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数学笔记

二专题学习

数学课程的理念与目标（若干关键词）

　　专题一标准的基本理念

　　数学课程标准的基本理念反映出教师对数学课程、数学课程内容、数学教学以及评价等方面应具有的基本认识、观念和态度，它是制定和实施数学课程的指导思想。

《课程标准》中的每一部分内容都要贯穿基本理念的思想和要求。

同时，教师作为课程的实施者，更应自觉地以基本理念为指导树立正确的数学教育观念，并用以指导自己的教学实践活动。

　　1.数学课程的核心理念

　　《课程标准》提出：

“数学课程应致力于实现义务教育阶段的培养目标，要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使得人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。

”《纲要》提出：

“把育人为本作为教育工作的根本要求。

”要“关心每个学生，促进每个学生主动地、生动活泼地发展，尊重教育规律和学生身心发展规律，为每个学生提供适合的教育。

”显然，《课程标准》所提出的上述理念与《纲要》的要求是一致的，课程改革走到今天，越来越清楚地表明，《课程标准》的基本出发点就是以学生发展为本,以把“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”视为数学课程的核心理念。

理解“人人都能获得良好的数学教育”的核心理念，重点要掌握以下几点。

　　⑴不同的人在数学上应得到不同的发展。

⑵良好的数学教育对于学生来说是适宜的、满足发展需求的教育。

⑶良好的数学教育是全面实现育人目标的教育。

⑷良好的数学教育是促进公平、注重质量的教育。

　　⑸良好的数学教育是促进学生可持续发展的教育。

　　2.数学课程内容的选择与组织

　　⑴正确认识数学课程的内容与选择。

　　⑵妥善处理数学课程内容组织上的几个关系。

正如《纲要》所指出的：

要改变课程内容“过于注重书本知识的现状，加强课程内容与学生生活以及现代社会和科技发展的联系，关注学生的学习兴趣和经验。

”

　　3.数学教学的认识

　　⑴关于数学教学本质的基本看法。

数学教学是对数学课程的具体实施，是为达成一定的数学课程目标、在特定的环境条件之下所展开的的教学活动。

这一活动有如下本质特征：

教师是学习的组织者、引导者和合作者。

　　⑵明确数学教师在课堂教学中最需要做的事，即在数学课堂教学中，教师最应该下功夫的“点”在什么地方，什么是最需要去做的事。

一是“激发学生的兴趣”，二是“引发数学思考”三是“培养学生良好的数学学习习惯”，四是“使学生掌握恰当的数学学习方法”

　　⑶明确学生在数学学习中所应有的学习过程，。

　　⑷发挥教师的主导作用，即教师要坚持面向全体、因材施教、注重启发式教学，要妥善处理好讲授和学生自主学习的关系。

　　4.数学课程的教学设计

　　数学课程的设计是保证此次课程改革顺利实施的重要途径。

数学课程的教学设计主要从以下几方面着手。

　　⑴对数学课程作整体性、贯通式设计。

　　⑵关于数学课程目标的设计。

首先，要使教师理解课程目标的定位。

其次，要使教师理解《课程标准》中的数学课程目标是一个具有层次结构的目标体系，。

再次，要使教师理解数学课程目标陈述的基本方式。

　　⑶关于数学课程内容标准的设计。

专题二标准的目标解析

（一）

　　　　《课程标准》中的课程目标的核心是三个“应该”、四个“围绕”、四个“了解”。

三个“应该”，是数学课程、学生学习和教师教学应该达成的目标。

四个“围绕”，是教材编写﹑教师教学﹑学生学习和学习评价都要围绕课程目标来进行。

四个“了解”，课程目标主要是给教育行政部门的领导、教材的编写者和数学教师去看的，让他们了解义务教育阶段数学课程设置的目的是什么，数学教学活动有哪些教育意义，数学课堂应当是怎么样的，数学学习将使学生有什么收获

　　《课程标准》的课程目标，是从学生的角度来阐述上述问题，来表述本课程打算让学生达到的目标。

因此，表述时常常会有“通过数学学习，学生能够”这样的语句，这体现了学生在教学中的主体地位。

　　《课程标准》把“课程目标”分成“总目标”“总目标的四个具体方面”以及“学段目标”三个部分。

“总目标”带有全局性、方向性、指导性；“总目标的四个具体方面”，即知识技能、数学思考、问题解决、情感态度这四个方面，也可以称为数学课程的四个具体目标。

《课程标准》中对数学课程的“总目标”表述为三点：

一是获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。

二是体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。

三是了解数学的价值，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的学习习惯，具有初步的创新意识和科学态度。

数学课程“总目标”的表述，言简意赅，即结合数学教学的特点，分别从获得“四基”、增强能力、培养科学态度的角度，用明确区分又相互联系的三句话表述，又体现了《纲要》中规定的三维目标，也体现了素质教育和全面育人的思想。

下面对这三点进行具体分析。

　　1.获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验

（1）保留数学的基础知识和基本技能的原因。

（2）发展为“数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”的三点理由。

一是因为“双基”仅仅涉及上述三维目标中的一个目标，二是因为有些教师片面地理解双基，往往在实施当中见物不见人，而教学必须是以人为本，所以增加数学思想和活动经验就是直接与人相关。

三是因为虽然双基是培养创新性人才的基础，但是创新性人才不能仅仅靠熟练掌握已有的知识和技能来培养，思维训练和积累经验等也十分重要。

　　（3）明确获得数学基本思想的内涵。

　　　　（4）获得数学基本活动经验的理解。

　　（5）“数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”是一个有机的整体，是互相联系、互相促进的。

　　2.体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系；运用数学的思维方式进行思考；增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力

　　本目标主要从以下几方面进行理解。

（1）体会数学这三个方面的相互联系。

（2）学会运用数学的思维方式进行思考。

学会思考的重要性不亚于学会知识，它将使学生终生受益。

　　（3）增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。

《课程标准》围绕关键词——“问题”，表述“增强能力”的课程目标，一句是发现问题和提出问题”，另一句是“分析问题和解决问题”。

　　3.了解数学的价值，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心；养成良好的学习习惯，具有初步的创新意识和科学态度

　　这里集中地谈到学生通过数学学习在“情感态度与价值观”方面的提高。

主要从以下几方面理解。

（1）了解数学的价值，提高学生学习数学兴趣。

（2）养成良好的数学学习习惯和科学态度。

良好的学习习惯包括：

认真对待学习，勤奋刻苦，积极参与探究．　　（3）创新意识和科学态度。

。

　　以上这些“情感态度与价值观”方面的课程目标，不能脱离“知识与技能”的载体单独地传授，空洞地讲解。

教师应该善于把这些课程目标融人教学过裎中去实现，并且主动地、每时每刻地关注这些课程目标的实现。

专题三标准的目标解析

（二）

　　具体目标是对总目标的具体化，教师只有认识到具体目标的四个方面及四个方面的相互关系，才能更好地理解总目标。

　　1.具体目标的四个方面

（1）知识技能。

《课程标准》在这里分以下4点表述。

　　·经历数与代数的抽象、运算与建模等过程，掌握数与代数的基础知识和基本技能。

　　·经历图形的抽象、分类、性质探讨、运动、位置确定等过程，掌握图形与几何的基础知识和基本技能。

　　·经历在实际问题中收集和处理数据、利用数据分析问题、获取信息的过程，掌握统计与概率的基础知识和基本技能。

　　·参与综合实践活动，积累综合运用数学知识、技能和方法等解决简单问题的数学活动经验。

　　知识技能就是以前所说的“双基”，即基础知识和基本技能，

（2）数学思考。

《课程标准》中分以下4点表述。

　　·建立数感、符号意识和空间观念，初步形成几何直观和运算能力，发展形象思维与抽象思维。

　　·体会统计方法的意义，发展数据分析观念，感受随机现象。

　　·在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达白己的想法。

　　·学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式。

　　（3）问题解决。

《课程标准》中分以下4点表述。

　　·初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。

　　·获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识。

　　·学会与他人合作交流。

　　·初步形成评价与反思的意识。

　　“问题解决”这一短语与“解决问题”不完全相同，它不但是一种教学方式，是展开课程内容的一种有效形式，也是学生应该掌握的学习形式和应该具备的能力，也是课程目标。

　　（4）情感态度。

《课程标准》中分以下5点表述。

　　·积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲。

　　·在数学学习过程中，体验获得成功的乐趣，锻炼克服困难的意志，建立自信心。

　　·体会数学的特点，了解数学的价值。

　　·养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯。

　　·形成坚持真理、修正错误、实事求是、严谨求实的科学态度。

　　　　2.具体课程目标四个方面的关系

　　在《课程标准》中，当叙述了数学课程在知识技能、数学思考、问题解决、情感态度四个方面的具体目标后指出，这四个方面不是相互独立和割裂的，而是一个密切联系、相互交融的有机整体。

（1）这四个方面是密切联系的整体。

（2）教学中应同时兼顾这四个方面的目标。

　　（3）四个方面目标的整体实现是“学生受到良好数学教育的标志”。

　　（4）四个方面目标是互相促进的。

“数学思考、问题解决、情感态度的发展离不开知识技能的学习，知识技能的学习必须有利于其他三个目标的实现。

”

　　3.数学课程的学段目标

　　“学段目标”分三个学段来阐述课程在知识技能、数学思考、问题解决、情感态度四个方面的具体目标。

（1）知识技能方面。

“经历”“体会”“感受”“体验”“探索”等表达过程目标的行为动词，

（2）数学思考方面。

　　（3）问题解决方面。

下面仅以发现问题、提出问题和初步地解决问题方面为例进行分析。

　　（4）情感态度方面。

　　从以上可以看到，《课程标准》在关于三个学段的学段目标中，对于具体目标的每一方面的表述，都照顾到各个学段学生的年龄心理特点，体现了层层深入、步步提高的意图，也反映了课程内容螺旋式上升的思路。

这是符合学生的认识规律的。

专题四标准中的核心概念

（一）

　　　　为什么提出核心概念？

主要是由于在研制课程标准的过程中，感觉在数学教学中，应该凸显一些在整个数学教学中最重要的东西，那么用什么样的方式，把这些最重要的东西凸显出来？

经过认真思考、讨论，一致认为应该用一些核心词或者叫做核心概念来体现，最后确定为核心概念。

　　　《课程标准》对每一个核心概念都作出了较为明确的阐述，这有助于教师更好地把握课程目标、深刻理解课程内容，同时对于数学课程内容的选择和教学方法的改革也有重要的指导意义。

下面就对这些核心概念逐一解释。

　　1.应用意识

　　⑴掌握《课程标准》中数学应用意识的含义。

　　⑵明确培养学生应用意识的意义。

　　⑶如何培养学生的应用意识。

　　2.创新意识

　　创新是21世纪出现频率最高的词汇，它已经普及几乎每一个领域，当然它也是教育领域最重要的词汇，它是这次课程改革的标志性词汇的代表。

（1）《课程标准》中的创新意识。

在《课程标准》中，创新意识是此次修改新增加的一个核心概念。

（2）如何培养学生的创新意识。

培养学生的创新意识要做到以下几点。

一是鼓励学生“质疑——发现问题和提出问题”。

二是鼓励学生“在做中积累经验”。

三是教师要带头做。

　　（3）培养创新意识应注意什么。

在教学中培养学生创新意识应该注意以下几点：

一是对学生创新意识培养应贯穿数学教学始终，二是数学教学要培养学生从“分析与解决问题”到“发现与提出问题”，三是数学教学要培养学生在日常教与学中不断积累经验，即结合他们生活经验，

　　3.数感

（1）什么是数感？

“数感”一词的英文表述为“NumberSense”，可翻译为多种意思，如感觉、感官、理念、意识、领悟等。

（2）如何培养学生的数感。

数感既然是对数的一种感悟，它就不会像知识、技能的习得那样立竿见影，它需要教师在教学中潜移默化，积累经验，经历一个逐步建立、发展的过程。

具体做法是如下。

　　第一，重视低学段学生对数的感觉的建立，并在数感培养上处理好阶段性和发展性的关系。

　　第二，紧密结合现实生活情境和实例，培养学生的数感。

　　第三，让学生多经历有关数的活动过程，逐步积累数感经验。

专题五标准中的核心概念

（二）

　　4.符号意识

　　符号对于数学来说是特有的。

它既是数学的语言，也是数学的工具，更是数学的方法。

数学符号的功能特性是多方面的：

它具有抽象性，它具有明确性它具有可操作性，　　

（1）什么是符号意识。

从一般意义上说，所谓符号就是针对具体事物对象而抽象概括出来的一种简略的记号或代弓。

数字、字母、图形、关系式等构成了数学的符号系统。

（2）《课程标准》中对符号意识的表述。

《课程标准》对符号意识的表述有以下几层意思。

　　第一，能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律，即能够理解符号所表示的意义与能够运用符号去表示数学对象　　第二，知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。

　　第三，使学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。

　　　　5.空间观念

（1）什么是空间观念。

关于空间观念的含义，也可理解为空间想象力。

观念。

空间观念至少反映了如下的5个方面的要求：

一是由形状简单的实物抽取出空间图形；二是由空间图形反映出实物；三是由复杂图形中分解出简单的、基本的图形；四是由基本的图形中寻找出基本元素及其关系；五是由文字或符号作出或画出图形。

（2）建立培养学生空间观念的意义。

对于学生来说，发展牢固的空间关系的观念，掌握几何的概念和语言，可以较好地为学习数和度量概念做准备，还可以促进其他数学课程的进一步学习。

　　（3）《课程标准》中关于空间观念所包含的内容。

　　（4）如何培养学生的空间观念。

主要有以下几方面。

　　第一，现实问题情境和学生经验是发展空间观念的基础。

　　第二，利用多种途径建立培养学生的空间观念。

　　第三，在学生的思考、想象过程中建立培养空间观念。

　　6.几何观念

（1）什么是几何直观。

顾名思义，几何直观所指有两点：

一是几何，在这里几何是指图形；二是直观，

（2）几何直观的作用。

正如前面所指出的，图形有助于发现、描述问题，有助于探索、发现解决问题的思路，也有助于我们理解和记忆得到的结果，学会用图形思考、想象问题能使我们更好地感知数学、领悟数学。

　　（3）如何培养学生的几何直观。

一是在教学中让学生逐步养成画图习惯，。

二是重视变换——让图形动起来，三是学会从“数”与“形”两个角度相结合认识数学，四是掌握、运用一些基本图形解决实际问题，

专题六标准中的核心概念（三）

　　7.数据分析观念

（1）什么是数据分析观念。

在《课程标准》中，将数据分析观念解释为：

“了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析做出判断，体会数据中蕴涵着信息；了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性，一方面，对于同样的事情每次收集到的数据可能不同；另一方面，只要有足够的数据就可能从中发现规律。

数据分析是统计的核心。

”

（2）数据分析观念的要求。

课程标准对数据分析观念的要求主要表现在三方面。

　　第一，体会在数据中蕴涵着的信息。

　　第二，根据问题的背景选择合适的方法。

　　第三，通过数据分析体验随机性。

　　8.运算能力

　　运算是数学的重要内容，在义务教育阶段的数学课程的各个学段中，运算都占有很大的比重。

学生在学习数学的过程中，要花费较多的时间和精力去学习和掌握关于各种运算的知识及技能。

。

（1）什么是运算能力。

根据一定的数学概念、法则和定理，由一些已知量,通过计算得出确定结果的过程，称为运算。

（2）运算能力的特征。

运算的正确、灵活、合理和简洁是运算能力的主要特征。

　　（3）要充分重视估算。

　　（4）运算能力的培养与发展。

运算能力的培养、发展要经历如下几个过程。

　　第一，由具体到抽象。

　　第二，由法则到算理。

　　第三，由单向思维到逆向、多向思维

　　运算也是一种推理，在实施运算分析和解决问题的过程中，“由因导果”和“执果索因”的推理模式也是经常要用到的，表现为有效探索运算的条件与结论，已知与未知的相互联系及相互转化，思维方向是互逆的，更是相辅相成的。

　　9.推理能力

　　推理在数学中具有重要的地位。

《课程标准》指出：

“推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。

”学习数学就是要学习推理。

具有一步的推理能力是培养学生数学素养的重要内容，也是数学课程和课堂教学的重要目标。

（1）什么是数学推理。

数学推理直接与命题有关。

如果从数学内部看，数学推理反映的是一种基本的数学思想，也是一种主要的数学方法。

它与数学证明紧密关联，数学推理与证明共同构成了数学的最重要的基础。

（2）《课程标准》中的推理能力。

《课程标准》中的推理能力主要指以下几点：

一是合情推理与演绎推理。

二是合情推理与演绎推理功能不同，但它们是相辅相成的。

　　　　10.模型思想

（1）什么是数学建模。

所谓数学模型，就是根据特定的研究目的，采用形式化的数学语言，去抽象地、概括地表征所研究对象的主要特征、关系所形成的一种数学结构。

（2）《课程标准》中模型思想的含义及要求。

一是模型思想是一种数学的基本思想，二是明确建立和求解模型的过程要求。

。

三是模型思想还体现在《课程标准》其它方面。

　　（3）如何培养学生的模型思想。

培养学生的模型思想主要从以下几方面着手。

　　第一，在教学中教师要逐步渗透和引导学生不断感悟。

　　第二，在教学过程中强化体验。

　　第三，通过数学建模改善学生学习方式，

六专题学习

数学课程的实施策略（重点教学与评价）

　　课堂教学是落实小学数学课程标准、达成小学数学课程目标的主要途径和基本环节。

专题一教学中如何把握“四基”

　　课程标准在课程目标中明确提出，学生要通过义务教育阶段的数学学习,能够获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。

（1）发扬“双基”的优良传统。

“双基”是“基础知识、基本技能”的简称。

（2）基础知识重在“理解和掌握”。

课程标准指出：

“学生掌握数学知识，不能依赖死记硬背，而应以理解为基础，并在知识的应用中不断巩固和深化。

”

　　（3）基本技能在“理解和掌握”中形成。

　　（4）以知识和技能为载体，感悟数学基本思想。

　　（5）在学习和掌握知识与技能的过程中注重数学基本活动经验的积累。

专题二教学中培养学生的数学思考与问题解决能力

　　1．关于数学思考与问题解决能力

　　关于数学思考,课标分4点表述：

　　●建立数感、符号意识和空间观念，初步形成几何直观和运算能力，发展形象思维与抽象思维。

　　●体会统计方法的意义，发展数据分析观念，感受随机现象。

　　●在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法。

　　●学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式。

　　　　关于问题解决也是分4点表述：

　　●初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。

　　●获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识。

　　●学会与他人合作交流。

　　●初步形成评价与反思的意识。

　　　　2．如何在教学中培养学生的数学思考与问题解决能力

　　第一、体会与数学相关的各种联系。

　　　　第二、运用数学的思维方式进行思考。

　　　　第三、增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。

　　对于培养学生的创新意识和创新精神，“发现问题和提出问题”的能力是必须的。

这是“课标”的一个新发展，同时对于数学教学是较高层次上的要求。

专题三学生的情感态度的培养与评价

义务教育数学课程的具体目标，包含“知识技能”、“数学思考”、“问题解决”、“情感态度”四方面。

　　1.将“情感态度”目标融入教学过程

　　2.在学生“合作交流”的学习情境中落实“情感态度”教学目标

　　3.重视在九个“如何”中落实“情感态度”的教学目标

　　4.以身作则感染学生

专题四把握知识技能评价的要求

　　学生基础知识和基本技能是小学数学学习的重要组成部分，对这部分内容的评价是数学学习评价改革的重要环节。

　　1.把握小学基础知识和基本技能评价的基本要求

　　理解：

描述对象的特征和由来，阐述此对象与相关对象之间的区别和联系。

　　掌握：

在理解的基础上，把对象用于新的情境。

　　运用：

综合使用已掌握的对象，选择或创造适当的方法解决问题。

　　　　2.运用适当的评价方法

　　　　3.关注学生的个别差异

专题五关注学生能力的评价

在数学教学过程中应重视培养学生多方面的能力，注重学生的情感态度的发展。

评价中也同样应体现这样的理念，重视对学生能力的评价和情感态度的评价。

能力评价和情感态度评价与知识技能评价不同，更应当注重过程性评价，在学生学习思考和解决问题的过程中，了解学生的表现。

　　1.数学思考的评价

　　数学思考是学生数学素养发展的重要标志，数学思考包括学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观等数学能力的培养，数学思考能力的提高，也体现在学生抽象推理和建模等数学思想的形成和发展过程之中。

　　2.问题解决的评价

　　问题解决是数学学习的核心，评价学生问题解决的能力是数学评价不可缺少的重要内容。

问题解决的能力包括发现问题、提出问题、分析问题和解决问题　　

3.注重学生表现性评价

　　表现性评价是基于任务的评价，可以较为全面地考查学生问题解决能力。

　　4.关注学生学习数学的能力和素养的养成

　　学生是否具有会学数学的能力和素养，直接影响学生学习数学的成效，在小学可以从下几方面评价学生数学学习的能力和素养。

专题六评价主体与方法的多元化

　　。

数学评价多样化趋势，就是认识学生个体发展的差异性和独特性，关注学生的个体差异。

　　1.评价主体的多元化

　　　　2.评价方式多样化

　　课程标准强调：

“评价方式多样化体现在多种评价方法的运用，包括书面测验、口头测验、开放式问题、活动报告、课堂观察、课后访谈、课内外作业、成长记录等， 

专题学习

数与代数内容分析与建议

　　数与代数部分是小学数学课程的重要内容。

在小学数学学习中占比例是最大的，更重要的是这部分学习内容是整个数学学习和学习其他的学科的基础，这