通用版202x高考数学一轮复习 22 函数的单调性与最值检测 文.docx

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通用版202x高考数学一轮复习22函数的单调性与最值检测文

课时跟踪检测（五）函数的单调性与最值

A级——保大分专练

1．下列四个函数中，在x∈（0，＋∞）上为增函数的是（　　）

A．f（x）＝3－x　　　　　　B．f（x）＝x2－3x

C．f（x）＝－

D．f（x）＝－|x|

解析：

选C　当x>0时，f（x）＝3－x为减函数；当x∈

时，f（x）＝x2－3x为减函数，当x∈

时，f（x）＝x2－3x为增函数；当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝－

为增函数；当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝－|x|为减函数．

2．若函数f（x）＝ax＋1在R上单调递减，则函数g（x）＝a（x2－4x＋3）的单调递增区间是（　　）

A．（2，＋∞）B．（－∞，2）

C．（4，＋∞）D．（－∞，4）

解析：

选B　因为f（x）＝ax＋1在R上单调递减，所以a<0.

而g（x）＝a（x2－4x＋3）＝a（x－2）2－a.

因为a<0，所以g（x）在（－∞，2）上单调递增．

3．已知函数f（x）是定义在区间[0，＋∞）上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f（2x－1）＜f

的x的取值范围是（　　）

A.

B.

C.

D.

解析：

选D　因为函数f（x）是定义在区间[0，＋∞）上的增函数，满足f（2x－1）＜f

.

所以0≤2x－1＜

，解得

≤x＜

.

4．（2019·菏泽模拟）定义新运算⊕：

当a≥b时，a⊕b＝a；当a

A．－1B．1

C．6D．12

解析：

选C　由题意知当－2≤x≤1时，f（x）＝x－2，当1

（1）＝－1，f

（2）＝6，∴

f（x）的最大值为6.

5．已知函数f（x）是R上的增函数，A（0，－3），B（3,1）是其图象上的两点，那么不等式－3＜f（x＋1）＜1的解集的补集是（全集为R）（　　）

A．（－1,2）B．（1,4）

C．（－∞，－1）∪[4，＋∞）D．（－∞，－1]∪[2，＋∞）

解析：

选D　由函数f（x）是R上的增函数，A（0，－3），B（3,1）是其图象上的两点，知不等式－3＜f（x＋1）＜1即为f（0）＜f（x＋1）＜f（3），所以0＜x＋1＜3，所以－1＜x＜2，故不等式－3＜f（x＋1）＜1的解集的补集是（－∞，－1]∪[2，＋∞）．

6．已知函数f（x）＝

是R上的增函数，则实数a的取值范围是（　　）

A．[－3,0）B．（－∞，－2]

C．[－3，－2]D．（－∞，0）

解析：

选C　若f（x）是R上的增函数，则应满足

解得－3≤a≤－2.

7．已知函数f（x）＝

，则该函数的单调递增区间为________．

解析：

设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3，所以函数f（x）的定义域为（－∞，－1]∪[3，＋∞）．因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t＝x2－2x－3在（－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞）上单调递增，所以函数f（x）的单调递增区间为[3，＋∞）．

答案：

[3，＋∞）

8．函数f（x）＝

的最大值为________．

解析：

当x≥1时，函数f（x）＝

为减函数，所以f（x）在x＝1处取得最大值，为f

（1）＝1；当x<1时，易知函数f（x）＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f（0）＝2.故函数f（x）的最大值为2.

答案：

2

9．若函数f（x）＝

在区间[2，a]上的最大值与最小值的和为

，则a＝________.

解析：

由f（x）＝

的图象知，f（x）＝

在（0，＋∞）上是减函数，∵[2，a]⊆（0，＋∞），

∴f（x）＝

在[2，a]上也是减函数，

∴f（x）max＝f

（2）＝

，f（x）min＝f（a）＝

，

∴

＋

＝

，∴a＝4.

答案：

4

10．（2019·甘肃会宁联考）若f（x）＝

在区间（－2，＋∞）上是增函数，则实数a的取值范围是________．

解析：

f（x）＝

＝

＝1＋

，要使函数在区间（－2，＋∞）上是增函数，需使a－3<0，解得a<3.

答案：

（－∞，3）

11．已知函数f（x）＝

－

（a＞0，x＞0）．

（1）求证：

f（x）在（0，＋∞）上是增函数；

（2）若f（x）在

上的值域是

，求a的值．

解：

（1）证明：

任取x1＞x2＞0，

则f（x1）－f（x2）＝

－

－

＋

＝

，

∵x1＞x2＞0，

∴x1－x2＞0，x1x2＞0，

∴f（x1）－f（x2）＞0，

即f（x1）＞f（x2），

∴f（x）在（0，＋∞）上是增函数．

（2）由

（1）可知，f（x）在

上是增函数，

∴f

＝

－2＝

，f

（2）＝

－

＝2，

解得a＝

.

12．已知f（x）＝

（x≠a）．

（1）若a＝－2，试证f（x）在（－∞，－2）内单调递增；

（2）若a＞0且f（x）在（1，＋∞）内单调递减，求a的取值范围．

解：

（1）证明：

当a＝－2时，f（x）＝

.

任取x1，x2∈（－∞，－2），且x1＜x2，

则f（x1）－f（x2）＝

－

＝

.

因为（x1＋2）（x2＋2）＞0，x1－x2＜0，

所以f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），

所以f（x）在（－∞，－2）内单调递增．

（2）任取x1，x2∈（1，＋∞），且x1＜x2，

则f（x1）－f（x2）＝

－

＝

.

因为a＞0，x2－x1＞0，又由题意知f（x1）－f（x2）＞0，

所以（x1－a）（x2－a）＞0恒成立，所以a≤1.

所以0＜a≤1.

所以a的取值范围为（0,1]．

B级——创高分自选

1．若f（x）＝－x2＋4mx与g（x）＝

在区间[2,4]上都是减函数，则m的取值范围是（　　）

A．（－∞，0）∪（0,1]B．（－1,0）∪（0,1]

C．（0，＋∞）D．（0,1]

解析：

选D　函数f（x）＝－x2＋4mx的图象开口向下，且以直线x＝2m为对称轴，若在区间[2,4]上是减函数，则2m≤2，解得m≤1；g（x）＝

的图象由y＝

的图象向左平移一个单位长度得到，若在区间[2,4]上是减函数，则2m>0，解得m>0.综上可得，m的取值范围是（0,1]．

2．已知函数f（x）＝lnx＋x，若f（a2－a）>f（a＋3），则正数a的取值范围是________．

解析：

因为f（x）＝lnx＋x在（0，＋∞）上是增函数，

所以

解得－33.

又a>0，所以a>3.

答案：

（3，＋∞）

3．已知定义在R上的函数f（x）满足：

①f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋1，②当x>0时，f（x）>－1.

（1）求f（0）的值，并证明f（x）在R上是单调增函数;

（2）若f

（1）＝1，解关于x的不等式f（x2＋2x）＋f（1－x）>4.

解：

（1）令x＝y＝0，得f（0）＝－1.

在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，f（x1－x2）>－1.

又f（x1）＝f[（x1－x2）＋x2]＝f（x1－x2）＋f（x2）＋1>f（x2），　

所以函数f（x）在R上是单调增函数．

（2）由f

（1）＝1，得f

（2）＝3，f（3）＝5.

由f（x2＋2x）＋f（1－x）>4得f（x2＋x＋1）>f（3），

又函数f（x）在R上是增函数，故x2＋x＋1>3，

解得x<－2或x>1，

故原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}．

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