圆的题型分析.docx

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圆的题型分析

第一讲圆的有关概念及性质

【基础知识回顾】

一、圆的定义及性质：

1、圆的定义：

⑴形成性定义：

在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫线段OA叫做

⑵描述性定义：

圆是到定点的距离等于的点的集合

2、弦与弧：

弦：

连接圆上任意两点的叫做弦

弧：

圆上任意两点间的叫做弧，弧可分为、、三类

3、圆的对称性：

⑴轴对称性：

圆是轴对称图形，有条对称轴，的直线都是它的对称轴

⑵中心对称性：

圆是中心对称图形，对称中心是

【名师提醒：

1、在一个圆中，圆心决定圆的半径决定圆的

2、直径是圆中的弦，弦不一定是直径；3、圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转性，即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】

二、垂径定理及推论：

1、垂径定理：

垂直于弦的直径，并且平分弦所对的。

2、推论：

平分弦（）的直径，并且平分弦所对的。

【名师提醒：

1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：

⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其余三个，注意解题过程中的灵活运用2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的线（即弦心距）。

3、垂径定理常用作计算，在半径r、弦a、弦心d和弓高h中已知其中两个量可求另外两个量。

】

三、圆心角、弧、弦之间的关系：

1、圆心角定义：

顶点在的角叫做圆心角

2、定理：

在中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应的其余各组量也分别

【名师提醒：

注意：

该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】

四、圆周角定理及其推论：

1、圆周角定义：

顶点在并且两边都和圆的角叫圆周角

2、圆周角定理：

在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的

推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角那么它们所对的弧

推论2、半圆（或直弦）所对的圆周角是，900的圆周角所对的弦是

【名师提醒：

1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而它所对的圆周角

有个，是类，它们的关系是，2、作直径所对的圆周角是圆中常作的辅助线】

五、圆内接四边形：

定义：

如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做，这个圆叫做。

性质：

圆内接四边形的对角。

【名师提醒：

圆内接平行四边形是圆内接梯形是】

【重点考点例析】

考点一：

垂径定理

例1（2013•舟山）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（　　）

A．2

B．8C．2

D．2

对应训练

1．（2013•南宁）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE=CD=8，

∠BAC=

∠BOD，则⊙O的半径为（　　）

A．4

B．5C．4D．3

2．（2013•兰州）如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水面最深地方的高度为2cm，则该输水管的半径为（　　）

A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm

考点二：

圆周角定理

例2（2013•自贡）如图，在平面直角坐标系中，⊙A经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于B、C两点，已知B（8，0），C（0，6），则⊙A的半径为（　　）

A．3B．4C．5D．8

对应训练

3．（2013•珠海）如图，▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC=54°，连接AE，则∠AEB的度数为（　　）

A．36°B．46°C．27°D．63°

4．（2013•厦门）如图所示，在⊙O中，弧AB=弧AC，∠A=30°，则∠B=（　　）

A．150°B．75°C．60°D．15°

第二讲与圆有关的位置关系

【基础知识回顾】

一、点与圆的位置关系：

1、点与圆的位置关系有种，若圆的半径为r点P到圆心的距离为d

则：

点P在圆内<＝>点P在圆上<＝>点P在圆外<＝>

2、过三点的圆：

⑴过同一直线上三点作圆，过三点，有且只有一个圆

⑵三角形的外接圆：

经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆的圆心叫做三角形的这个三角形叫做这个圆的。

⑶三角形外心的形成：

三角形的交点，

外心的性质：

到相等

【名师提醒：

锐角三角形外心在三角形直角三角形的外心是钝角三角形的外心在三角形】

二、直线与圆的位置关系：

1、直线与圆的位置关系有种：

当直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆这时直线叫圆的线，当直线和圆有唯一公共点时叫做直线和圆这时直线叫圆的线，直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆这时直线叫圆的线。

2、设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则：

直线l与⊙O相交<＝>dr,直线l与⊙O相切<＝>dr

直线l与⊙O相离<＝>dr

3、切线的性质和判定：

⑴性质定理：

圆的切线垂直于经过切点的

【名师提醒：

根据这一定理，在圆中遇到切线时，常常连接圆心和切点，即可得垂直关系】

⑵判定定理：

经过半径的且这条半径的直线是圆的切线

【名师提醒：

在切线的判定中，当直线和圆的公共点标出时，用判定定理证明。

当公共点未标出时，一般可证圆心到直线的距离d=r来判定相切】

4、切线长定理：

⑴切线长定义：

在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的长叫做这点到圆的切线长。

⑵切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的相等，并且圆心和这一点的连线平分的夹角

5、三角形的内切圆：

⑴与三角形各边都的圆，叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的

⑵三角形内心的形成：

是三角形的交点

内心的性质：

到三角形各的距离相等，内心与每一个顶点的连接线平分

【名师提醒：

三类三角形内心都在三角形若△ABC三边为a、b、c面积为s，内切圆半径为r，则s=，若△ABC为直角三角形，则r=】

三、圆和圆的位置关系：

圆和圆的位置关系有种，若⊙O1半径为R，⊙O2半径为r，圆心距为d，则⊙O1与⊙O2外离<＝>⊙O1与⊙O2外切<＝>

⊙O1与⊙O2相交<＝>⊙O1与⊙O2内切<＝>

⊙O1与⊙O2内含<＝>

【名师提醒：

两圆相离（无公共点）包含和两种情况，两圆相切（有唯一公共点）包含和两种情况，注意题目中两种情况的考虑，同心圆是两圆此时d=】

四、反证法：

假设命题的结论，由此经过推理得出由矛盾判定所作的假设从而得到原命题成立，这种证明命题的方法叫反证法

【名师提醒：

反证法证题的关键是提出即假设所证结论的反面成立，通过推理论证得出的矛盾可以与相矛盾，也可以与相矛盾，从而肯定原命题成立】

【典型例题解析】

考点一：

直线与圆、圆与圆的位置关系

例1（2013•盘锦）如图，△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，D、E分别是AC、AB的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系是（　　）

A．相交B．相切C．相离D．无法确定

例2（2013•攀枝花）已知⊙O1和⊙O2的半径分别是方程x2-4x+3=0的两根，且两圆的圆心距等于4，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（　　）

A．外离B．外切C．相交D．内切

对应训练

1．（2013•黔东南州）Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径作圆，若圆C与直线AB相切，则r的值为（　　）

A．2cmB．2.4cmC．3cmD．4cm

2．（2013•青岛）直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（　　）

A．r＜6B．r=6C．r＞6D．r≥6

3．（2013•烟台）如图，已知⊙O1的半径为1cm，⊙O2的半径为2cm，将⊙O1，⊙O2放置在直线l上，如果⊙O1在直线l上任意滚动，那么圆心距O1O2的长不可能是（　　）

A．6cmB．3cmC．2cmD．0.5cm

4．（2013•东营）已知⊙O1的半径r1=2，⊙O2的半径r2是方程

的根，⊙O1与⊙O2的圆心距为1，那么两圆的位置关系为（　　）

A．内含B．内切C．相交D．外切

考点二：

切线的性质

例3（2013•义乌）已知直线PD垂直平分⊙O的半径OA于点B，PD交⊙O于点C、D，PE是⊙O的切线，E为切点，连结AE，交CD于点F．

（1）若⊙O的半径为8，求CD的长；

（2）证明：

PE=PF；

（3）若PF=13，sinA=

，求EF的长．

对应训练

5．（2013•枣庄）如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB=AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是（　　）

A．90°B．60°C．45°D．30°

6．（2013•扬州）如图，△ABC内接于⊙O，弦AD⊥AB交BC于点E，过点B作⊙O的切线交DA的延长线于点F，且∠ABF=∠ABC．

（1）求证：

AB=AC；

（2）若AD=4，cos∠ABF=

，求DE的长．

考点三：

切线的判定

例2（2013•自贡）如图，点B、C、D都在⊙O上，过点C作AC∥BD交OB延长线于点A，连接CD，且∠CDB=∠OBD=30°，DB=6

cm．

（1）求证：

AC是⊙O的切线；

（2）求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）

对应训练

7．（2013•滨州）如图，在△ABC中，AB=AC，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC相交于点D、E，EF⊥AC，垂足为F．求证：

直线EF是⊙O的切线．

8．（2013•玉林）如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC=FC．

（1）求证：

AC是⊙O的切线：

（2）若BF=8，DF=

，求⊙O的半径r．

9．（2013•济南）如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线AD，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形．

（1）求AD的长；

（2）BC是⊙O的切线吗？

若是，给出证明；若不是，说明理由．

【备考真题过关】

一、选择题

1．（2013•铜仁地区）⊙O的半径为8，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是（　　）

A．相切B．相交C．相离D．不能确定

2．（2013•云南）已知⊙O1的半径是3cm，⊙O2的半径是2cm，O1O2=

cm，则两圆的位置关系是（　　）

A．相离B．外切C．相交D．内切

3．（2013•泉州）已知⊙O1与⊙O2相交，它们的半径分别是4，7，则圆心距O1O2可能是（　　）

A．2B．3C．6D．12

4．（2013•南京）如图，⊙O1，⊙O2的圆心在直线l上，⊙O1的半径为2cm，⊙O2的半径为3cm．O1O2=8cm，⊙O1以1m/s的速度沿直线l向右运动，7s后停止运动．在此过程中，⊙O1和⊙O2没有出现的位置关系是（　　）

A．外切B．相交C．内切D．内含

5．（2013•安徽）如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不正确的是（　　）

A．当弦PB最长时，△APC是等腰三角形

B．当△APC是等腰三角形时，PO⊥AC

C．当PO⊥AC时，∠ACP=30°

D．当∠ACP=30°时，△BPC是直角三角形

二、填空题

6．（2013•天水）如图所示，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，且∠EAF=80°，则图中阴影部分的面积是π

．

7．（2013•张家界）如图，⊙A、⊙B、⊙C两两外切，它们的半径都是a，顺次连接三个圆心，则图中阴影部分的面积是．

三、解答题

8．（2013•永州）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，圆心在AC上，∠A=30°，D为BC的中点．

（1）求证：

AB=BC；

（2）求证：

四边形BOCD是菱形．

9．（2013•苏州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F．

（1）求证：

BD=BF；

（2）若CF=1，cosB=

，求⊙O的半径．

10．（2013•湛江）如图，已知AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，且OP∥BC，∠P=∠BAC．

（1）求证：

PA为⊙O的切线；

（2）若OB=5，OP=

，求AC的长．

11．（2013•泸州）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．

（1）求证：

CD2=CA•CB；

（2）求证：

CD是⊙O的切线；

（3）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC=12，tan∠CDA=

，求BE的长．

第三讲与圆有关的计算

【基础知识回顾】

一、正多边形和圆：

1、各边相等，也相等的多边形是正多边形

2、每一个正多边形都有一个外接圆，外接圆的圆心叫正多边形的外接圆的半径叫正多边形的一般用字母R表示，每边所对的圆心角叫可用用α表示，α=，中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的用r表示

3、每一个正n边形都被它的半径分成n个全等的三角形，被它的半径和边心距分成个全等的三角形

【名师提醒：

正多边形的有关计算，一般是放在一个等腰三角形或一个直角三角形中进行，根据半径、边心距、边长、中心角等之间的边角关系作计算，以正三角形、正方形和正方边形为主】

二、弧长与扇形面积计算：

⊙O的半径为R，弧长为L，圆心角为n0，扇形的面积为S扇，则有如下公式：

L=

S扇==

【名师提醒：

1、以上几个公式都可进行变形，2、原公式中涉及的角都不带单位3、扇形的两个公式可根据已知条件灵活进行选择4、圆中的面积计算常见的是求阴影部分的面积，常用的方法有：

⑴已知规则图形面积的和与差⑵割补法⑶等积变形法⑷平移法⑸旋转法等】

三、圆柱和圆锥：

1、如图：

设圆柱的高为h,底面半径为R

则有：

⑴S圆柱侧=

⑵S圆柱全=

⑶V圆柱=

2、如图：

设圆锥的母线长为l，底面半径为R，高为h，则有：

⑴S圆锥侧=、

⑵S圆锥全=

⑶V圆锥=

【名师提醒：

1、圆柱的高有条，圆锥的高有条2、圆锥的高h，母线长l，底高半径R满足关系3、注意圆锥的侧面展开圆中扇形的半径l是圆锥的，扇形的弧长是圆锥的4、圆锥的母线为l，底面半径为R，侧面展开图扇形的圆心角度数为n，若l=2r，则n=l=3r,则n=l=4r则n=】

【典型例题解析】

考点一：

正多边形和圆

例1（2013•绵阳）如图，要拧开一个边长为a=6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为（　　）

A．6mmB．12mmC．6

mmD．4

mm

对应训练

1．（2013•天津）正六边形的边心距与边长之比为（　　）

A．

：

3B．

：

2C．1：

2D．

：

2

考点二：

圆周长与弧长

例2（2013•黄冈）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，边CD在直线l上，将矩形ABCD沿直线l作无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点A1位置时，则点A经过的路线长为

对应训练

2．（2013•遵义）如图，将边长为1cm的等边三角形ABC沿直线l向右翻动（不滑动），点B从开始到结束，所经过路径的长度为（　　）

A．

πcmB．（2+

π）cmC．

πcmD．3cm

考点三：

扇形面积与阴影部分面积

例3（2013•重庆）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以AB为直径的半圆与对角线AC交于点E，则图中阴影部分的面积为10-π

．（结果保留π）

对应训练

3．（2013•乐山）如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为2π-4

．

考点四：

圆柱、圆锥的侧面展开图

例4（2013•遂宁）用半径为3cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（　　）

A．2πcmB．1.5cmC．πcmD．1cm

对应训练

4．（2013•攀枝花）一个圆锥的左视图是一个正三角形，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角等于（　　）

A．60°B．90°C．120°D．180°