小学奥数思维03逻辑思路.docx

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小学奥数思维03逻辑思路

（三）逻辑思路

　　“逻辑思路”，主要是指遵循逻辑的四大基本规律来分析推理的思路。

　　【同一律思路】同一律的形式是：

“甲是甲”，或“如果甲，那么甲”。

它的基本内容是，在同一思维过程中，同一个概念或同一个思想对象，必须保持前后一致性，亦即保持确定性。

这是逻辑推理的一条重要思维规律。

运用这一规律来解题，我们把它叫同一律思路。

　　例1某公安人员需查清甲、乙、丙三人谁先进办公室，三人口供如下：

　　甲：

丙第二个进去，乙第三个进去。

　　乙：

甲第三个进去，丙第一个进去。

　　丙：

甲第一个进去，乙第三个进去。

　　三人口供每人仅对一半，究竟谁第一个进办公室？

　　分析（用同一律思路推理）；

　　这一类问题具有非此即彼的特点。

比如甲是否是第一个进办公室只有两种可能：

是或非。

我们用1表示“是”，0表示“非”，则可把口供列表处理。

（1）若甲第一，则依据丙的口供见左表，这个表与甲的口供仅对一半相矛盾；

（2）若甲非第一，则依据丙的口供，乙第三个进去，进行列表处理如右表，与“三人口供仅对一半”相符。

　　从而可以判定，丙最先进入办公室。

　　这个问题也可以不列表而用同一律推理。

　　甲的话第一句对，第二句错，则丙第二，乙不是第三，又不是第二，自然乙第一，甲第二，这个结论与丙说的话“半对半错”不符。

因此，有甲的第一句错，第二句对。

即乙第三个进去，丙不是第二个，自然是第一个。

这个结论与乙的话“半对半错”相符：

甲不是第三，丙是第一。

并且这个结论与丙的话“半对半错”也相符：

甲不是第一，乙是第三。

　　在整个思维过程中，我们对三人的话“半对半错”进行了一一验证，直到都符合题目给定的条件为止。

　　例2从前一个国家里住着两种居民，一个叫宝宝族，他们永远说真话；另一个叫毛毛族，他们永远说假话。

一个外地人来到这个国家，碰见三位居民，他问第一个人：

“请问你是哪个民族的人？

”

　　“匹兹乌图。

”那个人回答。

　　外地人听不懂，就问其他两个人：

“他说的是什么意思？

”

　　第二个人回答：

“他说他是宝宝族的。

”

　　第三个人回答：

“他说他是毛毛族的。

”

　　请问，第一个人说的话是什么意思？

第二个人和第三个人各属于哪个民族？

　　分析（用同一律思路思考）：

　　如果第一个人是宝宝族的，他说真话，那么他说的是“我是宝宝族的”。

如果这个人是毛毛族的，他说假话，他说的还是“我是宝宝族的”。

这就是说，第一个人不管是什么民族的，那句话的意思都是：

“我是宝宝族的”。

　　根据这一推理，那么第二个人回答“他说他是宝宝族的”这句话是真的，而从条件可知，说真话的是宝宝族人，因此可以判断第二个人是宝宝族人。

　　不管第一个人是什么民族的，根据前面推理已知他说的话是“我是宝宝族的”，而第三个人回答“他说他是毛毛族的”显然是错的，而说假话的是毛毛族人，因此可以断定第三个人是毛毛族人。

　　我们在分析本题时，始终保持了思维前后的一致性，这就是同一律思路的具体运用。

　　【不矛盾律思路】不矛盾律的形式是“甲不是非甲”。

它的基本内容是：

同一对象，在同一时间内和同一关系下，不能具有两种互相矛盾的性质，它是逻辑推理的又一重要规律，运用不矛盾律来推理、思考某些问题的解答，这种思路我们把它叫做不矛盾律思路。

　　例1有三个和尚，一个讲真话，一个讲假话，另外一个有时讲真话，有时讲假话。

一天，一位智者遇到这三个和尚，他先问左边的那个和尚：

“你旁边的是哪一位？

”和尚回答说“讲真话的。

”他又问中间的和尚：

“你是哪一位？

”和尚答：

“我是半真半假的。

”他最后问右边的和尚：

“你旁边是哪一位？

”答：

“讲假话的。

”根据他们的回答，智者马上分清了他们，你能分清吗？

　　分析（运用不矛盾律思路探讨）：

　　两件相互矛盾对立的事情，如果一件是不正确的，另一件就是正确的，这就是不矛盾律的基本思路。

我们先假设左边和尚讲的是真的，那么中间的和尚是讲真话的，但这与他的回答：

“我是半真半假的”矛盾，所以左边和尚讲真话这一假设不对。

从而左边和尚讲的是假话，他一定不是讲真话的和尚。

中间那个和尚也一定不是讲真话的，所以右边的和尚是讲真话的和尚。

根据他的话，中间是讲假话的和尚，剩下左边的和尚自然就是半真半假的。

　　例2一次学校举行田径运动会，A、B、C、D、E五个班取得了团体前五名，发奖后有人问他们的名次，回答是：

　　A班代表说：

“B是第三名，C是第五名。

”

　　B班代表说：

“D是第二名，E是第四名。

”

　　C班代表说：

“A是第一名，E是第四名。

”

　　D班代表说：

“C是第一名，B是第二名。

”

　　E班代表说：

“D是第二名，A是第三名。

”

　　最后，他们都补充说：

“我的话是半真半假的。

”请你判断一下，他们各个班的名次。

　　分析（用不矛盾律思路分析）：

　　先简化一下记法，比如B班是第三名，则写成B-3，其它类似，这样五个班代表的讲话可简记为：

（1）B-3，C-5。

（2）D-2，E-4。

　　（3）A-1，E-4。

　　（4）B-2，C-1。

　　（5）A-3，D-2。

　　假设

（1）的前半句是真的，即B-3，那么由（4）有C-1，由（3）知A-1不对，有E-4；再由

（2）知D-2不对，从（5）知A-3，这与假设矛盾，所以

（1）中正确的应是C-5，于是由（4）知C-1不对，应该是B-2，进而知

（2）D-2不对，有E-4，并知（5）D-2不对，有A-3，最后只剩下D及第一名，所以知道D应为第一名。

　　最后排出名次自然就非常简单了。

　　上述叙述虽然简化了记号，但文字表述仍然觉得累赘，所以还可以借助图表表达上述推理过程。

　　如图2.21，假设B-3，在B上画一个圆圈（左图），表示推理的起点，找到另一个B，则应是不对的，画一个“×”，再找与这个B同行的“C”，它应是对的，画一个“√”，找与C同列的“A”，它不对，画一个“×”，等等。

最后A-3被画了一个“√”，这与B-3相矛盾，故B-3是错的。

在这个“B”上画一个“×”，重新开始推理（右图）。

　　从

（1）的C开始，因B-3是错的，则C-5记“√”，则（4）中C-1画“×”，B-2记“√”，由此推出（5）D-2记“×”，

（2）D-2记“×”，……从表中可以看出，B-2，A-3、E-4、C-5，那么谁是第一，表中虽然未表达，但明眼人一看就知道了。

　　【排中律思路】排中律的形式是“或者是甲，或者是非甲”。

它的基本内容是：

同一对象在同一时间内和同一关系下，或者是具有某种性质。

或者是不具有某种性质，二者必居其一，不能有第三种情况。

它是处理肯定判断与否定判断之间的关系的一个规律。

运用这一规律来推理的思路，我们把它叫排中律思路。

　　排中律和不矛盾律的基本作用是相同的，即都是排除思想中的矛盾。

但也有区别：

一是适用范围不同，不矛盾律的适用范围宽，既适用于互相反对的判断，也适用于互相矛盾的判断，排中律的作用范围窄些，只适用于互相矛盾的判断，不适用互相反对的判断；二是要求不同，不矛盾律要求对互相反对的和互相矛盾的判断，不能同时断定其中每一个都是真的，因为其中至少有一个是假的。

排中律则要求：

对于互相矛盾的判断，必须肯定其中一个是真，因为其中必有一真，不能都假。

如果我们确定了某一个是正确的，根据不矛盾律，就可以得出另一个是错误的。

反过来。

如果我们确定了某一个是错误的，根据排中律，就可以得出另一个是正确的。

从这方面来看，如果说不矛盾律提供我们逻辑否定的基础，那么排中律则主要提供我们逻辑肯定的基础；三是逻辑错误性质不同，不矛盾律要求的逻辑错误是“自相矛盾”，排中律要求的逻辑错误是“模棱两不可”。

　　例1老师有一黑两白三顶帽子，给两个学生看后，让他们闭上眼睛，从中取出两顶给他们戴上，然后让他们睁开眼睛，互相看清对方戴的帽子，并立即说出自己头上戴的帽子是什么颜色，两位同学都不能立即说出，请问你知道这两位学生戴的各是什么颜色的帽子吗？

　　分析（运用排中律思路思索）：

　　假设你是这两个学生中的一个，因为你知道只有一顶黑帽子，当你看到对方戴的是黑帽子时，你能判断自己戴的帽子颜色吗？

可以的，根据排中律：

“非此即彼”，你一定会推断出自己戴的是白帽子。

　　现在两个学生都不能利用排中律很快地说出自己戴的是白帽子，说明他们两人都没有看见黑帽子，由此断定，老师给两位学生戴的是两顶白帽子。

　　例2曾实、张晓、毛梓青在一起，一位是工程师、一位是医师、一位是教师。

现在只知道：

（1）毛梓青比教师年龄大；

（2）曾实和医师不同岁；

　　（3）医师比张晓年龄小。

　　你能确定谁是工程师？

谁是医师？

谁是教师吗？

　　分析（沿着排中律思路探索）：

　　根据排中律的要求，如果我们能确定某个是错误的，就可以得出另一个是正确的。

现在已知

（1）曾实和医师不同岁，

（2）医师比张晓年龄小，就可以判定曾实和张晓都不是医师，因此只有毛梓青是医师；

　　若张晓是教师，则根据

（1）毛梓青比教师年龄大，即毛梓青比张晓年龄大，与（3）医师比张晓年龄小，即毛梓青比张晓年龄小，这两个结论是互相矛盾的，因此张晓不可能是教师。

张晓既不是医师（因为毛梓青是医师），又不是教师，所以张晓应该是工程师了。

因为三个人、三个职业，已经确定了毛梓青是医师，张晓是工程师，剩下的曾实只能是教师了。

　　该题的思路还可以用下表表示：

　　【充足理由律思路】充足理由律的形式是：

“所以有甲，是因为有乙”。

它的意思是说，任何正确的思想，一定有它的充足理由；任何思想，只有当它具有充足的理由时，这种思想才能被认为是正确的。

在数学中，如果由条

　　正确的，A就是B的正确性的充分理由。

因此B的正确性要以A的正确性为基础，而要使A的正确性得到确认，又得为它提出充足的理由，照此类推。

这样，当我们要论证某一思想是正确的时候，常常要引证一系列的理由。

以此连锁引证下去，直到最后的理由——它的正确性已经确定，并且得到普遍承认的。

具体说来有下列三种：

（1）明显的事实，它可以为人们所直接感知的；

（2）公理；（3）科学的规律。

当然在实际进行论证时，并不是总要引证到最后的理由，数学中已经证明过的定理、定律、公式、法则等，都可以作为论证所根据的理由。

　　充足理由律是进行推理的基础。

运用充足理由律来思考数学问题，我们把它叫做充足理由律思路。

　　例1200米赛跑，张强比李军快0.2秒，王明的成绩是39.4秒，赵刚的成绩比王明慢0.9秒，但比张强快0.1秒，林林比张强慢3秒，请你给这五人排出名次来。

　　分析（运用充足理由律思路思索）：

　　题中有两种概念。

一是成绩好坏，需要进行量的计算；二是快慢关系推理，先用计算量进行比较推理。

　　抓住“各人跑200米需要的时间”为比较量。

并设字母A、B、C、D、E来分别表示张强、李军、王明、赵刚、林林的时间。

　　∵王明的成绩是39.4秒，赵刚的成绩比王明慢0.9秒（即C=39.4秒，D=C＋0.9）

　　∴D=39.4+0.9=40.3（秒）

　　又∵赵刚比张强快0.1秒（即D＋0.1＝A）

　　∴A=40.3＋0.1=40.4（秒）（传递性）

　　又∵张强比李军快0.2秒（即A=B-0.2）

　　∴B=A＋0.2=40.4＋0.2=40.6（秒）

　　又∵林林比张强慢3秒（即A=E-0.3）

　　∴E=A＋3=40.4＋3=43.4（秒）

　　由43.4＞40.6＞40.4＞40.3＞39.4

　　即E＞B＞A＞D＞C

　　谁是第一、谁是第二、第三、第四、第五名，不就一目了然了吗？

　　本题还可以单纯用快慢关系来进行判断。

　　∵A＜B，D＞C，D＜A，E＞A，

　　可得B、E均＞A＞D＞C，

　　∴一、二、三名分别应是C、D、A。

　　但第四、五名仍需计算。

　　由E=A＋3秒，B=A＋0.2秒，

　　可知E＞B，

　　故B是第四，E是第五名。

　　例2填数使下列竖式成立：

　　分析（运用充足理由律思路来探讨这两个式题）：

　　第

（1）题。

抓住乘、除法法则和乘除的互逆关系去思考。

　　∵（）（）×5=33（）

　　∴只要求得33（）÷5=（）（），就可以得出竖式被乘数了，现可知33（）÷5商的十位得6，故被乘数的十位应是6，个位是几呢？

　　再往下看：

乘数35的十位数字是3，3与被乘数个位相乘的积的末尾数字要是8，显然只有3与6相乘末尾数字才能是8，所以被乘数是66。

　　找到了被乘数是66以后，其他数字自然就容易找到了。

　　第

（2）题仍抓住除法算式特征和乘除的互逆关系去找理由。

　　由除法竖式特征第二次余数为0，只好把被除数十位数和个位数同时移下，故可得y=0。

　　∴x＞8。

　　又∵1≤x≤9，∴x=9，

　　则商数为9807。

　　∴ab≥12。

　　故ab=12。

　　此题确定了商和除数，其他数字自然就容易找了。