拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用.docx
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拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用
目
录
前言...........................................................
1
拉普拉斯变换以及性质........................................
1
1.1
拉普拉斯变换的定义.......................................................
1.2
拉普拉斯变换的性质.......................................................
2
用拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤.........................
3
拉普拉斯变换在求解常微分方程中的应用.........................
3.1
初值问题与边值问题.......................................................
3.2
常系数与变系数常微分方程
................................................
3.3
含
函数的常微分方程.....................................................
3.4
常微分方程组..............................................................
3.5
拉普拉斯变换在求解非齐次微分方程特解中的应用........................
3.6
拉普拉斯变换在求解高阶微分方程中的推行...............................
4
拉普拉斯变换在求解偏微分方程中的应用.........................
4.1
齐次与非齐次偏微分方程..................................................
4.2
有界与无界问题............................................................
5
综合比较，概括总结...........................................
结束语.........................................................
参照文件.......................................................
英文纲要.....................................................
21
道谢...........................................................
拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用
物理系0801班学生岳艳林
指导老师韩新华
摘要：
拉普拉斯变换在求解微分方程中有特别重要的作用，本文第一介绍拉普拉斯变换的定
义及性质；其次给出拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤；而后要点举例拉普拉斯变换在求解常微
分方程（初值问题与边值问题、常系数与变系数常微分方程、含函数的常微分方程、常微分方程组、
拉普拉斯变换在求解微分方程特解中的应用、拉普拉斯变换在求解高阶微分方程的推行）与典型偏微
分方程（齐次与非齐次偏微分方程、有界与无界问题）中的应用举例；最后综合比较、概括总结拉普
拉斯变换在求解微分方程中的优势以及限制性。
要点词：
拉普拉斯变换；拉普拉斯逆变换；常微分方程；偏微分方程；特解
前言
傅里叶变换和拉普拉斯变换是常用的积分变换，但对函数进行傅里叶变换时一定满
足狄里希利和在t内绝对可积，可是在物理、无线电技术等实质应用中，很多以时间t为自变量的函数往常在t0时不需要考虑或许没存心义，像这样的函数不可以取傅
里叶变换。
为防止上述两个弊端，将函数进行适合改造，便产生了拉普拉斯变换[1]。
1拉普拉斯变换以及性质
1.1拉普拉斯变换的定义
设函数
f（t）当t
0时有定义，并且积分
f（t）e
stdt
（s是一个复参量
）在s的某一地区
0
内收敛，则此积分所确立的函数可写为
F（s）
f（t）e
stdt
.我们称上式为函数
f（t）
的
0
Laplace变换式.记为F（s）L[f（t）],F（s）称为f（t）的Laplace变换（或称为象函数）.
若F（s）是
f（t）的Laplace变换，则称f（t）为F（s）的Laplace逆变换（或称为象原函
数），记为f（t）
L1[F（s）][2].
Laplace变换的存在定理
若函数f（t）知足以下条件:
1在t0的任一有限区间上分段连续；
2当t
时，f（t）的增加速度不超出某一指数函数，亦即存在常数M0及c
0，
使得
ｔ
建立（知足此条件的函数，称它的增大是不超出指数级的，
c
f（t）
Me
c，
t
0
为它的增加指数）.
则
f（t）
的Laplace变换（s）=
st
在半平面
Re（s）
c
上必定存在，右端的积
F
f（t）edt
0
分在Re（s）
c1
c的半平面内,F（s）为分析函数[2].
1.2拉普拉斯变换的性质
⑴线性性质若，是常数，L[f1（t）]F1（s）,L[f2（t）]F2（s）,
则有L[f1（t）f2（t）]L[f1（t）]+L[f2（t）],
L1[F1（s）F2（s）]L1[F1（s）]+L1[F2（s）].
⑵微分性质
高阶推行
⑶积分性质
⑷位移性质
若L[f（t）]
F（s）
则有
L[f'（t）]
若L[f（t）]
F（s）
则有
L[f
（t）]
一般，L[fn（t）]
snF（s）
sn1f（0）
若L[f（t）]
F（s）
则L[
t
f（t）dt]
0
若
L[f（t）]
F（s）
，则
[
at
（）]
Le
ft
sF（s）
f（0）.
s2F（s）
sf（0）
f'（0）.
sn2f'（0）
sf（n2）（0）f（n1）（0）.
1L[F（s）].
s
F（sa）（Re（sa）c）.
⑸延缓性质
若L[f（t）]
F（s）,又t
0时f（t）=0,
则对于任一非负实数
，
有
[
（
）]
s
（
）,或
1
s
[2].
t
e
L
[eF（s）]f（t）
L
f
Fs
⑹相像性性质
若L[f（t）]
F（s）,则L[f（at）]
1F（s）.
a
a
⑺卷积性质
若L[f1（t）]
F1（s）,L[f2（t）]
F2（s），
则L[f1（t）1
f2（t）]
F1（s）F2（s），
此中f1（t）1
f2（t）
t
f1（）f
2（t
）d
称为f1（t）与f2（t）的卷积[3].
0
因为从定义以及性质求拉普拉斯变换或拉普拉斯逆变换困难且复杂，在控制工程中，
经常经过查阅已编好的“拉氏变换比较表”来实现。
拉氏变换比较表列出了工程上常用
的时间函数及其对应的拉氏变换，能够依据该表查找原函数的象函数，或许从象函数查
找原函数。
对于表中不可以找到的形式，能够把它睁开成部分分式，再求拉普拉斯变换或
拉普拉斯逆变换。
以下是本文将用到的几种常用的拉普拉斯变换函数对[3]:
原函数象函数原函数象函数
1
1
表一：
拉普拉斯变换函数表
2用拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤
像其余方法求解微分方程同样，应用拉普拉斯变换求解微分方程也有规范的步骤，
其一般步骤[4]以下：
象函数
原函数
取拉普拉斯逆变换
1、依据自变量的变化范围和方程及其定解条件的详细状况来决定对哪一个自变量进
微分方程的解
行拉普拉斯变换，而后对线性微分方程中每一项取拉普拉斯解变换，使微分方程变成
代
代数方程；
数
2、解象函数的代数方程，获得相关变量的拉普拉斯变换表达式，即象函数；
方
取拉普拉斯变换
3、对象函数取拉普拉斯逆变换，获得微分方程的时域解。
微分方程象函数的代数方程
流程图法[5]以下：
图一：
拉普拉斯变换求解微分方程的流程图
拉普拉斯变换在物理和工程等领域有着宽泛的应用，经过拉普拉斯变换，能够方便地对线性控制系统进行剖析、研究，能够对一些级数进行乞降，还能够求解微分方程接下来要点议论拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用。
3拉普拉斯变换在求解常微分方程中的应用
3.1初值问题与边值问题
例：
求解初值问题y''4y'3yet,y（0）y'（0）1[2].
s的
[1]。
解：
设Y（s）L[y（t）],对方程两边同时取拉普拉斯变换，有
[s2Y（s）sy（0）
y'（0）]
4[sY（s）
y（0）]
3Y（s）
1
s1
1
联合初始条件，有[s2Y（s）
s
1]
4[sY（s）
1]
3Y（s）
s1
整理睁开成部分分式，有Y（s）
s2
6s
6
7
1
1
1
3
1.
（s1）2（s3）4s12（s1）2
4s3
由拉普拉斯变换函数表L
1
[
1
]
et
1
[1
]
et,
1
1
]e3t.
可知L
L[
s
s
1
s
3
由拉普拉斯变换函数表L
1
[
n!
n1]
tn,并联合位移性质L[e
tf（t）]
F（s
），
s
1
12]
tet
可知L[
，
（s
1）
对方程两边同时求反演，整理可得方程的解为
y（t）L1[Y（s）]
7et
1tet
3e3t
1[（7
2t）et
3e3t]。
4
2
4
4
例：
求解边值问y''
y
0,y（0）
0,y'（2
）
1[2].
解：
设Y（s）L[y（t）],
对方程两边同时取拉普拉斯变换，有
联合初始条件，有[2
（）
y
'
（0）]
（
）0,
s
Ys
Ys
整理睁开成部分分式，有Y（s）
y'（0）
'
1
1
s2
1
y
（0）
（
1
2
s
1
1
]
et
1
1
]
由拉普拉斯变换函数表L[
可知L[
s
s
1
对方程两边同时求反演，整理可得方程的解为
为了确立y'（0），将条件y（2
）
1代入上式可得y'（0）
1）,
s1
et,L1[1]et.
s1
1
sinh2
所以，方程的解为y（t）
sinht.
sinh2
3.2常系数与变系数常微分方程
例：
求解常系数微分方程
y''
2y'
y
0,y（0）
0,y
（1）2[2].
解：
设Y（s）L[y（t）],对方程两边同时取拉普拉斯变换，有
联合初始条件，有[
2
（）
y
'
（0）]
2[
（
）]
Y
（
）
0,
s
Ys
sYs
s
整理睁开成部分分式，有Y（s）
s2
y'（0）
1
y'（0）
2s
（s
1）2
由拉普拉斯变换函数表
1
n!
]
n
并联合位移性质
[
t
（
）]
（
）,
L[
t
f
t
s
s
n1
Le
F
可知L
1
1
]
tet.
[
（s
1）2
对方程两边同时求反演，整理可得方程的解为
（
）
L
1[
（
）]
y
'（0）
t,
yt
Ys
te
为了确立y'
（0）
，将条件y
（1）
2代入上式可得y'（0）
2,
2
e
所以，方程的解为
y（t）
L
1
[Y（s）]
te
t
2
t
1.
e
te
例：
求解变系数微分方程
ty''
2y'
ty
0,
y（0）
1,y'（0）
c0
（c0为常数）
[2].
解：
设Y（s）
L[y（t）],对方程两边同时取拉普拉斯变换，
[
'']
2
[
']
[
ty
]0,
Lty
Ly
L
即
[
ty
'']
L
[
y
']
4[
ty
]
0,
L
L
亦即
d[
2
（
s
）
（0）
y
'（0）]
2[
（
）
y
（0）]
d
（
）
0,
s
Y
sy
sYs
Y
s
ds
d
ds
d
两边积分可得[
2
（
）
2
（
）
（0）]
2[
（
）
（0）]
（
）
0,
sYss
Y
sy
sYsy
ds
Y
s
ds
d
d
联合初始条件，有[
2
（
）
s
2
（
）
1]
2[
（
）
1]
（
）
0,
sYs
Y
s
sYs
Ys
整理可得dY（s）
1
ds
ds
ds
s2
1
两边积分可得Y（s）
arctans
c,
欲求待定系数c,可利用limY（s）
0，所以从c
，Y（s）
arctans
arctan1，
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