平面图形中地解三角形.docx

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平面图形中地解三角形

利用正弦，余弦定理解三角形的一些平面图形问题

1．如图,D是直角ABC斜边BC上一点,AC3DC．

（I）若DAC30,求角B的大小；

（II）若BD2DC,且AD22,求DC的长．

2．如图，在平面四边形ABCD中，ABAD，AB1，AC7，2

ABC，

3

ACD.

3

（Ⅰ）求sinBAC；

（Ⅱ）求DC的长.

3．如图，在四边形ABCD中，AB3,BC73,CD14,BD7,BAD120．

（1）求AD边的长；

（2）求ABC的面积．

4．如图，在△ABC中，BC边上的中线AD长为3，且cosB＝

10

8

，cos∠ADC＝－1

4

.

（1）求sin∠BAD的值；

（2）求AC边的长．

5．如图所示，在平面四边形ABCD中，ABAD，2ADC，E为AD边上一

3

点，CE7，DE1，AE2，

BEC.

3

试卷第1页，总3页

（1）求sinCED的值；

（2）求BE的长.

6．如图，在△ABC中，点D在边AB上，CDBC，AC53，CD5,

BD2AD.

（Ⅰ）求AD的长；

（Ⅱ）求△ABC的面积．

7．设锐角△ABC的三内角A,B,C的对边分别为a,b,c向量m

（1,sinA3cosA），n

3

（sinA,）

2

，已知m与n共线.

（1）求角A的大小；

（2）若a2，c43sinB，且△ABC的面积小于3，求角B的取值范围.

8．在ABC中,内角A、B、C对应的边长分别为a、b、c,已知

1

22

cacosBbab．

2

（1）求角A；

（2）若a3,求bc的取值范围．

9．（2012?

东至县一模）在△ABC中，内角A、B、C对边长分别是a，b，c，已知c=2，

C=

（Ⅰ）若△ABC的面积等于；

（Ⅱ）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．

10．已知mcosx3sinx,1,n2cosx,y满足mn0．

（1）将y表示为x的函数fx，并求fx的单调递增区间；

A

（2）已知ABC三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若f3，且a2，求

2

ABC面积的最大值．

试卷第2页，总3页

11．如图，在ABC中，AB=12，AC=36，BC=56，点D在边BC上，且

ADC60．

（1）求cosC；

（2）求线段AD的长．

试卷第3页，总3页

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参考答案

1．（I）B60°；（II）2.

【解析】

试题分析：

（Ⅰ）由正弦定理求出sin3ADC,可得ADC120°；（II）设DCx,

2

在ABD中,由余弦定理整理出关于x的方程,解方程求出DC2.,

ACDC

试题解析：

（Ⅰ）在△ABC中,根据正弦定理,有.

sinADCsinDAC

又ADCBBADB6060

所以ADC120°.

于是C1801203030,所以B60°.

（Ⅱ）设DCx,则BD2x,BC3x,AC3x.

于是

sinB

AC

BC

3

3

cos

6

B,AB6x.

3

在ABD中,由余弦定理,得

2222cos

ADABBDABBDB,

即

22262

（22）6x4x26x2x2x,得x2.

3

故DC2.

考点：

正弦定理、余弦定理.

2．（Ⅰ）

21

7

;（Ⅱ）

47

5

.

【解析】

试题分析：

（Ⅰ）利用余弦定理，求出BC的值，再利用正弦定理即可求sinABC；

（Ⅱ）由ABAD及

（1）可求得CAD的余弦值与正弦值，得用三角形内角和定理及两角

和与差的正弦公式可求出sinD，再利用正弦定理即可求DC的长.

试题解析：

（Ⅰ）在ABC中，由余弦定理得：

2222cos

ACBCBABCBAB，

即

2

BCBC60，解得：

BC2，或BC3（舍），

由正弦定理得：

BCACBCsinB21

sinBAC.

sinBACsinBAC7

（Ⅱ）由（Ⅰ）有：

21

cosCADsinBAC，

7

327

sinCAD1，

77

所以

27121357

sinsin

DCAD

3727214

答案第1页，总8页

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由正弦定理得：

27

7

DCACACCAD

sin747

DC

sinCADsinDsinD5

57

14

.

考点：

1.正弦定理与余弦定理；2.三角恒等变换；3.三角形内角和定理.

3．

（1）AD5；

（2）333

4

．

【解析】

试题分析：

（1）在ABD中，由余弦定理列出方程，即可求解AD边的长；

（2）在ABD

中，由余弦定理，得

求解三角形的面积．

cos

11

ABD，进而得

14

sin

11

ABC，利用三角形的面积公式，

14

试题解析：

（1）在ABD中，由余弦定理，得

2222cos120

BDABADABAD，

即

221

7323

ADAD，解之得AD5或AD8（舍去），所以AD5；

2

（2）由已知，

222

BCBDCD，所以CBD90，

在ABD中，由余弦定理，得，

所以

11

sinABCsinABD90cosABD，

14

所以

1111333

SABBCsinABC373．

ABC

22144

考点：

正弦定理与余弦定理的应用．

4．

（1）

6

4

;

（2）AC4.

【解析】

试题分析：

（1）根据同角三角函数关系式由

cos

10

B,

8

cos

1

ADC可求得sinB,

4

sinADC的值.因为BADADCB,可由正弦的两角差公式求得sinBAD的

值.

（2）在ABD中可由正弦定理求得BD的长,即DC的长,然后再在ADC中用余弦定

理求得AC的长.

试题解析：

解：

（1）因为

cos

10

B，所以

8

sin

36

B.

8

又

cos

1

ADC，所以

4

sin

15

ADC，

4

所以sinBADsinADCB

答案第2页，总8页

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sinADCcosBcosADCsinB

15101366

48484

（2）在ABD中，由

ADBD

sinBsinBAD

得

3BD

366

84

，

解得BD2.

故DC2，

从而在AD中，由

2222cos

ACADDCADDCADC

221

3223216

4

，

得AC4.

考点：

1两角和差公式;2正弦定理,余弦定理.

【易错点晴】本题主要考查的是正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、两角和差

公式，属于中档题．解题时一定要注意角的范围，三角形内角的正弦值均为正,否则很容易

失分．高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，期中关键是三角变换，而三角

变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结

构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式．

5．

（1）

21

7

；

（2）47．

【解析】

试题分析：

（1）在△CDE中，由余弦定理求解CD，再利用正弦定理求出sin21CED；

7

（2）利用三角函数的诱导公式与和角公式求出cosAEB的值，再在Rt△ABE中，

BE47．

试题解析：

（Ⅰ）在△CDE中，由余弦定理得：

2222cos

CECDDECDDECDE，

整理得：

260

CDCD即CD2，又由正弦定理得

CDCE

sinCEDsinCDE

，

即

27

sinsin

CED

2

3

，所以

sin

21

CED．

7

（Ⅱ）因为0,

CED，所以

3

cos

27

CED，又

7

2

AEBCED，

3

答案第3页，总8页

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所以

2

cosAEBcosCED

3

22

coscosCEDsinsinCED

33

127321

2727

7

14

所以在Rt△ABE中，247

BE

cosAEB

．

考点：

正、余弦定理的应用；三角函数的诱导公式及和角公式的应用．

6．（Ⅰ）5；（Ⅱ）

【解析】

753

4

.

试题分析：

（Ⅰ）设ADxx0，则BD2x．因为CDBC，CD5，BD2x，所以

cosCDB

CD

BD

5

2x

，由余弦定理得

cosADC

222252（53）2

ADCDACx

2ADCD2x5

．因为cosADCcosCDB，

即

252（53）25

x

2x52x

．解得x5．所以AD的长为5；（Ⅱ）由（Ⅰ）AB3x15，

所以

1

SABBCsinCBA可得正确答案.

ABC

2

试题解析：

（Ⅰ）在ABC中，因为BD2AD，设ADxx0，则BD2x．

在BCD中，因为CDBC，CD5，BD2x，

所以cos

CDB

CD

BD

5

2x

．在ACD中，因为ADx，CD5，AC53，

由余弦定理得

22252（253）2

ADCDACx

coAsDC．因为

2ADCD25x

CDBADC，

所以cosADCcosCDB，

即

252（53）25

x

2x52x

．解得x5．所以AD的长为5.

（Ⅱ）由（Ⅰ）求得AB3x15，

2

BC4x2553．所以

cosCBD

BC

BD

3

2

，

答案第4页，总8页

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从而

sin

1

CBD,所以

2

1

SABBCsinCBA

ABC

2

11753

1553

224

．

考点：

余弦定理及三角形面积公式.

A

7．

（1）3

（2）0,

6

【解析】

试题分析：

（Ⅰ）利用向量平行，得到关于A的关系式，利用二倍角公式、两角差的正弦函

数化简，求出角A的大小；（Ⅱ）通过a2，c43sinB，且△ABC的面积小于3，得

到B的余弦值的范围，然后求角B的取值范围

试题解析：

（1）因为m与n共线，则

sinA（sinA3cosA）

3

2

即

23

sinA3sinAcosA

2

所以

1cos2A33

sin2A

222

即sin21

A

6

A为锐角，则

2A

62

A

，所以3

（2）因为a2，c43sinB，则

1

SacsinB

ABC

2

1

2

2

243sinB

2

43sinB

43

1cos2B

2

2323cos2B.

cos2B

1

2

由已知，2323cos2B3，即

.

02B0B

36因为B是锐角，所以

，即

，

故角B的取值范围是0,

6

考点：

1.三角函数的恒等变换及化简求值；2.解三角形

【答案】

（1）

π

；

（2）3,23.

3

答案第5页，总8页

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【解析】

试题分析：

（1）由余弦定理得

cos

1

A,所以

2

π

A；

（2）利用正弦定理得

3

bc2sinB2sinC,利用诱导公式和辅助角公式转化为三角函数求范围.

试题解析：

（1）∵

1

22

cacosBbab,由余弦定理

2

得

2222222

acbbcab,

222

abcbc

∵

2222cos

abcbcA,∴

cosA

1

2

∵A0,π,∴

A

π

3

abc

（2）由余弦定理得2

sinAsinBsinC

∴b2sinB,c2sinC

∴bc2sinB2sinC2sinB2sinAB

2sinB2sinAcosB2cosAsinB

31

2sinB2cosB2sinB

22

π

3sinB3cosB23sinB；

6

∵

2π

B0,,∴

3

ππ5π

B,,

666

π1sinB,1．62

所以bc3,23

考点：

正弦定理、余弦定理、三角变换.

9．（Ⅰ）a=2，b=2；（Ⅱ）S=．

【解析】

2

试题分析：

（Ⅰ）由C的度数求出sinC和cosC的值，利用余弦定理表示出c，把c和cosC

的值代入得到一个关于a与b的关系式，再由sinC的值及三角形的面积等于，利用面积

公式列出a与b的另一个关系式，两个关系式联立即可即可求出a与b的值；

（Ⅱ）由三角形的内角和定理得到C=π﹣（A+B），进而利用诱导公式得到sinC=sin（A+B），

代入已知的等式中，左边利用和差化积公式变形，右边利用二倍角的正弦函数公式变形，分

两种情况考虑：

若cosA为0，得到A和B的度数，进而根据直角三角形的性质求出a与b

的值；若cosA不为0，等式两边除以cosA，得到sinB=2sinA，再利用正弦定理化简得到b=2a，

与第一问中余弦定理得到的a与b的关系式联立，求出a与b的值，综上，由求出的a与b

答案第6页，总8页

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的值得到ab的值，再由sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解：

（Ⅰ）∵c=2，C=60°，

2=a2+b2+b

22

由余弦定理c﹣2abcosC得：

a﹣ab=4，

根据三角形的面积S=，可得ab=4，

联立方程组，

解得a=2，b=2；

（Ⅱ）由题意

sin（B+A）+sin（B﹣A）=4sinAcosA，

即sinBcosA=2sinAcosA，

；

当cosA≠0时，得sinB=2sinA，

由正弦定理得b=2a，

联立方程组

解得a=．

所以△ABC的面积S=．

考点：

余弦定理；正弦定理．

10．

（1）x[k,k],（kZ）即为f（x）的单调递增区间；

（2）ABC面积的最

36

大值为3.

【解析】

试题分析：

（1）根据数量积的坐标表示建立关于x,y的等式关系，再借助两角和与差的正余

A

弦公式化简可得fx的表达式；

（2）先求（）3f,确定出角A的大小，再根据a2,

2

利用余弦定理可知

2222cos222

abcbcAbcbcbcbcbc,从而求出bc的最大值，进而得到

面积的最大值．

试题解析：

解：

（1）

2

mn2cosx23sinxcosxy3sin2xcos2x1y

2sin210fxx，

xy，所以2sin21

66

令2x2k,2k，得,,

xkkkZ62236

答案第7页，总8页

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fx的单调递增区间是k,k,kZ36

A

（2）f2sinA13，∴sin1A，

266

又

7

A,，∴

666

A，∴

62

A．

3

在ABC中由余弦定理有，

2222cos222

abcbcAbcbcbcbcbc

可知bc4（当且仅当bc时取等号），

∴

113

SbcsinA43，即ABC面积的最大值为3．

ABC

222

考点：

1．三角恒等变换；2．余弦定理；3．三角函数的性质．

11．

（1）

【解析】

1

3

；

（2）AD8．

试题分析：

（1）利用余弦定理的变式；

（2）在ACD中利用正弦定理即可求解．

试题解析：

（1）根据余弦定理：

cosC

222

ACBCAB

2ACBC

222

（36）（56）121

236563

；

（2）因

为0C

，

所以sinC0

，

21222

sinC1cosC1（）

33

，根据正弦定理得：

ADAC

sinsin

CADC，

AD

ACsinC

sinADC

8．

考点：

正余弦定理解三角形．

答案第8页，总8页