数学精英版教案 五升六9 巧画图形解难题.docx
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数学精英版教案五升六9巧画图形解难题
《数学》教案
教材版本:
精英版.学校:
.
教师
年级
五升六
授课时间
年月日
课时
2课时
课题
第九讲巧画图形解难题
教材分析
本讲是“数形结合”数学思想的初步渗透,利用图形来直观表示出数量或数量关系,线段图的方法在之前的学习中,学生已经有所接触,本讲利用线段图解决较难的应用题,同时在本讲中渗透了利用面积表示数量关系的方法。
本讲整体难度不低,建议师生合作,教师逐步给学生渗透解题方法。
拓展训练部分是例题部分巩固,学生独立完成,教师选择性讲解。
拓展视野题目,在教材中不予体现,作为教师在课堂选讲内容。
教学目标
知识技能
1.让学生掌握“数形结合”的思想,并能灵活运用。
2.培养学生的初步的分析能力、推理类比能力,以及发散性思维。
数学思考
通过合作探究,加深学生对“数形结合”的理解和应用,进行有条理的思考。
问题解决
能在日常生活中发现并提出相关的数学问题,并运用“数形结合”的思想加以解答,同时能体会与他人合作交流的思想。
情感态度
1.通过分析、引导等数学活动,体验数学问题的探索性、挑战性,感受解决问题以后的愉悦感。
2.通过课堂教学活动的安排,建立起教师与学生之间的融洽感,增强学生的向师性。
教学重点、难点
教学重点:
掌握“数形结合”思想的应用,并能灵活根据题意,选取合适方法。
教学难点:
根据题意,选择图形方法表示数量关系,并能加以分析。
教学准备
动画多媒体语言课件
第一课时
复备内容及讨论记录
教学过程
一、导入
师:
同学们,大家还记得方晓宇吗?
在前几节课的学习中,方晓宇去干什么了?
生:
参加国际乒联世界青少年挑战赛。
师:
在这次比赛中,方晓宇取得了优异的成绩。
比赛结束之后,方晓宇又做了哪些事情呢?
(课件播放导入)
二、教学新授
师:
方晓宇一家来到了公园的草坪,他们拿出在家准备好的跳绳,比赛看看谁的多,爸爸看着跳绳对方晓宇说,这绳可是我今天刚剪的哦!
(一)呈现问题1
例1:
两根同样长的跳绳,第一根剪去18分米,第二根剪去26分米。
余下的绳长,第一根是第二根的3倍。
原来每根跳绳各长多少分米?
1.学生读题,分析题意。
2.师生合作,教师引导。
师:
通过读题,你认为题目中有哪些关键信息?
生1:
原来两根跳绳同样长。
生2:
最后余下的绳长,第一根是第二根的3倍。
师:
通过这些信息,大家能够尝试独立画出线段图吗?
(学生尝试独立画图,请一名学生黑板板演,教师指正点评)
师:
通过线段图,你能解释为什么同样长的跳绳,各自剪去一部分后,最后第一根是第二根的3倍。
生:
因为第一根比第二根少剪去8分米,这8分米也就是第二根剩下绳长的2倍。
3.学生独立列式解答。
4.总结交流。
答案:
(26-18)÷(3-1)=4(米)
4×3+18=30(分米)
答:
原来每根绳长都为30分米。
(二)呈现问题2
师:
方晓宇和爸爸快乐的玩着跳绳,忽然她发现旁边有一棵大树。
出于好奇,她拿出绳子量了量树干的周长。
例2:
用一根绳子量一棵大树树干的周长,把绳子2折后正好绕树干2圈。
若把绳子3折,绕大树一圈还余30厘米,求大树树干的周长和绳长。
1.学生读题,理解题意。
2.教师引导。
(可以借助一根绳子,绕杯子或粉笔,动手操作)
师:
不管将绳子折成几折,在绕的的过程中,什么是肯定不变的?
生:
树干一圈的周长和绳子的长度是不变的。
师:
如果将绳子绕树,画图表示出来,可以如何表示?
(可以借助课本提供思路,进行分析)
师:
观察画的图形,从折3折,绕大树一圈后,最后还余30厘米,你能得到什么?
生1:
大树一圈是30厘米。
(学生可能会误认为多出的一圈就是30厘米,教师可以用线折三折之后,让学生观察。
)
生2:
我认为30厘米是折3折之后,一折的长度,所以大树一圈应该是30×3=90厘米。
师:
知道了大树的周长,那么绳长如何计算?
生:
大树一圈是90厘米,所以将绳子3折之后,每折是90+30=120厘米,则绳子总长是120×3=360厘米。
3.同桌间相互讲解。
4.总结交流。
答案:
方法一:
树干周长:
30×3=90(厘米)
绳长:
3×(90+30)=360(厘米)
答:
大树树干的周长是90厘米,绳长为360厘米。
方法二:
解:
设大树树干周长为x厘米,则绳长为3(x+30)厘米。
2×2x=3(x+30)
4x=3x+90
x=90
绳长:
3×(90+30)=360(厘米)
答:
大树树干的周长是90厘米,绳长为360厘米。
(三)呈现问题3
师:
在公园里玩了半天,他们都觉得有点饿了,于是全家决定去吃馄饨。
此时他们脑海中浮现出上次两个阿姨包馄饨的情景:
例3:
王阿姨和李阿姨合作包一批馄饨。
原计划王阿姨比李阿姨多包30个,结果李阿姨实际比计划少包20个,剩下的由王阿姨完成,这样她包的总数比王阿姨实际包的总数的
多2个。
问:
这批馄饨共有多少个?
1.学生读题,尝试画图。
2.师生合作,教师引导。
师:
通过读题,你认为这道题目中,什么是不变量?
生:
王阿姨和李阿姨包的馄钝总数是不变的。
师:
那么你能根据题目画出线段图吗?
(学生尝试画图,教师巡视指导)
师:
原计划王阿姨比李阿姨多包30个,利用线段图我们可以轻松表示出来,结果李阿姨实际比计划少包20个,那么少包的20个由谁包了?
线段上如何表示?
生:
由王阿姨包了,在线段上,李阿姨应减少20个,王阿姨多20个。
(根据学生回答,适时出示课件解析)
师:
那么根据线段图,可以清晰看出,王阿姨实际比李阿姨多包了几个?
生:
70个。
师:
再根据题目,李阿姨包的总数比王阿姨实际包的总数的
多2个,你能根据线段图得出什么?
生:
王阿姨包的
是72个,也就是将王阿姨包的总数分为7份,其中3份占72个。
3.学生独立完成解答。
4.总结交流。
答案:
30+20×2+2=72(个)
王阿姨实际包的:
72÷3×7=168(个)
李阿姨实际包的:
168÷7×4+2=98(个)
总数:
168+98=266(个)
答:
这批馄钝共有266个。
三、拓展应用,巩固提升。
(一)拓展问题1
1.甲乙两个仓库存有相同数量的货物。
甲仓库取出35吨货物,乙仓库取出23吨货物后,乙仓库的剩余量是甲仓库的4倍。
两仓库原来各存货多少吨?
(本题是例1的变式练习,作为检验,学生独立完成即可,可请基础较为薄弱学生,黑板板演,并讲解。
)
答案:
(35-23)÷(4-1)=4(吨)
35+4=39(吨)
答:
两仓库原来都存货39吨。
(二)拓展问题2
2.甲、乙两辆汽车同时从东、西两地相向开出,甲车每小时行56千米,乙车每小时行48千米。
两车在距中点32千米处相遇。
东、西两地相距多少千米?
1.学生读题,画出线段图。
2.师生合作。
师:
在相遇问题中,总路程等于什么?
生:
总路程=相遇时间×速度和。
师:
现在速度和可以轻松算出,那么相遇时间呢?
根据线段图,你能得出什么?
为什么两车会在距中点32千米处相遇?
生:
甲车行驶快,乙车行驶慢,甲车比乙车多行驶了32×2=64千米,根据路程差,可以计算出相遇时间。
3.学生独立完成解答。
4.总结交流。
答案:
行驶时间:
32×2÷(56-48)=8(小时)
路程和:
(56+48)×8=104×8=832(千米)
答:
东、西两地相距832千米。
(三)拓展问题3
3.用绳子测井深,把绳子折三折来量,井外余16分米;把绳子折四折来量,井外余4分米。
求井深和绳子的长度。
(本题是例2的变式练习,可放在例2后讲解完成,也可放置此处,学生完成,教师根据学生掌握情况,酌情出示课件解析。
)
答案:
井深:
(16×3-4×4)÷(4-3)=32(分米)
绳长:
(32+16)×3=144(分米)
答:
井深为32分米,绳长为144分米。
四、课堂小结。
这节课,我们借助图形,轻松解决了一些应用题,大家有什么收获?
同桌之间相互交流一下。
第二课时
复备内容及讨论记录
教学过程
一、导入
师:
上节课,我们简单接触了“一一对应”的思想,明白在解决一一对应问题时,一定要找准他们的对应关系。
这节课,我们接着体会这种思想的应用。
二、教学新授
(一)呈现问题4
师:
美食的诱惑是无法抗拒的,她们一家说走就走。
例4:
方晓宇骑自行车从公园门口到馄饨店,计划每分钟行150米,实际每分钟比计划多行30米,结果提前2分钟到达。
从公园门口到馄饨店有多少米?
1.学生读题,分析题意。
2.师生合作,教师引导。
师:
通过读题,不管她用哪种速度行驶,什么是保持不变的?
生:
从公园门口到馄钝店的距离是保持不变的。
师:
这个距离如何表示?
生:
距离=速度×时间。
师:
这个题目用我们之前画的线段图显然不太容易表示出来,这个题目,老师给大家提供一个新的画图方法,我们知道长方形的面积=长×宽,如果老师用一边表示时间,一边表示速度,大家能根据题意,将这个图形画出来吗?
(学生尝试画图,教师指导,适时出示解析,作图方法。
)
师:
通过图形,你能得出什么结论?
长方形的面积代表什么?
生:
长方形的面积代表从公园门口到馄钝店的距离,则①+③的面积=①+②的面积。
师:
那么也就意味着②的面积=③的面积。
仔细观察图形,你能利用这个等式,求出什么?
生:
求出方晓宇的实际用时。
3.同桌间相互讲解。
4.总结交流。
对于此类常见数量关系问题,可以通过画长方形图,利用面积相等来快速解决。
答案:
实际用时:
150×2÷30=10(分钟)
路程:
(150+30)×10=1800(米)
答:
从公园门口到馄钝店有1800米。
(二)呈现问题5
师:
吃完饭,他们走在回家的路上,微风吹过,清新的空气,让人心旷神怡。
突然方晓宇发现她的两个好朋友依依和佳佳正在前面一个十字路口。
例5:
依依在南北路上,由南向北行进;佳佳在东西路上,由西向东行进。
依依的出发地点在两条路交叉点南面720米,佳佳在交叉点上,两人同时开始行进。
4分钟后,依依和佳佳两人所在的位置与交叉点距离相等(这时依依仍在交叉点南);再过32分钟后,两人所在的位置又距交叉点距离相等(这时依依在交叉点北)。
问依依和佳佳每分钟各行多少米?
1.学生读题,理清题意。
2.师生合作,教师引导。
师:
我们根据题意,依依在南北路上,佳佳在东西路上,最初的状态如图所示。
师:
接下来,4分钟后,依依和佳佳两人所在位置与交叉点距离相等,也就是行驶4分钟后,图中的哪两段长度相等?
在图中画出来。
师:
这是一道行程问题,回顾我们之前的行程问题,我们表示的示意图在一条直线上,但是现在两个人不在同一条路上,要找出两个人的路程关系,该怎么办呢?
我们找到了两个距离相等的点,你能发现什么?
(学生小组讨论)
生:
可以将佳佳走的路程转移到相等的线段上,这样的话就可以和依依行驶的路程在同一条路上,所以4分钟内两人的路程和是720米。
师:
有了路程和,我们可以得到什么?
生:
两人的速度之和是每分钟180米。
师:
我们接着分析,32分钟后,两人所在位置又距交叉点距离相等,那么此时是哪两段距离相等呢?
大家在图上表示出来。
师:
类比之前的,我们如何将佳佳行驶轨迹和依依行驶轨迹表示在一条路上?
从最初行驶开始,佳佳总共走的是哪段路程?
依依呢?
这就转化成了我们之前学习的哪种行程问题?
生:
佳佳在依依前面720米处,依依追佳佳,是追及问题。
师:
这个追及问题中,追及路程是多少?
可以求出什么?
生:
追及路程是720米,追及时间总共是32+4=36分,可以求出速度差。
3.同桌之间讲解,完成解答。
4.总结交流。
答案:
速度和:
720÷4=180(米)
速度差:
720÷(32+4)=20(米)
依依的速度:
(180+20)÷2=100(米/分)
佳佳的速度:
180-100=80(米/分)
答:
依依每分钟行100米,佳佳每分钟行80米。
三、巩固应用,拓展延伸。
(一)拓展问题4
4.一个家具厂要生产一批桌子,原计划20天做完,实际每天比原计划多生产8张,最终提前4天完成。
问这批桌子有多少张?
(本题是例4的变式练习,作为检验,以及熟练学生利用面积图形做题,教师可放在例4后让学生完成,根据学生掌握情况,酌情出示课件解析。
)
答案:
原计划每天生产张数:
8×(20-4)÷4=32(张)
桌子总数:
32×20=640(张)
答:
这批桌子有640张。
(二)拓展问题5
5.某旅游团租一辆车外出,租车费由乘车人平均分摊,结果乘车人数与每人应付车费的钱数恰好相等。
后来又增加了10人,这样每人应付车费的钱数比原来减少了6元。
这辆车的租车费是多少元?
1.学生读题,分析题意。
2.教师酌情引导。
师:
这道题目中,什么是固定不变的量?
生:
租一辆车的租车费用是固定不变的。
师:
那么租车费用如何计算?
如果借助图形,我们可以怎么表示?
生:
租车费用=租车人数×每人租车钱数,可以利用长方形表示。
师:
在这道题目中,还有一个关键信息,是什么?
它对我们画图有什么意义?
生:
在增加人数之前,乘车人数与每人应付钱数恰好相等,所以可以用正方形的边长分别表示乘车人数和每人应付钱数。
3.学生尝试独立画图完成解答。
4.总结交流。
答案:
解:
设原来乘车人数为x人,每人应付车费为x元。
10(x-6)=6x
10x-60=6x
4x=60
x=15
租车费:
15×15=225(元)
答:
这辆车的租车费为225元。
(三)拓展问题6
6.甲、乙二人分别从A、B两地同时相向出发。
已知甲的速度比乙快,8小时后二人在途中C处相遇。
如果二人的速度每小时都增加2千米,那么相遇时间可缩短2小时,相遇点D距离C点6千米。
乙每小时行多少千米?
1.学生读题。
2.师生合作,教师引导。
师:
这道题目相比我们之前学习的行程问题,有一定难度,我们一起分析。
根据题目,之前两人在C处相遇,提速后两人在距离C点6千米的D处相遇,你能用线段图表示出来两次的行程图及相遇地点吗?
(在这一处,学生可能D点是距A点近还是距B点近,有些难度,教师可以帮助学生这样理解:
第一次,两人行驶8小时,在C处相遇;第二次,两人提速后走了6小时,可以理解为:
两人分别先按原来的速度走了6小时,然后又分别以每小时2千米的速度匀速走了6小时,这样和提速前相比“甲一直比乙快的走完8小时”相比,甲比乙多走的距离变少,所以D应离A更近些。
)
师:
根据6千米,那么两人提速前和提速后的路程差是多少?
生:
提速前和提速后相比,甲比之前少行了6千米,乙比之前多行了6千米,相比之前,路程差就是12千米,而且提速2小时,造成的路程差,所以速度差为6千米/时。
师:
现在要求乙的速度,知道了速度差肯定不足以求出,结合我们之前学习的,A、B两地距离不变,那么这个距离可以如何表示?
生:
距离=速度和×时间。
师:
题目中已知了两人速度每小时增加2千米后,相遇时间缩短2小时,如果结合图形,可以怎么表示?
生:
用长方形的面积表示。
师:
那么长方形的长和宽分别表示什么呢?
既然长方形的面积表示距离,距离=速度和×时间,大家思考?
生:
一边表示速度和,一边表示相遇时间。
师:
分析到这里,大家尝试画图分析一下。
(学生画图,汇报交流。
)
师:
通过画图,大家可以求出什么?
生:
两人的速度和。
师:
速度和和速度差已知,能否求出乙的速度?
尝试解答。
3.同桌之间相互讲解。
4.总结交流。
答案:
两人速度差:
6×2÷2=6(千米/时)
两人速度和:
(2+2)×(8-2)÷2=12(千米/时)
乙的速度:
(12-6)÷2=3(千米/时)
答:
乙的速度是3千米/时。
四、拓展视野
在花园里,同学们和园丁一起搬花盆。
搬了
后还剩60盆,已经搬了多少盆花?
(鉴于本讲整体难度不低,故拓展视野部分选取了较为基础简单的题目,教师可选择性根据学生情况适时出示)
答案:
60÷(4-3)=60(盆)
60×3=180(盆)
答:
已经搬了180盆花。
五、课堂总结
1.可以画图解决的常见问题:
(1)和差、和倍、差倍问题
(2)盈亏问题
(3)不变量
(4)行程问题
2.画图,可以借助线段图解决,也可以利用面积巧妙解题。
拓展问题答案:
1.(35-23)÷(4-1)=4(吨)
35+4=39(吨)
答:
两仓库原来都存货39吨。
2.行驶时间:
32×2÷(56-48)=8(小时)
路程和:
(56+48)×8=104×8=832(千米)
答:
东、西两地相距832千米。
3.井深:
(16×3-4×4)÷(4-3)=32(分米)
绳长:
(32+16)×3=144(分米)
答:
井深为32分米,绳长为144分米。
4.原计划每天生产张数:
8×(20-4)÷4=32(张)
桌子总数:
32×20=640(张)
答:
这批桌子有640张。
5.解:
设原来乘车人数为x人,每人应付车费为x元。
10(x-6)=6x
10x-60=6x
4x=60
x=15
租车费:
15×15=225(元)
答:
这辆车的租车费为225元。
6.两人速度差:
6×2÷2=6(千米/时)
两人速度和:
(2+2)×(8-2)÷2=12(千米/时)
乙的速度:
(12-6)÷2=3(千米/时)
答:
乙的速度是3千米/时。