利率的期限结构.doc
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第2章利率的期限结构
在经济全球化，金融一体化的今天，利率同我们中的大多数人息息相关，向银行贷款需要根据利率支付利息，在银行存款或购买债券以获取利息收益。
我们还知道，存款或贷款由于种类和期限（短期，长期）的不同有不同的利率，这些利率的不同不仅替现在数量上，而且还替现在计算的方法上。
同时利率由于受到经济环境（全球的或局部的），政府政策等因素的影响，利率是在不断变化的。
利率的期限结构反映了利率（或收益率）和期限之间的对应关系，在期限--收益率的坐标平面上它是一条收益率曲线，根据利率的期限结构，可以了解远期利率（将来某个时间的利率）和即期利率之间的关系。
本章以债券的收益率为工具说明利率的期限结构，内容有第2.1节的固定收益证券的介绍，第2.2节讨论即期利率的计算，第2.3节分析利率的期限结构的构建方法和即期利率曲线，第2.4节介绍远期利率以及远期利率曲线同期利率曲线之间的关系。
§2.1固定收益证券
本小节对在金融市场作为融资工具的固定收益证券作一个简单的介绍。
固定收益证券（Fixed-incomeSecurities）是借方在特定的时间内按预先规定的时间和方式向证券持有者支付利息和本金所发行的证券，也称固定收入债券。
债券的持有期一般比较长，持有者收入的现金流是固定的，其价值要随利率的波动而变化，因此具有利率风险。
债券定期支付利息，有半年支付一次的（如美国），一年支付一次的（如欧洲国家），还有按季度支付的。
对于一个确定的固定收益债券，有三个基本特征是投资者所关心的，它们是到期日（Maturity）、票面利率（CouponRate），每年付息次数和面值（ParValue，又称本金,Principle）。
到期日反映了证券的期限的长短，在到期日借方应按时向证券持有者归还证券所确定的利息和本金。
票面利率又称息票率，它一般指的是年利率，票面利率和每年付息次数决定了每次付息时的付息率。
面值是指证券的票面价值，是借方在到期日或之前应该支付给证券持有者的不包含利息的金额。
假设已知某固定收益证券的面值为V，息票率为，每年付息次数为，则每次支付利息为。
根据付息方式的不同，债券有不同的类型。
固定息票债券（Fixed-CouponBonds）：
它定时按固定利息率支付利息，并在到期日一次性支付本金（债券面值）。
零息债券（Zero-CouponBonds）：
它仅支付本金（债券面值）而不支付息票，销售价一般低于面值，它们的收益源于价格增值。
浮动息票债券（Floating-CouponBonds）又称浮动利率票据（Floating-RateNotes,FRN）：
它定其支付利息，但顾名思义，其利率不是固定的而是浮动的，利率等于参考（标准）利率（一般为伦敦同业银行拆借利率，LIBOR）加上在一个规则基础上确定的差额，在到期日一次性支付本金（债券面值）。
例1：
考察这样一个10年期、面值为$1百万的浮动利率票据，它每半年支付一次利息，利率为6个月的伦敦同业银行折借利率（LIBOR）加50个基本点（1个基本点为1%的一百分之一，即0.01%）。
设票据起始日的LIBOR为6%，则在下一个付息日（半年后）所付利息为
万。
假设在这个付息日的LIBOR已变动为7%，则在第二个付息日将以新的LIBOR加0.5%来计算利息。
具体地说浮动息票债券用上一个付息日的LIBOR加基本点来计算下一个付息日所要付的利息，在到期日则要支付最后一次的利息和本金。
还有一种票据，称为反向浮动票据，它同样定期支付利息，在到期日归还本金并支付最后一次利息，但它的利息支付随伦敦同业银行折借利率水平反向变化，其利率计算采用公式
其中R是一个预先商定的固定利率。
由这个公式可以看出息票利息随LIBOR的上升而下降，随LIBOR的下降而上升。
年金（Annuities）：
它在整个有效期内每年定期向持有者支付固定数额，这其中包括利息和部分本金。
永续债券（PerpetualBonds）或统一公债（Consols）：
它同固定息票债券一样定期支付利息，但不同的是没有到期日，因而也没有在到期日本金的支付，其价值仅来自利息的支付。
各种政府机构发行的债券属于国债，包括短期，中期和长期的各种类型的国库券。
国债市场的流动性很强，短期国库券有3月期的，半年期和一年期之分。
短期国库券一般不定期支付利息，而是采用折价出售，到期偿还面值的方法，利息就是折价数额。
因此，短期国库券事实上是短期的零息票债券。
§2.2到期收益率和即期利率
本节介绍债券的到期收益率、即期利率和两者之间的关系。
考察某债券未来收益的现金流
即该债券共收益T次。
以固定利率息票的债券为例，设固定（年）息票率为r，每半年支付一次，期限为10年，则有T=20，前19次支付额相同，同为，其中V为债券面值。
而最后一次的支付额为，它包括了本金（债券面值）和最后一次的利息。
债券的到期收益率（Yield-to-Maturity,YTM）是使现金流的现值（NPV）等于该债券当前市场价值的内部收益率（IRR，见1.5节），它也称为债券的预期收益率或平价收益率。
记债券的到期收益率为,则有
（2-1）
这里P表示债券的现值（市场价值）。
可以看出到期收益率依赖于债券的实际市场价格P和付息方式（息票率和付息次数）,因此到期收益率一般并不等于债券的
现金流
t
金额
折现因子
折现值
第1次付息
1
3
0.970874
2.91
第2次付息
2
3
0.942596
2.83
第3次付息
3
3
0.915142
2.75
第4次付息
4
3
0.888487
2.67
第5次付息
5
3
0.862609
2.59
第6次付息
6
3
0.837484
2.51
第7次付息
7
3
0.813092
2.44
第8次付息
8
3
0.789409
2.37
第9次付息
9
3
0.766417
2.30
付本金加息
10
103
0.744094
76.64
现值总和
100
表2-15年期,息票率6%债券的到期利率
息票率，但是如果债券在到期日支付本金,且市场价格等于其面值,则其到期收益率等于设定的息率。
表2-1给出了这样一个例子，这是一个5年期、息票率为6%、每年付息两次的债券。
设该债券的到期收益率等于息票率。
则可以看出债券的市场价格等于其面值100。
如果此时同类债券的到期收益率是8%，则该债券的市场价格不可能再等于其面值，而是要下降，这是因为在计算该债券的市场价值时，我们要用平价收益率8%来对其未来的现金流折现。
表2-2计算了该债券在这个收益率下的市场价值（价格）.
现金流
t
金额
折现因子
折现值
第1次付息
1
3
0.961538
2.884615
第2次付息
2
3
0.924556
2.773669
第3次付息
3
3
0.888996
2.666989
第4次付息
4
3
0.854804
2.564413
第5次付息
5
3
0.821927
2.465781
第6次付息
6
3
0.790315
2.370944
第7次付息
7
3
0.759918
2.279753
第8次付息
8
3
0.73069
2.192071
第9次付息
9
3
0.702587
2.10776
付本金加息
10
103
0.675564
69.58311
现值总和
91.89
表2-25年期，息票率6%债券到期收益率为8%时的价格
确定一种债券到期收益率的基本方法为从市场中找出与所论债券期限相同，性质相似的债券，用它们的到期收益率作为该债券的到期收益率。
传统的方法由一系列不同到期日的平价收益债券确定不同期限债券的到期收益率曲线。
平价收益债券是指息票率接近于收益率的债券。
从上面的分析可以看出，当债券的市场价值等于其票面值时，其内部收益率与息票率相等，因此到期收益率曲线一般由新近发行的流通性好的各种政府债券和票据推出，也就是选这些债券或票据作为平价收益债券计算它们的到期收益率构成到期收益率曲线，例如用近期发行的2年期、5年期、7年期和30年期的债券推算出期限从2年到30年的到期收益率曲线，从而确定出不同期限债券的到期收益率。
这种方法的优点是被选择的债券具有很好的流通性，它们的价格能较正确地反映出市场情况。
但也有忽视了市场上其他未清偿证券的价格—收益特性中所包含的信息，有可能影响到期收益率估计的正确性。
在式（2-1）中，是以相同的收益率（到期收益率）来对现金流折现确定债券定的价格，即收益率不随时间而变化。
这同实际情况是否一致呢？
假如收益率不随时间变化，即期限长的债券同期限短的债券的收益率相同，期限长的债券由于其持有期长，其风险高于持有期短的债券，投资者会在收益率相同的情况下选择风险小的短期债券，长期限债券失去吸引力，导致价格下跌，收益率随之上升，而短期债券由于风险小而受到投资者的青睐，价格上升，导致收益率下降，最后达到平恒状态。
因此收益率同时间不是无关，而是有关的，公平的债券价格应该根据债券随时间改变的利率计算，也就是用即期利率（SpotInterestRate,orSpotRate）计算。
债券随时间改变的利率称为利率的期限结构，而所谓即期利率是指从即日起始的不同到期日的零息票债券的收益率，用表示从即日开始到期时刻为的即期利率，则面值为1元期限为t的零息债券的现值（价格）为
（2-2）
未来现金流为的债券的当前价值应为
（2-3）
式（2-3）给出了在已知即期利率的情况下，对给定的债券计算其市场价格的方法。
表2-3给出了一个5年期、年息票率为6%、每年付息1次、票面价值为100元的债券按即期利率计算所得的当前价值（价格）。
由表可以看出计算所得价格为97.85元.
现金流
t
金额
即期利率
折现因子
折现值
第1次付息
1
6
0.05
0.952381
5.714286
第2次付息
2
6
0.055
0.898452
5.390714
第3次付息
3
6
0.06
0.839619
5.037716
第4次付息
4
6
0.063
0.78319
4.699138
付息加本金
5
106
0.066
0.726464
77.00516
现值之和
97.84702
表2-3用即期利率计算债券价格
利用即期利率折现计算债券的价格可以根据市场利率的变化，通过对相应折现率的调整，使债券价格灵活，正确地反映市场利率的各种变化。
例如，当即期利率曲线发生向上非平行的移动，如短期即期利率向上移动的幅度超过长期即期利率向上移动的幅度（见图2-1），在这种情况下债券的价格由于即期利率的上升而下降。
表2-4给出了对表2-3的例子用新的上升的即期利率计算债券价格的计算过程，所得价格为94.57元。
图2-1即期利率变化图示
现金流
t
金额
即期利率
折现因子
折现值
第1次付息
1
6
0.06
0.943396
5.660377
第2次付息
2
6
0.065
0.881659
5.289956
第3次付息
3
6
0.07
0.816298
4.897787
第4次付息
4
6
0.072
0.757218
4.543307
付息加本金
5
106
0.074
0.699808
74.1796
现值之和
94.57102
表2-4即期利率上升后的债券价格
根据上述计算，如果按表2-3计算所得债券的市场价格为97.85元，按这个市场价格计算其到期收益率得6.6%，高于市场价格为100元（面值）时的到期收益率（6%）。
当市场即期利率曲线上升时，债券价格下跌，正如表2-4所示，债券价格下跌至94.57元，则该债券的到期收益率将上升至7.334%。
§2.3利率的期限结构和即期利率曲线
本节介绍即期利率的计算和分析利率的期限结构。
不同期限的收益率或利率一般是不同的，即收益率和利率是期限或说到期时间的函数。
利率的期限结构是指即期利率与到期时间之间的关系曲线，称为收益率曲线。
常见的收益率曲线有图2-2所示的三种类型的形状，其中曲线1表示期限短的收益率低于期限长的收益率，这是金融市场上常见的收益率曲线类型，即随着债券期限的变长，相应的即期收益率也会增加。
曲线3表示的是期限短的收益率高于期限长的收益率，曲线2则表示所有不同期限的收益率都近似相等的收益率曲线。
当收益发生变化的时候，不同期限的收益率都会发生变化，因而导至整个收益率曲线会发生变化，收益率曲线常见的变动有：
平移：
整个收益率曲线平行地向下或向上移动（见图2-3（a）），这出现在不同期限的收益率变动的幅度相同的时候；
偏移：
整个收益曲线率不是平行的向下或向上移动，而是有倾斜的移动，这出现在不同期限收益率的变动幅度不同的时候。
根据偏移方式的不同，又分为左
到期期限
收益率
曲线1
曲线2
曲线3
图2-2收益率曲线类型
倾斜和右倾斜。
左倾斜情况发生在期限短的收益率的变动幅度大于长期限的收益率的变动幅度的时候，而右倾斜的情况刚好相反，短期限的收益率的变动幅度小于长期限的收益率的变动幅度（见图2-3（b）和（c））。
（a）平移（b）左偏移动（c）右偏移
图2-3收益率曲线的变动
利率期限结构的构造方法
（1）传统方法：
基于到期收益率曲线来表示，即用息票率等于或接近于它的到期收益率的不同期限债券的收益率来构造收益率曲线。
（2）零息债券收益率法：
零息债券收益率曲线（Zero-couponCurve）由市场上一系列不同到期日的零息政府债券的到期收益率构成的。
由式（2-2）零息债券的收益率或即期利率为
（2-4）
其中为债券的面值，为债券的市场价格（现值），T为债券到期的期限，为该零息债券的到期收益率，也就是从现在起期限为T年的即期利率。
虽然由零息债券得到的利率曲线优于一般的收益率曲线，但其构成需要大量的不同期限的零息政府债券，对于缺少这类债券的国家或市场，可以利用市场上各类未清偿的付息债券，根据式（2-3）来估计不同期限的即期利率，由此得到利率的期限结构。
（3）建模法：
利用市场上现存的各种未清偿付息债券的价格--收益特性估计即期利率曲线，有两种建模方法，逐步延伸法（Bootstrapping）和计量经济法。
逐步延伸法：
选择一组具有不同到期日的付息债券的样本集合，根据它
们的市场价格逐步推算1年期、2年期、3年期,及其后各年期的即期利率。
例如先考虑3个债券的样本集合，其中两个分别为1年期和2年期的零息债
券，它们的到期收益率，也就是1年期和2年期的即期利率分别为。
又第3个是3年期的付息债券，面值为100，年息票率为5%，每年付息1次，已知该债券目前的市场价格为98.5，则由式（2-3）有
由此可求得3年期的即期利率。
根据这3个即期利率用4年期债券的息票率，市场价格可推算出4年期的即期利率。
继续这个过程可估计出利率的期限结构。
计量经济法：
本方法用于构造连续平滑的即期利率曲线，方法利用市场数据
对模型的参数进行估计，再对确定的参数由模型计算各个期限的即期收益率，行成利率的期限结构。
下面以一个三次多项式模型为例说明计量经济法的计算过程.
步1：
首先定义计算贴现因子的模型:
（2-5）
这里为期限为的即期利率。
在这里我们采用三次多项式模型,即把上述的
展开成t的三次多项式
（2-6）
其中为待定参数。
待定参数一旦确定，就可以利用式（2-6）估计不同期限的即期利率，因而可以給出即期利率曲线的大多数形状。
为保证所得利率曲线的连续性和光滑性，要求在每一时间结点上的函数的值及其一阶，二阶导数的值应该相同，而在时刻0，贴现因子应为1（即应有）。
步2：
确定参数值的估计。
根据上述贴现因子的方程和已知的不同到
期期限的债券价格，建立关于参数的线性方程组，解这个线性方程
组得出参数值的估计。
一个债券在连续的时间区间中支付的现金流为
，根据前述由贴现因子计算其市场价值的模型，该债券的市场价格应为
（2-7）
将式（2-6）所表示的代入后再展开，并重新组合可得关于的方程
（2-8）
其中表示由N个现金流形成的向量,为向量c的函数，将不同债券的数据（包揽市场价格，息票率等）代入，就可得到相关的以参数为未知数的线性方程组。
例2：
以前面的三个面值为100的债券（1个1年期零息债券，到期利率4%和1个2年期零息债券，到期利率5%，以及1个三年期息票率为5%、市场价格为97.5的债券）为例。
对1年期和2年期零息债券由式（2-2）得：
1年期债券：
2年期债券：
对3年期的非零息债券，由式（2-3）得：
3年期债券:
求解这个由3个方程组成的关于的方程组（因）可得
。
期限
即期利率
1
0.040042
2
0.050017
3
0.059945
4
0.069963
5
0.080185
6
0.090692
7
0.101511
8
0.112561
9
0.123545
表2-5由计量经济法确定的收益率期限结构
由此得贴现因子的模型为
由此利用式（2-5）可求得不同期限的即期利率，如表2-5所示。
对于模型（2-6）中的参数还可以采用线性回归的方法进行估计，即利用若干已知不同期限固定收益证券的即期收益率的样本数据进行回归确定参数的值，再由参数的值，利用模型（2-5）得出利率曲线.
为了更好的反映收益率与期限之间的复杂关系，还可以在模型中引入更高次数的项和更多的参数，也可以采用非线性的模型，如指数模型，这时的回归就不再是线性的而是非线性的，需要采用最优化的技术和方法来确定模型中的最佳参数值。
§2.5远期利率
远期利率（ForwardRate）是指以未来某一天作为起始时间的一定期限的借款所使用的即期利率，例如，半年后开始的1年期贷款，其利率就是半年后的1年期远期利率。
远期利率是未来的投资平衡率，对于不存在套利机会的市场，远期利率应使得不同期限的投资回报相等。
以一年后开始的一年期债券为例，设当前1年期和2年期债券的即期利率分别为和，记1年后的1年期远期利率的期望值为。
对于一个资金有两年使用期的投资者而言，他可以选择或者一个2年期，或者先投资一个1年期，第2年再投资一个1年期，由于市场无套利机会，对于这两种投资方式而言，收益应该是相同的，也就是有
（2-9）
例如，，，则可以算得
对于更一般的情况，远期利率和即期利率之间有关系式
（2-10）
式中为从i到i+1时段的远期利率。
下面的表2-6给出了不同期限的即期利率、远期利率、到期收益率和折现因子，其中，对于1年期而言，其远期利率，即期利率都等于其到期收益率，其后各期的远期利率根据关系式（2-10）计算，折现因子由即期利率确定，即有
.（2-11）
例如，对于t=6，有0.6893=。
根据远期利率可以估计利率期限结构的倾斜程度，以简单的两期模型（2-9）为例，将式（2-9）展开，并略去二次项得
（2-12）
期限（年）
即期利率（%）
远期利率（%）
到期收益率（%）
折现因子
1
4.000
4.000
4.000
0.9615
2
4.618
5.240
4.604
0.9136
3
5.192
6.350
5.153
0.8591
4
5.716
7.303
5.640
0.8006
5
6.112
7.712
6.000
0.7433
6
6.396
7.830
6.254
0.6893
7
6.621
7.980
6.451
0.6383
8
6.808
8.130
6.611
0.5903
9
6.970
8.270
6.745
0.5452
10
7.112
8.400
6.860
0.5030
表2-6即期利率、远期利率和到期收益率
在如表2-6所示的斜率上升的期限结构中，有，因而远期利率大于。
同样的结论适用于其它的远期利率.。
由此可以看出，当利率期限结构呈向上傾斜的凹曲线时，2年期即期利率高于1年期即期利率，远期利率曲线高于即期利率曲线，1年后的1年期远期高于现今的2年期即期利率。
从表2-6中还可以看出，即期利率高于到期收益率，即即期利率曲线在到期收益率曲线之上，这也可以通过分析来加以证明。
还是考虑两年期债券，由到期收益率的定义有
（2-13）
其中为债券面值，c为息票息率，为2年期到期收益率，分别为1年期和2年期的即期利率，把P设定为面值F，再设F为1元，则由（2-13）的第一个等式得
。
再由第二个等式得
由此得
由式（2-9）得
解之得
，（2-14）
在一个斜率上升的期限结构中，有，因而得出的结论。
图2-4给出了斜率上升的期限结构中远期利率曲线、即期利率曲线和到期（平价）收益率曲线之间的关系。
这里平价收益率曲线处于最低位置，即期利率曲线介于平价收益率和远期收益率曲线之间，但同平价收益率曲线的距离不大，而远期收益率曲线明显高于即期利率曲线，更高于平价收益率曲线，而随着期限的延长，曲线之间
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