数学实验三报告.docx
《数学实验三报告.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学实验三报告.docx（9页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
数学实验三报告
实验3插值与数值积分
实验报告
一、实验目的
1、掌握用Matlab计算拉格朗日、分段线性、三次样条三种插值的方法，改变节点的数目，对三种插值结果进行初步分析；
2、掌握用Matlab及梯形公式、辛普森公式计算数值积分；
3、通过实例学习用插值和数值积分解决实际问题。
二、实验内容
10、表3.7给出的x,y数据位于机翼剖面的轮廓线上，y1和y2分别对应轮廓的上下线。
假设需要得到x坐标每改变0.1时的y坐标。
试完成加工所需数据，画出曲线，求机翼剖面的面积。
表3.7机翼剖面轮廓线数据
x
0
3
5
7
9
11
12
13
14
15
y1
0
1.8
2.2
2.7
3.0
3.1
2.9
2.5
2.0
1.6
y2
0
1.2
1.7
2.0
2.1
2.0
1.8
1.2
1.0
1.6
曲线绘制
利用Matlab编程画出机翼轮廓线，内容如下：
（1）三次样条插值
x=[035791112131415];
y1=[01.82.22.73.03.12.92.52.01.6];
y2=[01.21.72.02.12.01.81.21.01.6];
u=0:
0.1:
15;
v1=spline（x,y1,u）;
v2=spline（x,y2,u）;
plot（u,v1,u,v2）;grid;
xlabel（'x'）;ylabel（'y1或y2'）;
gtext（'y1（x）'）;gtext（'y2（x）'）;
其中，u为插值设置了步长和范围，grid命令可以为曲线图添加网格线，xlabel、ylabel分别为横坐标、纵坐标添加标签，gtext命令可以实现曲线名称的添加。
得到的结果如下：
（2）分段线性插值
将v1、v2部分代码改为
v1=interp1（x,y1,u）;
v2=interp1（x,y2,u）;
得到的图形如下：
可见，用分段线性插值会使得曲线不够光滑（特别是区间[10,15]的部分）。
（3）拉格朗日插值
根据教材内容，用Matlab编程，内容如下：
functiony=lagr（x0,y0,x）
n=length（x0）;m=length（x）;
fori=1:
m
z=x（i）;
s=0;
fork=1:
n
p=1;
forj=1:
n
ifj~=k
p=p*（z-x0（j））/（x0（k）-x0（j））;
end
end
s=p*y0（k）+s;
end
y（i）=s;
end
并相应地改变v1、v2，输出的结果如下：
可见，曲线出现了严重的振荡，对于此题，拉格朗日插值法已不适用。
面积计算
利用梯形公式计算图形面积，相关代码如下：
v=v1-v2;
trapz（u,v）
对于三次样条插值法，输出的结果为：
ans=
11.3444
对于分段线性插值法，输出的结果为：
ans=
10.7500
由于三次样条插值法得到的图形更接近实际图形，用它算得的面积应更准确。
11、图3.13是欧洲一个国家的地图（图参考教材），为了算出它的国土面积，首先对地图作如下测量，以由西向东方向为x轴，由南向北方向为y轴，选择方便的原点，并将从最西边界点到最东边界点在x轴上的区间适当地划分为若干段，在每个分点的y方向测出南边界点和北边界点的y坐标y1和y2，这样就得到了表3.8的数据（单位：
mm）。
根据地图的比例我们知道18mm相当于40km，试由测量数据计算该国国土的近似面积，与它的精确值41288km2做比较。
表3.8地图边界点数据
x
7.0
10.5
13.0
17.5
34.0
40.5
44.5
48.0
56.0
61.0
68.5
76.5
80.5
91.0
y1
44
45
47
50
50
38
30
30
34
36
34
41
45
46
y2
44
59
70
72
93
100
110
110
110
117
118
116
118
118
x
96
101
104
106.5
111.5
118
123.5
136.5
142
146
150
157
158
y1
43
37
33
28
32
65
55
54
52
50
66
66
68
y2
121
124
121
121
121
122
116
83
81
82
86
85
68
曲线绘制
相关代码如下：
x=[7.010.513.017.534.040.544.548.056.061.068.576.580.591.096.0101.0104.0106.5111.5118.0123.5136.5142.0146.0150.0157.0158.0];
y1=[444547505038303034363441454643373328326555545250666668];
y2=[4459707293100110110110117118116118118121124121121121122116838182868568];
u=7:
0.1:
158;
v1=interp1（x,y1,u）;
v2=interp1（x,y2,u）;
plot（u,v1,u,v2）;grid;
xlabel（'x'）;ylabel（'y1或y2'）;
输出的结果如下：
与教材的原图十分相似。
若用三次样条插值，得到的结果如下：
由于曲线变得光滑，得到的图形反而与实际图形相差较远，所以此题分段线性插值更为适用。
面积计算
相关代码如下：
v=v2-v1;
S=40^2*trapz（u,v）/18^2
其中，面积进行了单位换算。
对于分段线性插值法，结果如下：
S=
4.2414e+04
即42414km2。
对于三次样条插值法，结果如下：
S=
4.2468e+04
即42468km2。
可见，分段线性插值法得到的结果更接近实际值，这与画图中的分析是相符的。
12、桥梁的一端每隔一段时间记录1min有几辆车过桥，得到表3.9的过桥车辆数据：
表3.9过桥车辆数据
时间
车辆数/辆
时间
车辆数/辆
时间
车辆数/辆
0:
00
2
9:
00
12
18:
00
22
2:
00
2
10:
00
5
19:
00
10
4:
00
0
11:
30
10
20:
00
9
5:
00
2
12:
30
12
21:
00
11
6:
00
5
14:
00
7
22:
00
8
7:
00
8
16:
00
9
23:
00
9
8:
00
25
17:
00
28
24:
00
3
试估计一天通过桥梁的车流量。
Matlab编程
内容如下：
x=[0245678910.511.512.514161718192021222324];
y=[22025825125101279282210911893];
u=0:
1/60:
24;
v=interp1（x,y,u）;
n=sum（v）
其中，10.5表示时间10:
30，u中步长为1/60的意思是1/60小时，即1分钟，sum命令的作用是对每个节点的v值进行求和，得到的结果即估计的一天的通过桥梁的车流量。
对于分段线性插值法，结果如下：
n=
1.2993e+04
对于三次样条插值法，结果如下：
n=
1.2671e+04
需要注意的是，这两种方法的准确性没有办法比较，因为我们不知道实际的车流量曲线是更光滑还是更接近折线的形状，因此最终结果可以取一个平均值。
三、实验收获
通过本次实验，我对Matlab软件的应用更加熟悉，对利用Matlab绘制曲线、求图形面积、解决实际问题有了更深入的认识。
同时，我也体会到三次样条插值法和分段线性插值法的各自的优点，并对利用梯形公式、求和命令解决问题的操作步骤更加熟悉。
总的来说，本次实验增强了我使用Matlab解决问题的能力，加深了我对数学实验这门课程的理解。
升级会员 