高等数学B教学大纲.docx

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高等数学B教学大纲

《高等数学B》-1教学大纲

英文名称：

AdvancedMathematicsB

学分：

4.5

学时：

72

先修课程：

适用专业：

工商、人资、公管、行管、药剂等专业

教学目的：

高等数学是高等院校大部分专业的一门重要基础理论课，是深入学习专业课程的必备基础.随着数学在各学科中的应用日益广泛，作为地理、环科、管理等专业的学生无论将来从事科研工作还是教学工作，都应该具备良好的数学基础和灵活应用数学知识的能力。

教学要求：

本课程主要学习一元和多元函数微积分学，无穷级数与常微分方程等内容。

使用本大纲应当遵循以下原则：

强调基本概念的实际意义，而不追求概念的抽象性；强调基本理论的实际应用，而单纯不追求理论的完备性；强调基本计算方法的实际操作，而不过多追求计算方法的技巧。

教学内容：

本课程分两个学期授课，共136学时，8.5学分。

各学期的学时安排与学分分配为：

第

一学期72学时，4.5学分；第二学期64学时，4学分；

第一章函数、极限与连续（14学时）

1.函数的概念，邻域；函数及其表示法；

2.具有某些特性的函数：

有界函数；单调函数；奇函数与偶函数；周期函数；

3.初等函数、反函数；复合函数；

4.数列及其极限；自变量趋于无穷大时的函数极限；自变量趋于有限值时的函数极限,函数极限的定义；左、右极限；函数极限和数列极限的关系；

5.极限的性质,收敛数列的性质；函数极限的性质；

6.无穷小量，无穷大量和极限的运算法则；无穷小量的四则运算；极限的四则运算法则；极限的复合运算法则；

7.极限存在条件和两个重要极限，两个重要极限；

8.无穷小量和无穷大量的比较；

9.函数的连续函数，间断点及其分类，连续函数的运算和初等函数的连续性；

10.闭区间上连续函数的性质。

基本要求：

理解函数极限、函数连续性的基本概念；掌握函数极限的性质，函数极限的四则运算法则及复合运算法则、无穷小的比较；掌握极限存在准则和两个重要极限；了解初等函数、闭区间上连续函数的性质。

重点：

掌握函数极限的有关性质、四则运算法则，函数连续的概念与闭区间上连续函数的性质。

难点：

函数极限的概念与函数连续的概念。

第二章导数与微分（14学时）

1.导数、导函数的概念，导数的几何意义和物理意义，可导性与连续性的关系；

2.基本求导法则与导数基本公式，求导四则运算法则；反函数的导数；复合函数的导

数；反函数的导数；复合函数的导数；

3.高阶导数的概念；某些简单函数的n阶导数；

4.隐函数的导数，参变量函数的导数，平面曲线的切线和法线及其方程；

5.导数应用举例：

变化率问题举例及相关变化率；微分、微分的概念；微分的基本公

式及运算法则；一阶微分形式的不变性；微分在近似计算中的应用。

基本要求：

理解函数导数、函数微分的基本概念；掌握函数求导的四则运算法则及复合函数求导法则、反函数及隐函数求导法则；了解函数可导与可微，函数可导与连续之间关系；了解导数的几何应用。

重点：

导数与微分的基本概念，复合函数求导法则、隐含数求导法则。

难点：

复合函数求导法则，高阶导数。

第三章微分中值定理与导数的应用（14学时）

1.罗尔中值定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理；

2.洛比达法则；

3.泰勒中值定理；

4.函数的单调性和曲线的凸性，单调性的判别法；函数极值的判别法；曲线的凸性与

拐点；曲线的渐近线；函数作图。

5.曲率，曲率的概念，曲率半径

6.函数的极值与最大值和最小值及其简单应用

7.方程的近似解（自学）

基本要求：

理解中值定理的条件与结论；掌握洛比达法则及其应用，函数单调性、函数极值的判别方法；了解柯西中值定理、泰勒中值定理。

重点：

拉格朗日中值定理，导数的应用。

难点：

微分中值定理。

第四章不定积分（10学时）

1.原函数、不定积分的概念与基本积分公式，不定积分的性质；

2.两类换元积分法；

3.分部积分法；

4.几类特殊函数的不定积分：

有理函数的不定积分，三角函数有理式的不定积分，某些简单无理函数的不定积分；

基本要求：

理解不定积分的基本概念；掌握不定积分的线性性质；掌握不定积分的基本积分公式；掌握换元积分、分部积分公式。

重点：

换元积分与分部积分法。

难点：

换元积分与分部积分法及有理函数积分法的应用。

第五章定积分及其应用（16学时）

1．定积分的概念，定积分的几何意义；

2．定积分的性质；

3．积分上限函数及其导数，牛顿-莱布尼兹公式；

4．定积分的换元积分法与分部积分法；

5．定积分的近似计算：

矩形法；梯形法；抛物线法；

6．定积分的应用：

平面图形的面积，已知平行截面面积求立体体积和旋转体的体积；平面曲线的弧长；旋转曲面面积；定积分在物理学上的某些应用（变力作功，压力，引力，函数的平均值）；

7．无限区间上的广义积分；无界函数的广义积分

基本要求：

了解定积分的基本概念，掌握定积分的基本性质、定积分的几何意义，了解广义积分概念，了解定积分的近似计算，掌握牛顿—莱布尼兹公式；掌握换元积分、分部积分公式；掌握定积分的几何应用。

重点：

定积分概念，定积分计算，定积分的应用。

难点：

定积分的换元积分、分部积分公式与定积分应用。

第六章常微分方程（4学时）

1．一阶微分方程的一般概念，可分离变量型微分方程，齐次型微分方程，一阶线性微分方程的求解方法；

基本要求：

了解微分方程的基本概念，掌握一阶微分方程求解方法（可分离变量微分方程、齐次微分方程、线性微分方程）。

重点：

一阶线性微分方程的求解方法。

难点：

用变量代换方法求解一阶微分方程。

参考教材:

1．同济大学编，高等数学（上册、下册）第四版，高等教育出版社，2004年9月.

2．同济大学编，高等数学（少学时）（上册、下册），高等教育出版社，2001年5月第二版.

3.萧树铁主编.一元微积分、多元微积分及其应用，高等教育出版社，2000年7月.

4.宣立新主编.高等数学（上册、下册），高等教育出版社，1999年9月.

执笔人：

丁建东、邵建峰审核人：

施庆生

《高等数学B》-2教学大纲

英文名称：

AdvancedMathematicsB

学分：

4

学时：

64

先修课程：

教学对象：

工商、人资、公管、行管、药剂等专业

教学内容：

第六章常微分方程（续10学时）

1.二阶可降阶的微分方程，二阶线性微分方程解的性质和解的结构定理；

2.二阶线性常系数齐次线性微分方程与二阶线性常系数非齐次线性微分方程方程方程。

基本要求：

掌握可降阶的高阶微分方程求解方法；理解二阶线性微分方程解的性质和解的结构定理；掌握二阶线性常系数齐次线性微分方程与二阶线性常系数非齐次线性微分方程解法。

重点：

二阶常系数线性微分方程的求解方法。

难点：

二阶线性常系数非齐次方程线性微分方程的求解。

第七章空间解析几何与向量代数（16学时）

1.空间直角坐标系，两点间的距离公式；

2.向量、单位向量；方向余弦的概念，向量及其线性运算（加、减与数乘）；向量的

坐标与分解，向量的坐标表示式及其运算；

3.向量的数量积与向量积，向量平行、垂直的条件；

4.平面与空间直线的方程；两平面的相互关系和点到平面的距离；两直线的位置关系；

直线与平面的位置关系；

5.曲面与空间曲线介绍。

曲面方程的概念；球面方程；柱面方程；锥面方程；旋转面的方程；椭球面；单叶双曲面和双叶双曲面；椭圆抛物面和双曲抛物面；空间曲线的参数方程和一般方程；空间曲线在坐标面上的投影曲线方程。

基本要求：

了解空间直角坐标系、点的坐标、向量投影、向量坐标的基本概念；掌握向量的和差运算、数乘运算以及坐标表示；掌握向量的数量积向量积运算；掌握两向量平行垂直的条件；掌握单位向量的计算及向量的方向角、方向余弦的计算；掌握空间直线、平面方程求法；掌握空间直线之间、平面之间的关系及直线与平面间的关系；了解平面束方程；了解二次曲面方程。

重点：

向量运算及空间直线、平面方程求法。

难点：

向量的投影、向量的向量积，空间直线、平面知识的应用。

第八章多元函数微分法及其应用（18学时）

1．多元函数的概念；二元函数的几何意义；二元函数的极限和连续的概念；有界闭区域上多元连续函数的性质；

2．多元函数的偏导数、高阶偏导数；多元函数全微分概念与性质；全微分在近似计算中的应用；

3．复合函数和隐函数的微分法，一阶全微分形式不变性；

4．多元函数微分学的几何应用：

空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线

5．多元函数的极值：

多元函数的极值和条件极值的概念；多元函数极值的必要条件；二元函数极值的充分条件；极值的求法；拉格朗日乘数法；多元函数的最大值、最小值及其简单应用。

基本要求：

了解多元函数的基本概念，了解多元函数的极限、连续概念；掌握简单的多元函数极限计算；理解偏导数、全微分的定义；掌握偏导数及高阶偏导数的计算；理解掌握多元复合函数的求导法则及隐函数的求导法则；掌握多元微分学的几何应用，了解多元函数的泰勒公式与极值计算。

重点：

偏导数、多元复合函数导数计算，隐函数的求导法则，多元函数的极值。

难点：

多元函数极值求法及其应用。

第九章重积分及其应用（10学时）

1.二重、二重积分的概念与性质；

2.二重积分的计算，化二重积分为累次积分；用极坐标法计算二重积分

3.二重积分的应用：

求曲面的面积、求物体的重心与转动惯量。

基本要求：

了解二重、二重积分的概念与性质，掌握二重积分的计算与几何、物理应用。

重点：

二重积分的计算。

难点：

二重积分的几何、物理应用。

第十章无穷级数（14学时）

1.无穷级数的概念；级数收敛的定义与收敛级数的性质；

2.数项级数的审敛法：

正项级数的收敛准则，比较判别法，比值判别法和根式判别法，

交错级数及莱布尼茨判别法；任意项级数的绝对收敛和条件收敛；绝对收敛级数的性质；

3.幂级数，一般函数项级数的收敛域与和函数的概念；幂级数的收敛半径、收敛区间；

幂级数和函数的性质，简单幂级数的和函数的求法；

4.初等函数的幂级数展开与幂级数展式的应用

基本要求：

理解无穷级数敛散性概念与性质；掌握幂级数收敛半径、收敛区间求法，掌握简单幂级数的和函数的求法与初等函数的幂级数展开。

重点：

数项级数审敛法，幂级数求和与初等函数的幂级数展开。

难点：

幂级数求和与初等函数的幂级数展开。

参考教材:

1．同济大学编.高等数学（上册、下册）第四版，高等教育出版社，2004年9月.

2．同济大学编.高等数学（少学时）（上册、下册），高等教育出版社，2001年5月第二版.

3.萧树铁主编.一元微积分、多元微积分及其应用，高等教育出版社，2000年7月.

4.宣立新主编.高等数学（上册、下册），高等教育出版社，1999年9月.

执笔人：

丁建东、邵建峰审核人：

施庆生