与名师对话理解三角形应用举例.docx

与名师对话理解三角形应用举例.docx

《与名师对话理解三角形应用举例.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《与名师对话理解三角形应用举例.docx（22页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

与名师对话理解三角形应用举例

第八节　解三角形应用举例

高考概览：

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．

[知识梳理]

1．仰角和俯角

在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）．

2．方位角

从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）．

3．方向角

相对于某一正方向的水平角．

（1）北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向（如图③）；

（2）南偏西等同上方向角类似．

4．坡角与坡度

（1）坡角：

坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）；

（2）坡度：

坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i为坡度）．坡度又称为坡比．

[辨识巧记]

1．区分两种角

（1）方位角：

从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角．

（2）方向角：

正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角．

2．解与三角形有关的实验应用问题的四个步骤

（1）读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清量与量之间的关系．

（2）根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型．

（3）选择正弦定理或余弦定理求解．

（4）将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位、近似计算要求．

[双基自测]

1．判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）东北方向就是北偏东45°的方向．（　　）

（2）从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.（　　）

（3）俯角的铅垂线与视线所成的角，其范围为.（　　）

（4）方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．（　　）

[答案]　

（1）√　

（2）×　（3）×　（4）√

2.（2019·东北三校联考）如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于20km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为（　　）

A．20kmB．20km

C．40kmD．20km

[解析]　依题意知∠ACB＝180°－20°－40°＝120°，

在△ABC中，由余弦定理知

AB＝＝20（km），

即灯塔A与灯塔B的距离为20km.故选D.

[答案]　D

3.如图所示为起重机装置示意图，支杆BC＝10m，吊杆AC＝15m，吊索AB＝5m，起吊的货物与岸的距离AD为（　　）

A．30mB.m

C．15mD．45m

[解析]　在△ABC中，AC＝15m，

AB＝5m，BC＝10m，

由余弦定理得cos∠ACB＝

＝＝－.

∴sin∠ACB＝.

又∠ACB＋∠ACD＝180°.

∴sin∠ACD＝sin∠ACB＝.

在Rt△ADC中，AD＝AC·sin∠ACD＝15×＝m．故选B.

[答案]　B

4．（2019·江西联考）某位居民站在离地20m高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为60°，小高层底部的俯角为45°，那么这栋小高层的高度为（　　）

A．20mB．20（1＋）m

C．10（＋）mD．20（＋）m

[解析]　如图，设AB为阳台的高度，CD为小高层的高度，AE为水平线．由题意知AB＝20m，∠DAE＝45°，∠CAE＝60°，故DE＝20m，CE＝AE·tan60°＝20m.所以CD＝20（1＋）m．故选B.

[答案]　B

5．（2019·广东广州市高三综合测试）江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.

[解析]　如图，由题意知，OA＝30，

∠OAM＝45°，∠OAN＝30°，

∠MON＝30°.

在Rt△AOM中，OM＝OA·

tan∠OAM＝30·tan45°＝30.

在Rt△AON中，ON＝OA·tan∠OAN＝30·tan30°＝10.

在△MON中，由余弦定理得

MN＝

＝

＝＝10（m）．

[答案]　10

考点一　测量距离问题

【例1】　要测量河对岸A，B两点之间的距离，选取相距km的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，则A，B之间的距离为________km.

[思路引导]　→→

[解析]　如图所示，在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，

∴AC＝CD＝km.

在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°.

∴BC＝＝（km）．

在△ABC中，由余弦定理，得

AB2＝（）2＋2－2×××cos75°＝3＋2＋－＝5，所以AB＝km，∴A，B之间的距离为km.

[答案]　

求距离问题的2个注意事项

（1）选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．

（2）确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．

[对点训练]

1．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A船到灯塔C的距离为2km，B船在灯塔C北偏西40°处，A，B两船间的距离为3km，则B船到灯塔C的距离为（　　）

A．1kmB．2km

C．3kmD．（－1）km

[解析]　如图所示，由题意可得，∠ACB＝120°，AC＝2，AB＝3.

设BC＝x，则由余弦定理可得AB2＝BC2＋AC2－2BC·ACcos120°，

即32＝22＋x2－2×2xcos120°，整理得x2＋2x＝5，

解得x＝－1（舍去负值）．故选D.

[答案]　D

2．如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出AB的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB.

若测得CD＝km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，则A，B两点间的距离为________km.

[解析]　∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，

∴∠DAC＝60°，

∴AC＝DC＝（km）．

在△BCD中，∠DBC＝45°，

由正弦定理，得BC＝·sin∠BDC＝·sin30°＝.

在△ABC中，由余弦定理，得

AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos45°

＝＋－2×××＝.

∴AB＝（km）．

∴A，B两点间的距离为km.

[答案]　

考点二　测量高度问题

【例2】　如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.

[思路引导]　→→

[解析]　由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.

又AB＝600m，故由正弦定理得＝，解得BC＝300m．在Rt△BCD中，CD＝BC·tan30°＝300×＝100（m）．

[答案]　100

利用正、余弦定理求解高度问题应注意的3个问题

（1）在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角（它是在铅垂面上所成的角）、方向（位）角（它是在水平面上所成的角）是关键．

（2）在实际问题中，可能会遇到空间与平面（地面）同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．

（3）注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．

[对点训练]

1．如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是________米．

[解析]　在△BCD中，∠BDC＝45°，∠DBC＝180°－（45°＋105°）＝30°，CD＝10，由正弦定理，得BC＝·sin∠BDC＝·sin45°＝10.

在Rt△ABC中，AB＝BC·tan60°＝10×

＝10（m）．

[答案]　10

2.（2019·海口调研）如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100m，则山高MN＝________m.

[解析]　在Rt△ABC中，∠CAB＝45°，BC＝100m，所以AC＝100（m）．

在△AMC中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，从而∠AMC＝45°，

由正弦定理，得＝，因此AM＝100（m）．

在Rt△MNA中，AM＝100m，∠MAN＝60°，由＝sin60°，得MN＝100×＝150（m）．

[答案]　150

考点三　测量角度问题

【例3】　如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处（－1）海里的B处有一艘走私船．在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜．问：

缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？

并求出所需时间．

[思路引导]　→→→→→

[解]　设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获（在D点）走私船，则CD＝10t海里，BD＝10t海里，

在△ABC中，由余弦定理，有BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA＝（－1）2＋22－2（－1）·2·cos120°＝6.

∴BC＝海里．又∵＝，

∴sin∠ABC＝＝＝，

∴∠ABC＝45°，∴B点在C点的正东方向上，

∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，

在△BCD中，由正弦定理，得＝，

∴sin∠BCD＝＝＝.

∴∠BCD＝30°，∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶．

又在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，

∴∠D＝30°，∴BD＝BC，即10t＝.

∴t＝小时≈15分钟．

∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．

解决测量角度问题的3个注意点

（1）明确方位角或方向角的含义．

（2）分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步．

（3）将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用．

[对点训练]

如图所示，位于A处的信息中心获悉：

在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cosθ的值．

[解]　在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800，所以BC＝20.

由正弦定理，得＝，即sin∠ACB＝·sin∠BAC＝.

由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB＝.

由θ＝∠ACB＋30°，得cosθ＝cos（∠ACB＋30°）

＝cos∠ACB·cos30°－sin∠ACBsin30°＝.

课后跟踪训练（二十七）

基础巩固练

一、选择题

1.在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°，C点的俯角是70°，则∠BAC等于（　　）

A．10°B．50°

C．120°D．130°

[解析]　由已知∠BAD＝60°，∠CAD＝70°，

∴∠BAC＝60°＋70°＝130°.故选D.

[答案]　D

2．如图所示，B，C，D三点在地面同一直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别为β和α（α<β），则A点距地面的高AB等于（　　）

A.

B.

C.

D.

[解析]　由AB＝ACsinβ，＝＝，得AB＝.故选A.

[答案]　A

3．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为（　　）

A.海里/小时B．34海里/小时

C.海里/小时D．34海里/小时

[解析]　如图所示，在△PMN中，＝，

∴MN＝＝34，

∴v＝＝（海里/小时）．故选A.

[答案]　A

4．张晓华同学骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是（　　）

A．2kmB．3kmC．3kmD．2km

[解析]　画出示意图如图，

由条件知AB＝24×＝6.在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝6，∠ASB＝75°－30°＝45°.由正弦定理知＝，所以BS＝＝3.故选B.

[答案]　B

5.（2019·河北衡水中学调研）如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60m，则该建筑物的高度为（　　）

A．（30＋30）mB．（30＋15）m

C．（15＋30）mD．（15＋15）m

[解析]　在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60，sin15°＝sin（45°－30°）＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝.

由正弦定理得PB＝＝30（＋），

∴建筑物的高度为PBsin45°＝30（＋）×＝（30＋30）m.故选A.

[答案]　A

二、填空题

6．一船以每小时15km的速度向正东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km.

[解析]　如图所示，依题意有：

AB＝15×4＝60，∠MAB＝30°，

∠AMB＝45°，

在△AMB中，

由正弦定理得＝，

解得BM＝30（km）．

[答案]　30

7.（2018·宁夏银川一中月考）如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为________m.

[解析]　由正弦定理得＝，

∴AB＝＝＝50，故A，B两点的距离为50m.

[答案]　50

8．（2019·江西宜春丰城中学第二次段考）某工厂实施煤改电工程防治雾霾，欲拆除高为AB的烟囱，测绘人员取与烟囱底部B在同一水平面内的两个观测点C，D，测得∠BCD＝75°，∠BDC＝60°，CD＝40米，并在点C处的正上方E处观测顶部A的仰角为30°，且CE＝1米，则烟囱高AB＝________米．

[解析]　∠CBD＝180°－∠BCD－∠BDC＝45°，

在△CBD中，根据正弦定理得BC＝＝20，

∴AB＝1＋tan30°·CB＝1＋20（米）．

[答案]　1＋20

三、解答题

9.港口A北偏东30°方向的C处有一检查站，港口正东方向的B处有一轮船，距离检查站为31海里，该轮船从B处沿正西方向航行20海里后到达D处观测站，已知观测站与检查站距离21海里，问此时轮船离港口A还有多远？

[解]　在△BDC中，BC＝31，BD＝20，CD＝21，由余弦定理知，cos∠CDB＝＝－，∴sin∠CDB＝.

∴sin∠ACD＝sin＝sin∠CDBcos－cos∠CDBsin＝.

在△ACD中，由正弦定理知＝⇒AD＝×21÷＝15.

∴此时轮船距港口还有15海里．

10．某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40m后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30°，求塔高．

[解]　如图所示，某人在C处，AB为塔高，他沿CD前进，CD＝40，此时∠DBF＝45°，过点B作BE⊥CD于E，则∠AEB＝30°，

在△BCD中，CD＝40，∠BCD＝30°，∠DBC＝135°，

由正弦定理，得＝，

所以BD＝＝20（m）．

因为∠BDE＝180°－135°－30°＝15°，

所以在Rt△BED中，

BE＝DBsin15°＝20×＝10（－1）（m）．

在Rt△ABE中，∠AEB＝30°，

所以AB＝BEtan30°＝（3－）（m）．

故所求的塔高为（3－）m.

能力提升练

11．（2019·湖南衡阳一模）如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度（单位：

km）：

AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，且∠B与∠D互补，则AC的长为（　　）

A．7kmB．8km

C．9kmD．6km

[解析]　在△ABC中，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB，即AC2＝25＋64－2×5×8cosB＝89－80cosB.在△ADC中，由余弦定理，得AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcosD，即AC2＝25＋9－2×5×3cosD＝34－30cosD.因为∠B与∠D互补，所以cosB＝－cosD，所以－＝，解得AC＝7（km），故选A.

[答案]　A

12．某人在C点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为（　　）

A．15米B．5米C．10米D．12米

[解析]　如图，设塔高为h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，则OC＝OA＝h.

在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，

则OD＝h，

在△OCD中，∠OCD＝120°，CD＝10，

由余弦定理得：

OD2＝OC2＋CD2－2OC·CDcos∠OCD，

即（h）2＝h2＋102－2h×10×cos120°，

∴h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5（舍）．故选C.

[答案]　C

13.（2019·广东省五校协作体高三一诊）如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC＝15°，沿山坡前进50m到达B处，又测得∠DBC＝45°，根据以上数据可得cosθ＝________.

[解析]　由∠DAC＝15°，∠DBC＝45°可得∠BDA＝30°，∠DBA＝135°，∠BDC＝90°－（15°＋θ）－30°＝45°－θ，由内角和定理可得∠DCB＝180°－（45°－θ）－45°＝90°＋θ，根据正弦定理可得＝，即DB＝100sin15°＝100×sin（45°－30°）＝25（－1），又＝，即＝，得到cosθ＝－1.

[答案]　－1

14．（2018·武汉联考）如图，有两条夹角为60°的公路AB，AC经过村庄A，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，并在两条公路边上分别建仓库M，N（异于村庄A），要求PM＝PN＝MN＝2（单位：

千米）．记∠AMN＝θ.

（1）将AN，AM用含θ的关系式表示出来；

（2）如何设计（即AN，AM为多长时），使得工厂产生的噪音对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离AP最大）?

[解]　

（1）在△AMN中，易得∠ANM＝120°－θ，

由正弦定理得＝＝，

又MN＝2，

所以AN＝sinθ，AM＝sin（120°－θ）＝sin（θ＋60°）．

（2）在△AMP中，由余弦定理得

AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cos∠AMP

＝sin2（θ＋60°）＋4－sin（θ＋60°）cos（θ＋60°）

＝[1－cos（2θ＋120°）]－sin（2θ＋120°）＋4

＝－[sin（2θ＋120°）＋cos（2θ＋120°）]＋

＝－sin（2θ＋150°），θ∈（0°，120°）．

当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，工厂产生的噪音对居民的影响最小，此时AN＝AM＝2千米．

拓展延伸练

15.某观测站C在目标A的南偏西25°方向，从A出发有一条南偏东35°走向的公路，在C处测得与C相距31km的公路B处有一个人正沿着此公路向A走去，走20km到达D，此时测得CD距离为21km，若此人必须在20分钟内从D处到达A处，则此人的最小速度为（　　）

A．30km/hB．45km/h

C．14km/hD．15km/h

[解析]　由已知得∠CAB＝25°＋35°＝60°，BC＝31，CD＝21，BD＝20，可得cosB＝＝＝，那么sinB＝，

于是在△ABC中，AC＝＝24，

在△ABC中，BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos60°，即312＝242＋AB2－24AB，解得AB＝35或AB＝－11（舍去），因此AD＝AB－BD＝35－20＝15.

故此人在D处距A处还有15km，若此人必须在20分钟，即小时内从D处到达A处，则其最小速度为15÷＝45（km/h）．故选B.

[答案]　B

16.（2019·武汉武昌区调研）如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600km处的热带风暴中心正以20km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450km以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为（　　）

A．14hB．15hC．16hD．17h

[解析]　记现在热带风暴中心的位置为点A，t小时后热带风暴中心到达B点位置，在△OAB中，OA＝600，AB＝20t，∠OAB＝45°，根据余弦定理得OB2＝6002＋400t2－2×20t×600×，令OB2≤4502，即4t2－120t＋1575≤0，解得≤t≤，所以该码头将受到热带风暴影响的时间为－＝15（h），故选B.

[答案]　B