中考数学试题分类汇编考点24平行四边形及解析.docx

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中考数学试题分类汇编考点24平行四边形及解析

2018中考数学试题分类汇编：

考点24平行四边形

一．选择题（共9小题）

1．（2018•宁波）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连结OE．若∠ABC=60°，∠BAC=80°，则∠1的度数为（　　）

A．50°B．40°C．30°D．20°

【分析】直接利用三角形内角和定理得出∠BCA的度数，再利用三角形中位线定理结合平行线的性质得出答案．

【解答】解：

∵∠ABC=60°，∠BAC=80°，

∴∠BCA=180°﹣60°﹣80°=40°，

∵对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，

∴EO是△DBC的中位线，

∴EO∥BC，

∴∠1=∠ACB=40°．

故选：

B．

2．（2018•宜宾）在▱ABCD中，若∠BAD与∠CDA的角平分线交于点E，则△AED的形状是（　　）

A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定

【分析】想办法证明∠E=90°即可判断．

【解答】解：

如图，∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠BAD+∠ADC=180°，

∵∠EAD=

∠BAD，∠ADE=

∠ADC，

∴∠EAD+∠ADE=

（∠BAD+∠ADC）=90°，

∴∠E=90°，

∴△ADE是直角三角形，

故选：

B．

3．（2018•黔南州）如图在▱ABCD中，已知AC=4cm，若△ACD的周长为13cm，则▱ABCD的周长为（　　）

A．26cmB．24cmC．20cmD．18cm

【分析】根据三角形周长的定义得到AD+DC=9cm．然后由平行四边形的对边相等的性质来求平行四边形的周长．

【解答】解：

∵AC=4cm，若△ADC的周长为13cm，

∴AD+DC=13﹣4=9（cm）．

又∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AD=BC，

∴平行四边形的周长为2（AB+BC）=18cm．

故选：

D．

4．（2018•海南）如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为（　　）

A．15B．18C．21D．24

【分析】利用平行四边形的性质，三角形中位线定理即可解决问题；

【解答】解：

∵平行四边形ABCD的周长为36，

∴BC+CD=18，

∵OD=OB，DE=EC，

∴OE+DE=

（BC+CD）=9，

∵BD=12，

∴OD=

BD=6，

∴△DOE的周长为9+6=15，

故选：

A．

5．（2018•泸州）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB中点，且AE+EO=4，则▱ABCD的周长为（　　）

A．20B．16C．12D．8

【分析】首先证明：

OE=

BC，由AE+EO=4，推出AB+BC=8即可解决问题；

【解答】解：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=OC，

∵AE=EB，

∴OE=

BC，

∵AE+EO=4，

∴2AE+2EO=8，

∴AB+BC=8，

∴平行四边形ABCD的周长=2×8=16，

故选：

B．

6．（2018•眉山）如图，在▱ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连结EF、BF，下列结论：

①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S四边形DEBC=2S△EFB；④∠CFE=3∠DEF，其中正确结论的个数共有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【分析】如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．想办法证明EF=FG，BE⊥BG，四边形BCFH是菱形即可解决问题；

【解答】解：

如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．

∵CD=2AD，DF=FC，

∴CF=CB，

∴∠CFB=∠CBF，

∵CD∥AB，

∴∠CFB=∠FBH，

∴∠CBF=∠FBH，

∴∠ABC=2∠ABF．故①正确，

∵DE∥CG，

∴∠D=∠FCG，

∵DF=FC，∠DFE=∠CFG，

∴△DFE≌△FCG，

∴FE=FG，

∵BE⊥AD，

∴∠AEB=90°，

∵AD∥BC，

∴∠AEB=∠EBG=90°，

∴BF=EF=FG，故②正确，

∵S△DFE=S△CFG，

∴S四边形DEBC=S△EBG=2S△BEF，故③正确，

∵AH=HB，DF=CF，AB=CD，

∴CF=BH，∵CF∥BH，

∴四边形BCFH是平行四边形，

∵CF=BC，

∴四边形BCFH是菱形，

∴∠BFC=∠BFH，

∵FE=FB，FH∥AD，BE⊥AD，

∴FH⊥BE，

∴∠BFH=∠EFH=∠DEF，

∴∠EFC=3∠DEF，故④正确，

故选：

D．

7．（2018•东营）如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F，AB=BF．添加一个条件使四边形ABCD是平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的是（　　）

A．AD=BCB．CD=BFC．∠A=∠CD．∠F=∠CDF

【分析】正确选项是D．想办法证明CD=AB，CD∥AB即可解决问题；

【解答】解：

正确选项是D．

理由：

∵∠F=∠CDF，∠CED=∠BEF，EC=BE，

∴△CDE≌△BFE，CD∥AF，

∴CD=BF，

∵BF=AB，

∴CD=AB，

∴四边形ABCD是平行四边形．

故选：

D．

8．（2018•玉林）在四边形ABCD中：

①AB∥CD②AD∥BC③AB=CD④AD=BC，从以上选择两个条件使四边形ABCD为平行四边形的选法共有（　　）

A．3种B．4种C．5种D．6种

【分析】根据平行四边形的判定方法中，①②、③④、①③、③④均可判定是平行四边形．

【解答】解：

根据平行四边形的判定，符合条件的有4种，分别是：

①②、③④、①③、③④．

故选：

B．

9．（2018•安徽）▱ABCD中，E，F的对角线BD上不同的两点．下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（　　）

A．BE=DFB．AE=CFC．AF∥CED．∠BAE=∠DCF

【分析】连接AC与BD相交于O，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC，OB=OD，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到OE=OF即可，然后根据各选项的条件分析判断即可得解．

【解答】解：

如图，连接AC与BD相交于O，

在▱ABCD中，OA=OC，OB=OD，

要使四边形AECF为平行四边形，只需证明得到OE=OF即可；

A、若BE=DF，则OB﹣BE=OD﹣DF，即OE=OF，故本选项不符合题意；

B、若AE=CF，则无法判断OE=OE，故本选项符合题意；

C、AF∥CE能够利用“角角边”证明△AOF和△COE全等，从而得到OE=OF，故本选项不符合题意；

D、∠BAE=∠DCF能够利用“角角边”证明△ABE和△CDF全等，从而得到DF=BE，然后同A，故本选项不符合题意；

故选：

B．

二．填空题（共6小题）

10．（2018•十堰）如图，已知▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AC=8，BD=10，AB=5，则△OCD的周长为　14　．

【分析】根据平行四边形的性质即可解决问题；

【解答】解：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD=5，OA=OC=4，OB=OD=5，

∴△OCD的周长=5+4+5=14，

故答案为14．

11．（2018•株洲）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，且BD=CD，过点A作AM⊥BD于点M，过点D作DN⊥AB于点N，且DN=3

，在DB的延长线上取一点P，满足∠ABD=∠MAP+∠PAB，则AP=　6　．

【分析】根据BD=CD，AB=CD，可得BD=BA，再根据AM⊥BD，DN⊥AB，即可得到DN=AM=3

，依据∠ABD=∠MAP+∠PAB，∠ABD=∠P+∠BAP，即可得到△APM是等腰直角三角形，进而得到AP=

AM=6．

【解答】解：

∵BD=CD，AB=CD，

∴BD=BA，

又∵AM⊥BD，DN⊥AB，

∴DN=AM=3

，

又∵∠ABD=∠MAP+∠PAB，∠ABD=∠P+∠BAP，

∴∠P=∠PAM，

∴△APM是等腰直角三角形，

∴AP=

AM=6，

故答案为：

6．

12．（2018•衡阳）如图，▱ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M．如果△CDM的周长为8，那么▱ABCD的周长是　16　．

【分析】根据题意，OM垂直平分AC，所以MC=MA，因此△CDM的周长=AD+CD，可得平行四边形ABCD的周长．

【解答】解：

∵ABCD是平行四边形，

∴OA=OC，

∵OM⊥AC，

∴AM=MC．

∴△CDM的周长=AD+CD=8，

∴平行四边形ABCD的周长是2×8=16．

故答案为16．

13．（2018•泰州）如图，▱ABCD中，AC、BD相交于点O，若AD=6，AC+BD=16，则△BOC的周长为　14　．

【分析】根据平行四边形的性质，三角形周长的定义即可解决问题；

【解答】解：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC=6，OA=OC，OB=OD，

∵AC+BD=16，

∴OB+OC=8，

∴△BOC的周长=BC+OB+OC=6+8=14，

故答案为14．

14．（2018•临沂）如图，在▱ABCD中，AB=10，AD=6，AC⊥BC．则BD=　4

　．

【分析】由BC⊥AC，AB=10，BC=AD=6，由勾股定理求得AC的长，得出OA长，然后由勾股定理求得OB的长即可．

【解答】解：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BC=AD=6，OB=D，OA=OC，

∵AC⊥BC，

∴AC=

=8，

∴OC=4，

∴OB=

=2

，

∴BD=2OB=4

故答案为：

4

．

15．（2018•无锡）如图，已知∠XOY=60°，点A在边OX上，OA=2．过点A作AC⊥OY于点C，以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC，点P是△ABC围成的区域（包括各边）内的一点，过点P作PD∥OY交OX于点D，作PE∥OX交OY于点E．设OD=a，OE=b，则a+2b的取值范围是　2≤a+2b≤5　．

【分析】作辅助线，构建30度的直角三角形，先证明四边形EODP是平行四边形，得EP=OD=a，在Rt△HEP中，∠EPH=30°，可得EH的长，计算a+2b=2OH，确认OH最大和最小值的位置，可得结论．

【解答】解：

过P作PH⊥OY交于点H，

∵PD∥OY，PE∥OX，

∴四边形EODP是平行四边形，∠HEP=∠XOY=60°，

∴EP=OD=a，

Rt△HEP中，∠EPH=30°，

∴EH=

EP=

a，

∴a+2b=2（

a+b）=2（EH+EO）=2OH，

当P在AC边上时，H与C重合，此时OH的最小值=OC=

OA=1，即a+2b的最小值是2；

当P在点B时，OH的最大值是：

1+

=

，即（a+2b）的最大值是5，

∴2≤a+2b≤5．

三．解答题（共12小题）

16．（2018•福建）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AD，BC分别相交于点E，F．求证：

OE=OF．

【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得OA=OC，AD∥BC，继而可证得△AOE≌△COF（ASA），则可证得结论．

【解答】证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=OC，AD∥BC，

∴∠OAE=∠OCF，

在△OAE和△OCF中，

，

∴△AOE≌△COF（ASA），

∴OE=OF．

17．（2018•临安区）已知：

如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．

求证：

（1）△ADF≌△CBE；

（2）EB∥DF．

【分析】

（1）要证△ADF≌△CBE，因为AE=CF，则两边同时加上EF，得到AF=CE，又因为ABCD是平行四边形，得出AD=CB，∠DAF=∠BCE，从而根据SAS推出两三角形全等；

（2）由全等可得到∠DFA=∠BEC，所以得到DF∥EB．

【解答】证明：

（1）∵AE=CF，

∴AE+EF=CF+FE，即AF=CE．

又ABCD是平行四边形，

∴AD=CB，AD∥BC．

∴∠DAF=∠BCE．

在△ADF与△CBE中

，

∴△ADF≌△CBE（SAS）．

（2）∵△ADF≌△CBE，

∴∠DFA=∠BEC．

∴DF∥EB．

18．（2018•宿迁）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边CB、AD的延长线上，且BE=DF，EF分别与AB、CD交于点G、H．求证：

AG=CH．

【分析】利用平行四边形的性质得出AF=EC，再利用全等三角形的判定与性质得出答案．

【解答】证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，∠A=∠C，AD∥BC，

∴∠E=∠F，

∵BE=DF，

∴AF=EC，

在△AGF和△CHE中

，

∴△AGF≌△CHE（ASA），

∴AG=CH．

19．（2018•青岛）已知：

如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．

（1）求证：

AB=AF；

（2）若AG=AB，∠BCD=120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．

【分析】

（1）只要证明AB=CD，AF=CD即可解决问题；

（2）结论：

四边形ACDF是矩形．根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可；

【解答】

（1）证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB=CD，

∴∠AFC=∠DCG，

∵GA=GD，∠AGF=∠CGD，

∴△AGF≌△DGC，

∴AF=CD，

∴AB=AF．

（2）解：

结论：

四边形ACDF是矩形．

理由：

∵AF=CD，AF∥CD，

∴四边形ACDF是平行四边形，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠BAD=∠BCD=120°，

∴∠FAG=60°，

∵AB=AG=AF，

∴△AFG是等边三角形，

∴AG=GF，

∵△AGF≌△DGC，

∴FG=CG，∵AG=GD，

∴AD=CF，

∴四边形ACDF是矩形．

20．（2018•无锡）如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC、AD的中点，求证：

∠ABF=∠CDE．

【分析】根据平行四边形的性质以及全等三角形的性质即可求出答案．

【解答】解：

在▱ABCD中，

AD=BC，∠A=∠C，

∵E、F分别是边BC、AD的中点，

∴AF=CE，

在△ABF与△CDE中，

∴△ABF≌△CDE（SAS）

∴∠ABF=∠CDE

21．（2018•淮安）已知：

如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别与AD、BC相交于点E、F．求证：

AE=CF．

【分析】利用平行四边形的性质得出AO=CO，AD∥BC，进而得出∠EAC=∠FCO，再利用ASA求出△AOE≌△COF，即可得出答案．

【解答】证明：

∵▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，

∴AO=CO，AD∥BC，

∴∠EAC=∠FCO，

在△AOE和△COF中

，

∴△AOE≌△COF（ASA），

∴AE=CF．

22．（2018•南通模拟）如图，▱ABCD中，点E是BC的中点，连接AE并延长交DC延长线于点F．

（1）求证：

CF=AB；

（2）连接BD、BF，当∠BCD=90°时，求证：

BD=BF．

【分析】

（1）欲证明AB=CF，只要证明△AEB≌△FEC即可；

（2）想办法证明AC=BD，BF=AC即可解决问题；

【解答】证明：

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥DF，

∴∠BAE=∠CFE

∵AE=EF，∠AEB=∠CEF，

∴△AEB≌△FEC，

∴AB=CF．

（2）连接AC．

∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD=90°，

∴四边形ABCD是矩形，

∴BD=AC，

∵AB=CF，AB∥CF，

∴四边形ACFB是平行四边形，

∴BF=AC，

∴BD=BF．

23．（2018•徐州）已知四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，给出下列四个论断：

①OA=OC，②AB=CD，③∠BAD=∠DCB，④AD∥BC．

请你从中选择两个论断作为条件，以“四边形ABCD为平行四边形”作为结论，完成下列各题：

①构造一个真命题，画图并给出证明；

②构造一个假命题，举反例加以说明．

【分析】如果①②结合，那么这些线段所在的两个三角形是SSA，不一定全等，那么就不能得到相等的对边平行；如果②③结合，和①②结合的情况相同；如果①④结合，由对边平行可得到两对内错角相等，那么AD，BC所在的三角形全等，也得到平行的对边也相等，那么是平行四边形；最易举出反例的是②④，它有可能是等腰梯形．

【解答】解：

（1）①④为论断时：

∵AD∥BC，

∴∠DAC=∠BCA，∠ADB=∠DBC．

又∵OA=OC，

∴△AOD≌△COB．

∴AD=BC．

∴四边形ABCD为平行四边形．

（2）②④为论断时，此时一组对边平行，另一组对边相等，可以构成等腰梯形．

24．（2018•大庆）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于F．

（1）证明：

四边形CDEF是平行四边形；

（2）若四边形CDEF的周长是25cm，AC的长为5cm，求线段AB的长度．

【分析】

（1）由三角形中位线定理推知ED∥FC，2DE=BC，然后结合已知条件“EF∥DC”，利用两组对边相互平行得到四边形DCFE为平行四边形；

（2）根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到AB=2DC，即可得出四边形DCFE的周长=AB+BC，故BC=25﹣AB，然后根据勾股定理即可求得；

【解答】

（1）证明：

∵D、E分别是AB、AC的中点，F是BC延长线上的一点，

∴ED是Rt△ABC的中位线，

∴ED∥FC．BC=2DE，

又EF∥DC，

∴四边形CDEF是平行四边形；

（2）解：

∵四边形CDEF是平行四边形；

∴DC=EF，

∵DC是Rt△ABC斜边AB上的中线，

∴AB=2DC，

∴四边形DCFE的周长=AB+BC，

∵四边形DCFE的周长为25cm，AC的长5cm，

∴BC=25﹣AB，

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，

∴AB2=BC2+AC2，即AB2=（25﹣AB）2+52，

解得，AB=13cm，

25．（2018•孝感）如图，B，E，C，F在一条直线上，已知AB∥DE，AC∥DF，BE=CF，连接AD．求证：

四边形ABED是平行四边形．

【分析】由AB∥DE、AC∥DF利用平行线的性质可得出∠B=∠DEF、∠ACB=∠F，由BE=CF可得出BC=EF，进而可证出△ABC≌△DEF（ASA），根据全等三角形的性质可得出AB=DE，再结合AB∥DE，即可证出四边形ABED是平行四边形．

【解答】证明：

∵AB∥DE，AC∥DF，

∴∠B=∠DEF，∠ACB=∠F．

∵BE=CF，

∴BE+CE=CF+CE，

∴BC=EF．

在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（ASA），

∴AB=DE．

又∵AB∥DE，

∴四边形ABED是平行四边形．

26．（2018•岳阳）如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，求证：

四边形BFDE是平行四边形．

【分析】首先根据四边形ABCD是平行四边形，判断出AB∥CD，且AB=CD，然后根据AE=CF，判断出BE=DF，即可推得四边形BFDE是平行四边形．

【解答】证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，且AB=CD，

又∵AE=CF，

∴BE=DF，

∴BE∥DF且BE=DF，

∴四边形BFDE是平行四边形．

27．（2018•永州）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以线段AB为边向外作等边△ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F．

（1）求证：

四边形BCFD为平行四边形；

（2）若AB=6，求平行四边形BCFD的面积．

【分析】

（1）在Rt△ABC中，E为AB的中点，则CE=

AB，BE=

AB，得到∠BCE=∠EBC=60°．由△AEF≌△BEC，得∠AFE=∠BCE=60°．又∠D=60°，得∠AFE=∠D=60度．所以FC∥BD，又因为∠BAD=∠ABC=60°，所以AD∥BC，即FD∥BC，则四边形BCFD是平行四边形．

（2）在Rt△ABC中，求出BC，AC即可解决问题；

【解答】

（1）证明：

在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，

∴∠ABC=60°．

在等边△ABD中，∠BAD=60°，

∴∠BAD=∠ABC=60°．

∵E为AB的中点，

∴AE=BE．

又∵∠AEF=∠BEC，

∴△AEF≌△BEC．

在△ABC中，∠ACB=90°，E为AB的中点，

∴CE=

AB，BE=

AB．

∴CE=AE，

∴∠EAC=∠ECA=30°，

∴∠BCE=∠EBC=60°．

又∵△AEF≌△BEC，

∴∠AFE=∠BCE=60°．

又∵∠D=60°，

∴∠AFE=∠D=60°．

∴FC∥BD．

又∵∠BAD=∠ABC=60°，

∴AD∥BC，即FD∥BC．

∴四边形BCFD是平行四边形．

（2）解：

在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，AB=6，

∴BC=

AB=3，AC=

BC=3

，

∴S平行四边形BCFD=3×

=9

．