高中数学专题练习函数零点问题.docx
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高中数学专题练习函数零点问题
高中数学专题练习-函数零点问题
[题型分析·高考展望] 函数零点问题是高考常考题型,一般以选择题、填空题的形式考查,难度为中档.其考查点有两个方面:
一是函数零点所在区间、零点个数;二是由函数零点的个数或取值范围求解参数的取值范围.
常考题型精析
题型一 零点个数与零点区间问题
例1
(1)(·湖北)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-3x,则函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为( )
A.{1,3}B.{-3,-1,1,3}
C.{2-
,1,3}D.{-2-
,1,3}
(2)(2015·北京)设函数f(x)=
①若a=1,则f(x)的最小值为________;
②若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是________.
点评 确定函数零点的常用方法:
(1)若方程易求解时,用解方程判定法;
(2)数形结合法,在研究函数零点、方程的根及图象交点的问题时,当从正面求解难以入手时,可以转化为某一易入手的等价问题求解,如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的函数零点问题,常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解.
变式训练1 (·东营模拟)[x]表示不超过x的最大整数,例如[2.9]=2,[-4.1]=-5.已知f(x)=x-[x](x∈R),g(x)=log4(x-1),则函数h(x)=f(x)-g(x)的零点个数是( )
A.1B.2
C.3D.4
题型二 由函数零点求参数范围问题
例2 (·天津)已知函数f(x)=
若函数y=f(x)-a|x|恰有4个零点,则实数a的取值范围为________.
点评 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法:
(1)利用零点存在性定理构建不等式求解.
(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解.
(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题,从而构建不等式求解.
变式训练2 (·北京东城区模拟)函数f(x)是定义在R上的偶函数,且满足f(x+2)=f(x).当x∈[0,1]时,f(x)=2x.若在区间[-2,3]上方程ax+2a-f(x)=0恰有四个不相等的实数根,则实数a的取值范围是______.
高考题型精练
1.已知x1,x2是函数f(x)=e-x-|lnx|的两个零点,则( )
A.
C.12.(·天津)已知函数f(x)=函数g(x)=b-f(2-x),其中b∈R,若函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点,则b的取值范围是( )A.B.C.D.3.(·福州模拟)已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为( )A.,0B.-2,0C.D.04.函数f(x)=2sinπx-x+1的零点个数为( )A.4B.5C.6D.75.设函数f(x)=4sin(2x+1)-x,则在下列区间中函数f(x)不存在零点的是( )A.[-4,-2]B.[-2,0]C.[0,2]D.[2,4]6.(·课标全国Ⅰ)已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则a的取值范围是( )A.(2,+∞)B.(-∞,-2)C.(1,+∞)D.(-∞,-1)7.定义在R上的奇函数f(x),当x≥0时,f(x)=则关于x的函数F(x)=f(x)-a(0A.1-2aB.2a-1C.1-2-aD.2-a-18.(·北京朝阳区模拟)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-k有两个不同的零点,则实数k的取值范围是__________.9.已知函数f(x)=logax+x-b(a>0,且a≠1),当210.方程2-x+x2=3的实数解的个数为________.11.(·江苏)已知函数f(x)=|lnx|,g(x)=则方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数为________.12.已知f(x)是以2为周期的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x,且在[-1,3]内,关于x的方程f(x)=kx+k+1(k∈R,k≠-1)有四个根,则k的取值范围是__________.答案精析函数零点问题常考题型精析例1 (1)D (2)①-1 ②∪[2,+∞)解析 (1)令x<0,则-x>0,所以f(-x)=(-x)2+3x=x2+3x.因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x).所以当x<0时,f(x)=-x2-3x.所以当x≥0时,g(x)=x2-4x+3.令g(x)=0,即x2-4x+3=0,解得x=1或x=3.当x<0时,g(x)=-x2-4x+3.令g(x)=0,即x2+4x-3=0,解得x=-2+>0(舍去)或x=-2-.所以函数g(x)有三个零点,故其集合为{-2-,1,3}.(2)①当a=1时,f(x)=当x<1时,f(x)=2x-1∈(-1,1),当x≥1时,f(x)=4(x2-3x+2)=4≥-1,∴f(x)min=-1.②由于f(x)恰有2个零点,分两种情况讨论:当f(x)=2x-a,x<1没有零点时,a≥2或a≤0.当a≥2时,f(x)=4(x-a)(x-2a),x≥1时,有2个零点;当a≤0时,f(x)=4(x-a)(x-2a),x≥1时无零点.因此a≥2满足题意.当f(x)=2x-a,x<1有一个零点时,0f(x)=4(x-a)(x-2a),x≥1有一个零点,此时a<1,2a≥1,因此≤a<1.综上知实数a的取值范围是.变式训练1 B[函数h(x)=f(x)-g(x)的零点个数可转化为函数f(x)与g(x)图象的交点个数,作出函数f(x)=x-[x]=与函数g(x)=log4(x-1)的大致图象如图,由图可知两函数图象的交点个数为2,即函数h(x)=f(x)-g(x)的零点个数是2.]例2 1解析 画出函数f(x)的图象如图所示.函数y=f(x)-a|x|有4个零点,即函数y1=a|x|的图象与函数f(x)的图象有4个交点(根据图象知需a>0).当a=2时,函数f(x)的图象与函数y1=a|x|的图象有3个交点.故a<2.当y=a|x|(x≤0)与y=|x2+5x+4|相切时,在整个定义域内,f(x)的图象与y1=a|x|的图象有5个交点,此时,由得x2+(5-a)x+4=0.由Δ=0得(5-a)2-16=0,解得a=1,或a=9(舍去),则当1故实数a的取值范围是1变式训练2 解析 由f(x+2)=f(x)得函数的周期是2.由ax+2a-f(x)=0得f(x)=ax+2a,设y=f(x),y=ax+2a,作出函数y=f(x),y=ax+2a的图象,如图,要使方程ax+2a-f(x)=0恰有四个不相等的实数根,则直线y=ax+2a=a(x+2)的斜率满足kAH由题意可知,G(1,2),H(3,2),A(-2,0),所以kAH=,kAG=,所以.高考题型精练1.A[在同一坐标系中画出函数y=e-x与y=|lnx|的图象,结合图象不难看出,它们的两个交点中,其中一个交点的横坐标属于区间(0,1),另一个交点的横坐标属于区间(1,+∞),即在x1,x2中,其中一个属于区间(0,1),另一个属于区间(1,+∞).不妨设x1∈(0,1),x2∈(1,+∞),则有e-x1=|lnx1|=-lnx1∈(e-1,1),e-x2=|lnx2|=lnx2∈(0,e-1),e-x2-e-x1=lnx2+lnx1=lnx1x2∈(-1,0),于是有e-12.D[方法一 当x>2时,g(x)=x+b-4,f(x)=(x-2)2;当0≤x≤2时,g(x)=b-x,f(x)=2-x;当x<0时,g(x)=b-x2,f(x)=2+x.由于函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点,所以方程f(x)-g(x)=0恰有4个根.当b=0时,当x>2时,方程f(x)-g(x)=0可化为x2-5x+8=0,无解;当0≤x≤2时,方程f(x)-g(x)=0可化为2-x-(-x)=0,无解;当x<0时,方程f(x)-g(x)=0可化为x2+x+2=0,无解.所以b≠0,排除答案B.当b=2时,当x>2时,方程f(x)-g(x)=0可化为(x-2)2=x-2,得x=2(舍去)或x=3,有1解;当0≤x≤2时,方程f(x)-g(x)=0可化为2-x=2-x,有无数个解;当x<0时,方程f(x)-g(x)=0可化为2-x2=x+2,得x=0(舍去)或x=-1,有1解.所以b≠2,排除答案A.当b=1时,当x>2时,方程f(x)-g(x)=0可化为x2-5x+7=0,无解;当0≤x≤2时,方程f(x)-g(x)=0可化为1-x=2-x,无解;当x<0时,方程f(x)-g(x)=0可化为x2+x+1=0,无解.所以b≠1,排除答案C.因此答案选D.方法二 记h(x)=-f(2-x)在同一坐标系中作出f(x)与h(x)的图象如图,直线AB:y=x-4,当直线l∥AB且与f(x)的图象相切时,由解得b′=-,--(-4)=,所以曲线h(x)向上平移个单位后,所得图象与f(x)的图象有两个公共点,平移2个单位后,两图象有无数个公共点,因此,当<b<2时,f(x)与g(x)的图象有4个不同的交点,即y=f(x)-g(x)恰有4个零点.选D.]3.D[当x≤1时,由f(x)=2x-1=0,解得x=0;当x>1时,由f(x)=1+log2x=0,解得x=,又因为x>1,所以此时方程无解.综上,函数f(x)的零点只有0.]4.B[∵2sinπx-x+1=0,∴2sinπx=x-1,图象如图所示,由图象看出y=2sinπx与y=x-1有5个交点,∴f(x)=2sinπx-x+1的零点个数为5.]5.A[f(0)=4sin1>0,f(2)=4sin5-2,由于π<5<2π,所以sin5<0,故f(2)<0,则函数在[0,2]上存在零点;由于f(-1)=4sin(-1)+1<0,故函数在[-1,0]上存在零点,也在[-2,0]上存在零点;令x=∈[2,4],则f()=4sin-=4-=>0,而f(2)<0,所以函数在[2,4]上存在零点.选A.]6.B[f′(x)=3ax2-6x,当a=3时,f′(x)=9x2-6x=3x(3x-2),则当x∈(-∞,0)时,f′(x)>0;x∈(0,)时,f′(x)<0;x∈(,+∞)时,f′(x)>0,注意f(0)=1,f()=>0,则f(x)的大致图象如图1所示.图1不符合题意,排除A、C.当a=-时,f′(x)=-4x2-6x=-2x(2x+3),则当x∈(-∞,-)时,f′(x)<0,当x∈(-,0)时,f′(x)>0,当x∈(0,+∞)时,f′(x)<0,注意f(0)=1,f(-)=-,则f(x)的大致图象如图2所示.图2不符合题意,排除D.]7.A[当0≤x<1时,f(x)≤0.由F(x)=f(x)-a=0,画出函数y=f(x)与y=a的图象如图.函数F(x)=f(x)-a有5个零点.当-1所以f(-x)=log0.5(-x+1)=-log2(1-x),即f(x)=log2(1-x),-1由f(x)=log2(1-x)=a,解得x=1-2a,因为函数f(x)为奇函数,所以函数F(x)=f(x)-a(08.解析 画出函数f(x)的图象如图.要使函数g(x)=f(x)-k有两个不同零点,只需y=f(x)与y=k的图象有两个不同交点,则图易知k∈.9.2解析 由于2故f(1)=loga1+1-b=1-b<0,而0故f(2)=loga2+2-b<0,又loga3∈(1,2),3-b∈(-1,0),故f(3)=loga3+3-b>0,因此函数必在区间(2,3)内存在零点,故n=2.10.2解析 方程变形为3-x2=2-x=()x,令y1=3-x2,y2=()x.如图所示,由图象可知有2个交点.11.4解析 令h(x)=f(x)+g(x),则h(x)=当1<x<2时,h′(x)=-2x+=<0,故当1<x<2时h(x)单调递减,在同一坐标系中画出y=|h(x)|和y=1的图象如图所示.由图象可知|f(x)+g(x)|=1的实根个数为4.12.解析 由题意作出f(x)在[-1,3]上的图象如图,记y=k(x+1)+1,∴函数y=k(x+1)+1的图象过定点A(-1,1).记B(2,0),由图象知,方程有四个根,即函数y=f(x)与y=kx+k+1的图象有四个交点,故kAB=-,∴-
2.(·天津)已知函数f(x)=
函数g(x)=b-f(2-x),其中b∈R,若函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点,则b的取值范围是( )
B.
C.
D.
3.(·福州模拟)已知函数f(x)=
则函数f(x)的零点为( )
,0B.-2,0
D.0
4.函数f(x)=2sinπx-x+1的零点个数为( )
A.4B.5
C.6D.7
5.设函数f(x)=4sin(2x+1)-x,则在下列区间中函数f(x)不存在零点的是( )
A.[-4,-2]B.[-2,0]
C.[0,2]D.[2,4]
6.(·课标全国Ⅰ)已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则a的取值范围是( )
A.(2,+∞)B.(-∞,-2)
C.(1,+∞)D.(-∞,-1)
7.定义在R上的奇函数f(x),当x≥0时,f(x)=
则关于x的函数F(x)=f(x)-a(0A.1-2aB.2a-1C.1-2-aD.2-a-18.(·北京朝阳区模拟)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-k有两个不同的零点,则实数k的取值范围是__________.9.已知函数f(x)=logax+x-b(a>0,且a≠1),当210.方程2-x+x2=3的实数解的个数为________.11.(·江苏)已知函数f(x)=|lnx|,g(x)=则方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数为________.12.已知f(x)是以2为周期的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x,且在[-1,3]内,关于x的方程f(x)=kx+k+1(k∈R,k≠-1)有四个根,则k的取值范围是__________.答案精析函数零点问题常考题型精析例1 (1)D (2)①-1 ②∪[2,+∞)解析 (1)令x<0,则-x>0,所以f(-x)=(-x)2+3x=x2+3x.因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x).所以当x<0时,f(x)=-x2-3x.所以当x≥0时,g(x)=x2-4x+3.令g(x)=0,即x2-4x+3=0,解得x=1或x=3.当x<0时,g(x)=-x2-4x+3.令g(x)=0,即x2+4x-3=0,解得x=-2+>0(舍去)或x=-2-.所以函数g(x)有三个零点,故其集合为{-2-,1,3}.(2)①当a=1时,f(x)=当x<1时,f(x)=2x-1∈(-1,1),当x≥1时,f(x)=4(x2-3x+2)=4≥-1,∴f(x)min=-1.②由于f(x)恰有2个零点,分两种情况讨论:当f(x)=2x-a,x<1没有零点时,a≥2或a≤0.当a≥2时,f(x)=4(x-a)(x-2a),x≥1时,有2个零点;当a≤0时,f(x)=4(x-a)(x-2a),x≥1时无零点.因此a≥2满足题意.当f(x)=2x-a,x<1有一个零点时,0f(x)=4(x-a)(x-2a),x≥1有一个零点,此时a<1,2a≥1,因此≤a<1.综上知实数a的取值范围是.变式训练1 B[函数h(x)=f(x)-g(x)的零点个数可转化为函数f(x)与g(x)图象的交点个数,作出函数f(x)=x-[x]=与函数g(x)=log4(x-1)的大致图象如图,由图可知两函数图象的交点个数为2,即函数h(x)=f(x)-g(x)的零点个数是2.]例2 1解析 画出函数f(x)的图象如图所示.函数y=f(x)-a|x|有4个零点,即函数y1=a|x|的图象与函数f(x)的图象有4个交点(根据图象知需a>0).当a=2时,函数f(x)的图象与函数y1=a|x|的图象有3个交点.故a<2.当y=a|x|(x≤0)与y=|x2+5x+4|相切时,在整个定义域内,f(x)的图象与y1=a|x|的图象有5个交点,此时,由得x2+(5-a)x+4=0.由Δ=0得(5-a)2-16=0,解得a=1,或a=9(舍去),则当1故实数a的取值范围是1变式训练2 解析 由f(x+2)=f(x)得函数的周期是2.由ax+2a-f(x)=0得f(x)=ax+2a,设y=f(x),y=ax+2a,作出函数y=f(x),y=ax+2a的图象,如图,要使方程ax+2a-f(x)=0恰有四个不相等的实数根,则直线y=ax+2a=a(x+2)的斜率满足kAH由题意可知,G(1,2),H(3,2),A(-2,0),所以kAH=,kAG=,所以.高考题型精练1.A[在同一坐标系中画出函数y=e-x与y=|lnx|的图象,结合图象不难看出,它们的两个交点中,其中一个交点的横坐标属于区间(0,1),另一个交点的横坐标属于区间(1,+∞),即在x1,x2中,其中一个属于区间(0,1),另一个属于区间(1,+∞).不妨设x1∈(0,1),x2∈(1,+∞),则有e-x1=|lnx1|=-lnx1∈(e-1,1),e-x2=|lnx2|=lnx2∈(0,e-1),e-x2-e-x1=lnx2+lnx1=lnx1x2∈(-1,0),于是有e-12.D[方法一 当x>2时,g(x)=x+b-4,f(x)=(x-2)2;当0≤x≤2时,g(x)=b-x,f(x)=2-x;当x<0时,g(x)=b-x2,f(x)=2+x.由于函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点,所以方程f(x)-g(x)=0恰有4个根.当b=0时,当x>2时,方程f(x)-g(x)=0可化为x2-5x+8=0,无解;当0≤x≤2时,方程f(x)-g(x)=0可化为2-x-(-x)=0,无解;当x<0时,方程f(x)-g(x)=0可化为x2+x+2=0,无解.所以b≠0,排除答案B.当b=2时,当x>2时,方程f(x)-g(x)=0可化为(x-2)2=x-2,得x=2(舍去)或x=3,有1解;当0≤x≤2时,方程f(x)-g(x)=0可化为2-x=2-x,有无数个解;当x<0时,方程f(x)-g(x)=0可化为2-x2=x+2,得x=0(舍去)或x=-1,有1解.所以b≠2,排除答案A.当b=1时,当x>2时,方程f(x)-g(x)=0可化为x2-5x+7=0,无解;当0≤x≤2时,方程f(x)-g(x)=0可化为1-x=2-x,无解;当x<0时,方程f(x)-g(x)=0可化为x2+x+1=0,无解.所以b≠1,排除答案C.因此答案选D.方法二 记h(x)=-f(2-x)在同一坐标系中作出f(x)与h(x)的图象如图,直线AB:y=x-4,当直线l∥AB且与f(x)的图象相切时,由解得b′=-,--(-4)=,所以曲线h(x)向上平移个单位后,所得图象与f(x)的图象有两个公共点,平移2个单位后,两图象有无数个公共点,因此,当<b<2时,f(x)与g(x)的图象有4个不同的交点,即y=f(x)-g(x)恰有4个零点.选D.]3.D[当x≤1时,由f(x)=2x-1=0,解得x=0;当x>1时,由f(x)=1+log2x=0,解得x=,又因为x>1,所以此时方程无解.综上,函数f(x)的零点只有0.]4.B[∵2sinπx-x+1=0,∴2sinπx=x-1,图象如图所示,由图象看出y=2sinπx与y=x-1有5个交点,∴f(x)=2sinπx-x+1的零点个数为5.]5.A[f(0)=4sin1>0,f(2)=4sin5-2,由于π<5<2π,所以sin5<0,故f(2)<0,则函数在[0,2]上存在零点;由于f(-1)=4sin(-1)+1<0,故函数在[-1,0]上存在零点,也在[-2,0]上存在零点;令x=∈[2,4],则f()=4sin-=4-=>0,而f(2)<0,所以函数在[2,4]上存在零点.选A.]6.B[f′(x)=3ax2-6x,当a=3时,f′(x)=9x2-6x=3x(3x-2),则当x∈(-∞,0)时,f′(x)>0;x∈(0,)时,f′(x)<0;x∈(,+∞)时,f′(x)>0,注意f(0)=1,f()=>0,则f(x)的大致图象如图1所示.图1不符合题意,排除A、C.当a=-时,f′(x)=-4x2-6x=-2x(2x+3),则当x∈(-∞,-)时,f′(x)<0,当x∈(-,0)时,f′(x)>0,当x∈(0,+∞)时,f′(x)<0,注意f(0)=1,f(-)=-,则f(x)的大致图象如图2所示.图2不符合题意,排除D.]7.A[当0≤x<1时,f(x)≤0.由F(x)=f(x)-a=0,画出函数y=f(x)与y=a的图象如图.函数F(x)=f(x)-a有5个零点.当-1所以f(-x)=log0.5(-x+1)=-log2(1-x),即f(x)=log2(1-x),-1由f(x)=log2(1-x)=a,解得x=1-2a,因为函数f(x)为奇函数,所以函数F(x)=f(x)-a(08.解析 画出函数f(x)的图象如图.要使函数g(x)=f(x)-k有两个不同零点,只需y=f(x)与y=k的图象有两个不同交点,则图易知k∈.9.2解析 由于2故f(1)=loga1+1-b=1-b<0,而0故f(2)=loga2+2-b<0,又loga3∈(1,2),3-b∈(-1,0),故f(3)=loga3+3-b>0,因此函数必在区间(2,3)内存在零点,故n=2.10.2解析 方程变形为3-x2=2-x=()x,令y1=3-x2,y2=()x.如图所示,由图象可知有2个交点.11.4解析 令h(x)=f(x)+g(x),则h(x)=当1<x<2时,h′(x)=-2x+=<0,故当1<x<2时h(x)单调递减,在同一坐标系中画出y=|h(x)|和y=1的图象如图所示.由图象可知|f(x)+g(x)|=1的实根个数为4.12.解析 由题意作出f(x)在[-1,3]上的图象如图,记y=k(x+1)+1,∴函数y=k(x+1)+1的图象过定点A(-1,1).记B(2,0),由图象知,方程有四个根,即函数y=f(x)与y=kx+k+1的图象有四个交点,故kAB=-,∴-
A.1-2aB.2a-1
C.1-2-aD.2-a-1
8.(·北京朝阳区模拟)已知函数f(x)=
若函数g(x)=f(x)-k有两个不同的零点,则实数k的取值范围是__________.
9.已知函数f(x)=logax+x-b(a>0,且a≠1),当210.方程2-x+x2=3的实数解的个数为________.11.(·江苏)已知函数f(x)=|lnx|,g(x)=则方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数为________.12.已知f(x)是以2为周期的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x,且在[-1,3]内,关于x的方程f(x)=kx+k+1(k∈R,k≠-1)有四个根,则k的取值范围是__________.答案精析函数零点问题常考题型精析例1 (1)D (2)①-1 ②∪[2,+∞)解析 (1)令x<0,则-x>0,所以f(-x)=(-x)2+3x=x2+3x.因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x).所以当x<0时,f(x)=-x2-3x.所以当x≥0时,g(x)=x2-4x+3.令g(x)=0,即x2-4x+3=0,解得x=1或x=3.当x<0时,g(x)=-x2-4x+3.令g(x)=0,即x2+4x-3=0,解得x=-2+>0(舍去)或x=-2-.所以函数g(x)有三个零点,故其集合为{-2-,1,3}.(2)①当a=1时,f(x)=当x<1时,f(x)=2x-1∈(-1,1),当x≥1时,f(x)=4(x2-3x+2)=4≥-1,∴f(x)min=-1.②由于f(x)恰有2个零点,分两种情况讨论:当f(x)=2x-a,x<1没有零点时,a≥2或a≤0.当a≥2时,f(x)=4(x-a)(x-2a),x≥1时,有2个零点;当a≤0时,f(x)=4(x-a)(x-2a),x≥1时无零点.因此a≥2满足题意.当f(x)=2x-a,x<1有一个零点时,0f(x)=4(x-a)(x-2a),x≥1有一个零点,此时a<1,2a≥1,因此≤a<1.综上知实数a的取值范围是.变式训练1 B[函数h(x)=f(x)-g(x)的零点个数可转化为函数f(x)与g(x)图象的交点个数,作出函数f(x)=x-[x]=与函数g(x)=log4(x-1)的大致图象如图,由图可知两函数图象的交点个数为2,即函数h(x)=f(x)-g(x)的零点个数是2.]例2 1解析 画出函数f(x)的图象如图所示.函数y=f(x)-a|x|有4个零点,即函数y1=a|x|的图象与函数f(x)的图象有4个交点(根据图象知需a>0).当a=2时,函数f(x)的图象与函数y1=a|x|的图象有3个交点.故a<2.当y=a|x|(x≤0)与y=|x2+5x+4|相切时,在整个定义域内,f(x)的图象与y1=a|x|的图象有5个交点,此时,由得x2+(5-a)x+4=0.由Δ=0得(5-a)2-16=0,解得a=1,或a=9(舍去),则当1故实数a的取值范围是1变式训练2 解析 由f(x+2)=f(x)得函数的周期是2.由ax+2a-f(x)=0得f(x)=ax+2a,设y=f(x),y=ax+2a,作出函数y=f(x),y=ax+2a的图象,如图,要使方程ax+2a-f(x)=0恰有四个不相等的实数根,则直线y=ax+2a=a(x+2)的斜率满足kAH由题意可知,G(1,2),H(3,2),A(-2,0),所以kAH=,kAG=,所以.高考题型精练1.A[在同一坐标系中画出函数y=e-x与y=|lnx|的图象,结合图象不难看出,它们的两个交点中,其中一个交点的横坐标属于区间(0,1),另一个交点的横坐标属于区间(1,+∞),即在x1,x2中,其中一个属于区间(0,1),另一个属于区间(1,+∞).不妨设x1∈(0,1),x2∈(1,+∞),则有e-x1=|lnx1|=-lnx1∈(e-1,1),e-x2=|lnx2|=lnx2∈(0,e-1),e-x2-e-x1=lnx2+lnx1=lnx1x2∈(-1,0),于是有e-12.D[方法一 当x>2时,g(x)=x+b-4,f(x)=(x-2)2;当0≤x≤2时,g(x)=b-x,f(x)=2-x;当x<0时,g(x)=b-x2,f(x)=2+x.由于函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点,所以方程f(x)-g(x)=0恰有4个根.当b=0时,当x>2时,方程f(x)-g(x)=0可化为x2-5x+8=0,无解;当0≤x≤2时,方程f(x)-g(x)=0可化为2-x-(-x)=0,无解;当x<0时,方程f(x)-g(x)=0可化为x2+x+2=0,无解.所以b≠0,排除答案B.当b=2时,当x>2时,方程f(x)-g(x)=0可化为(x-2)2=x-2,得x=2(舍去)或x=3,有1解;当0≤x≤2时,方程f(x)-g(x)=0可化为2-x=2-x,有无数个解;当x<0时,方程f(x)-g(x)=0可化为2-x2=x+2,得x=0(舍去)或x=-1,有1解.所以b≠2,排除答案A.当b=1时,当x>2时,方程f(x)-g(x)=0可化为x2-5x+7=0,无解;当0≤x≤2时,方程f(x)-g(x)=0可化为1-x=2-x,无解;当x<0时,方程f(x)-g(x)=0可化为x2+x+1=0,无解.所以b≠1,排除答案C.因此答案选D.方法二 记h(x)=-f(2-x)在同一坐标系中作出f(x)与h(x)的图象如图,直线AB:y=x-4,当直线l∥AB且与f(x)的图象相切时,由解得b′=-,--(-4)=,所以曲线h(x)向上平移个单位后,所得图象与f(x)的图象有两个公共点,平移2个单位后,两图象有无数个公共点,因此,当<b<2时,f(x)与g(x)的图象有4个不同的交点,即y=f(x)-g(x)恰有4个零点.选D.]3.D[当x≤1时,由f(x)=2x-1=0,解得x=0;当x>1时,由f(x)=1+log2x=0,解得x=,又因为x>1,所以此时方程无解.综上,函数f(x)的零点只有0.]4.B[∵2sinπx-x+1=0,∴2sinπx=x-1,图象如图所示,由图象看出y=2sinπx与y=x-1有5个交点,∴f(x)=2sinπx-x+1的零点个数为5.]5.A[f(0)=4sin1>0,f(2)=4sin5-2,由于π<5<2π,所以sin5<0,故f(2)<0,则函数在[0,2]上存在零点;由于f(-1)=4sin(-1)+1<0,故函数在[-1,0]上存在零点,也在[-2,0]上存在零点;令x=∈[2,4],则f()=4sin-=4-=>0,而f(2)<0,所以函数在[2,4]上存在零点.选A.]6.B[f′(x)=3ax2-6x,当a=3时,f′(x)=9x2-6x=3x(3x-2),则当x∈(-∞,0)时,f′(x)>0;x∈(0,)时,f′(x)<0;x∈(,+∞)时,f′(x)>0,注意f(0)=1,f()=>0,则f(x)的大致图象如图1所示.图1不符合题意,排除A、C.当a=-时,f′(x)=-4x2-6x=-2x(2x+3),则当x∈(-∞,-)时,f′(x)<0,当x∈(-,0)时,f′(x)>0,当x∈(0,+∞)时,f′(x)<0,注意f(0)=1,f(-)=-,则f(x)的大致图象如图2所示.图2不符合题意,排除D.]7.A[当0≤x<1时,f(x)≤0.由F(x)=f(x)-a=0,画出函数y=f(x)与y=a的图象如图.函数F(x)=f(x)-a有5个零点.当-1所以f(-x)=log0.5(-x+1)=-log2(1-x),即f(x)=log2(1-x),-1由f(x)=log2(1-x)=a,解得x=1-2a,因为函数f(x)为奇函数,所以函数F(x)=f(x)-a(08.解析 画出函数f(x)的图象如图.要使函数g(x)=f(x)-k有两个不同零点,只需y=f(x)与y=k的图象有两个不同交点,则图易知k∈.9.2解析 由于2故f(1)=loga1+1-b=1-b<0,而0故f(2)=loga2+2-b<0,又loga3∈(1,2),3-b∈(-1,0),故f(3)=loga3+3-b>0,因此函数必在区间(2,3)内存在零点,故n=2.10.2解析 方程变形为3-x2=2-x=()x,令y1=3-x2,y2=()x.如图所示,由图象可知有2个交点.11.4解析 令h(x)=f(x)+g(x),则h(x)=当1<x<2时,h′(x)=-2x+=<0,故当1<x<2时h(x)单调递减,在同一坐标系中画出y=|h(x)|和y=1的图象如图所示.由图象可知|f(x)+g(x)|=1的实根个数为4.12.解析 由题意作出f(x)在[-1,3]上的图象如图,记y=k(x+1)+1,∴函数y=k(x+1)+1的图象过定点A(-1,1).记B(2,0),由图象知,方程有四个根,即函数y=f(x)与y=kx+k+1的图象有四个交点,故kAB=-,∴-
10.方程2-x+x2=3的实数解的个数为________.
11.(·江苏)已知函数f(x)=|lnx|,g(x)=
则方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数为________.
12.已知f(x)是以2为周期的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x,且在[-1,3]内,关于x的方程f(x)=kx+k+1(k∈R,k≠-1)有四个根,则k的取值范围是__________.
答案精析
函数零点问题
(1)D
(2)①-1 ②
∪[2,+∞)
解析
(1)令x<0,则-x>0,
所以f(-x)=(-x)2+3x=x2+3x.
因为f(x)是定义在R上的奇函数,
所以f(-x)=-f(x).
所以当x<0时,f(x)=-x2-3x.
所以当x≥0时,g(x)=x2-4x+3.令g(x)=0,即x2-4x+3=0,解得x=1或x=3.当x<0时,g(x)=-x2-4x+3.令g(x)=0,即x2+4x-3=0,解得x=-2+
>0(舍去)或x=-2-
.所以函数g(x)有三个零点,故其集合为{-2-
,1,3}.
(2)①当a=1时,f(x)=
当x<1时,f(x)=2x-1∈(-1,1),
当x≥1时,f(x)=4(x2-3x+2)
=4
≥-1,
∴f(x)min=-1.
②由于f(x)恰有2个零点,分两种情况讨论:
当f(x)=2x-a,x<1没有零点时,a≥2或a≤0.
当a≥2时,f(x)=4(x-a)(x-2a),x≥1时,有2个零点;
当a≤0时,f(x)=4(x-a)(x-2a),x≥1时无零点.
因此a≥2满足题意.
当f(x)=2x-a,x<1有一个零点时,0f(x)=4(x-a)(x-2a),x≥1有一个零点,此时a<1,2a≥1,因此≤a<1.综上知实数a的取值范围是.变式训练1 B[函数h(x)=f(x)-g(x)的零点个数可转化为函数f(x)与g(x)图象的交点个数,作出函数f(x)=x-[x]=与函数g(x)=log4(x-1)的大致图象如图,由图可知两函数图象的交点个数为2,即函数h(x)=f(x)-g(x)的零点个数是2.]例2 1解析 画出函数f(x)的图象如图所示.函数y=f(x)-a|x|有4个零点,即函数y1=a|x|的图象与函数f(x)的图象有4个交点(根据图象知需a>0).当a=2时,函数f(x)的图象与函数y1=a|x|的图象有3个交点.故a<2.当y=a|x|(x≤0)与y=|x2+5x+4|相切时,在整个定义域内,f(x)的图象与y1=a|x|的图象有5个交点,此时,由得x2+(5-a)x+4=0.由Δ=0得(5-a)2-16=0,解得a=1,或a=9(舍去),则当1故实数a的取值范围是1变式训练2 解析 由f(x+2)=f(x)得函数的周期是2.由ax+2a-f(x)=0得f(x)=ax+2a,设y=f(x),y=ax+2a,作出函数y=f(x),y=ax+2a的图象,如图,要使方程ax+2a-f(x)=0恰有四个不相等的实数根,则直线y=ax+2a=a(x+2)的斜率满足kAH由题意可知,G(1,2),H(3,2),A(-2,0),所以kAH=,kAG=,所以.高考题型精练1.A[在同一坐标系中画出函数y=e-x与y=|lnx|的图象,结合图象不难看出,它们的两个交点中,其中一个交点的横坐标属于区间(0,1),另一个交点的横坐标属于区间(1,+∞),即在x1,x2中,其中一个属于区间(0,1),另一个属于区间(1,+∞).不妨设x1∈(0,1),x2∈(1,+∞),则有e-x1=|lnx1|=-lnx1∈(e-1,1),e-x2=|lnx2|=lnx2∈(0,e-1),e-x2-e-x1=lnx2+lnx1=lnx1x2∈(-1,0),于是有e-12.D[方法一 当x>2时,g(x)=x+b-4,f(x)=(x-2)2;当0≤x≤2时,g(x)=b-x,f(x)=2-x;当x<0时,g(x)=b-x2,f(x)=2+x.由于函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点,所以方程f(x)-g(x)=0恰有4个根.当b=0时,当x>2时,方程f(x)-g(x)=0可化为x2-5x+8=0,无解;当0≤x≤2时,方程f(x)-g(x)=0可化为2-x-(-x)=0,无解;当x<0时,方程f(x)-g(x)=0可化为x2+x+2=0,无解.所以b≠0,排除答案B.当b=2时,当x>2时,方程f(x)-g(x)=0可化为(x-2)2=x-2,得x=2(舍去)或x=3,有1解;当0≤x≤2时,方程f(x)-g(x)=0可化为2-x=2-x,有无数个解;当x<0时,方程f(x)-g(x)=0可化为2-x2=x+2,得x=0(舍去)或x=-1,有1解.所以b≠2,排除答案A.当b=1时,当x>2时,方程f(x)-g(x)=0可化为x2-5x+7=0,无解;当0≤x≤2时,方程f(x)-g(x)=0可化为1-x=2-x,无解;当x<0时,方程f(x)-g(x)=0可化为x2+x+1=0,无解.所以b≠1,排除答案C.因此答案选D.方法二 记h(x)=-f(2-x)在同一坐标系中作出f(x)与h(x)的图象如图,直线AB:y=x-4,当直线l∥AB且与f(x)的图象相切时,由解得b′=-,--(-4)=,所以曲线h(x)向上平移个单位后,所得图象与f(x)的图象有两个公共点,平移2个单位后,两图象有无数个公共点,因此,当<b<2时,f(x)与g(x)的图象有4个不同的交点,即y=f(x)-g(x)恰有4个零点.选D.]3.D[当x≤1时,由f(x)=2x-1=0,解得x=0;当x>1时,由f(x)=1+log2x=0,解得x=,又因为x>1,所以此时方程无解.综上,函数f(x)的零点只有0.]4.B[∵2sinπx-x+1=0,∴2sinπx=x-1,图象如图所示,由图象看出y=2sinπx与y=x-1有5个交点,∴f(x)=2sinπx-x+1的零点个数为5.]5.A[f(0)=4sin1>0,f(2)=4sin5-2,由于π<5<2π,所以sin5<0,故f(2)<0,则函数在[0,2]上存在零点;由于f(-1)=4sin(-1)+1<0,故函数在[-1,0]上存在零点,也在[-2,0]上存在零点;令x=∈[2,4],则f()=4sin-=4-=>0,而f(2)<0,所以函数在[2,4]上存在零点.选A.]6.B[f′(x)=3ax2-6x,当a=3时,f′(x)=9x2-6x=3x(3x-2),则当x∈(-∞,0)时,f′(x)>0;x∈(0,)时,f′(x)<0;x∈(,+∞)时,f′(x)>0,注意f(0)=1,f()=>0,则f(x)的大致图象如图1所示.图1不符合题意,排除A、C.当a=-时,f′(x)=-4x2-6x=-2x(2x+3),则当x∈(-∞,-)时,f′(x)<0,当x∈(-,0)时,f′(x)>0,当x∈(0,+∞)时,f′(x)<0,注意f(0)=1,f(-)=-,则f(x)的大致图象如图2所示.图2不符合题意,排除D.]7.A[当0≤x<1时,f(x)≤0.由F(x)=f(x)-a=0,画出函数y=f(x)与y=a的图象如图.函数F(x)=f(x)-a有5个零点.当-1所以f(-x)=log0.5(-x+1)=-log2(1-x),即f(x)=log2(1-x),-1由f(x)=log2(1-x)=a,解得x=1-2a,因为函数f(x)为奇函数,所以函数F(x)=f(x)-a(08.解析 画出函数f(x)的图象如图.要使函数g(x)=f(x)-k有两个不同零点,只需y=f(x)与y=k的图象有两个不同交点,则图易知k∈.9.2解析 由于2故f(1)=loga1+1-b=1-b<0,而0故f(2)=loga2+2-b<0,又loga3∈(1,2),3-b∈(-1,0),故f(3)=loga3+3-b>0,因此函数必在区间(2,3)内存在零点,故n=2.10.2解析 方程变形为3-x2=2-x=()x,令y1=3-x2,y2=()x.如图所示,由图象可知有2个交点.11.4解析 令h(x)=f(x)+g(x),则h(x)=当1<x<2时,h′(x)=-2x+=<0,故当1<x<2时h(x)单调递减,在同一坐标系中画出y=|h(x)|和y=1的图象如图所示.由图象可知|f(x)+g(x)|=1的实根个数为4.12.解析 由题意作出f(x)在[-1,3]上的图象如图,记y=k(x+1)+1,∴函数y=k(x+1)+1的图象过定点A(-1,1).记B(2,0),由图象知,方程有四个根,即函数y=f(x)与y=kx+k+1的图象有四个交点,故kAB=-,∴-
f(x)=4(x-a)(x-2a),x≥1有一个零点,此时a<1,2a≥1,因此
≤a<1.
综上知实数a的取值范围是
.
变式训练1 B[函数h(x)=f(x)-g(x)的零点个数可转化为函数f(x)与g(x)图象的交点个数,作出函数f(x)=x-[x]=
与函数g(x)=log4(x-1)的大致图象如图,由图可知两函数图象的交点个数为2,即函数h(x)=f(x)-g(x)的零点个数是2.]
例2 1解析 画出函数f(x)的图象如图所示.函数y=f(x)-a|x|有4个零点,即函数y1=a|x|的图象与函数f(x)的图象有4个交点(根据图象知需a>0).当a=2时,函数f(x)的图象与函数y1=a|x|的图象有3个交点.故a<2.当y=a|x|(x≤0)与y=|x2+5x+4|相切时,在整个定义域内,f(x)的图象与y1=a|x|的图象有5个交点,此时,由得x2+(5-a)x+4=0.由Δ=0得(5-a)2-16=0,解得a=1,或a=9(舍去),则当1故实数a的取值范围是1变式训练2 解析 由f(x+2)=f(x)得函数的周期是2.由ax+2a-f(x)=0得f(x)=ax+2a,设y=f(x),y=ax+2a,作出函数y=f(x),y=ax+2a的图象,如图,要使方程ax+2a-f(x)=0恰有四个不相等的实数根,则直线y=ax+2a=a(x+2)的斜率满足kAH由题意可知,G(1,2),H(3,2),A(-2,0),所以kAH=,kAG=,所以.高考题型精练1.A[在同一坐标系中画出函数y=e-x与y=|lnx|的图象,结合图象不难看出,它们的两个交点中,其中一个交点的横坐标属于区间(0,1),另一个交点的横坐标属于区间(1,+∞),即在x1,x2中,其中一个属于区间(0,1),另一个属于区间(1,+∞).不妨设x1∈(0,1),x2∈(1,+∞),则有e-x1=|lnx1|=-lnx1∈(e-1,1),e-x2=|lnx2|=lnx2∈(0,e-1),e-x2-e-x1=lnx2+lnx1=lnx1x2∈(-1,0),于是有e-12.D[方法一 当x>2时,g(x)=x+b-4,f(x)=(x-2)2;当0≤x≤2时,g(x)=b-x,f(x)=2-x;当x<0时,g(x)=b-x2,f(x)=2+x.由于函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点,所以方程f(x)-g(x)=0恰有4个根.当b=0时,当x>2时,方程f(x)-g(x)=0可化为x2-5x+8=0,无解;当0≤x≤2时,方程f(x)-g(x)=0可化为2-x-(-x)=0,无解;当x<0时,方程f(x)-g(x)=0可化为x2+x+2=0,无解.所以b≠0,排除答案B.当b=2时,当x>2时,方程f(x)-g(x)=0可化为(x-2)2=x-2,得x=2(舍去)或x=3,有1解;当0≤x≤2时,方程f(x)-g(x)=0可化为2-x=2-x,有无数个解;当x<0时,方程f(x)-g(x)=0可化为2-x2=x+2,得x=0(舍去)或x=-1,有1解.所以b≠2,排除答案A.当b=1时,当x>2时,方程f(x)-g(x)=0可化为x2-5x+7=0,无解;当0≤x≤2时,方程f(x)-g(x)=0可化为1-x=2-x,无解;当x<0时,方程f(x)-g(x)=0可化为x2+x+1=0,无解.所以b≠1,排除答案C.因此答案选D.方法二 记h(x)=-f(2-x)在同一坐标系中作出f(x)与h(x)的图象如图,直线AB:y=x-4,当直线l∥AB且与f(x)的图象相切时,由解得b′=-,--(-4)=,所以曲线h(x)向上平移个单位后,所得图象与f(x)的图象有两个公共点,平移2个单位后,两图象有无数个公共点,因此,当<b<2时,f(x)与g(x)的图象有4个不同的交点,即y=f(x)-g(x)恰有4个零点.选D.]3.D[当x≤1时,由f(x)=2x-1=0,解得x=0;当x>1时,由f(x)=1+log2x=0,解得x=,又因为x>1,所以此时方程无解.综上,函数f(x)的零点只有0.]4.B[∵2sinπx-x+1=0,∴2sinπx=x-1,图象如图所示,由图象看出y=2sinπx与y=x-1有5个交点,∴f(x)=2sinπx-x+1的零点个数为5.]5.A[f(0)=4sin1>0,f(2)=4sin5-2,由于π<5<2π,所以sin5<0,故f(2)<0,则函数在[0,2]上存在零点;由于f(-1)=4sin(-1)+1<0,故函数在[-1,0]上存在零点,也在[-2,0]上存在零点;令x=∈[2,4],则f()=4sin-=4-=>0,而f(2)<0,所以函数在[2,4]上存在零点.选A.]6.B[f′(x)=3ax2-6x,当a=3时,f′(x)=9x2-6x=3x(3x-2),则当x∈(-∞,0)时,f′(x)>0;x∈(0,)时,f′(x)<0;x∈(,+∞)时,f′(x)>0,注意f(0)=1,f()=>0,则f(x)的大致图象如图1所示.图1不符合题意,排除A、C.当a=-时,f′(x)=-4x2-6x=-2x(2x+3),则当x∈(-∞,-)时,f′(x)<0,当x∈(-,0)时,f′(x)>0,当x∈(0,+∞)时,f′(x)<0,注意f(0)=1,f(-)=-,则f(x)的大致图象如图2所示.图2不符合题意,排除D.]7.A[当0≤x<1时,f(x)≤0.由F(x)=f(x)-a=0,画出函数y=f(x)与y=a的图象如图.函数F(x)=f(x)-a有5个零点.当-1所以f(-x)=log0.5(-x+1)=-log2(1-x),即f(x)=log2(1-x),-1由f(x)=log2(1-x)=a,解得x=1-2a,因为函数f(x)为奇函数,所以函数F(x)=f(x)-a(08.解析 画出函数f(x)的图象如图.要使函数g(x)=f(x)-k有两个不同零点,只需y=f(x)与y=k的图象有两个不同交点,则图易知k∈.9.2解析 由于2故f(1)=loga1+1-b=1-b<0,而0故f(2)=loga2+2-b<0,又loga3∈(1,2),3-b∈(-1,0),故f(3)=loga3+3-b>0,因此函数必在区间(2,3)内存在零点,故n=2.10.2解析 方程变形为3-x2=2-x=()x,令y1=3-x2,y2=()x.如图所示,由图象可知有2个交点.11.4解析 令h(x)=f(x)+g(x),则h(x)=当1<x<2时,h′(x)=-2x+=<0,故当1<x<2时h(x)单调递减,在同一坐标系中画出y=|h(x)|和y=1的图象如图所示.由图象可知|f(x)+g(x)|=1的实根个数为4.12.解析 由题意作出f(x)在[-1,3]上的图象如图,记y=k(x+1)+1,∴函数y=k(x+1)+1的图象过定点A(-1,1).记B(2,0),由图象知,方程有四个根,即函数y=f(x)与y=kx+k+1的图象有四个交点,故kAB=-,∴-
解析 画出函数f(x)的图象如图所示.
函数y=f(x)-a|x|有4个零点,即函数y1=a|x|的图象与函数f(x)的图象有4个交点(根据图象知需a>0).
当a=2时,函数f(x)的图象与函数y1=a|x|的图象有3个交点.故a<2.
当y=a|x|(x≤0)与y=|x2+5x+4|相切时,在整个定义域内,f(x)的图象与y1=a|x|的图象有5个交点,
此时,由
得x2+(5-a)x+4=0.
由Δ=0得(5-a)2-16=0,解得a=1,或a=9(舍去),
则当1故实数a的取值范围是1变式训练2 解析 由f(x+2)=f(x)得函数的周期是2.由ax+2a-f(x)=0得f(x)=ax+2a,设y=f(x),y=ax+2a,作出函数y=f(x),y=ax+2a的图象,如图,要使方程ax+2a-f(x)=0恰有四个不相等的实数根,则直线y=ax+2a=a(x+2)的斜率满足kAH由题意可知,G(1,2),H(3,2),A(-2,0),所以kAH=,kAG=,所以.高考题型精练1.A[在同一坐标系中画出函数y=e-x与y=|lnx|的图象,结合图象不难看出,它们的两个交点中,其中一个交点的横坐标属于区间(0,1),另一个交点的横坐标属于区间(1,+∞),即在x1,x2中,其中一个属于区间(0,1),另一个属于区间(1,+∞).不妨设x1∈(0,1),x2∈(1,+∞),则有e-x1=|lnx1|=-lnx1∈(e-1,1),e-x2=|lnx2|=lnx2∈(0,e-1),e-x2-e-x1=lnx2+lnx1=lnx1x2∈(-1,0),于是有e-12.D[方法一 当x>2时,g(x)=x+b-4,f(x)=(x-2)2;当0≤x≤2时,g(x)=b-x,f(x)=2-x;当x<0时,g(x)=b-x2,f(x)=2+x.由于函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点,所以方程f(x)-g(x)=0恰有4个根.当b=0时,当x>2时,方程f(x)-g(x)=0可化为x2-5x+8=0,无解;当0≤x≤2时,方程f(x)-g(x)=0可化为2-x-(-x)=0,无解;当x<0时,方程f(x)-g(x)=0可化为x2+x+2=0,无解.所以b≠0,排除答案B.当b=2时,当x>2时,方程f(x)-g(x)=0可化为(x-2)2=x-2,得x=2(舍去)或x=3,有1解;当0≤x≤2时,方程f(x)-g(x)=0可化为2-x=2-x,有无数个解;当x<0时,方程f(x)-g(x)=0可化为2-x2=x+2,得x=0(舍去)或x=-1,有1解.所以b≠2,排除答案A.当b=1时,当x>2时,方程f(x)-g(x)=0可化为x2-5x+7=0,无解;当0≤x≤2时,方程f(x)-g(x)=0可化为1-x=2-x,无解;当x<0时,方程f(x)-g(x)=0可化为x2+x+1=0,无解.所以b≠1,排除答案C.因此答案选D.方法二 记h(x)=-f(2-x)在同一坐标系中作出f(x)与h(x)的图象如图,直线AB:y=x-4,当直线l∥AB且与f(x)的图象相切时,由解得b′=-,--(-4)=,所以曲线h(x)向上平移个单位后,所得图象与f(x)的图象有两个公共点,平移2个单位后,两图象有无数个公共点,因此,当<b<2时,f(x)与g(x)的图象有4个不同的交点,即y=f(x)-g(x)恰有4个零点.选D.]3.D[当x≤1时,由f(x)=2x-1=0,解得x=0;当x>1时,由f(x)=1+log2x=0,解得x=,又因为x>1,所以此时方程无解.综上,函数f(x)的零点只有0.]4.B[∵2sinπx-x+1=0,∴2sinπx=x-1,图象如图所示,由图象看出y=2sinπx与y=x-1有5个交点,∴f(x)=2sinπx-x+1的零点个数为5.]5.A[f(0)=4sin1>0,f(2)=4sin5-2,由于π<5<2π,所以sin5<0,故f(2)<0,则函数在[0,2]上存在零点;由于f(-1)=4sin(-1)+1<0,故函数在[-1,0]上存在零点,也在[-2,0]上存在零点;令x=∈[2,4],则f()=4sin-=4-=>0,而f(2)<0,所以函数在[2,4]上存在零点.选A.]6.B[f′(x)=3ax2-6x,当a=3时,f′(x)=9x2-6x=3x(3x-2),则当x∈(-∞,0)时,f′(x)>0;x∈(0,)时,f′(x)<0;x∈(,+∞)时,f′(x)>0,注意f(0)=1,f()=>0,则f(x)的大致图象如图1所示.图1不符合题意,排除A、C.当a=-时,f′(x)=-4x2-6x=-2x(2x+3),则当x∈(-∞,-)时,f′(x)<0,当x∈(-,0)时,f′(x)>0,当x∈(0,+∞)时,f′(x)<0,注意f(0)=1,f(-)=-,则f(x)的大致图象如图2所示.图2不符合题意,排除D.]7.A[当0≤x<1时,f(x)≤0.由F(x)=f(x)-a=0,画出函数y=f(x)与y=a的图象如图.函数F(x)=f(x)-a有5个零点.当-1所以f(-x)=log0.5(-x+1)=-log2(1-x),即f(x)=log2(1-x),-1由f(x)=log2(1-x)=a,解得x=1-2a,因为函数f(x)为奇函数,所以函数F(x)=f(x)-a(08.解析 画出函数f(x)的图象如图.要使函数g(x)=f(x)-k有两个不同零点,只需y=f(x)与y=k的图象有两个不同交点,则图易知k∈.9.2解析 由于2故f(1)=loga1+1-b=1-b<0,而0故f(2)=loga2+2-b<0,又loga3∈(1,2),3-b∈(-1,0),故f(3)=loga3+3-b>0,因此函数必在区间(2,3)内存在零点,故n=2.10.2解析 方程变形为3-x2=2-x=()x,令y1=3-x2,y2=()x.如图所示,由图象可知有2个交点.11.4解析 令h(x)=f(x)+g(x),则h(x)=当1<x<2时,h′(x)=-2x+=<0,故当1<x<2时h(x)单调递减,在同一坐标系中画出y=|h(x)|和y=1的图象如图所示.由图象可知|f(x)+g(x)|=1的实根个数为4.12.解析 由题意作出f(x)在[-1,3]上的图象如图,记y=k(x+1)+1,∴函数y=k(x+1)+1的图象过定点A(-1,1).记B(2,0),由图象知,方程有四个根,即函数y=f(x)与y=kx+k+1的图象有四个交点,故kAB=-,∴-
故实数a的取值范围是1变式训练2 解析 由f(x+2)=f(x)得函数的周期是2.由ax+2a-f(x)=0得f(x)=ax+2a,设y=f(x),y=ax+2a,作出函数y=f(x),y=ax+2a的图象,如图,要使方程ax+2a-f(x)=0恰有四个不相等的实数根,则直线y=ax+2a=a(x+2)的斜率满足kAH由题意可知,G(1,2),H(3,2),A(-2,0),所以kAH=,kAG=,所以.高考题型精练1.A[在同一坐标系中画出函数y=e-x与y=|lnx|的图象,结合图象不难看出,它们的两个交点中,其中一个交点的横坐标属于区间(0,1),另一个交点的横坐标属于区间(1,+∞),即在x1,x2中,其中一个属于区间(0,1),另一个属于区间(1,+∞).不妨设x1∈(0,1),x2∈(1,+∞),则有e-x1=|lnx1|=-lnx1∈(e-1,1),e-x2=|lnx2|=lnx2∈(0,e-1),e-x2-e-x1=lnx2+lnx1=lnx1x2∈(-1,0),于是有e-12.D[方法一 当x>2时,g(x)=x+b-4,f(x)=(x-2)2;当0≤x≤2时,g(x)=b-x,f(x)=2-x;当x<0时,g(x)=b-x2,f(x)=2+x.由于函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点,所以方程f(x)-g(x)=0恰有4个根.当b=0时,当x>2时,方程f(x)-g(x)=0可化为x2-5x+8=0,无解;当0≤x≤2时,方程f(x)-g(x)=0可化为2-x-(-x)=0,无解;当x<0时,方程f(x)-g(x)=0可化为x2+x+2=0,无解.所以b≠0,排除答案B.当b=2时,当x>2时,方程f(x)-g(x)=0可化为(x-2)2=x-2,得x=2(舍去)或x=3,有1解;当0≤x≤2时,方程f(x)-g(x)=0可化为2-x=2-x,有无数个解;当x<0时,方程f(x)-g(x)=0可化为2-x2=x+2,得x=0(舍去)或x=-1,有1解.所以b≠2,排除答案A.当b=1时,当x>2时,方程f(x)-g(x)=0可化为x2-5x+7=0,无解;当0≤x≤2时,方程f(x)-g(x)=0可化为1-x=2-x,无解;当x<0时,方程f(x)-g(x)=0可化为x2+x+1=0,无解.所以b≠1,排除答案C.因此答案选D.方法二 记h(x)=-f(2-x)在同一坐标系中作出f(x)与h(x)的图象如图,直线AB:y=x-4,当直线l∥AB且与f(x)的图象相切时,由解得b′=-,--(-4)=,所以曲线h(x)向上平移个单位后,所得图象与f(x)的图象有两个公共点,平移2个单位后,两图象有无数个公共点,因此,当<b<2时,f(x)与g(x)的图象有4个不同的交点,即y=f(x)-g(x)恰有4个零点.选D.]3.D[当x≤1时,由f(x)=2x-1=0,解得x=0;当x>1时,由f(x)=1+log2x=0,解得x=,又因为x>1,所以此时方程无解.综上,函数f(x)的零点只有0.]4.B[∵2sinπx-x+1=0,∴2sinπx=x-1,图象如图所示,由图象看出y=2sinπx与y=x-1有5个交点,∴f(x)=2sinπx-x+1的零点个数为5.]5.A[f(0)=4sin1>0,f(2)=4sin5-2,由于π<5<2π,所以sin5<0,故f(2)<0,则函数在[0,2]上存在零点;由于f(-1)=4sin(-1)+1<0,故函数在[-1,0]上存在零点,也在[-2,0]上存在零点;令x=∈[2,4],则f()=4sin-=4-=>0,而f(2)<0,所以函数在[2,4]上存在零点.选A.]6.B[f′(x)=3ax2-6x,当a=3时,f′(x)=9x2-6x=3x(3x-2),则当x∈(-∞,0)时,f′(x)>0;x∈(0,)时,f′(x)<0;x∈(,+∞)时,f′(x)>0,注意f(0)=1,f()=>0,则f(x)的大致图象如图1所示.图1不符合题意,排除A、C.当a=-时,f′(x)=-4x2-6x=-2x(2x+3),则当x∈(-∞,-)时,f′(x)<0,当x∈(-,0)时,f′(x)>0,当x∈(0,+∞)时,f′(x)<0,注意f(0)=1,f(-)=-,则f(x)的大致图象如图2所示.图2不符合题意,排除D.]7.A[当0≤x<1时,f(x)≤0.由F(x)=f(x)-a=0,画出函数y=f(x)与y=a的图象如图.函数F(x)=f(x)-a有5个零点.当-1所以f(-x)=log0.5(-x+1)=-log2(1-x),即f(x)=log2(1-x),-1由f(x)=log2(1-x)=a,解得x=1-2a,因为函数f(x)为奇函数,所以函数F(x)=f(x)-a(08.解析 画出函数f(x)的图象如图.要使函数g(x)=f(x)-k有两个不同零点,只需y=f(x)与y=k的图象有两个不同交点,则图易知k∈.9.2解析 由于2故f(1)=loga1+1-b=1-b<0,而0故f(2)=loga2+2-b<0,又loga3∈(1,2),3-b∈(-1,0),故f(3)=loga3+3-b>0,因此函数必在区间(2,3)内存在零点,故n=2.10.2解析 方程变形为3-x2=2-x=()x,令y1=3-x2,y2=()x.如图所示,由图象可知有2个交点.11.4解析 令h(x)=f(x)+g(x),则h(x)=当1<x<2时,h′(x)=-2x+=<0,故当1<x<2时h(x)单调递减,在同一坐标系中画出y=|h(x)|和y=1的图象如图所示.由图象可知|f(x)+g(x)|=1的实根个数为4.12.解析 由题意作出f(x)在[-1,3]上的图象如图,记y=k(x+1)+1,∴函数y=k(x+1)+1的图象过定点A(-1,1).记B(2,0),由图象知,方程有四个根,即函数y=f(x)与y=kx+k+1的图象有四个交点,故kAB=-,∴-
变式训练2
解析 由f(x+2)=f(x)得函数的周期是2.由ax+2a-f(x)=0得f(x)=ax+2a,设y=f(x),y=ax+2a,作出函数y=f(x),y=ax+2a的图象,如图,要使方程ax+2a-f(x)=0恰有四个不相等的实数根,则直线y=ax+2a=a(x+2)的斜率满足kAH由题意可知,G(1,2),H(3,2),A(-2,0),所以kAH=,kAG=,所以.高考题型精练1.A[在同一坐标系中画出函数y=e-x与y=|lnx|的图象,结合图象不难看出,它们的两个交点中,其中一个交点的横坐标属于区间(0,1),另一个交点的横坐标属于区间(1,+∞),即在x1,x2中,其中一个属于区间(0,1),另一个属于区间(1,+∞).不妨设x1∈(0,1),x2∈(1,+∞),则有e-x1=|lnx1|=-lnx1∈(e-1,1),e-x2=|lnx2|=lnx2∈(0,e-1),e-x2-e-x1=lnx2+lnx1=lnx1x2∈(-1,0),于是有e-12.D[方法一 当x>2时,g(x)=x+b-4,f(x)=(x-2)2;当0≤x≤2时,g(x)=b-x,f(x)=2-x;当x<0时,g(x)=b-x2,f(x)=2+x.由于函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点,所以方程f(x)-g(x)=0恰有4个根.当b=0时,当x>2时,方程f(x)-g(x)=0可化为x2-5x+8=0,无解;当0≤x≤2时,方程f(x)-g(x)=0可化为2-x-(-x)=0,无解;当x<0时,方程f(x)-g(x)=0可化为x2+x+2=0,无解.所以b≠0,排除答案B.当b=2时,当x>2时,方程f(x)-g(x)=0可化为(x-2)2=x-2,得x=2(舍去)或x=3,有1解;当0≤x≤2时,方程f(x)-g(x)=0可化为2-x=2-x,有无数个解;当x<0时,方程f(x)-g(x)=0可化为2-x2=x+2,得x=0(舍去)或x=-1,有1解.所以b≠2,排除答案A.当b=1时,当x>2时,方程f(x)-g(x)=0可化为x2-5x+7=0,无解;当0≤x≤2时,方程f(x)-g(x)=0可化为1-x=2-x,无解;当x<0时,方程f(x)-g(x)=0可化为x2+x+1=0,无解.所以b≠1,排除答案C.因此答案选D.方法二 记h(x)=-f(2-x)在同一坐标系中作出f(x)与h(x)的图象如图,直线AB:y=x-4,当直线l∥AB且与f(x)的图象相切时,由解得b′=-,--(-4)=,所以曲线h(x)向上平移个单位后,所得图象与f(x)的图象有两个公共点,平移2个单位后,两图象有无数个公共点,因此,当<b<2时,f(x)与g(x)的图象有4个不同的交点,即y=f(x)-g(x)恰有4个零点.选D.]3.D[当x≤1时,由f(x)=2x-1=0,解得x=0;当x>1时,由f(x)=1+log2x=0,解得x=,又因为x>1,所以此时方程无解.综上,函数f(x)的零点只有0.]4.B[∵2sinπx-x+1=0,∴2sinπx=x-1,图象如图所示,由图象看出y=2sinπx与y=x-1有5个交点,∴f(x)=2sinπx-x+1的零点个数为5.]5.A[f(0)=4sin1>0,f(2)=4sin5-2,由于π<5<2π,所以sin5<0,故f(2)<0,则函数在[0,2]上存在零点;由于f(-1)=4sin(-1)+1<0,故函数在[-1,0]上存在零点,也在[-2,0]上存在零点;令x=∈[2,4],则f()=4sin-=4-=>0,而f(2)<0,所以函数在[2,4]上存在零点.选A.]6.B[f′(x)=3ax2-6x,当a=3时,f′(x)=9x2-6x=3x(3x-2),则当x∈(-∞,0)时,f′(x)>0;x∈(0,)时,f′(x)<0;x∈(,+∞)时,f′(x)>0,注意f(0)=1,f()=>0,则f(x)的大致图象如图1所示.图1不符合题意,排除A、C.当a=-时,f′(x)=-4x2-6x=-2x(2x+3),则当x∈(-∞,-)时,f′(x)<0,当x∈(-,0)时,f′(x)>0,当x∈(0,+∞)时,f′(x)<0,注意f(0)=1,f(-)=-,则f(x)的大致图象如图2所示.图2不符合题意,排除D.]7.A[当0≤x<1时,f(x)≤0.由F(x)=f(x)-a=0,画出函数y=f(x)与y=a的图象如图.函数F(x)=f(x)-a有5个零点.当-1所以f(-x)=log0.5(-x+1)=-log2(1-x),即f(x)=log2(1-x),-1由f(x)=log2(1-x)=a,解得x=1-2a,因为函数f(x)为奇函数,所以函数F(x)=f(x)-a(08.解析 画出函数f(x)的图象如图.要使函数g(x)=f(x)-k有两个不同零点,只需y=f(x)与y=k的图象有两个不同交点,则图易知k∈.9.2解析 由于2故f(1)=loga1+1-b=1-b<0,而0故f(2)=loga2+2-b<0,又loga3∈(1,2),3-b∈(-1,0),故f(3)=loga3+3-b>0,因此函数必在区间(2,3)内存在零点,故n=2.10.2解析 方程变形为3-x2=2-x=()x,令y1=3-x2,y2=()x.如图所示,由图象可知有2个交点.11.4解析 令h(x)=f(x)+g(x),则h(x)=当1<x<2时,h′(x)=-2x+=<0,故当1<x<2时h(x)单调递减,在同一坐标系中画出y=|h(x)|和y=1的图象如图所示.由图象可知|f(x)+g(x)|=1的实根个数为4.12.解析 由题意作出f(x)在[-1,3]上的图象如图,记y=k(x+1)+1,∴函数y=k(x+1)+1的图象过定点A(-1,1).记B(2,0),由图象知,方程有四个根,即函数y=f(x)与y=kx+k+1的图象有四个交点,故kAB=-,∴-
解析 由f(x+2)=f(x)得函数的周期是2.
由ax+2a-f(x)=0得f(x)=ax+2a,
设y=f(x),y=ax+2a,作出函数y=f(x),y=ax+2a的图象,如图,
要使方程ax+2a-f(x)=0恰有四个不相等的实数根,
则直线y=ax+2a=a(x+2)的斜率满足kAH由题意可知,G(1,2),H(3,2),A(-2,0),所以kAH=,kAG=,所以.高考题型精练1.A[在同一坐标系中画出函数y=e-x与y=|lnx|的图象,结合图象不难看出,它们的两个交点中,其中一个交点的横坐标属于区间(0,1),另一个交点的横坐标属于区间(1,+∞),即在x1,x2中,其中一个属于区间(0,1),另一个属于区间(1,+∞).不妨设x1∈(0,1),x2∈(1,+∞),则有e-x1=|lnx1|=-lnx1∈(e-1,1),e-x2=|lnx2|=lnx2∈(0,e-1),e-x2-e-x1=lnx2+lnx1=lnx1x2∈(-1,0),于是有e-12.D[方法一 当x>2时,g(x)=x+b-4,f(x)=(x-2)2;当0≤x≤2时,g(x)=b-x,f(x)=2-x;当x<0时,g(x)=b-x2,f(x)=2+x.由于函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点,所以方程f(x)-g(x)=0恰有4个根.当b=0时,当x>2时,方程f(x)-g(x)=0可化为x2-5x+8=0,无解;当0≤x≤2时,方程f(x)-g(x)=0可化为2-x-(-x)=0,无解;当x<0时,方程f(x)-g(x)=0可化为x2+x+2=0,无解.所以b≠0,排除答案B.当b=2时,当x>2时,方程f(x)-g(x)=0可化为(x-2)2=x-2,得x=2(舍去)或x=3,有1解;当0≤x≤2时,方程f(x)-g(x)=0可化为2-x=2-x,有无数个解;当x<0时,方程f(x)-g(x)=0可化为2-x2=x+2,得x=0(舍去)或x=-1,有1解.所以b≠2,排除答案A.当b=1时,当x>2时,方程f(x)-g(x)=0可化为x2-5x+7=0,无解;当0≤x≤2时,方程f(x)-g(x)=0可化为1-x=2-x,无解;当x<0时,方程f(x)-g(x)=0可化为x2+x+1=0,无解.所以b≠1,排除答案C.因此答案选D.方法二 记h(x)=-f(2-x)在同一坐标系中作出f(x)与h(x)的图象如图,直线AB:y=x-4,当直线l∥AB且与f(x)的图象相切时,由解得b′=-,--(-4)=,所以曲线h(x)向上平移个单位后,所得图象与f(x)的图象有两个公共点,平移2个单位后,两图象有无数个公共点,因此,当<b<2时,f(x)与g(x)的图象有4个不同的交点,即y=f(x)-g(x)恰有4个零点.选D.]3.D[当x≤1时,由f(x)=2x-1=0,解得x=0;当x>1时,由f(x)=1+log2x=0,解得x=,又因为x>1,所以此时方程无解.综上,函数f(x)的零点只有0.]4.B[∵2sinπx-x+1=0,∴2sinπx=x-1,图象如图所示,由图象看出y=2sinπx与y=x-1有5个交点,∴f(x)=2sinπx-x+1的零点个数为5.]5.A[f(0)=4sin1>0,f(2)=4sin5-2,由于π<5<2π,所以sin5<0,故f(2)<0,则函数在[0,2]上存在零点;由于f(-1)=4sin(-1)+1<0,故函数在[-1,0]上存在零点,也在[-2,0]上存在零点;令x=∈[2,4],则f()=4sin-=4-=>0,而f(2)<0,所以函数在[2,4]上存在零点.选A.]6.B[f′(x)=3ax2-6x,当a=3时,f′(x)=9x2-6x=3x(3x-2),则当x∈(-∞,0)时,f′(x)>0;x∈(0,)时,f′(x)<0;x∈(,+∞)时,f′(x)>0,注意f(0)=1,f()=>0,则f(x)的大致图象如图1所示.图1不符合题意,排除A、C.当a=-时,f′(x)=-4x2-6x=-2x(2x+3),则当x∈(-∞,-)时,f′(x)<0,当x∈(-,0)时,f′(x)>0,当x∈(0,+∞)时,f′(x)<0,注意f(0)=1,f(-)=-,则f(x)的大致图象如图2所示.图2不符合题意,排除D.]7.A[当0≤x<1时,f(x)≤0.由F(x)=f(x)-a=0,画出函数y=f(x)与y=a的图象如图.函数F(x)=f(x)-a有5个零点.当-1所以f(-x)=log0.5(-x+1)=-log2(1-x),即f(x)=log2(1-x),-1由f(x)=log2(1-x)=a,解得x=1-2a,因为函数f(x)为奇函数,所以函数F(x)=f(x)-a(08.解析 画出函数f(x)的图象如图.要使函数g(x)=f(x)-k有两个不同零点,只需y=f(x)与y=k的图象有两个不同交点,则图易知k∈.9.2解析 由于2故f(1)=loga1+1-b=1-b<0,而0故f(2)=loga2+2-b<0,又loga3∈(1,2),3-b∈(-1,0),故f(3)=loga3+3-b>0,因此函数必在区间(2,3)内存在零点,故n=2.10.2解析 方程变形为3-x2=2-x=()x,令y1=3-x2,y2=()x.如图所示,由图象可知有2个交点.11.4解析 令h(x)=f(x)+g(x),则h(x)=当1<x<2时,h′(x)=-2x+=<0,故当1<x<2时h(x)单调递减,在同一坐标系中画出y=|h(x)|和y=1的图象如图所示.由图象可知|f(x)+g(x)|=1的实根个数为4.12.解析 由题意作出f(x)在[-1,3]上的图象如图,记y=k(x+1)+1,∴函数y=k(x+1)+1的图象过定点A(-1,1).记B(2,0),由图象知,方程有四个根,即函数y=f(x)与y=kx+k+1的图象有四个交点,故kAB=-,∴-
由题意可知,G(1,2),H(3,2),A(-2,0),
所以kAH=
,kAG=
,
所以
.高考题型精练1.A[在同一坐标系中画出函数y=e-x与y=|lnx|的图象,结合图象不难看出,它们的两个交点中,其中一个交点的横坐标属于区间(0,1),另一个交点的横坐标属于区间(1,+∞),即在x1,x2中,其中一个属于区间(0,1),另一个属于区间(1,+∞).不妨设x1∈(0,1),x2∈(1,+∞),则有e-x1=|lnx1|=-lnx1∈(e-1,1),e-x2=|lnx2|=lnx2∈(0,e-1),e-x2-e-x1=lnx2+lnx1=lnx1x2∈(-1,0),于是有e-12.D[方法一 当x>2时,g(x)=x+b-4,f(x)=(x-2)2;当0≤x≤2时,g(x)=b-x,f(x)=2-x;当x<0时,g(x)=b-x2,f(x)=2+x.由于函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点,所以方程f(x)-g(x)=0恰有4个根.当b=0时,当x>2时,方程f(x)-g(x)=0可化为x2-5x+8=0,无解;当0≤x≤2时,方程f(x)-g(x)=0可化为2-x-(-x)=0,无解;当x<0时,方程f(x)-g(x)=0可化为x2+x+2=0,无解.所以b≠0,排除答案B.当b=2时,当x>2时,方程f(x)-g(x)=0可化为(x-2)2=x-2,得x=2(舍去)或x=3,有1解;当0≤x≤2时,方程f(x)-g(x)=0可化为2-x=2-x,有无数个解;当x<0时,方程f(x)-g(x)=0可化为2-x2=x+2,得x=0(舍去)或x=-1,有1解.所以b≠2,排除答案A.当b=1时,当x>2时,方程f(x)-g(x)=0可化为x2-5x+7=0,无解;当0≤x≤2时,方程f(x)-g(x)=0可化为1-x=2-x,无解;当x<0时,方程f(x)-g(x)=0可化为x2+x+1=0,无解.所以b≠1,排除答案C.因此答案选D.方法二 记h(x)=-f(2-x)在同一坐标系中作出f(x)与h(x)的图象如图,直线AB:y=x-4,当直线l∥AB且与f(x)的图象相切时,由解得b′=-,--(-4)=,所以曲线h(x)向上平移个单位后,所得图象与f(x)的图象有两个公共点,平移2个单位后,两图象有无数个公共点,因此,当<b<2时,f(x)与g(x)的图象有4个不同的交点,即y=f(x)-g(x)恰有4个零点.选D.]3.D[当x≤1时,由f(x)=2x-1=0,解得x=0;当x>1时,由f(x)=1+log2x=0,解得x=,又因为x>1,所以此时方程无解.综上,函数f(x)的零点只有0.]4.B[∵2sinπx-x+1=0,∴2sinπx=x-1,图象如图所示,由图象看出y=2sinπx与y=x-1有5个交点,∴f(x)=2sinπx-x+1的零点个数为5.]5.A[f(0)=4sin1>0,f(2)=4sin5-2,由于π<5<2π,所以sin5<0,故f(2)<0,则函数在[0,2]上存在零点;由于f(-1)=4sin(-1)+1<0,故函数在[-1,0]上存在零点,也在[-2,0]上存在零点;令x=∈[2,4],则f()=4sin-=4-=>0,而f(2)<0,所以函数在[2,4]上存在零点.选A.]6.B[f′(x)=3ax2-6x,当a=3时,f′(x)=9x2-6x=3x(3x-2),则当x∈(-∞,0)时,f′(x)>0;x∈(0,)时,f′(x)<0;x∈(,+∞)时,f′(x)>0,注意f(0)=1,f()=>0,则f(x)的大致图象如图1所示.图1不符合题意,排除A、C.当a=-时,f′(x)=-4x2-6x=-2x(2x+3),则当x∈(-∞,-)时,f′(x)<0,当x∈(-,0)时,f′(x)>0,当x∈(0,+∞)时,f′(x)<0,注意f(0)=1,f(-)=-,则f(x)的大致图象如图2所示.图2不符合题意,排除D.]7.A[当0≤x<1时,f(x)≤0.由F(x)=f(x)-a=0,画出函数y=f(x)与y=a的图象如图.函数F(x)=f(x)-a有5个零点.当-1所以f(-x)=log0.5(-x+1)=-log2(1-x),即f(x)=log2(1-x),-1由f(x)=log2(1-x)=a,解得x=1-2a,因为函数f(x)为奇函数,所以函数F(x)=f(x)-a(08.解析 画出函数f(x)的图象如图.要使函数g(x)=f(x)-k有两个不同零点,只需y=f(x)与y=k的图象有两个不同交点,则图易知k∈.9.2解析 由于2故f(1)=loga1+1-b=1-b<0,而0故f(2)=loga2+2-b<0,又loga3∈(1,2),3-b∈(-1,0),故f(3)=loga3+3-b>0,因此函数必在区间(2,3)内存在零点,故n=2.10.2解析 方程变形为3-x2=2-x=()x,令y1=3-x2,y2=()x.如图所示,由图象可知有2个交点.11.4解析 令h(x)=f(x)+g(x),则h(x)=当1<x<2时,h′(x)=-2x+=<0,故当1<x<2时h(x)单调递减,在同一坐标系中画出y=|h(x)|和y=1的图象如图所示.由图象可知|f(x)+g(x)|=1的实根个数为4.12.解析 由题意作出f(x)在[-1,3]上的图象如图,记y=k(x+1)+1,∴函数y=k(x+1)+1的图象过定点A(-1,1).记B(2,0),由图象知,方程有四个根,即函数y=f(x)与y=kx+k+1的图象有四个交点,故kAB=-,∴-
1.A[在同一坐标系中画出函数y=e-x与y=|lnx|的图象,结合图象不难看出,它们的两个交点中,其中一个交点的横坐标属于区间(0,1),另一个交点的横坐标属于区间(1,+∞),即在x1,x2中,其中一个属于区间(0,1),另一个属于区间(1,+∞).不妨设x1∈(0,1),x2∈(1,+∞),则有e-x1=|lnx1|=-lnx1∈(e-1,1),e-x2=|lnx2|=lnx2∈(0,e-1),e-x2-e-x1=
lnx2+lnx1=lnx1x2∈(-1,0),于是有e-12.D[方法一 当x>2时,g(x)=x+b-4,f(x)=(x-2)2;当0≤x≤2时,g(x)=b-x,f(x)=2-x;当x<0时,g(x)=b-x2,f(x)=2+x.由于函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点,所以方程f(x)-g(x)=0恰有4个根.当b=0时,当x>2时,方程f(x)-g(x)=0可化为x2-5x+8=0,无解;当0≤x≤2时,方程f(x)-g(x)=0可化为2-x-(-x)=0,无解;当x<0时,方程f(x)-g(x)=0可化为x2+x+2=0,无解.所以b≠0,排除答案B.当b=2时,当x>2时,方程f(x)-g(x)=0可化为(x-2)2=x-2,得x=2(舍去)或x=3,有1解;当0≤x≤2时,方程f(x)-g(x)=0可化为2-x=2-x,有无数个解;当x<0时,方程f(x)-g(x)=0可化为2-x2=x+2,得x=0(舍去)或x=-1,有1解.所以b≠2,排除答案A.当b=1时,当x>2时,方程f(x)-g(x)=0可化为x2-5x+7=0,无解;当0≤x≤2时,方程f(x)-g(x)=0可化为1-x=2-x,无解;当x<0时,方程f(x)-g(x)=0可化为x2+x+1=0,无解.所以b≠1,排除答案C.因此答案选D.方法二 记h(x)=-f(2-x)在同一坐标系中作出f(x)与h(x)的图象如图,直线AB:y=x-4,当直线l∥AB且与f(x)的图象相切时,由解得b′=-,--(-4)=,所以曲线h(x)向上平移个单位后,所得图象与f(x)的图象有两个公共点,平移2个单位后,两图象有无数个公共点,因此,当<b<2时,f(x)与g(x)的图象有4个不同的交点,即y=f(x)-g(x)恰有4个零点.选D.]3.D[当x≤1时,由f(x)=2x-1=0,解得x=0;当x>1时,由f(x)=1+log2x=0,解得x=,又因为x>1,所以此时方程无解.综上,函数f(x)的零点只有0.]4.B[∵2sinπx-x+1=0,∴2sinπx=x-1,图象如图所示,由图象看出y=2sinπx与y=x-1有5个交点,∴f(x)=2sinπx-x+1的零点个数为5.]5.A[f(0)=4sin1>0,f(2)=4sin5-2,由于π<5<2π,所以sin5<0,故f(2)<0,则函数在[0,2]上存在零点;由于f(-1)=4sin(-1)+1<0,故函数在[-1,0]上存在零点,也在[-2,0]上存在零点;令x=∈[2,4],则f()=4sin-=4-=>0,而f(2)<0,所以函数在[2,4]上存在零点.选A.]6.B[f′(x)=3ax2-6x,当a=3时,f′(x)=9x2-6x=3x(3x-2),则当x∈(-∞,0)时,f′(x)>0;x∈(0,)时,f′(x)<0;x∈(,+∞)时,f′(x)>0,注意f(0)=1,f()=>0,则f(x)的大致图象如图1所示.图1不符合题意,排除A、C.当a=-时,f′(x)=-4x2-6x=-2x(2x+3),则当x∈(-∞,-)时,f′(x)<0,当x∈(-,0)时,f′(x)>0,当x∈(0,+∞)时,f′(x)<0,注意f(0)=1,f(-)=-,则f(x)的大致图象如图2所示.图2不符合题意,排除D.]7.A[当0≤x<1时,f(x)≤0.由F(x)=f(x)-a=0,画出函数y=f(x)与y=a的图象如图.函数F(x)=f(x)-a有5个零点.当-1所以f(-x)=log0.5(-x+1)=-log2(1-x),即f(x)=log2(1-x),-1由f(x)=log2(1-x)=a,解得x=1-2a,因为函数f(x)为奇函数,所以函数F(x)=f(x)-a(08.解析 画出函数f(x)的图象如图.要使函数g(x)=f(x)-k有两个不同零点,只需y=f(x)与y=k的图象有两个不同交点,则图易知k∈.9.2解析 由于2故f(1)=loga1+1-b=1-b<0,而0故f(2)=loga2+2-b<0,又loga3∈(1,2),3-b∈(-1,0),故f(3)=loga3+3-b>0,因此函数必在区间(2,3)内存在零点,故n=2.10.2解析 方程变形为3-x2=2-x=()x,令y1=3-x2,y2=()x.如图所示,由图象可知有2个交点.11.4解析 令h(x)=f(x)+g(x),则h(x)=当1<x<2时,h′(x)=-2x+=<0,故当1<x<2时h(x)单调递减,在同一坐标系中画出y=|h(x)|和y=1的图象如图所示.由图象可知|f(x)+g(x)|=1的实根个数为4.12.解析 由题意作出f(x)在[-1,3]上的图象如图,记y=k(x+1)+1,∴函数y=k(x+1)+1的图象过定点A(-1,1).记B(2,0),由图象知,方程有四个根,即函数y=f(x)与y=kx+k+1的图象有四个交点,故kAB=-,∴-
2.D[方法一 当x>2时,g(x)=x+b-4,f(x)=(x-2)2;当0≤x≤2时,g(x)=b-x,f(x)=2-x;当x<0时,g(x)=b-x2,f(x)=2+x.由于函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点,所以方程f(x)-g(x)=0恰有4个根.当b=0时,当x>2时,方程f(x)-g(x)=0可化为x2-5x+8=0,无解;当0≤x≤2时,方程f(x)-g(x)=0可化为2-x-(-x)=0,无解;当x<0时,方程f(x)-g(x)=0可化为x2+x+2=0,无解.所以b≠0,排除答案B.当b=2时,当x>2时,方程f(x)-g(x)=0可化为(x-2)2=x-2,得x=2(舍去)或x=3,有1解;当0≤x≤2时,方程f(x)-g(x)=0可化为2-x=2-x,有无数个解;当x<0时,方程f(x)-g(x)=0可化为2-x2=x+2,得x=0(舍去)或x=-1,有1解.所以b≠2,排除答案A.当b=1时,当x>2时,方程f(x)-g(x)=0可化为x2-5x+7=0,无解;当0≤x≤2时,方程f(x)-g(x)=0可化为1-x=2-x,无解;当x<0时,方程f(x)-g(x)=0可化为x2+x+1=0,无解.所以b≠1,排除答案C.因此答案选D.方法二 记h(x)=-f(2-x)在同一坐标系中作出f(x)与h(x)的图象如图,直线AB:y=x-4,当直线l∥AB且与f(x)的图象相切时,由解得b′=-,--(-4)=,所以曲线h(x)向上平移个单位后,所得图象与f(x)的图象有两个公共点,平移2个单位后,两图象有无数个公共点,因此,当<b<2时,f(x)与g(x)的图象有4个不同的交点,即y=f(x)-g(x)恰有4个零点.选D.]3.D[当x≤1时,由f(x)=2x-1=0,解得x=0;当x>1时,由f(x)=1+log2x=0,解得x=,又因为x>1,所以此时方程无解.综上,函数f(x)的零点只有0.]4.B[∵2sinπx-x+1=0,∴2sinπx=x-1,图象如图所示,由图象看出y=2sinπx与y=x-1有5个交点,∴f(x)=2sinπx-x+1的零点个数为5.]5.A[f(0)=4sin1>0,f(2)=4sin5-2,由于π<5<2π,所以sin5<0,故f(2)<0,则函数在[0,2]上存在零点;由于f(-1)=4sin(-1)+1<0,故函数在[-1,0]上存在零点,也在[-2,0]上存在零点;令x=∈[2,4],则f()=4sin-=4-=>0,而f(2)<0,所以函数在[2,4]上存在零点.选A.]6.B[f′(x)=3ax2-6x,当a=3时,f′(x)=9x2-6x=3x(3x-2),则当x∈(-∞,0)时,f′(x)>0;x∈(0,)时,f′(x)<0;x∈(,+∞)时,f′(x)>0,注意f(0)=1,f()=>0,则f(x)的大致图象如图1所示.图1不符合题意,排除A、C.当a=-时,f′(x)=-4x2-6x=-2x(2x+3),则当x∈(-∞,-)时,f′(x)<0,当x∈(-,0)时,f′(x)>0,当x∈(0,+∞)时,f′(x)<0,注意f(0)=1,f(-)=-,则f(x)的大致图象如图2所示.图2不符合题意,排除D.]7.A[当0≤x<1时,f(x)≤0.由F(x)=f(x)-a=0,画出函数y=f(x)与y=a的图象如图.函数F(x)=f(x)-a有5个零点.当-1所以f(-x)=log0.5(-x+1)=-log2(1-x),即f(x)=log2(1-x),-1由f(x)=log2(1-x)=a,解得x=1-2a,因为函数f(x)为奇函数,所以函数F(x)=f(x)-a(08.解析 画出函数f(x)的图象如图.要使函数g(x)=f(x)-k有两个不同零点,只需y=f(x)与y=k的图象有两个不同交点,则图易知k∈.9.2解析 由于2故f(1)=loga1+1-b=1-b<0,而0故f(2)=loga2+2-b<0,又loga3∈(1,2),3-b∈(-1,0),故f(3)=loga3+3-b>0,因此函数必在区间(2,3)内存在零点,故n=2.10.2解析 方程变形为3-x2=2-x=()x,令y1=3-x2,y2=()x.如图所示,由图象可知有2个交点.11.4解析 令h(x)=f(x)+g(x),则h(x)=当1<x<2时,h′(x)=-2x+=<0,故当1<x<2时h(x)单调递减,在同一坐标系中画出y=|h(x)|和y=1的图象如图所示.由图象可知|f(x)+g(x)|=1的实根个数为4.12.解析 由题意作出f(x)在[-1,3]上的图象如图,记y=k(x+1)+1,∴函数y=k(x+1)+1的图象过定点A(-1,1).记B(2,0),由图象知,方程有四个根,即函数y=f(x)与y=kx+k+1的图象有四个交点,故kAB=-,∴-
2.D[方法一 当x>2时,g(x)=x+b-4,f(x)=(x-2)2;
当0≤x≤2时,g(x)=b-x,f(x)=2-x;
当x<0时,g(x)=b-x2,f(x)=2+x.
由于函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点,
所以方程f(x)-g(x)=0恰有4个根.
当b=0时,当x>2时,方程f(x)-g(x)=0可化为x2-5x+8=0,无解;
当0≤x≤2时,方程f(x)-g(x)=0可化为2-x-(-x)=0,无解;
当x<0时,方程f(x)-g(x)=0可化为x2+x+2=0,无解.
所以b≠0,排除答案B.
当b=2时,当x>2时,方程f(x)-g(x)=0可化为(x-2)2=x-2,得x=2(舍去)或x=3,有1解;
当0≤x≤2时,方程f(x)-g(x)=0可化为2-x=2-x,有无数个解;
当x<0时,方程f(x)-g(x)=0可化为2-x2=x+2,得x=0(舍去)或x=-1,有1解.
所以b≠2,排除答案A.
当b=1时,当x>2时,方程f(x)-g(x)=0可化为x2-5x+7=0,无解;
当0≤x≤2时,方程f(x)-g(x)=0可化为1-x=2-x,无解;
当x<0时,方程f(x)-g(x)=0可化为x2+x+1=0,无解.
所以b≠1,排除答案C.因此答案选D.
方法二 记h(x)=-f(2-x)在同一坐标系中作出f(x)与h(x)的图象如图,直线AB:
y=x-4,当直线l∥AB且与f(x)的图象相切时,由
解得b′=-
,-
-(-4)=
所以曲线h(x)向上平移
个单位后,所得图象与f(x)的图象有两个公共点,平移2个单位后,两图象有无数个公共点,因此,当
<b<2时,f(x)与g(x)的图象有4个不同的交点,即y=f(x)-g(x)恰有4个零点.选D.]
3.D[当x≤1时,由f(x)=2x-1=0,解得x=0;当x>1时,由f(x)=1+log2x=0,解得x=
,又因为x>1,所以此时方程无解.综上,函数f(x)的零点只有0.]
4.B[∵2sinπx-x+1=0,∴2sinπx=x-1,图象如图所示,由图象看出y=2sinπx与y=x-1有5个交点,
∴f(x)=2sinπx-x+1的零点个数为5.]
5.A[f(0)=4sin1>0,f
(2)=4sin5-2,由于π<5<2π,
所以sin5<0,故f
(2)<0,则函数在[0,2]上存在零点;
由于f(-1)=4sin(-1)+1<0,故函数在[-1,0]上存在零点,也在[-2,0]上存在零点;
令x=
∈[2,4],
则f(
)=4sin
-
=4-
=
>0,
而f
(2)<0,所以函数在[2,4]上存在零点.选A.]
6.B[f′(x)=3ax2-6x,
当a=3时,f′(x)=9x2-6x=3x(3x-2),
则当x∈(-∞,0)时,f′(x)>0;x∈(0,
)时,f′(x)<0;x∈(
,+∞)时,f′(x)>0,注意f(0)=1,f(
)=
>0,则f(x)的大致图象如图1所示.
图1
不符合题意,排除A、C.
当a=-
时,f′(x)=-4x2-6x=-2x(2x+3),则当x∈(-∞,-
)时,f′(x)<0,当x∈(-
,0)时,f′(x)>0,当x∈(0,+∞)时,f′(x)<0,注意f(0)=1,f(-
)=-
,则f(x)的大致图象如图2所示.
图2
不符合题意,排除D.]
7.A[当0≤x<1时,f(x)≤0.
由F(x)=f(x)-a=0,画出函数y=f(x)与y=a的图象如图.
函数F(x)=f(x)-a有5个零点.
当-1所以f(-x)=log0.5(-x+1)=-log2(1-x),即f(x)=log2(1-x),-1由f(x)=log2(1-x)=a,解得x=1-2a,因为函数f(x)为奇函数,所以函数F(x)=f(x)-a(08.解析 画出函数f(x)的图象如图.要使函数g(x)=f(x)-k有两个不同零点,只需y=f(x)与y=k的图象有两个不同交点,则图易知k∈.9.2解析 由于2故f(1)=loga1+1-b=1-b<0,而0故f(2)=loga2+2-b<0,又loga3∈(1,2),3-b∈(-1,0),故f(3)=loga3+3-b>0,因此函数必在区间(2,3)内存在零点,故n=2.10.2解析 方程变形为3-x2=2-x=()x,令y1=3-x2,y2=()x.如图所示,由图象可知有2个交点.11.4解析 令h(x)=f(x)+g(x),则h(x)=当1<x<2时,h′(x)=-2x+=<0,故当1<x<2时h(x)单调递减,在同一坐标系中画出y=|h(x)|和y=1的图象如图所示.由图象可知|f(x)+g(x)|=1的实根个数为4.12.解析 由题意作出f(x)在[-1,3]上的图象如图,记y=k(x+1)+1,∴函数y=k(x+1)+1的图象过定点A(-1,1).记B(2,0),由图象知,方程有四个根,即函数y=f(x)与y=kx+k+1的图象有四个交点,故kAB=-,∴-
所以f(-x)=log0.5(-x+1)=-log2(1-x),
即f(x)=log2(1-x),-1由f(x)=log2(1-x)=a,解得x=1-2a,因为函数f(x)为奇函数,所以函数F(x)=f(x)-a(08.解析 画出函数f(x)的图象如图.要使函数g(x)=f(x)-k有两个不同零点,只需y=f(x)与y=k的图象有两个不同交点,则图易知k∈.9.2解析 由于2故f(1)=loga1+1-b=1-b<0,而0故f(2)=loga2+2-b<0,又loga3∈(1,2),3-b∈(-1,0),故f(3)=loga3+3-b>0,因此函数必在区间(2,3)内存在零点,故n=2.10.2解析 方程变形为3-x2=2-x=()x,令y1=3-x2,y2=()x.如图所示,由图象可知有2个交点.11.4解析 令h(x)=f(x)+g(x),则h(x)=当1<x<2时,h′(x)=-2x+=<0,故当1<x<2时h(x)单调递减,在同一坐标系中画出y=|h(x)|和y=1的图象如图所示.由图象可知|f(x)+g(x)|=1的实根个数为4.12.解析 由题意作出f(x)在[-1,3]上的图象如图,记y=k(x+1)+1,∴函数y=k(x+1)+1的图象过定点A(-1,1).记B(2,0),由图象知,方程有四个根,即函数y=f(x)与y=kx+k+1的图象有四个交点,故kAB=-,∴-
由f(x)=log2(1-x)=a,
解得x=1-2a,
因为函数f(x)为奇函数,
所以函数F(x)=f(x)-a(08.解析 画出函数f(x)的图象如图.要使函数g(x)=f(x)-k有两个不同零点,只需y=f(x)与y=k的图象有两个不同交点,则图易知k∈.9.2解析 由于2故f(1)=loga1+1-b=1-b<0,而0故f(2)=loga2+2-b<0,又loga3∈(1,2),3-b∈(-1,0),故f(3)=loga3+3-b>0,因此函数必在区间(2,3)内存在零点,故n=2.10.2解析 方程变形为3-x2=2-x=()x,令y1=3-x2,y2=()x.如图所示,由图象可知有2个交点.11.4解析 令h(x)=f(x)+g(x),则h(x)=当1<x<2时,h′(x)=-2x+=<0,故当1<x<2时h(x)单调递减,在同一坐标系中画出y=|h(x)|和y=1的图象如图所示.由图象可知|f(x)+g(x)|=1的实根个数为4.12.解析 由题意作出f(x)在[-1,3]上的图象如图,记y=k(x+1)+1,∴函数y=k(x+1)+1的图象过定点A(-1,1).记B(2,0),由图象知,方程有四个根,即函数y=f(x)与y=kx+k+1的图象有四个交点,故kAB=-,∴-
8.
解析 画出函数f(x)的图象如图.要使函数g(x)=f(x)-k有两个不同零点,只需y=f(x)与y=k的图象有两个不同交点,则图易知k∈
9.2
解析 由于2故f(1)=loga1+1-b=1-b<0,而0故f(2)=loga2+2-b<0,又loga3∈(1,2),3-b∈(-1,0),故f(3)=loga3+3-b>0,因此函数必在区间(2,3)内存在零点,故n=2.10.2解析 方程变形为3-x2=2-x=()x,令y1=3-x2,y2=()x.如图所示,由图象可知有2个交点.11.4解析 令h(x)=f(x)+g(x),则h(x)=当1<x<2时,h′(x)=-2x+=<0,故当1<x<2时h(x)单调递减,在同一坐标系中画出y=|h(x)|和y=1的图象如图所示.由图象可知|f(x)+g(x)|=1的实根个数为4.12.解析 由题意作出f(x)在[-1,3]上的图象如图,记y=k(x+1)+1,∴函数y=k(x+1)+1的图象过定点A(-1,1).记B(2,0),由图象知,方程有四个根,即函数y=f(x)与y=kx+k+1的图象有四个交点,故kAB=-,∴-
故f
(1)=loga1+1-b=1-b<0,
而0故f(2)=loga2+2-b<0,又loga3∈(1,2),3-b∈(-1,0),故f(3)=loga3+3-b>0,因此函数必在区间(2,3)内存在零点,故n=2.10.2解析 方程变形为3-x2=2-x=()x,令y1=3-x2,y2=()x.如图所示,由图象可知有2个交点.11.4解析 令h(x)=f(x)+g(x),则h(x)=当1<x<2时,h′(x)=-2x+=<0,故当1<x<2时h(x)单调递减,在同一坐标系中画出y=|h(x)|和y=1的图象如图所示.由图象可知|f(x)+g(x)|=1的实根个数为4.12.解析 由题意作出f(x)在[-1,3]上的图象如图,记y=k(x+1)+1,∴函数y=k(x+1)+1的图象过定点A(-1,1).记B(2,0),由图象知,方程有四个根,即函数y=f(x)与y=kx+k+1的图象有四个交点,故kAB=-,∴-
(2)=loga2+2-b<0,
又loga3∈(1,2),3-b∈(-1,0),
故f(3)=loga3+3-b>0,
因此函数必在区间(2,3)内存在零点,故n=2.
10.2
解析 方程变形为3-x2=2-x=(
)x,
令y1=3-x2,y2=(
)x.
如图所示,由图象可知有2个交点.
11.4
解析 令h(x)=f(x)+g(x),
则h(x)=
当1<x<2时,h′(x)=-2x+
<0,故当1<x<2时h(x)单调递减,在同一坐标系中画出y=|h(x)|和y=1的图象如图所示.
由图象可知|f(x)+g(x)|=1的实根个数为4.
12.
解析 由题意作出f(x)在[-1,3]上的图象如图,记y=k(x+1)+1,
∴函数y=k(x+1)+1的图象过定点A(-1,1).记B(2,0),由图象知,方程有四个根,
即函数y=f(x)与y=kx+k+1的图象有四个交点,
故kAB=-,∴-
=-
,∴-
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