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应力与强度计算
第三章应力与强度计算
一、内容提要
本章介绍了杆件发生基本变形时得应力计算,材料得力学性能,以及基本变形得强度计算。
1。
拉伸与压缩变形
１、1拉（压）杆得应力
1。
１。
1拉（压）杆横截面上得正应力
拉压杆件横截面上只有正应力，且为平均分布，其计算公式为
（３-1）
式中为该横截面得轴力,A为横截面面积。
正负号规定拉应力为正，压应力为负。
公式（3-1）得适用条件:
（1）杆端外力得合力作用线与杆轴线重合，即只适于轴向拉（压）杆件;
（２）适用于离杆件受力区域稍远处得横截面;
（３）杆件上有孔洞或凹槽时，该处将产生局部应力集中现象,横截面上应力分布很不均匀;
（4）截面连续变化得直杆,杆件两侧棱边得夹角时,可应用式（3－1）计算，所得结果得误差约为３％。
１。
1.2拉（压）杆斜截面上得应力（如图3-1）
图3—1
拉压杆件任意斜截面（ａ图）上得应力为平均分布，其计算公式为
全应力ﻩ（3－2）
正应力 （3—3）
切应力（3—4）
式中为横截面上得应力。
正负号规定:
由横截面外法线转至斜截面得外法线，逆时针转向为正，反之为负.
拉应力为正，压应力为负。
对脱离体内一点产生顺时针力矩得为正，反之为负。
两点结论：
（1）当时,即横截面上,达到最大值,即。
当=时,即纵截面上,==0。
（２）当时,即与杆轴成得斜截面上,达到最大值，即。
１.2拉（压）杆得应变与胡克定律
（１）变形及应变
杆件受到轴向拉力时,轴向伸长,横向缩短；受到轴向压力时，轴向缩短，横向伸长。
如图3—2。
图3-2
轴向变形
轴向线应变
横向变形
横向线应变
正负号规定 伸长为正,缩短为负．
（2）胡克定律
当应力不超过材料得比例极限时，应力与应变成正比.即
（3－5）
或用轴力及杆件得变形量表示为
（３—6）
式中EA称为杆件得抗拉（压）刚度,就是表征杆件抵抗拉压弹性变形能力得量。
公式（3—6）得适用条件:
（a）材料在线弹性范围内工作，即；
（b）在计算时,ｌ长度内其N、E、A均应为常量。
如杆件上各段不同，则应分段计算，求其代数与得总变形。
即
（3－7）
（３）泊松比
当应力不超过材料得比例极限时，横向应变与轴向应变之比得绝对值.即
（3—8）
1、3材料在拉（压）时得力学性能
１。
3。
1低碳钢在拉伸时得力学性能
应力－—应变曲线如图3—3所示。
图３—3低碳钢拉伸时得应力-应变曲线
卸载定律:
在卸载过程中,应力与应变按直线规律变化.如图３-3中ｄd’直线.
冷作硬化：
材料拉伸到强化阶段后,卸除荷载,再次加载时，材料得比例极限升高,而塑性降低得现象,称为冷作硬化。
如图3－3中d’def曲线。
图３—3中，ｏf’ 为未经冷作硬化,拉伸至断裂后得塑性应变。
d’f' 为经冷作硬化，再拉伸至断裂后得塑性应变。
四个阶段四个特征点，见表1-1。
表1-1 低碳钢拉伸过程得四个阶段
阶 段
图1-５中线段
特征点
说 明
弹性阶段
oab
比例极限
弹性极限
为应力与应变成正比得最高应力
为不产生残余变形得最高应力
屈服阶段
bc
屈服极限
为应力变化不大而变形显著增加时得最低应力
强化阶段
ce
抗拉强度
为材料在断裂前所能承受得最大名义应力
局部形变阶段
ef
产生颈缩现象到试件断裂
表1—1
主要性能指标,见表1—2。
表1-2 主要性能指标
性能
性能指标
说明
弹性性能
弹性模量Ｅ
当
强度性能
屈服极限
材料出现显著得塑性变形
抗拉强度
材料得最大承载能力
塑性性能
延伸率
材料拉断时得塑性变形程度
截面收缩率
材料得塑性变形程度
1.3。
2低碳钢在压缩时得力学性能
图３—４低碳钢压缩时得应力-应变曲线
应力-—应变曲线如图3—４中实线所示。
低碳钢压缩时得比例极限、屈服极限、弹性模量E与拉伸时基本相同,但侧不出抗压强度
1。
3。
３铸铁拉伸时得力学性能
图3—5铸铁拉伸时得应力-应变曲线
应力——应变曲线如图３—5所示。
应力与应变无明显得线性关系,拉断前得应变很小,试验时只能侧得抗拉强度.弹性模量E以总应变为0、1％时得割线斜率来度量。
1.３。
３铸铁压缩时得力学性能
应力--应变曲线如图3-6所示。
图3—6铸铁压缩时得应力-应变曲线
铸铁压缩时得抗压强度比拉伸时大4—5倍，破坏时破裂面与轴线成.宜于做抗压构件。
１．3。
４塑性材料与脆性材料
延伸率>5%得材料称为塑性材料。
延伸率〈5％得材料称为脆性材料．
1.３.5屈服强度
对于没有明显屈服阶段得塑性材料,通常用材料产生0、2%得残余应变时所对应得应力作为屈服强度,并以表示。
1、4 强度计算
许用应力 材料正常工作容许采用得最高应力,由极限应力除以安全系数求得.
塑性材料 []=； 脆性材料 ［]＝
其中称为安全系数，且大于1。
强度条件：
构件工作时得最大工作应力不得超过材料得许用应力.
对轴向拉伸（压缩）杆件
（３—9）
按式（1—4）可进行强度校核、截面设计、确定许克载荷等三类强度计算.
2。
扭转变形
２、1切应力互等定理
受力构件内任意一点两个相互垂直面上,切应力总就是成对产生，它们得大小相等,方向同时垂直指向或者背离两截面交线,且与截面上存在正应力与否无关。
2、2纯剪切
单元体各侧面上只有切应力而无正应力得受力状态,称为纯剪切应力状态。
2、3切应变
切应力作用下,单元体两相互垂直边得直角改变量称为切应变或切应变,用表示。
2、４剪切胡克定律
在材料得比例极限范围内，切应力与切应变成正比,即
（3—1０）
式中G为材料得切变模量,为材料得又一弹性常数（另两个弹性常数为弹性模量E及泊松比），其数值由实验决定。
对各向同性材料，E、、G有下列关系
（3—１１）
２、5圆截面直杆扭转时应力与强度条件
2。
5.1横截面上切应力分布规律
用截面法可求出截面上扭矩，但不能确定切应力在横截面上得分布规律与大小。
需通过平面假设，从几何、物理、平衡三方面才能唯一确定切应力分布规律与大小。
（1）沿半径成线性分布，圆心处,最大切应力在圆截面周边上。
T
T
（２）切应力方向垂直半径,圆截面上切应力形成得流向与该截面上扭矩转向相等,图3—7．
图３-7
2．5。
2切应力计算公式
横截面上某一点切应力大小为
（3—12）
式中为该截面对圆心得极惯性矩,为欲求得点至圆心得距离。
圆截面周边上得切应力为
（3—13）
式中称为扭转截面系数，R为圆截面半径。
２.５.3切应力公式讨论
（1）切应力公式（３-1２）与式（3-１３）适用于材料在线弹性范围内、小变形时得等圆截面直杆;对小锥度圆截面直杆以及阶梯形圆轴亦可近似应用,其误差在工程允许范围内.
（2）极惯性矩与扭转截面系数就是截面几何特征量，计算公式见表3-3。
在面积不变情况下,材料离散程度高,其值愈大;反映出轴抵抗扭转破坏与变形得能力愈强。
因此，设计空心轴比实心轴更为合理。
表３-3
实心圆
（外径为ｄ）
空心圆
（外径为D，
内径为ｄ）
２。
5。
4强度条件
圆轴扭转时，全轴中最大切应力不得超过材料允许极限值,否则将发生破坏。
因此,强度条件为
（3-14）
对等圆截面直杆
（3—15）
式中为材料得许用切应力.
3。
弯曲变形得应力与强度计算
3、1 梁横截面上正应力
3．1.1中性层得曲率与弯矩得关系
（3—１6）
式中,就是变形后梁轴线得曲率半径;E就是材料得弹性模量;就是横截面对中性轴Z轴得惯性矩.
３.１．2横截面上各点弯曲正应力计算公式
（3—17）
式中，M就是横截面上得弯矩;得意义同上；y就是欲求正应力得点到中性轴得距离。
由式（３—17）可见,正应力得大小与该点到中性轴得距离成正比.横截面上中性轴得一侧为拉应力,另一侧为压应力.
在实际计算中,正应力得正负号可根据梁得变形情况来确定,位于中性轴凸向一侧得各点均为拉应力,而位于中性轴凹向一侧得各点均为压应力。
最大正应力出现在距中性轴最远点处
（3—18）
式中，称为抗弯截面系数。
对于得矩形截面,;对于直径为D得圆形截面,；对于内外径之比为得环形截面，。
若中性轴就是横截面得对称轴,则最大拉应力与最大压应力数值相等,若不就是对称轴,则最大拉应力与最大压应力数值不相等。
3、2梁得正应力强度条件
梁得最大工作应力不得超过材料得容许应力,其表达式为
（3—19）
由正应力强度条件可进行三方面得计算：
（１）校核强度即已知梁得几何尺寸、材料得容许应力以及所受载荷，校核正应力就是否超过容许值,从而检验梁就是否安全。
（2）设计截面即已知载荷及容许应力,可由式确定截面得尺寸
（３）求许可载荷 即已知截面得几何尺寸及容许应力,按式确定许可载荷。
对于由拉、压强度不等得材料制成得上下不对称截面梁（如T字形截面、上下不等边得工字形截面等），其强度条件应表达为
（3-20a）
（３—20b）
式中,分别就是材料得容许拉应力与容许压应力；分别就是最大拉应力点与最大压应力点距中性轴得距离。
若梁上同时存在有正、负弯矩，在最大正、负弯矩得横截面上均要进行强度计算。
3、３梁得切应力
（3-21）
式中,Q就是横截面上得剪力；就是距中性轴为y得横线与外边界所围面积对中性轴得静矩;就是整个横截面对中性轴得惯性矩;b就是距中性轴为y处得横截面宽度.
3。
3.1矩形截面梁
切应力方向与剪力平行，大小沿截面宽度不变,沿高度呈抛物线分布。
切应力计算公式
（3—22）
最大切应力发生在中性轴各点处，。
3.3.２工字形截面梁
切应力主要发生在腹板部分,其合力占总剪力得95~９7%，因此截面上得剪力主要由腹板部分来承担。
切应力沿腹板高度得分布亦为二次曲线。
计算公式为
（３—23）
式中各符号可参瞧．
另外,沿翼缘水平方向也有不大得切应力,计算公式为
（３-24）
翼缘部分得水平切应力沿翼缘宽度按直线规律变化,并与腹板部分得竖向剪切应力形成所谓得剪应力流。
由于这部分切应力较小,一般不予考虑，只就是在开口薄壁截面梁得弯曲中才用到它。
3．3。
3圆形截面梁
横截面上同一高度各点得切应力汇交于一点,其竖直分量沿截面宽度相等，沿高度呈抛物线变化。
最大切应力发生在中性轴上,其大小为
（３－25）
圆环形截面上得切应力分布与圆截面类似。
3、４切应力强度条件
梁得最大工作切应力不得超过材料得许用切应力,即
（3-26）
式中,就是梁上得最大切应力值；就是中性轴一侧面积对中性轴得静矩;就是横截面对中性轴得惯性矩；ｂ就是处截面得宽度。
对于等宽度截面，发生在中性轴上,对于宽度变化得截面,不一定发生在中性轴上．
切应力强度条件同样可以进行强度校核、设计截面与求许可载荷三方面得计算。
在进行梁得强度计算时，应注意下述二个问题.
（1）对于细长梁得弯曲变形,正应力得强度条件就是主要得,剪应力强度条件就是次要得.一般仅需考虑正应力强度条件。
对于较粗短得梁,当集中力较大时，截面上剪力较大而弯矩较小，或就是薄壁截面梁时，需要校核切应力强度。
（2）正应力得最大值发生在横截面得上下边缘，该处得切应力为零;切应力得最大值一般发生在中性轴上,该处得正应力为零。
对于横截面上其余各点,将同时存在正应力与切应力,这些点得强度计算，应按强度理论计算公式进行。
3、5提高弯曲强度得主要措施
3.5。
1选择合理得截面形式
由公式（3-２0）可知，梁所能承受得最大弯矩与抗弯截面系数成正比。
在截面面积相同得情况下,改变截面形状以增大抗弯截面系数，从而达到提高弯曲强度得目得。
为了比较各种截面得合理程度，可用抗弯截面系数与截面面积得比值来衡量,比值愈大，截面就愈合理。
在选择截面形状时，还要考虑材料得性能。
对于由塑料材料制成得梁,因拉伸与压缩得容许应力相同，以采用中性轴为对称轴得截面。
对于由脆性材料制成得梁,因容许拉应力远小于容许压应力，宜采用T字形或II形等中性轴为非对称轴得截面，并使最大拉应力发生在离中性轴较近得得边缘处。
3。
5。
2用变截面梁
一般得强度计算就是以危险截面得最大弯矩为依据得,按等截面梁来设计截面尺寸，这显然就是不经济得。
如果在弯矩较大得截面采用较大得尺寸,在弯矩较小得截面采用较小得尺寸,使每个截面上得最大正应力都达到容许应力，据此设计得变截面梁就是最合理得,称为等强度梁.
３。
５。
３改善梁得受力状况
合理布置梁上得载荷与调整梁得支座位置,使梁得最大弯矩变小,也可达到提高弯曲强度得目得。
４、剪切及其实用计算
4、1剪切得概念
剪切定义为相距很近得两个平行平面内,分别作用着大小相等、方向相对（相反）得两个力,当这两个力相互平行错动并保持间距不变地作用在构件上时，构件在这两个平行面间得任一（平行）横截面将只有剪力作用,并产生剪切变形.
４、２剪切得实用计算
名义切应力：
假设切应力沿剪切面就是均匀分布得，则名义切应力为
（３-27）
剪切强度条件：
剪切面上得工作切应力不得超过材料得许用切应力,即
（3-２8）
利用式（３-28）对构件进行剪切强度校核、截面设计与许可载荷得计算．
5、挤压及其实用计算
５、１挤压得概念
挤压两构件接触面上产生得局部承压作用.
挤压面 相互接触压紧得面。
挤压力 承压接触面上得总压力,用表示。
5、２挤压得实用计算
名义挤压应力 假设挤压应力在名义挤压面上就是均匀分布得,则
（３—2９）
式中,表示有效挤压面积,即挤压面面积在垂直于挤压力作用线平面上得投影.当挤压面为平面时为接触面面积,当挤压面为曲面时为设计承压接触面面积在挤压力垂直面上得投影面积。
挤压强度条件挤压面上得工作挤压应力不得超过材料得许用挤压应力
（3—30）
利用式（３—2９）对构件进行挤压强度校核、截面设计与许可载荷得计算。
二.基本要求
１、拉伸与压缩变形
1、1熟练掌握应力得计算,理解胡克定律.
１、2了解常用材料在拉伸与压缩时得机械性质及其测量方法。
1、3理解许用应力、安全系数与强度条件,熟练计算强度问题。
2、扭转变形
2、1理解纯剪切得概念、切应力互等定理与剪切胡克定律。
２、２理解圆轴扭转时应力公式推导方法,并熟练计算扭转应力.
2、3理解圆轴扭转强度条件得建立方法，并熟练计算强度问题。
3、弯曲变形
３、１理解弯曲正应力得概念及其公式推导方法,熟练掌握弯曲正应力及强度问题。
3、2理解弯曲切应力得概念及其公式推导方法,掌握简单截面梁弯曲切应力得计算及弯曲切应力强度条件.
4、剪切与挤压变形：
了解剪切与挤压得概念,熟练掌握剪切与挤压得实用计算方法。
5、熟练掌握常用截面得形心、静矩、惯性矩得计算及平行移轴公式。
三。
补充例题
例1.杆系结构如图所示,已知杆AＢ、ＡC材料相同，MPa,横截面积分别为ｍｍ2,mm２,试确定此结构许可载荷[P]。
解:
（１）由平衡条件计算实际轴力，设ＡB杆轴力为,AＣ杆轴力为。
对于节点A，由得
（a）
由得
（b）
由强度条件计算各杆容许轴力
kN （c）
kN （d）
由于ＡＢ、AC杆不能同时达到容许轴力,如果将,代入（２）式,解得
kN
显然就是错误得。
正确得解应由（a）、（b）式解得各杆轴力与结构载荷Ｐ应满足得关系
（e）
（f）
（2）根据各杆各自得强度条件，即,计算所对应得载荷,由（ｃ）、（e）有
kN
kＮ
kN （ｇ）
由（d）、（f）有
kN
kN
kN （h）
要保证AB、AC杆得强度,应取（g）、（h）二者中得小值,即,因而得
kN
上述分析表明，求解杆系结构得许可载荷时,要保证各杆受力既满足平衡条件又满足强度条件。
例2。
如图所示冲床,kN，冲头MPａ，冲剪钢板 MPａ,设计冲头得最小直径值及钢板厚度最大值。
解:
（１）按冲头压缩强度计算
所以
cｍ
（2）按钢板剪切强度计算
所以
cm
例3。
2、、5挖掘机减速器得一轴上装一齿轮,齿轮与轴通过平键连接,已知键所受得力为P＝1２、1ｋN。
平键得尺寸为:
b=２8mm,h＝16mm,=70mm,圆头半径Ｒ=１4mm（如图）。
键得许用切应力87MPa,轮毂得许用挤压应力取＝10０MPa,试校核键连接得强度。
解:
（１）校核剪切强度键得受力情况如图ｃ所示,此时剪切面上得剪力（图 d）为
对于圆头平键,其圆头部分略去不计（图3-10ｅ）,故剪切面面积为
所以,平键得工作切应力为
满足剪切强度条件。
（２）校核挤压强度与轴与键比较,通常轮毂抵抗挤压得能力较弱。
轮毂挤压面上得挤压力为
P＝１２100N
挤压面得面积与键得挤压面相同,设键与轮毂得接触高度为,则挤压面面积（图ｆ）为
故轮毂得工作挤压应力为
也满足挤压强度条件。
所以,此键安全．
例４ AＢ轴传递得功率为,转速。
如图所示,轴ＡＣ段为实心圆截面，ＣB段为空心圆截面。
已知,。
试计算AC以及ＣB段得最大与最小剪应力.
解：
（1）计算扭矩轴所受得外力偶矩为
由截面法
（2）计算极惯性矩AC段与CＢ段轴横截面得极惯性矩分别为
（3）计算应力 AC段轴在横截面边缘处得剪应力为
CB段轴横截面内、外边缘处得剪应力分别为
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