第四章5节.ppt

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第五章大数定律及中心极限定理,1大数定律,2中心极限定理,退出,前一页,后一页,目录,第五章大数定律及中心极限定理,1大数定律,大数定律的定义切比雪夫大数定律贝努里大数定律辛钦大数定律,退出,前一页,后一页,目录,1大数定律,第五章大数定律及中心极限定理,问题：

测量一个工件时，由于测量具有误差，为什么以各次的平均值来作为测量的结果？

而且只要测量的次数足够多，总可以达到要求的精度？

我们把这问题给出数学表达：

这里反映了什么样的客观统计规律呢？

如果工件的真值为,退出,前一页,后一页,目录,1大数定律,第五章大数定律及中心极限定理,即大量测量值的算术平均值具有稳定性。

这就是大数定律所阐述的。

测量的经验就是：

退出,前一页,后一页,目录,1大数定律,第五章大数定律及中心极限定理,定义1,若对任意,想想：

数列的收敛性定义，比较数列与随机变量序列收敛性的区别。

一、定义,退出,前一页,后一页,目录,第五章大数定律及中心极限定理,定义2,对任意,1大数定律,退出,前一页,后一页,目录,1大数定律,第五章大数定律及中心极限定理,定理1,（契比雪夫大数定律）,且具有相同的数学,期望及方差，,退出,前一页,后一页,目录,1大数定律,第五章大数定律及中心极限定理,由切比晓夫不等式得：

证：

退出,前一页,后一页,目录,第五章大数定律及中心极限定理,定理2（贝努里大数定律）（Bernoulli大数定律）,证：

令,1大数定律,退出,前一页,后一页,目录,第五章大数定律及中心极限定理,由定理1有,1大数定律,退出,前一页,后一页,目录,1大数定律,第五章大数定律及中心极限定理,注：

贝努里大数定律是辛钦大数定律的特殊情况。

定理3（辛钦大数定律）,且具有数学期望,思考：

比较辛钦大数定律与切比晓夫大数定律条件的差别及强弱。

退出,前一页,后一页,目录,第五章大数定律及中心极限定理,2中心极限定理,定义,独立同分布的中心极限定理,李雅普诺夫定理,德莫佛-拉普拉斯定理,用频率估计概率时误差的估计,退出,前一页,后一页,目录,2中心极限定理,第五章大数定律及中心极限定理,一、定义,退出,前一页,后一页,目录,2中心极限定理,第五章大数定律及中心极限定理,定理1（独立同分布的中心极限定理）,中心极限定理说明了正态分布的重要地位，它也是统计学中处理大样本时的重要工具。

二、中心极限定理,退出,前一页,后一页,目录,第五章大数定律及中心极限定理,例1一加法器同时收到20个噪声电压，,设它们是互相独立的随机变量，且都在区间（0,10）上服从均匀分布，记,2中心极限定理,退出,前一页,后一页,目录,一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的。

假设每箱平均重50千克，标准差为5千克。

若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977。

例2,解：

设最多可装n箱，保障不超载的概率大于0.977。

由中心极限定理有,第五章大数定律及中心极限定理,2中心极限定理,退出,前一页,后一页,目录,例5（续）,因此最多可装98箱，保障不超载的概率大于0.977。

第五章大数定律及中心极限定理,退出,前一页,后一页,目录,2中心极限定理,第五章大数定律及中心极限定理,定理2（李雅普诺夫定理）,（Liapunov定理）,则服从中心极限定理，即：

退出,前一页,后一页,目录,第五章大数定律及中心极限定理,由定理1有结论成立。

定理3（德莫佛-拉普拉斯定理）,（DeMoivre-Laplace）,证明：

由二项分布和两点分布的关系知,其中相互独立且都服从于两点分布，且,2中心极限定理,退出,前一页,后一页,目录,2中心极限定理,第五章大数定律及中心极限定理,推论：

说明：

这个公式给出了n较大时二项分布的概率计算方法。

退出,前一页,后一页,目录,2中心极限定理,第五章大数定律及中心极限定理,例3,系统由100个相互独立起作用的部件组成，每个部件的损坏率为0.1。

系统要正常工作，至少有85个部件正常工作，求系统正常工作的概率。

解：

由德莫佛-拉普拉斯定理有,则XB（100,0.1）。

则整个系统能正常工作当且仅当,设X是损坏的部件数，,退出,前一页,后一页,目录,2中心极限定理,第五章大数定律及中心极限定理,例4,车间有200台车床，它们独立地工作着，开工率为0.6,开工时耗电各为1千瓦，问供电所至少要供给这个车间多少电力才能以99.9%的概率保证这个车间正常生产。

设至少要供给这个车间r千瓦电才能以99.9%的概率保证这个车间正常生产。

由题意有,解：

记某时刻工作着的车床数为X，,则XB（200,0.6）.,退出,前一页,后一页,目录,第五章大数定律及中心极限定理,即供给141千瓦电就能以99.9%的概率保证这个车间正常生产。

退出,前一页,后一页,目录,2中心极限定理,第五章大数定律及中心极限定理,用频率估计概率时误差的估计：

由上面的定理知,用这个关系式可解决许多计算问题。

退出,前一页,后一页,目录,2中心极限定理,第五章大数定律及中心极限定理,第一类问题是,第二类问题是,问最少应做多少次试验？

这时只需求满足下式的最小的n,第三类问题是,退出,前一页,后一页,目录,2中心极限定理,第五章大数定律及中心极限定理,例5,今从良种率为1/6的种子中任取6000粒，问能以0.99的概率保证在这6000粒种子中良种所占的比例与1/6的差的绝对值不超过多少？

相应的良种粒数在哪个范围内？

解：

由德莫佛-拉普拉斯定理,退出,前一页,后一页,目录,第五章大数定律及中心极限定理,故近似地有,退出,前一页,后一页,目录,2中心极限定理,第五章大数定律及中心极限定理,良种粒数X的范围为,退出,前一页,后一页,目录,1）了解大数定律的意义和内容，理解贝努里、辛钦大数定律，了解切比晓夫大数定律。

第五章小结,要求：

1）大数定律的定义，贝努里、辛钦大数定律，切比晓夫大数定律；,主要内容：

2）中心极限定理的定义，独立同分布的中心极限理和德莫佛-拉普拉斯定理及应用。

2）理解中心极限定理的含义及其客观背景，要掌握独立同分布的中心极限定理和德莫佛-拉普拉斯定理，会利用中心极限定理解决一般实际应用问题。

退出,前一页,后一页,目录,