人教版八下数学202 数据的波动程度 课时1 方差教案+学案.docx
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人教版八下数学202数据的波动程度课时1方差教案+学案
人教版八年级下册数学第20章数据的分析
20.2数据的波动程度
课时1方差教案
【教学目标】
知识与技能目标
1．了解方差的定义和计算公式；
2．理解方差概念的产生和形成的过程；
3．理解方差的意义，会用方差计算公式来计算一组数据的方差．
4．能够运用方差判断数据的波动程度，并解决简单的实际问题．
过程与方法目标
经历探索方差概念的产生和形成的过程,体会数据波动中的方差的求法,积累统计经验．
情感、态度与价值观目标
培养学生的统计意识,形成尊重事实、用数据说话的态度,认识数据处理的实际意义．
【学习重点】
理解方差的意义，会计算一组数据的方差．
【学习难点】
运用方差判断数据的波动程度，并解决简单的实际问题．
【教学准备】
教师准备：
教学中所有的例题和图表资料．
学生准备：
预习本节教材内容，并完成本节学案中的自主学习内容.
【教学过程设计】
一、情境导入
在生活和生产实际中，我们除了用平均数、中位数和众数来描述一组数据的集中程度外，有时需要了解一组数据的离散程度．
乒乓球的标准直径为40mm，质检部门对甲、乙两厂生产的乒乓球的直径进行检测．
甲、乙两厂生产的乒乓球中各抽样调查了10只，检测的结果如下（单位：
mm）：
甲厂：
40.0，40.1，39.9，40.0，39.8，40.2，40.0，40.1，40.0，39.9；
乙厂：
40.1，39.8，39.9，40.3，39.8，40.2，40.1，40.2，39.7，39.9.
你认为哪个厂生产的乒乓球的直径与标准的误差更小呢？
二、合作探究
知识点一：
方差的计算
【类型一】根据数据直接计算方差
例1为了从甲、乙两名同学中选拔一个射击比赛，对他们的射击水平进行了测验，两个在相同条件下各射击10次，命中的环数如下（单位：
环）：
甲：
7，8，6，8，6，5，9，10，7，4
乙：
9，5，7，8，6，8，7，6，7，7
（1）求x甲，x乙，s
，s
；
（2）你认为该选择哪名同学参加射击比赛？
为什么？
解析：
方差就是各变量值与其均值差的平方的平均数，根据方差公式计算即可，所以计算方差前要先算出平均数，然后再利用方差公式计算．
解：
（1）x甲＝（7＋8＋6＋8＋6＋5＋9＋10＋7＋4）÷10＝7，s
＝[（7－7）2＋（8－7）2＋（6－7）2＋（8－7）2＋（6－7）2＋（5－7）2＋（9－7）2＋（10－7）2＋（7－7）2＋（4－7）2]÷10＝3，x乙＝（9＋5＋7＋8＋6＋8＋7＋6＋7＋7）÷10＝7，s
＝[（9－7）2＋（5－7）2＋（7－7）2＋（8－7）2＋（6－7）2＋（8－7）2＋（7－7）2＋（6－7）2＋（7－7）2＋（7－7）2]÷10＝1.2；
（2）∵s
＞s
，∴乙的成绩稳定，选择乙同学参加射击比赛．
方法总结：
用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果就是方差．
【类型二】已知原数据的方差，求新数据的方差
例2已知数据x1，x2，x3，…，x20的平均数是2，方差是
，则数据4x1－2，4x2－2，4x3－2，…，4x20－2的平均数和方差是（ ）
A．2，
B．4，4 C．6，
D．6，4
解析：
∵x＝
（x1＋x2＋x3＋…＋x20）＝2，x新＝
（4x1－2＋4x2－2＋4x3－2＋…＋4x20－2）＝6；s2＝
[（x1－2）2＋（x2－2）2＋（x3－2）2＋…＋（x20－2）2]＝
，s
＝
[（4x1－2－6）2＋（4x2－2－6）2＋（4x3－2－6）2＋…＋（4x20－2－6）2]＝
×16＝4.故选D.
方法总结：
掌握数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，即数据的波动情况不变，平均数也加或减这个数；当乘以一个数时，方差变成这个数的平方倍，平均数也乘以这个数是本题的关键．
【类型三】根据统计图表判断方差的大小
例3如图是2014年1～12月份某市居民消费价格指数、工业产品出厂价格指数以及原材料等购进价格指数的折线统计图．由统计图可知，三种价格指数方差最小的是（ ）
A．居民消费价格指数
B．工业产品出厂价格指数
C．原材料等购进价格指数
D．不能确定
解析：
从折线统计图中可以明显看出居民消费价格指数的波动最小，故方差最小的是居民消费价格指数．故选A.
方法总结：
折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．
知识点二：
由方差判断数据的波动程度
例4为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中抽取10株麦苗，测得苗高如下（单位：
cm）：
甲：
12，13，14，13，10，16，13，13，15，11
乙：
6，9，7，12，11，16，14，16，20，19
（1）将数据整理，并通过计算后把下表填全：
小麦
中位数
众数
平均数
方差
甲
13
13
乙
16
21
（2）选择合适的数据代表，说明哪一种小麦长势较好．
解析：
（1）中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）；出现次数最多的这个数即为这组数据的众数；
（2）方差越小，数据越稳定，小麦长势较好．
解：
（1）将数据整理如下：
甲
10
11
12
13
13
13
13
14
15
16
乙
6
7
9
11
12
14
16
16
19
20
所以：
小麦
中位数
众数
平均数
方差
甲
13
13
13
2.8
乙
13
16
13
21
（2）因为甲种小麦苗高的方差远小于乙种小麦苗高的方差，故甲种小麦苗高整齐，而两种小麦苗高的中位数和平均数相同，故甲种小麦长势较好．
方法总结：
平均数表示一组数据的平均程度；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
三、教学小结
师生共同回顾本节课所学主要内容:
方差是衡量一组数据波动大小的特征数.
设有n个数据
及它们的平均数
，则
的方差为
s2=.
“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果就是方差．
本章是用方差比较两组数据的波动大小,值得注意的是,只有当两组数据的平均数相等或接近时,才能采用这种方法.
【板书设计】
20.2数据的波动程度
课时1方差
1．方差的概念
2．方差的计算公式
3．例题讲解
例1 例2
【课堂检测】
1.小李和小林练习射箭,射完10箭后两人的成绩如图所示,通常新手的成绩不太稳定,根据图中的信息,估计这两人中的新手是 .
解析:
从图象上观察,小林的波动比较小,说明小林的成绩稳定;小李的波动比较大,说明小李的成绩不稳定,应该是一个新手.故填小李.
2.跳远运动员李刚对训练效果进行测试,6次跳远的成绩如下:
7.6,7.8,7.7,7.8,8.0,7.9（单位:
m）,这6次成绩的平均数为7.8,方差为.如果李刚再跳两次,成绩分别为7.7,7.9,则李刚这8次跳远成绩的方差 .（填“变大”“不变”或“变小”）
解析:
这8次成绩的平均数为7.8m,根据方差公式计算s2=<,所以李刚8次跳远成绩的方差变小了.故填变小.
3.甲、乙两种水稻实验品种连续5年的平均单位面积产量如下表（单位:
吨/公顷）:
品种
第1年
第2年
第3年
第4年
第5年
甲
9.8
9.9
10.1
10
10.2
乙
9.4
10.3
10.8
9.7
9.8
经计算,x甲=10,x乙=10,试根据这组数据估计 种水稻品种的产量比较稳定.
解析:
因为x甲=10,x乙=10
甲种水稻产量的方差是：
×[（9.8-10）2+（9.9-10）2+（10.1-10）2+（10-10）2+（10.2-10）2]=0.02,
乙种水稻产量的方差是：
×[（9.4-10）2+（10.3-10）2+（10.8-10）2+（9.7-10）2+（9.8-10）2]=0.244,
0.02＜0.244
所以甲种水稻品种的产量比较稳定.故填甲.
[设计意图] 再次强化方差的定义和应用范围,让学生进一步体会“知识来源于实践”,同时学生的思路得以拓展.
【教学反思】
成功之处：
这节课的教学，让我深刻的体会到只要我们充分相信学生，给学生以最大的自主探索空间，让学生经历数学知识的探究过程，这样既能让学生自主获取数学知识与技能，而且还能让学生达到对知识的深层次理解，更主要的是能让学生在探究过程中学习科学研究的方法，从而增强学生的自主意识，培养学生的探索精神和创新思维.
不足之处：
学生对于方差公式的理解不是特别到位,特别对于方差公式的得到有疑问.
再教设计：
加强对方差公式的讲解,告诉学生为什么利用这个公式可以更好地表示数据的波动大小.
人教版八年级下册数学第20章数据的分析
20.2数据的波动程度
课时1方差学案
【学习目标】
1．理解方差的概念及统计学意义；
2．会计算一组数据的方差；
3．能够运用方差判断数据的波动程度，并解决简单的实际问题．
【学习重点】
理解方差的意义，会计算一组数据的方差．
【学习难点】
运用方差判断数据的波动程度，并解决简单的实际问题．
【自主学习】
一、知识链接
1.在前面你已经学过哪些统计量，它们各有何特点？
2.如何求一组数据的平均数？
平均数在反映数据的整体水平有什么局限性？
二、新知预习
1.刘教练到我班选拔一名篮球队员，刘教练对陈方楷和李霖东两名学生进行5次投篮测试，每人每次投10个球，下图记录的是这两名同学5次投篮中所投中的个数.
队 员
第 1次
第2次
第3次
第4次
第5次
李霖东
7
8
8
8
9
陈方楷
10
6
10
6
8
（1）请求出以上两组数据的平均数、中位数、众数；
（2）用复式折线统计图表示上述数据；
（3）若要选一个投篮稳定的队员，选谁更好？
2.自主归纳：
（1）统计中，常用来衡量一组数据的波动大小；
（2）设有n个数据
，各数据与它们的平均数
的差的平方分别是
，我们用它们的平均数，表示这组数据的方差，即用s2=来表示.
三、自学自测
1.计算下列各组数据的方差：
（1）666666；
（2）556677.
2.五个数1，3，a，5，8的平均数是4，则a=_____，这五个数的方差_____.
四、我的疑惑
【新知探究】
知识点1：
方差的意义
问题1：
农科院计划为某地选择合适的甜玉米种子．选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是农科院所关心的问题．为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，农科院各用10块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量（单位：
t）如下表．根据这些数据估计，农科院应该选择哪种甜玉米种子呢？
（1）甜玉米的产量可用什么量来描述？
请计算后说明．
（2）如何考察一种甜玉米产量的稳定性呢？
①请设计统计图直观地反映出甜玉米产量的分布情况．
②请利用方差公式分析甲、乙两种甜玉米的波动程度．
要点归纳
1.方差用来衡量一组数据的（即这组数据偏离的大小）.
2.方差越大，数据的波动；方差越小，数据的波动．
知识点2：
方差的简单应用
问题2：
在这次篮球联赛中,最后是九班和三班争夺这次篮球赛冠军,赛前两个班的拉拉队都表演了啦啦操,参加表演的女同学的身高（单位:
cm）分别是：
九班163163165165165166166167
三班163164164164165166167167
哪班啦啦操队女同学的身高更整齐?
（1）你是如何理解“整齐”的？
（2）从数据上看，你是如何判断那个队更整齐？
问题3：
已知数据x1、x2、…、xn的平均数为
，方差为s2.
（1）x1+b、x2+b、…、xn+b的平均数为，方差为；
（2）ax1、ax2、…、axn的平均数为，方差为；
（3）ax1+b、ax2+b、…、axn+b的平均数为，方差为.
【跟踪练习】
1.用条形图表示下列各组数据，计算并比较它们的平均数和方差，体会方差是怎样刻画数据的波动程度的.
（1）3346899；
（2）3336999.
2.如图是甲、乙两射击运动员的10次射击训练成绩的折线统计图．观察图形，甲、乙这10次射击成绩的方差哪个大？
3.甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，参赛学生每分钟输入汉字的个数统计结果如下表：
班级
参加人数
中位数
方差
平均数
甲
55
149
191
135
乙
55
151
110
135
某同学分析上表后得出如下结论：
①甲、乙两班学生成绩平均水平相同；②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字≥150个为优秀）；③甲班成绩的波动比乙班大.上述结论正确的有.
二、学习总结
方差
方差的概念
设有n个数据
及它们的平均数
，则
的方差为
s2=.
方差的意义
（1）方差用来衡量一组数据的（即这组数据偏离的大小）.
（2）方差越大，数据的波动；方差越小，数据的波动．
【学习检测】
1.样本方差的作用是（）
A.表示总体的平均水平
B.表示样本的平均水平
C.准确表示总体的波动大小
D.表示样本的波动大小,从而估计总体的波动大小
2.人数相同的八年级
（1）、
（2）两班学生在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差下：
，
，则成绩较为稳定的班级是（）
A.甲班B.乙班C.两班成绩一样稳定D.无法确定
3.甲、乙、丙、丁四位选手各射击10次,每人的平均成绩都是9.3环,方差如下表:
选手
甲
乙
丙
丁
方差
0.035
0.016
0.022
0.025
则这四人中成绩发挥最稳定的是 （ ）
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
B（解析:
方差越小越稳定,0.016<0.022<0.025<0.035,所以乙发挥最稳定.）
4.数据4,2,6的中位数和方差分别是 （ ）
A.2，
B.4，4 C.4，
D.4，
C（解析:
从小到大排列为2,4,6,中位数是4,因为平均数是（2+4+6）÷3=4,
所以方差为
×[（2-4）2+（4-4）2+（6-4）2]=
.）
5.如果一组数据x1,x2,…,xn的方差是4,则另一组数据x1+3,x2+3,…,xn+3的方差是 （ ）
A.4 B.7 C.8 D.19
A（解析:
设一组数据x1,x2,…,xn的平均数为,则方差为
s2=[（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]=4;
而另一组数据x1+3,x2+3,…,xn+3的平均数是+3,
此时相应的方差为s'2={[（x1+3）-（+3）]2+[（x2+3）-（+3）]2+…+[（xn+3）-（+3）]2}
=[（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]=4.
故选A.）
6.小凯同学参加数学竞赛训练，近期的五次测试成绩得分情况如图所示，则他这五次成绩的方差为．
7.在样本方差的计算公式
中，数字10表示___________，数字20表示_______.
8.五个数1，3，a，5，8的平均数是4，则a=_____，这五个数的方差_____.
9.如图所示的是甲、乙两人在一次射击比赛中击中靶的情况（击中靶中心的圆面为10环,靶中各数字表示该数所在圆环被击中所得的环数）,每人射击了6次.
（1）请用列表法将他们的射击成绩统计出来;
（2）请你用学过的统计知识,对他们的这次射击情况进行比较.
【分析】此题考查了学生用列表法分析数据的能力；比较数据可以从平均成绩分析，可得谁的成绩好些，可以分析数据的方差，可得谁的成绩稳定些．
解:
（1）列表如下:
环数
6
7
8
9
10
甲命中环数
0
0
2
2
2
乙命中环数
0
1
0
3
2
（2）
甲=9环，
乙=9环，S甲2=
，S乙2=1，
∵
甲=
乙，S甲2＜S乙2，
∴甲与乙的平均成绩相同，但甲发挥得比乙稳定．
【点评】此题考查了学生对数据的分析能力，重点考查了列表法；此题还考查了学生求平均数与方差的能力．
10.为了从甲、乙两名学生中选择一人去参加电脑知识竞赛，在相同条件下对他们的电脑知识进行10次测验，成绩（单位：
分）如下：
甲的成绩
76
84
90
84
81
87
88
81
85
84
乙的成绩
82
86
87
90
79
81
93
90
74
78
（1）填写下表：
同学
平均成绩
中位数
众数
方差
85分以上的频率
甲
84
84
0.3
乙
84
84
34
（2）利用以上信息，请从不同的角度对甲、乙两名同学的成绩进行评价.
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