式最终目的归结为塑性区半径的确定。

由现场实践可知，油气井出砂主要集中在油气开采的初始阶段，即不稳定开采阶段。

如果确定了这一阶段的塑性区变化规律，就能解决出砂量的预测问题。

由于塑性区半径的计算十分复杂，M.B.Dusseault等人给出了一种简化方法：

（3-4）

式中：

RM为塑性区终止发展时的半径；为岩石内摩擦系数；Pc为井底周围岩石开始屈服时的压力；b为渗流体力系数；c为岩石胶结强度。

YarlongWang（1997）在分析含气油层开采过程中井眼周围应力应变分布的基础上，提出了一种计算出砂量的方法。

他认为，出砂过程中，井径保持不变，井眼周围岩石骨架的切向变形量即为出砂量。

即：

（3-5）

式中：

S为出砂量；n为岩石孔隙度；a为井眼半径；e、p为弹、塑性区的变形分量。

除了以上这些理论模型外，还有其它一些模型，其研究方法和上述模型基本相似。

将这些模型综合起来看，它们有着很多共同之处。

出砂的理论研究往往将岩石看成是理想弹塑性材料，用Mohr—Coulomb屈服准则描述材料的屈服特性；将弹孔看成是理想的球状孔穴或柱状孔穴，处在均匀地应力之下；将地层流体的渗流看成是稳定或准稳定状态的达西渗流。

出砂理论分析的这些观点和井下的实际情况有着很大的差异，因此在工程实际应用时应进行修正。

4.防砂方法和工艺技术综述