非线性电路中的混沌现象实验报告.docx
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非线性电路中的混沌现象实验报告
非线性电路中的混沌现象
五：
数据处理：
1．计算电感L
本实验采用相位测量。
根据RLC谐振规律，当输入激励的频率
时，RLC串联电路将达到谐振，L和C的电压反相，在示波器上显示的是一条过二四象限的45度斜线。
测量得：
f=32.8kHz；实验仪器标示：
C=1.095nF
由此可得：
估算不确定度：
估计u（C）=0.005nF，u（f）=0.1kHz
则：
即
最终结果：
2．用一元线性回归方法对有源非线性负阻元件的测量数据进行处理：
（1）原始数据：
R
V
R
V
R
V
71200
-12
2044.9
-8
1753.4
-4
21000
-11.8
2036.2
-7.8
1727.5
-3.8
12150
-11.6
2027.2
-7.6
1699.6
-3.6
8430
-11.4
2017.8
-7.4
1669.4
-3.4
6390
-11.2
2007.9
-7.2
1636.7
-3.2
5100
-11
1997.5
-7
1601.2
-3
4215
-10.8
1986.7
-6.8
1562.4
-2.8
3564
-10.6
1975.3
-6.6
1519.7
-2.6
3070
-10.4
1963.4
-6.4
1472.3
-2.4
2680
-10.2
1950.9
-6.2
1420
-2.2
2369
-10
1937.6
-6
1360.9
-2
2115
-9.8
1923.7
-5.8
1295.1
-1.8
2103.1
-9.6
1909
-5.6
1281.8
-1.6
2096.8
-9.4
1893.4
-5.4
1276.7
-1.4
2090.2
-9.2
1876.9
-5.2
1270.1
-1.2
2083.4
-9
1859.5
-5
1261.1
-1
2076.3
-8.8
1840.9
-4.8
1247.8
-0.8
2068.9
-8.6
1821.2
-4.6
1226
-0.6
2061.2
-8.4
1800.1
-4.4
1148.9
-0.4
2053.3
-8.2
1777.6
-4.2
1075
-0.2
（2）数据处理：
根据
可以得出流过电阻箱的电流，由回路KCL方程和KVL方程可知：
由此可得对应的
值。
对非线性负阻R1，将实验测得的每个（I，U）实验点均标注在坐标平面上，可得：
图中可以发现，（0.0046336，-9.8）和（0.0013899，-1.8）两个实验点是折线的拐点。
故我们在
、
、
这三个区间分别使用线性回归的方法来求相应的I-U曲线。
使用Excel的Linest函数可以求出这三段的线性回归方程：
经计算可得，三段线性回归的相关系数均非常接近1（r=0.99997），证明在区间内I-V线性符合得较好。
应用相关作图软件可以得出非线性负阻在U<0区间的I-U曲线。
将曲线关于原点对称可得到非线性负阻在U>0区间的I-U曲线：
3．观察混沌现象：
（1）一倍周期：
一倍周期Vc1-t
（2）两倍周期：
两倍周期Vc1-t
（3）四倍周期：
四倍周期Vc1-t
（4）单吸引子：
单吸引子阵发混沌
三倍周期Vc1-t
（5）双吸引子：
双吸引子Vc1-t
4．使用计算机数值模拟混沌现象：
（1）源程序（Matlab代码）：
算法核心：
四阶龙格库塔数值积分法
文件1：
chua.m
function[xx]=chua（x,time_variable,aaa,symbol_no）
h=0.01;
a=h/2;
aa=h/6;
xx=[];
forj=1:
symbol_no;
k0=chua_map（x,time_variable,aaa）;
x1=x+kO*a;
k1=chua_map（xl,time_variable,aaa）;
xl=x+k1*a;
k2=chua_map（x1,time_variable,aaa）;
x1=x+k2*h;
k3=chua_map（x1,time-variable,aaa）;
x=x+aa*（kO+2*（k1+k2）+k3）;
xx=[xxx];
end
文件2：
chua_initial.m:
function[x0]=chua_initial（x,aaa）
h=0.01;a=h/2;aa=h/6;
x=[-0.030.6-0.01]';
k0=chua_map（x,1,aaa）;
x1=x+k0*a;
k1=chua_map（xl,1,aaa）;
x1=x+k1*a;
k2=chua_map（x1,1,aaa）;
x1=x+k2*h;
k3=chua_map（x1,1,aaa）;
x=x+aa*（k0+2*（kl+k2）+k3）;
fork=2:
400
kO=chua_map（x,k,aaa）;
x1=x+k0*a;
k1=chua_map（x1,k,aaa）;
x1=x+k1*a;
k2=chua_map（x1,k,aaa）;
x1=x+k2*h;
k3=chua_map（xl,k,aaa）;
x=x+aa*（kO+2*（k1+k2）+k3）;
end
x0=x;
文件3：
chua_map.m:
function[x]=chua_map（xx,time_variable,aaa）
m0=-1/7.0;
m1=2/7.0;
ifxx
（1）>=1
hx=m1*xx
（1）+m0-m1;
elseifabs（xx
（1））<=1
hx=m0*xx
（1）;
else
hx=m1*xx
（1）-m0+m1;
end
A=[09.00
1.0-1.01.0
Oaaa0];
x=A*xx;
x=x+[-9*hx0O]';
文件4：
chua_demo.m
x0=0.05*randn（3,1）;
[x0]=chua_initial（x0,-100/7）;
[xx]=chua（x0,1,-100/7,20000）;
plot（UVI（1,1:
end）,UVI（2,1:
end））;
xlabel（'Uc1（V）'）;ylabel（'Uc2（V）'）;
figure;
plot3（UVI（3,1:
end）,UVI（2,1:
end）,UVI（1,1:
end））
xlabel（'I（V）'）;ylabel（'Uc1（V）'）;zlabel（'Uc2（V）'）;
（2）
对于本实验，其微分方程组的求解还可以采用离散化的处理。
具体代码如下：
（Matlab代码）
functiondiscrete_chai
dt=0.04;
c1=1/9;
c2=1;
L=1/7;
G=0.7;
N=10000;
a0=0.8;a1=0.1;
MT=[1-dt*G/c1,dt*G/c1,0;dt*G/c2,（1-dt*G/c2）,dt/c2;0,-dt/L,1];
UVI=zeros（3,N）;
UVI（:
1）=[0.1;0.1;0.1];
fork=1:
N-1;
Bd=[-dt/c1*a0*UVI（1,k）*（a1^2*UVI（1,k）^2/3-1）;0;0];
UVI（:
k+1）=MT*UVI（:
k）+Bd;
end
plot（UVI（1,1:
end）,UVI（2,1:
end））;
xlabel（'Uc1（V）'）;ylabel（'Uc2（V）'）;
figure;
plot3（UVI（3,1:
end）,UVI（2,1:
end）,UVI（1,1:
end））
xlabel（'I（V）'）;ylabel（'Uc1（V）'）;zlabel（'Uc2（V）'）;
经验证：
该代码的执行效率比四阶龙格库塔数值积分法要高，但初始精度稍差。
（2）数值仿真结果：
改变G的值，当G=0.7时，数值仿真出现双吸引子：
Uc1-Uc2图
使用matlab的Plot3可以做出I-Uc1-Uc2的三维图：
I-Uc1-Uc2图
同时可以使用Plot做出I、Uc1和Uc2对时间的曲线：
改变G值，使G=0.35，数值仿真出现单吸引子：
Uc1-Uc2图
使用matlab的Plot3可以做出I-Uc1-Uc2的三维图：
同时可以使用Plot做出I、Uc1和Uc2对时间的曲线：
在结果中可以看到，计算机数值模拟的相图特点和前述示波器的相图极为相似。
同时利用计算机可以方便地更改系统参数，充分显现出计算机仿真的优越性。
六、选做实验：
费根鲍姆常数的测量：
以G作为系统参数，将RV1+RV2由一个较大值逐渐减小，记录出现倍周期分岔时的参数值Gn，得到倍周期分岔之间相继参量间隔之比：
测量时n越大
值越趋近于费根鲍姆常数。
在本实验中由于条件限制，费根鲍姆常数的近似值可取：
实验测得：
R1=8700
；R2=11060
；R3=11829
。
代入上述公式，可得：
4.1728
七、实验后思考题：
1．什么叫相图？
为什么要用相图来研究混沌现象？
本实验中的相图是怎么获得的？
答：
将电路方程x=V1（t）和y=V2（t）消去时间变量t而得到的空间曲线，在非线性理论中这种曲线称为相图。
在非线性理论中，我们会看到使用运动状态之间的关系，更有利于揭示事物的本质，它突出了电路系统运动的全局概念。
在本实验中，示波器CH1端接Vc1电压，CH2端接Vc2电压，这样就能获得Vc1-Vc2相图。
2．什么叫倍周期分岔，表现在相图上有什么特点？
答：
系统在改变某些参数后，运动周期变为原先的两倍，即系统需要两倍于原先的时间才能恢复原状。
这在非线性理论中称为倍周期分岔。
倍周期分岔在相图上表现为原先的一个椭圆变为两个分岔的椭圆，运动轨线从其中的一个椭圆跑到另一个椭圆，再在重叠处又跑到原来的椭圆上。
3．什么叫混沌？
表现在相图上有什么特点？
答：
混沌大体包含以下一些主要内容：
（1）系统进行着貌似无归律的运动，但决定其运动规律的基础动力学却是决定论的；
（2）具体结果敏感地依赖初始条件，从而其长期行为具有不可测性；
（3）这种不可预测性并非由外界噪声引起的；
（4）系统长期行为具有某些全局和普适性的特征，这些特征与初始条件无关。
混沌在相图上的表现为轨道在某侧绕几圈似乎是随机的，但这种随机性和真正随机系统中不可预测的无规律又不相同。
因为相点貌似无规律地游荡，不会重复已走过的路，但并不是以连续概率分布在相平面上随机行走，类似“线圈”的轨道本身是有界的，显然其中有某些规律。
4．什么叫吸引子？
什么是非奇异吸引子？
什么是奇异吸引子？
表现在相图上有什么特点？
答：
在系统条件一定下，无论个它什么样的初始条件，最终都将落入到各自的终态集上，这些终态集被称为“吸引子”。
周期解的吸引子称为非奇异吸引子，非周期解的吸引子称为奇异吸引子。
5．什么是费根鲍姆常数？
在本实验中如何测量它的近似值？
答：
对于某一系统，改变参量r，当r=r1时可以看到系统由稳定的周期一变为周期二，继续改变r，当当r=r2时周期二失稳，同时出现周期四，如此继续下去。
定义：
常数
被命名为费根鲍姆常数。
测量时n越大
值越趋近于费根鲍姆常数。
在本实验中由于条件限制，费根鲍姆常数的近似值可取：
6．非线性电阻R的伏安特性如何测量？
如何对实验数据进行分段拟合？
实验中使用的是哪一段曲线？
答：
测量非线性电阻R时，把电感从电路中取出，这样可以把有源非线性负阻R与移相器的连线隔开。
将电阻箱R0和有源非线性负阻并联，改变电阻箱R0的电阻值，用数字电压表测URO，获得有源非线性负阻在U<0V时的伏安特性。
分段时，先将实验点画在坐标平面上，确定拐点的位置，然后分组进行一元线性回归拟合。
实验中使用的是U<0V时的伏安特性曲线，需要和原点对称，获得U>0V时的伏安特性曲线。
八、实验感想：
在本次实验中，我初步了解了混沌的一些知识，并对混沌的理论和实际应用产生了兴趣。
在实验后，我通过查阅相关资料了解到，20多年来，混沌一直是举世瞩目的前沿课题和研究热点，它揭示了自然界及人类社会中普遍存在的复杂性、有序与无序的统一、稳定性与随机性的统一，大大拓宽了人们的视野，加深了人类对客观世界的认识。
混沌现象在非线性科学中指的是一种确定的但不可预测的运动状态。
它的外在表现和纯粹的随机运动很相似，即都不可预测。
但和随机运动不同的是，混沌运动在动力学上是确定的，它的不可预测性是来源于运动的不稳定性。
或者说混沌系统对无限小的初值变动和微绕也具于敏感性，无论多小的扰动在长时间以后，也会使系统彻底偏离原来的演化方向。
混沌现象是自然界中的普遍现象，天气变化就是一个典型的混沌运动。
而在人类的实际生活中，混沌的机理也被广泛地应用在秘密通信、改善和提高激光器的性能等方面。
在实验中我通过观察现象，加深了对RLC电路谐振的理解，并了解到这种原理在测量领域中的应用。
同时，在测量非线性电阻R的伏安特性曲线中，通过思考连线方法和测量方法，锻炼了实验的能力。
参考资料：
[1]杨晓松，李清都．混沌系统与混沌电路．北京：
科学出版社，2007
[2]孙志忠．数值分析．第二版．南京：
东南大学出版社，2002．
[3]冯久超，陈宏滨．蔡氏电路的仿真研究．华北航天工业学院学报Vol．15suppl，Jun2005
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