MATLAB课程报告.docx
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MATLAB课程报告
MATLAB课程报告
摘要
MATLAB（MatrixLaboratory）是由美国MathWorks公司开发的集数值计算、符号计算和图形可视化基本功能于一体的，功能强大、操作简单的语言，是国际公认的优秀数学应用软件之一。
与符号计算相比，数值计算在科研和工程中应用更为广泛。
MATLAB也正是凭借其卓越的数值计算能力而著称。
多项式计算在理工科教学、科研中具有特殊地位和意义，而MATLAB使其的实现，更加赋予了多项式广阔的工程应用空间。
关键词:
多项式计算多项式拟合最小二乘法
ABSTRACT
MATLAB（Laboratory）isapowerful,operationsimplelanguagefromtheMatrixMathWorkscompanywhichcollectingnumericalcalculation,symboliccomputationandgraphicvisualbasicfunctionsinone,isinternationallyrecognizedasoneoftheexcellentmathematicsapplicationsoftware.
Comparedwithsymboliccomputation,numbericalcalculationismorepopularusedinexceptionalnumbericalcalculationability.Polynomialcalculationhasaspecialstatusandsignificanceinscienceteachingandresearch.AndMATLABmakeitsrealization,whichmoregiftedpolynomialcalculationwideengineeringapplicationspace.
Keywords：
PolynomialcalculationPolynomialfittingLeast-square
目录
一·概述课程
二·重点阐述
1．多项式运算
2．多项式拟合
3．最小二乘法
三·结束语
四·温馨致谢
五·参考文献
一·概述课程
课本《数值计算》一章分为数值微积分、矩阵和代数方程、概率分布和统计分析以及多项式运算和卷积四节内容，集合课本内容以及个人兴趣，简单介绍多项式计算、多项式拟合、最小二乘法及其工程应用举例。
二·重点阐述
1多项式计算
·多项式表达方式的约定
MATLAB约定降幂多项式a（x）=a1xn+a2xn-1+……+anx+a1用以下系数行项量表示：
a=[a1,a2,……,an,an+1],即把多项式的各项系数依降幂次序排放在行向量的元素位置上。
注意：
假如多项式中缺某幂次项，则应认为该幂次项得系数为零。
·多项式运算函数
指令
含义
C=conv（a,b）
计算a（x）b（x）乘积多项式c（x）的系数向量c
[q,r]=deconv（b,a）
求出b（x）／a（x）=q（x）+r（x）·[a（x）]-1运算中商多项式q（x）和余多项式r（x）的系数向量q和r
[r,p,k]=residue（b,a）
当a（x）不含重根时，计算部分分式分解b（s）/a（s）=r1/s-p1+r2/s-p2+……+rn/s-pn+k（s）
中的极点（Poles）、留数（Residues）和直项（Directterm）。
输出量r是由“各分子”构成的[r1,r2,……,rn]一维数组；
输出量p是由“各极点”构成的[p1,p2,……,pn]一维数组；
输出量k是多项式k（s）的系数行向量
r=roots（a）
求a（x）多项式的根
a=poly（r）
若r是一维数组，则该指令实施“据多项式根求多项式各项系数”的运算。
此时，输入量r的各元素表示多项式的根，输出量a表示多项式的系数向量
若r是方阵，则该指令实施“计算方阵特征多项式”的运算。
此时，a表示矩阵r所对应的特征多项式的系数向量
V=polyval（p,X）
在x=xij时，计算多项式p（x）的值vij=p（xij）。
Xij是输入量X的第（i,j）元素；vij是输出量V的第（i,j）元素。
简单地说，按数组运算规则计算多项式值
V=polyvalm（p,X）
计算矩阵多项式的值V=p1Xn+……pnX+pn+1I。
换句话说，按矩阵运算规则计算多项式值。
P为多项式，X为矩阵
·具体实例体会
例一演示：
多项式系数向量的正确表达；指令conv,deconv,poly2str的使用；如何演算。
求（s2+2）（s+4）（s+1）\（s3+s+1）的“商”及“余”多项式。
（1）求“商”及“余”多项式
formatrat
p1=conv（[1,0,2],conv（[1,4],[1,1]））;
p2=[1011];
[q,r]=deconv（p1,p2）;
cq='商多项式为';cr='余多项式为';
disp（[cq,poly2str（q,'s'）]）,disp（[cr,poly2str（r,'s'）]）
商多项式为s+5
余多项式为5s^2+4s+3
（2）利用计算所得“商”和“余”验算分子多项式
qp2=conv（q,p2）;
pp1=qp2+r;
pp1==p1
ans=
11111
例二演示：
poly,roots的用法；矩阵特征值与特征多项式根的关系；多项式求根在MATLAB中是如何实现的；如何生成多项式的伴随矩阵。
矩阵和特征多项式，特征值和多项式根。
（1）求矩阵的特征多项式
formatshort
A=[111213;141516;171819];
PA=poly（A）
PPA=poly2str（PA,'s'）
PA=
1.0000-45.0000-18.00000.0000
PPA=
s^3-45s^2-18s+1.8303e-014
（2）方阵特征值和特征多项式根
s=eig（A）
r=roots（PA）
s=
45.3965
-0.3965
0.0000
r=
45.3965
-0.3965
0.0000
（3）特征多项式的伴随矩阵
n=length（PA）;
AA=diag（ones（1,n-2,class（PA））,-1）;
AA（1,:
）=-PA（2:
n）/PA
（1）;
AA
sr=eig（AA）
AA=
45.000018.0000-0.0000
1.000000
01.00000
sr=
45.3965
-0.3965
0.0000
2多项式拟合
·数据处理原理和方法
多项式拟合是指在函数关系y=f（x）不知道的情况下，可以根据对原始数据找出一个含有（k+1）个参数的k阶多项式逼近即y=f（x）=a0+a1x+a2x2+……akxk.
·拟合过程说明
（1）一般先从低阶开始拟合，这个判别规则非常复杂，但如果利用MALAB问题就显得很简单。
如k阶是最佳拟合，不再进行更高阶拟合，当输入阶数大于k时，计算机就会显示polynomialisinbedconditioned等等。
（2）为保证较好的拟合效果，多项式阶数要取得适当。
过低，可能残差较大；过高，拟合模型将包含噪声影响，通常要保证n观察数据图形曲线，有助于适当阶数的确定。
·具体实例体会
例一演示怎样用MATLAB画出二元多项式曲线
x2+0.1x-1=y2+y-1
symsxy
ezplot（'x^2+0.1*x-1=y^2+y-1'）
例二演示给定数据组，求拟合三阶多项式，并图示拟合情况。
x0=0:
0.1:
1;
y0=[-0.447,1.978,3.11,5.25,5.02,4.66,4.01,4.58,3.45,5.35,9.22];
n=3;
p=polyfit（x0,y0,n）
xx=0:
0.01:
1;
yy=polyval（p,xx）;
plot（xx,yy,'-b',x0,y0,'.r','MarkerSize',20）
legend（'拟合曲线','原始数据','Location','SouthEast'）
xlabel（'x'）
p=
56.6915-87.117440.0070-0.9043
例三演示实际应用
某种合金中的主要成分为A,B两种金属，经过试验发现：
这两种金属成分之和x与合金的膨胀系数y有如下关系，建立描述这种关系的数学表达式
x
37
37.5
38
38.5
39
39.5
40
40.5
41
41.5
42.5
43
y
3.4
3
3
2.27
2.1
1.83
1.53
1.7
1.8
1.9
2.54
2.9
解首先作出散点图
（1）程序
x=37:
0.5:
42.5;
y=[3.4,3,3,2.27,2.1,1.83,1.53,1.7,1.8,1.9,2.54,2.9];
plot（x,y,'*'）
（2）图形
发现：
有点像抛物线，故选二次函数拟合
p=polyfit（x,y,2）
p=
0.1927-15.4692312.1523
函数关系式为
y=0.1927x2-15.4692x+312.1523
2最小二乘法
·问题说明
多项式拟合问题可以更具体地如下：
对于实验数据可写出一组方程：
y1=a1x1+a2x12+……an+1x1n+1
y2=a1x2+a2x22+……an+1x2n+2
…………
ym=a1xm+a2xm2+……an+1xmn+m
上述方程组可用矩阵形式简述记为
y=xaT+
在此y=[y1,y2,……,ym]T,a=[a1,a2,……,an+1],式中的用来表示噪声（包括测量误差等）。
多项式拟合问题就是由实验数据求多项式系数向量a=x\y。
·具体实例体会
例一演示运用最小二乘法求拟合多项式的系数。
给定数据组，求拟合三阶多项式，并图示拟合情况。
程序：
x0=（0:
0.1:
1）';
y0=[-0.447,1.978,3.11,5.25,5.02,4.66,4.01,4.58,3.45,5.35,9.22]';
m=length（x0）;
n=3;
X=zeros（m,n+1）;
fork=1:
n
X（:
n-k+1）=（x0.^k）;
end
X（:
n+1）=ones（m,1）;
aT=（X\y0）'
aT=
56.6915-87.117440.0070-0.9043
三结束语
为了完成这份课程报告，我投入了大量的时间与精力，但我感到欣慰的是我通过自己的努力完成了。
虽然报告内容形式简单，没有将MATLAB这一集数学计算、可视化编程等功能于一体的功能强大的工具软件得以完整阐述，但本次课程报告让我受益匪浅。
通过本次课程报告，我对MATLAB软件有了进一步的理解。
通过查阅大量的资料进一步提高了对MATLAB软件的掌握程度，并得到了灵活的运用。
另外对我而言，当我全身心投入地做某事，并且把它完成，这种令人回味的满足感就是幸福，是我所有努力和辛勤付出换来的兴奋感。
我想说：
有一种生活，没有经历过就不知道其中的艰辛；有一种艰辛，没有体会过就不知道其中的快乐；有一种快乐，没有拥有过就不知道其中的纯粹；你，知道其中的艰辛，拥有其中的快乐；我，沿着老师的指导，领略着学习的纯粹。
四温馨致谢
报告即将完成，我的心情无法平静，从开始课题报告内容选择到报告的顺利完成，有好多尊敬的师长、友善的同学、亲爱的朋友给以了我很大的帮助。
在这里请接受我诚挚的谢意！
首先感谢我的授课老师陈明生导师，在他的严格要求和悉心指导下，我的报告才可以完成。
同时他严谨细微、一丝不苟的作风一直是我学习的榜样；他循循善诱的教导和不拘一格的思路给予了我无尽的启迪。
还要特别感谢江东老师帮我的电脑安装MATLAB7.0软件，打扰他个人休息时间，万分抱歉。
一个人的成长绝不是一件孤立的事，没有别人的支持与帮助不可能办到。
我感谢有这样一个空间，让我对所有给予关心，帮助的人说声“谢谢”！
今后，我会继续努力，好好学习，不负众望！
同时祝福大家工作顺利，生活愉快，阖家幸福!
五参考文献
1.张志涌，精通MATLAB6.5版教程，北京航空航天大学出版社，2003
2.MathWork.MATLABR2010a.2010.
3.王彬，MATLAB数字信号处理，机械工业出版社，
4.AbellML,BraseltonJP.Maple.AcademicPress,1999
5.苏金朋，MATLAB实用教程，电子工业出版社，
6.张德丰，MATLAB语言高级编程
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