数学精英版教案 五升六9 巧画图形解难题.docx

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数学精英版教案五升六9巧画图形解难题

《数学》教案

教材版本：

精英版.学校：

.

教师

年级

五升六

授课时间

年月日

课时

2课时

课题

第九讲巧画图形解难题

教材分析

本讲是“数形结合”数学思想的初步渗透，利用图形来直观表示出数量或数量关系，线段图的方法在之前的学习中，学生已经有所接触，本讲利用线段图解决较难的应用题，同时在本讲中渗透了利用面积表示数量关系的方法。

本讲整体难度不低，建议师生合作，教师逐步给学生渗透解题方法。

拓展训练部分是例题部分巩固，学生独立完成，教师选择性讲解。

拓展视野题目，在教材中不予体现，作为教师在课堂选讲内容。

教学目标

知识技能

1.让学生掌握“数形结合”的思想，并能灵活运用。

2.培养学生的初步的分析能力、推理类比能力,以及发散性思维。

数学思考

通过合作探究，加深学生对“数形结合”的理解和应用，进行有条理的思考。

问题解决

能在日常生活中发现并提出相关的数学问题，并运用“数形结合”的思想加以解答，同时能体会与他人合作交流的思想。

情感态度

1.通过分析、引导等数学活动，体验数学问题的探索性、挑战性，感受解决问题以后的愉悦感。

2.通过课堂教学活动的安排，建立起教师与学生之间的融洽感，增强学生的向师性。

教学重点、难点

教学重点：

掌握“数形结合”思想的应用，并能灵活根据题意，选取合适方法。

教学难点：

根据题意，选择图形方法表示数量关系，并能加以分析。

教学准备

动画多媒体语言课件

第一课时

复备内容及讨论记录

教学过程

一、导入

师：

同学们，大家还记得方晓宇吗？

在前几节课的学习中，方晓宇去干什么了？

生：

参加国际乒联世界青少年挑战赛。

师：

在这次比赛中，方晓宇取得了优异的成绩。

比赛结束之后，方晓宇又做了哪些事情呢？

（课件播放导入）

二、教学新授

师：

方晓宇一家来到了公园的草坪，他们拿出在家准备好的跳绳，比赛看看谁的多，爸爸看着跳绳对方晓宇说，这绳可是我今天刚剪的哦！

（一）呈现问题1

例1：

两根同样长的跳绳，第一根剪去18分米，第二根剪去26分米。

余下的绳长，第一根是第二根的3倍。

原来每根跳绳各长多少分米？

1.学生读题，分析题意。

2.师生合作，教师引导。

师：

通过读题，你认为题目中有哪些关键信息？

生1：

原来两根跳绳同样长。

生2：

最后余下的绳长，第一根是第二根的3倍。

师：

通过这些信息，大家能够尝试独立画出线段图吗？

（学生尝试独立画图，请一名学生黑板板演，教师指正点评）

师：

通过线段图，你能解释为什么同样长的跳绳，各自剪去一部分后，最后第一根是第二根的3倍。

生：

因为第一根比第二根少剪去8分米，这8分米也就是第二根剩下绳长的2倍。

3.学生独立列式解答。

4.总结交流。

答案：

（26-18）÷（3-1）=4（米）

4×3+18=30（分米）

答：

原来每根绳长都为30分米。

（二）呈现问题2

师：

方晓宇和爸爸快乐的玩着跳绳，忽然她发现旁边有一棵大树。

出于好奇，她拿出绳子量了量树干的周长。

例2：

用一根绳子量一棵大树树干的周长，把绳子2折后正好绕树干2圈。

若把绳子3折，绕大树一圈还余30厘米，求大树树干的周长和绳长。

1.学生读题，理解题意。

2.教师引导。

（可以借助一根绳子，绕杯子或粉笔，动手操作）

师：

不管将绳子折成几折，在绕的的过程中，什么是肯定不变的？

生：

树干一圈的周长和绳子的长度是不变的。

师：

如果将绳子绕树，画图表示出来，可以如何表示？

（可以借助课本提供思路，进行分析）

师：

观察画的图形，从折3折，绕大树一圈后，最后还余30厘米，你能得到什么？

生1：

大树一圈是30厘米。

（学生可能会误认为多出的一圈就是30厘米，教师可以用线折三折之后，让学生观察。

）

生2：

我认为30厘米是折3折之后，一折的长度，所以大树一圈应该是30×3=90厘米。

师：

知道了大树的周长，那么绳长如何计算？

生：

大树一圈是90厘米，所以将绳子3折之后，每折是90+30=120厘米，则绳子总长是120×3=360厘米。

3.同桌间相互讲解。

4.总结交流。

答案：

方法一：

树干周长：

30×3=90（厘米）

绳长：

3×（90+30）=360（厘米）

答：

大树树干的周长是90厘米，绳长为360厘米。

方法二：

解：

设大树树干周长为x厘米，则绳长为3（x+30）厘米。

2×2x=3（x+30）

4x=3x+90

x=90

绳长：

3×（90+30）=360（厘米）

答：

大树树干的周长是90厘米，绳长为360厘米。

（三）呈现问题3

师：

在公园里玩了半天，他们都觉得有点饿了，于是全家决定去吃馄饨。

此时他们脑海中浮现出上次两个阿姨包馄饨的情景：

例3：

王阿姨和李阿姨合作包一批馄饨。

原计划王阿姨比李阿姨多包30个，结果李阿姨实际比计划少包20个，剩下的由王阿姨完成，这样她包的总数比王阿姨实际包的总数的

多2个。

问：

这批馄饨共有多少个？

1.学生读题，尝试画图。

2.师生合作，教师引导。

师：

通过读题，你认为这道题目中，什么是不变量？

生：

王阿姨和李阿姨包的馄钝总数是不变的。

师：

那么你能根据题目画出线段图吗？

（学生尝试画图，教师巡视指导）

师：

原计划王阿姨比李阿姨多包30个，利用线段图我们可以轻松表示出来，结果李阿姨实际比计划少包20个，那么少包的20个由谁包了？

线段上如何表示？

生：

由王阿姨包了，在线段上，李阿姨应减少20个，王阿姨多20个。

（根据学生回答，适时出示课件解析）

师：

那么根据线段图，可以清晰看出，王阿姨实际比李阿姨多包了几个？

生：

70个。

师：

再根据题目，李阿姨包的总数比王阿姨实际包的总数的

多2个，你能根据线段图得出什么？

生：

王阿姨包的

是72个，也就是将王阿姨包的总数分为7份，其中3份占72个。

3.学生独立完成解答。

4.总结交流。

答案：

30+20×2+2=72（个）

王阿姨实际包的：

72÷3×7=168（个）

李阿姨实际包的：

168÷7×4+2=98（个）

总数：

168+98=266（个）

答：

这批馄钝共有266个。

三、拓展应用，巩固提升。

（一）拓展问题1

1.甲乙两个仓库存有相同数量的货物。

甲仓库取出35吨货物，乙仓库取出23吨货物后，乙仓库的剩余量是甲仓库的4倍。

两仓库原来各存货多少吨？

（本题是例1的变式练习，作为检验，学生独立完成即可，可请基础较为薄弱学生，黑板板演，并讲解。

）

答案：

（35-23）÷（4-1）=4（吨）

35+4=39（吨）

答：

两仓库原来都存货39吨。

（二）拓展问题2

2.甲、乙两辆汽车同时从东、西两地相向开出，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米。

两车在距中点32千米处相遇。

东、西两地相距多少千米？

1.学生读题，画出线段图。

2.师生合作。

师：

在相遇问题中，总路程等于什么？

生：

总路程=相遇时间×速度和。

师：

现在速度和可以轻松算出，那么相遇时间呢？

根据线段图，你能得出什么？

为什么两车会在距中点32千米处相遇？

生：

甲车行驶快，乙车行驶慢，甲车比乙车多行驶了32×2=64千米，根据路程差，可以计算出相遇时间。

3.学生独立完成解答。

4.总结交流。

答案：

行驶时间：

32×2÷（56-48）=8（小时）

路程和：

（56+48）×8=104×8=832（千米）

答：

东、西两地相距832千米。

（三）拓展问题3

3.用绳子测井深，把绳子折三折来量，井外余16分米；把绳子折四折来量，井外余4分米。

求井深和绳子的长度。

（本题是例2的变式练习，可放在例2后讲解完成，也可放置此处，学生完成，教师根据学生掌握情况，酌情出示课件解析。

）

答案：

井深：

（16×3-4×4）÷（4-3）=32（分米）

绳长：

（32+16）×3=144（分米）

答：

井深为32分米，绳长为144分米。

四、课堂小结。

这节课，我们借助图形，轻松解决了一些应用题，大家有什么收获？

同桌之间相互交流一下。

第二课时

复备内容及讨论记录

教学过程

一、导入

师：

上节课，我们简单接触了“一一对应”的思想，明白在解决一一对应问题时，一定要找准他们的对应关系。

这节课，我们接着体会这种思想的应用。

二、教学新授

（一）呈现问题4

师：

美食的诱惑是无法抗拒的，她们一家说走就走。

例4：

方晓宇骑自行车从公园门口到馄饨店，计划每分钟行150米，实际每分钟比计划多行30米，结果提前2分钟到达。

从公园门口到馄饨店有多少米？

1.学生读题，分析题意。

2.师生合作，教师引导。

师：

通过读题，不管她用哪种速度行驶，什么是保持不变的？

生：

从公园门口到馄钝店的距离是保持不变的。

师：

这个距离如何表示？

生：

距离=速度×时间。

师：

这个题目用我们之前画的线段图显然不太容易表示出来，这个题目，老师给大家提供一个新的画图方法，我们知道长方形的面积=长×宽，如果老师用一边表示时间，一边表示速度，大家能根据题意，将这个图形画出来吗？

（学生尝试画图，教师指导，适时出示解析，作图方法。

）

师：

通过图形，你能得出什么结论？

长方形的面积代表什么？

生：

长方形的面积代表从公园门口到馄钝店的距离，则①+③的面积=①+②的面积。

师：

那么也就意味着②的面积=③的面积。

仔细观察图形，你能利用这个等式，求出什么？

生：

求出方晓宇的实际用时。

3.同桌间相互讲解。

4.总结交流。

对于此类常见数量关系问题，可以通过画长方形图，利用面积相等来快速解决。

答案：

实际用时：

150×2÷30=10（分钟）

路程：

（150+30）×10=1800（米）

答：

从公园门口到馄钝店有1800米。

（二）呈现问题5

师：

吃完饭，他们走在回家的路上，微风吹过，清新的空气，让人心旷神怡。

突然方晓宇发现她的两个好朋友依依和佳佳正在前面一个十字路口。

例5：

依依在南北路上，由南向北行进；佳佳在东西路上，由西向东行进。

依依的出发地点在两条路交叉点南面720米，佳佳在交叉点上，两人同时开始行进。

4分钟后，依依和佳佳两人所在的位置与交叉点距离相等（这时依依仍在交叉点南）；再过32分钟后，两人所在的位置又距交叉点距离相等（这时依依在交叉点北）。

问依依和佳佳每分钟各行多少米？

1.学生读题，理清题意。

2.师生合作，教师引导。

师：

我们根据题意，依依在南北路上，佳佳在东西路上，最初的状态如图所示。

师：

接下来，4分钟后，依依和佳佳两人所在位置与交叉点距离相等，也就是行驶4分钟后，图中的哪两段长度相等？

在图中画出来。

师：

这是一道行程问题，回顾我们之前的行程问题，我们表示的示意图在一条直线上，但是现在两个人不在同一条路上，要找出两个人的路程关系，该怎么办呢？

我们找到了两个距离相等的点，你能发现什么？

（学生小组讨论）

生：

可以将佳佳走的路程转移到相等的线段上，这样的话就可以和依依行驶的路程在同一条路上，所以4分钟内两人的路程和是720米。

师：

有了路程和，我们可以得到什么？

生：

两人的速度之和是每分钟180米。

师：

我们接着分析，32分钟后，两人所在位置又距交叉点距离相等，那么此时是哪两段距离相等呢？

大家在图上表示出来。

师：

类比之前的，我们如何将佳佳行驶轨迹和依依行驶轨迹表示在一条路上？

从最初行驶开始，佳佳总共走的是哪段路程？

依依呢？

这就转化成了我们之前学习的哪种行程问题？

生：

佳佳在依依前面720米处，依依追佳佳，是追及问题。

师：

这个追及问题中，追及路程是多少？

可以求出什么？

生：

追及路程是720米，追及时间总共是32+4=36分，可以求出速度差。

3.同桌之间讲解，完成解答。

4.总结交流。

答案：

速度和：

720÷4=180（米）

速度差：

720÷（32+4）=20（米）

依依的速度：

（180+20）÷2=100（米/分）

佳佳的速度：

180-100=80（米/分）

答：

依依每分钟行100米，佳佳每分钟行80米。

三、巩固应用，拓展延伸。

（一）拓展问题4

4.一个家具厂要生产一批桌子，原计划20天做完，实际每天比原计划多生产8张，最终提前4天完成。

问这批桌子有多少张？

（本题是例4的变式练习，作为检验，以及熟练学生利用面积图形做题，教师可放在例4后让学生完成，根据学生掌握情况，酌情出示课件解析。

）

答案：

原计划每天生产张数：

8×（20-4）÷4=32（张）

桌子总数：

32×20=640（张）

答：

这批桌子有640张。

（二）拓展问题5

5.某旅游团租一辆车外出，租车费由乘车人平均分摊，结果乘车人数与每人应付车费的钱数恰好相等。

后来又增加了10人，这样每人应付车费的钱数比原来减少了6元。

这辆车的租车费是多少元？

1.学生读题，分析题意。

2.教师酌情引导。

师：

这道题目中，什么是固定不变的量？

生：

租一辆车的租车费用是固定不变的。

师：

那么租车费用如何计算？

如果借助图形，我们可以怎么表示？

生：

租车费用=租车人数×每人租车钱数，可以利用长方形表示。

师：

在这道题目中，还有一个关键信息，是什么？

它对我们画图有什么意义？

生：

在增加人数之前，乘车人数与每人应付钱数恰好相等，所以可以用正方形的边长分别表示乘车人数和每人应付钱数。

3.学生尝试独立画图完成解答。

4.总结交流。

答案：

解：

设原来乘车人数为x人，每人应付车费为x元。

10（x-6）=6x

10x-60=6x

4x=60

x=15

租车费：

15×15=225（元）

答：

这辆车的租车费为225元。

（三）拓展问题6

6.甲、乙二人分别从A、B两地同时相向出发。

已知甲的速度比乙快，8小时后二人在途中C处相遇。

如果二人的速度每小时都增加2千米，那么相遇时间可缩短2小时，相遇点D距离C点6千米。

乙每小时行多少千米？

1.学生读题。

2.师生合作，教师引导。

师：

这道题目相比我们之前学习的行程问题，有一定难度，我们一起分析。

根据题目，之前两人在C处相遇，提速后两人在距离C点6千米的D处相遇，你能用线段图表示出来两次的行程图及相遇地点吗？

（在这一处，学生可能D点是距A点近还是距B点近，有些难度，教师可以帮助学生这样理解：

第一次，两人行驶8小时，在C处相遇；第二次，两人提速后走了6小时，可以理解为：

两人分别先按原来的速度走了6小时，然后又分别以每小时2千米的速度匀速走了6小时，这样和提速前相比“甲一直比乙快的走完8小时”相比，甲比乙多走的距离变少，所以D应离A更近些。

）

师：

根据6千米，那么两人提速前和提速后的路程差是多少？

生：

提速前和提速后相比，甲比之前少行了6千米，乙比之前多行了6千米，相比之前，路程差就是12千米，而且提速2小时，造成的路程差，所以速度差为6千米/时。

师：

现在要求乙的速度，知道了速度差肯定不足以求出，结合我们之前学习的，A、B两地距离不变，那么这个距离可以如何表示？

生：

距离=速度和×时间。

师：

题目中已知了两人速度每小时增加2千米后，相遇时间缩短2小时，如果结合图形，可以怎么表示？

生：

用长方形的面积表示。

师：

那么长方形的长和宽分别表示什么呢？

既然长方形的面积表示距离，距离=速度和×时间，大家思考？

生：

一边表示速度和，一边表示相遇时间。

师：

分析到这里，大家尝试画图分析一下。

（学生画图，汇报交流。

）

师：

通过画图，大家可以求出什么？

生：

两人的速度和。

师：

速度和和速度差已知，能否求出乙的速度？

尝试解答。

3.同桌之间相互讲解。

4.总结交流。

答案：

两人速度差：

6×2÷2=6（千米/时）

两人速度和：

（2+2）×（8-2）÷2=12（千米/时）

乙的速度：

（12-6）÷2=3（千米/时）

答：

乙的速度是3千米/时。

四、拓展视野

在花园里，同学们和园丁一起搬花盆。

搬了

后还剩60盆，已经搬了多少盆花？

（鉴于本讲整体难度不低，故拓展视野部分选取了较为基础简单的题目，教师可选择性根据学生情况适时出示）

答案：

60÷（4-3）=60（盆）

60×3=180（盆）

答：

已经搬了180盆花。

五、课堂总结

1.可以画图解决的常见问题：

（1）和差、和倍、差倍问题

（2）盈亏问题

（3）不变量

（4）行程问题

2.画图，可以借助线段图解决，也可以利用面积巧妙解题。

拓展问题答案：

1.（35-23）÷（4-1）=4（吨）

35+4=39（吨）

答：

两仓库原来都存货39吨。

2.行驶时间：

32×2÷（56-48）=8（小时）

路程和：

（56+48）×8=104×8=832（千米）

答：

东、西两地相距832千米。

3.井深：

（16×3-4×4）÷（4-3）=32（分米）

绳长：

（32+16）×3=144（分米）

答：

井深为32分米，绳长为144分米。

4.原计划每天生产张数：

8×（20-4）÷4=32（张）

桌子总数：

32×20=640（张）

答：

这批桌子有640张。

5.解:

设原来乘车人数为x人，每人应付车费为x元。

10（x-6）=6x

10x-60=6x

4x=60

x=15

租车费：

15×15=225（元）

答：

这辆车的租车费为225元。

6.两人速度差：

6×2÷2=6（千米/时）

两人速度和：

（2+2）×（8-2）÷2=12（千米/时）

乙的速度：

（12-6）÷2=3（千米/时）

答：

乙的速度是3千米/时。