第一章-概率论与数理统计(袁荫棠)ppt课件.pptx

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会计学,1,概率论与数理统计袁荫棠,教材：

概率论与数理统计,第1页/共152页,袁荫棠编中国人民大学出版社参考书：

1.概率论及数理统计中山大学数学力学系编人民教育出版社2.概率论与数理统计李少辅等编河南大学出版社,序言,概率论是研究什么的？

随机现象：

不确定性与统计规律性,第2页/共152页,在自然界和人类社会中存在着两类不同的现象：

确定性现象：

在一定条件下事先可以断言必然会发生某种结果的现象；不确定性现象（随机现象）：

在一定条件下，可能出现这种结果，也可能出现那种结果。

事先不能预言会出现哪种结果的现象。

第3页/共152页,第一章随机事件及其概率,第4页/共152页,随机事件概率概率的加法法则条件概率与乘法法则独立实验概型,1.1随机事件,第5页/共152页,一、随机试验（简称“试验”）对随机现象进行观测称为随机试验随机试验的特点：

可在相同条件下重复进行；（必然性）每次试验的结果具有多种可能性,但在试验之前可以明确试验的所有可能结果;（可示性）一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。

（偶然性）随机试验可表为E,随机实验的例,第6页/共152页,E1:

抛一枚硬币，分别用“H”和“T”表示出正面和反面;E2:

将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况；E3:

将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数;E4:

掷一颗骰子，考虑可能出现的点数；E5:

记录某网站一分钟内受到的点击次数；E6:

在一批灯泡中任取一只，测其寿命;E7:

任选一人，记录他的身高和体重。

概率论中研究的随机现象不是日常人们所谈的偶然现象，它有特定的含义和特点。

随机事件,二、随机事件,第7页/共152页,每次实验中，可能发生也可能不发生，而在大量实验中具有某种规律性的事件称为随机事件。

简称为事件通常用大写的拉丁字母A、B、C等表示基本事件：

不能分解成其它事件组合的最简单的随机事件复合事件：

由基本事件复合而成的事件,必然事件、不可能事件,第8页/共152页,必然事件（）：

每次试验中一定发生的事件不可能事件（）：

每次试验中一定不发生的事件,三、样本空间：

第9页/共152页,1、样本空间：

实验的所有可能结果所组成的集合称为样本空间，记为=；2、样本点:

试验的每一个结果或样本空间的元素称为一个样本点,记为.3.由一个样本点组成的单点集称为一个基本事件,也记为.EX给出E1-E7的样本空间,随机事件,第10页/共152页,定义：

试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件”,简称“事件”.记作A、B、C等任何事件均可表示为样本空间的某个子集.称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素两个特殊事件:

必然事件、不可能事件.例如对于试验E2，以下A、B、C即为三个随机事件:

A“至少出一个正面”HHH,HHT,HTH,THH，HTT，THT，TTH；B=“三次出现同一面”=HHH,TTTC=“恰好出现一次正面”=HTT，THT，TTH再如，试验E6中D“灯泡寿命超过1000小时”x:

1000xT（小时）。

可见，可以用文字表示事件，也可以将事件表示为样本空间的子集，后者反映了事件的实质，且更便于今后计算概率。

还应注意，同一样本空间中，不同的事件之间有一定的关系，如试验E2，当试验的结果是HHH时，可以说事件A和B同时发生了；但事件B和C在任何情况下均不可能同时发生。

易见，事件之间的关系是由他们所包含的样本点所决定的，这种关系可以用集合之间的关系来描述。

第11页/共152页,准备知识,第12页/共152页,集合的关系与运算：

加法原理、乘法原理、排列与组合：

集合的关系与运算：

第13页/共152页,集合：

是具有某种特定性质的元素所组成的集体。

集合的元素可以是任意种类的对象：

点、数、函数、事件、人等等,

（一）集合的关系,1、子集：

属于集合A的任意元素都属于B，称集合A是集合B的子集。

读作A含于B，或B包含A；记作,或,当,且,时，,第14页/共152页,1.包含关系“A发生必导致B发生”记为AB相等关系若AB且BA.AB,四、事件之间的关系,第15页/共152页,2.和事件：

“事件A与B至少有一个发生”，记作AB或A+B,2n个事件A1,A2,An至少有一个发生，记作,第16页/共152页,3.积事件:

A与B同时发生，记作A,BAB,3n个事件A1,A2,An同时发生，,记作AAA,12n或,第17页/共152页,4.差事件：

AB称为A与B的差事件,表示事件A发生而B不发生思考：

何时A-B=何时A-B=A？

A-AB=?

当AB时，AB=；当AB=时,AB=A；AB=AAB=,第18页/共152页,5.互斥的事件（互不相容事件）：

AB,第19页/共152页,6.互逆的事件（对立事件）AB,且AB,第20页/共152页,7.完备事件,第21页/共152页,若A组1，A2，An为两两互不相容的事件，AiAj（ij）且A1A2An称A1，A2，An构成一个完备事件组,五、事件的运算,1、交换律：

ABBA，ABBA,2、结合律：

（A,3、分配律：

（A,B）CABC，（AB）CA（BC）B）C（AC）BC，,（AB）C（AC（BC）4、对偶（DeMorgan）律：

第22页/共152页,例1：

甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的运算关系表示下列事件：

第23页/共152页,写出其样本空间；三次都取到了合格品；三次中至少有一次取到合格品；三次中恰有两次取到合格品；三次中至多有一次取到合格品。

A1A2A3,A1+A2+A31A2A3+A12A3+A1A23,例2、从一批产品中每次取出一个产品进行检验,（每次取出的产品不放回），事件Ai表示第i次取到合格品（i1,2,3）。

试用事件的运算符号表示下列事件：

23+13+1第24页/共152页2,解：

样本空间为,第25页/共152页,A1A2A3，1A2A3,A12A3,A1A23,A123,1A23,12A3,123三次都取到了合格品；A1A2A3三次中至少有一次取到合格品；A1+A2+A3A1A2A3+1A2A3+A12A3+A1A23+A123+1A23+12A3,三次中恰有两次取到合格品；,第26页/共152页,1A2A3+A12A3+A1A23,三次中至多有一次取到合格品。

23+13+12A123+1A23+12A3+123三次中至少有两次取到次品,例3一名射手连续向某个目标射击三次，事件Ai表示该射手第i次射击时击中目标（i=1,2,3）试用文字叙述下列事件,A1+A22,A1A2A3,A32=A3A2,12,前两次中至少有一次击中目标第二次射击未击,中目标,A1+A2+A3三次射击中至少有一次击中目标,三次射击都击中,了目标,第三次击中而第,=二次未击中第27页/共152页前两次均未击中目标,例4如果x表示一个沿数轴做随机运动的质点的位置是说明下列各事件的关系,A=xlx20B=xlx3C=xlx9D=xlx-5,包含关系互不相容对立,相容,第28页/共152页,A1A2A3+1A2A3+A12A3+A1A23+A123+1A23+12A3,第29页/共152页,1.2概率,第30页/共152页,从直观上来看，事件A的概率是指事件A发生的可能性大小的一个数,点的概率为多少？

某人向目标射击，以A表示事件“命中目标”，,第31页/共152页,A次重复试验中频率,1.2.1频率与概率,历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等。

第32页/共152页,实验者nnHfn（H）,0.50160.5005,频率的性质,第33页/共152页,

（1）0fn（A）1；

（2）fn（S）1；fn（）=0,增大时，,若某实验E满足,第34页/共152页,则称E为古典概型也叫等可能概型。

1.2.2.古典概型与概率,P（A）具有如下性质,古典概型中的概率:

设事件A中所含样本点个数为N（A），以N（）记样本空间中样本点总数，则有,第35页/共152页,例:

有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率相等,则至少有一个男孩的概率是多少?

解:

设A-至少有一个男孩,以H表示某个孩子是男孩N（S）=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT,第36页/共152页,古典概型的几类基本问题复习：

排列与组合的基本概念1.乘法公式：

设完成一件事需分两步，种方法,第37页/共152页,2.加法公式：

设完成一件事可有两种途径，第一种途径有n1种方法，第二种途径有n2种方法，则完成这件事共有n1+n2种方法。

第38页/共152页,3.有重复排列：

从含有n个元素的集合中随机抽取k次，每次取一个，记录其结果,后放回，将记录结果排成一列，,nnn,第39页/共152页,n,共有nk种排列方式.,4.无重复排列：

从含有n个元素的集合中随机抽取k次，每次取一个，取后不放回，将所取元素排成一列，,.,nn-1n-2,第40页/共152页,n-k+1,5.组合：

从含有n个元素的集合中随机抽取k个，共有,第41页/共152页,1.2.3例题的有关类型,第42页/共152页,1.抽球问题2.分球入盒问题,1、抽球问题,例1:

设盒中有3个白球，2个红球，现从盒中任抽2个球，求取到一红一白的概率。

第43页/共152页,例2一批产品共200个，有6个废品求这批产品的废品率；任取3个恰有一个是废品的概率；任取3个全非废品的概率解：

设A“废品”,第44页/共152页,一般地，设盒中有N个球，其中有M个白球，现从中任抽n个球，则这n个球中恰有k个白球的概率是,第45页/共152页,在实际中，产品的检验、疾病的抽查、农作物的选种等问题均可化为随机抽球问题。

我们选择抽球模,第46页/共152页,例3两封信随机的向标号为、的4个邮筒投寄，求第2个邮筒恰好被投入1封信的概率,解：

设A“第二个邮筒只投,第47页/共152页,例4：

将3个球随机的放入3个盒子中去，问：

（1）每盒恰有一球的概率是多少？

（2）空一盒的概率是多少？

第48页/共152页,例5袋中有a个白球，b个黑球，从中每次取出一个，无放回的抽取k+1次，求第k+1次取到白球的概率（k+1a+b）,解：

设A“第k+1次取到白球”从a+b个球中无放回的取k+1次，共有,种不同的取法；而A含有种不同的取法,第49页/共152页,一般地，把n个球随机地分配到m个盒子中去（nm，则每盒至多有一球的概率是：

问至少有两个人的生日在同一天,第50页/共152页,3.分组问题,例3：

30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均分成3组，求：

（1）每组有一名运动员的概率；,第51页/共152页,一般地，把n个球随机地分成m组（nm）,要求第i组恰,第52页/共152页,4随机取数问题例4从1到200这200个自然数中任取一个,

（1）求取到的数能被6整除的概率,第53页/共152页,1.3概率的加法法则,引例:

（P10例2）一批产品共200个，有6个废品。

求任取3个恰有i个是废品的概率；任取3个全非废品的概率；最多只有一个废品的概率P（B）；,第54页/共152页,加法法则：

若AB，则P（A+B）P（A）P（B）,（1.2）,推论1设A1，A2，An,是一列两两互不相容的事件，即AiAj，（ij）,i,j1,2,n,有：

P（A1A2An）P（A1）P（A2）+.+P（An）（1.3）,可列可加性：

第55页/共152页,推论2：

若A1，A2，An构成一个完备事件组，则：

P（A1）P（A2）+.+P（An）1（1.5）,且P（A）,（1.6）,特别地：

P（A）+P（）=1P（A）1P（）推论3：

若事件AB，则P（AB）=P（A）P（B）第56页/共152页（1.7）,推论4：

对任意两个事件A、B，有,P（A+B）=P（A）+P（B）P（AB）,（1.8）,证明：

P（A+B）PA+（B-AB）P（A）+P（BAB）P（A）+P（第B57）页/共152页P（AB）,推论5（多除少补原理）,对于任意n个事件A1，A2，An，P（A1A2An）,第58页/共152页,概率的公理化定义,第59页/共152页,注意到不论是对概率的直观性质，在数学上，我们就可以从这,1.定义若对随机试验E所对应的样本空间中的每一事件A，均赋予一实数P（A），集合函数P（A）满足条件：

（1）P（A）；（非负性）

（2）P（）1；（规范性）（3）可列可加性：

设A1，A2，,是一列两两互不相容的事件，即AiAj，（ij）,i,j1,2,有P（A1A2）P（A1）P（A2）+.则称P（A）为事件A的概率。

第60页/共152页,2.概率的性质

（1）有限可加性：

设A1，A2，An,是n个两两互不相容的事件，即AiAj，（ij）,i,j1,2,n,则有P（A1A2An）P（A1）P（A2）+,P（An）;,（3）事件差A、B是两个事件，则P（A-B）=P（A）-P（AB）,第61页/共152页,

（2）单调不减性：

若事件AB，则P（A）P（B）,（4）加法公式：

对任意两事件A、B，有P（AB）P（A）P（B）P（AB）该公式可推广到任意n个事件A1，A2，An的情形；多出少补原理（5）互补性：

P（A）1P（A）;（6）可分性：

对任意两事件A、B，有P（A）P（AB）P（AB）.,第62页/共152页,例1.3.1.某市有甲,乙,丙三种报纸,订每种报纸的人数分别占全体市民人数的30%,其中有10%的人同时定甲,乙两种报纸.没有人同时订甲丙或乙丙报纸.求从该市任选一人,他至少订有一种报纸的概率.,解:

设A,B,C分别表示选到的人订了甲,乙,丙报,则:

P（A）=P（B）=P（C）=0.3P（AB）=0.1P（AC）=P（BC）=0,第63页/共152页,例1.3.2.在110这10个自然数中任取一数，求取到的数能被2或3整除的概率，取到的数即不能被2也不能被3整除的概率，取到的数能被2整除而不能被3整除的概率。

解:

设A=“取到的数能被2整除”;B“取到的数能被3整除”故,第64页/共152页,例1.3.3.袋中有4个白球，3个黑球，无放回的连续抽取两次，每次抽出一球。

问：

至少有一个白球的概率,解：

设A“抽出的两个球中至少有一个白球”,A1“抽出的两个球中恰有一个白球”A2“抽出的两个球中恰有一个白球”,则,P（A）=P（A1+A2）=,第65页/共152页,作业：

P27EX：

15，16,第66页/共152页,1.4条件概率,引例：

100个产品中有60个一等品，30个二等品，10个废品。

规定一、二等品都是合格品考虑这批产品的合格率与一二等品率之间的关系。

设若A从1、合A格2分品别中为任一取、一二件等，品取，到B为一合等格品品的则概：

率为60/90，P怎（A样1）=区60分/1这00第两67页个/共15P2一页（A等2）=品30率/1？

00P（B）=90/100,问：

第一个人取得红球的概率是多少？

第二个人取得红球的概率是多少？

又例：

袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，十人依次从袋中各取一球（不放回），,第68页/共152页,若已知第一个人取到的是白球，则第二个人取到红球的概率是多少？

若已知第一个人取到的是红球，则第二个人取到红球的概率又是多少？

定义1.3在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率，称为事件A在给定B下的条件概率。

简称为A对B的条件概率，记作P（A|B）。

相应的把P（A）称为无条件概率,第69页/共152页,若用A、分别表示甲乙两厂的产品，B表示产品为合格品，试写出有关事件的概率。

解：

P（A）=70%,P（B/A）95%,P（）=30%P（B/）,=80%,一、条件概率例1、市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率为95%，乙厂产品的合格率为80%。

第70页/共152页,例2设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任意抽取两次，每次取一个，取后不放回，已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率;求第二次取到红球的概率求两次均取到红球的概率设A“第一次取到红球”,B“第二次取到红球”,第71页/共152页,显然，若事件A、B是古典概型的样本空间中的两个事件，其中A含有nA个样本点,AB含有nAB个样本点,，则,一般地，设A、B是中的两个事件，则（1.9）称为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率（p15）,第72页/共152页,“条件概率”是“概率”吗？

第73页/共152页,概率定义若对随机试验E所对应的样本空间中的每一事件A，均赋予一实数P（A），集合函数P（A）满足条件：

（1）P（A）0；

（2）P（）1;（3）可列可加性：

设A1，A2，,是一列两两互不相容的事件，即AiAj，（ij）,i,j1,2,有P（A1A2）P（A1）P（A2）+.则称P（A）为事件A的概率。

条件概率的计算方法,1、在原样本空间中利用事件的关系计算。

2、用缩减样本空间的方法计算,第74页/共152页,例3.一盒中混有100只新,旧乒乓球，各有红、白两色，分类如下表。

从盒中随机取出一球，若取得的是一只红球，试求该红球是新,球的概率。

设A“从盒中随机取到一只红球”B“从盒中随机取到一只新球”,第75页/共152页,例4：

全年级100名学生中，有男生（A）80人，女生20人；来自北京的（B）有20人，其中男生12人，女生8人；免修英语的（C）40人中有32名男生，8名女生。

试写出下列事件的概率：

P（A）=P（B/A）=P（AB）=P（C/A）=,P（B）=P（A/B）=P（C）=P（AC）=,第76页/共152页,设A、B，,第77页/共152页,（1.10）,P（A）0,则若P（B）0,则,P（AB）P（A）P（B|A）.P（AB）P（B）P（A|B）.,式（1.10）就称为事件A、B的概率乘法公式。

式（1.10）还可推广到三个事件的情形：

P（ABC）P（A）P（B|A）P（C|AB）.一般地，有下列公式：

P（A1A2An）P（A1）P（A2|A1）.P（An|A1An1）.（1.11）,例5、市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率为95%，乙厂产品的合格率为80%，求从市场上买到一个灯泡是甲厂生产的合格灯泡的概率。

根据乘法法则：

P（AB）=P（A）P（B/A）=0.70.95=0.665,P（B）=P（）P（B/）=0.30.8=0.24,若用A、分别表示甲乙两厂的产品，B表示产品为合格品，试写出有关事件的概率。

解：

P（A）=70%P（B/A）95%,P（）=30%P（B/）=80%,第78页/共152页,例6：

10个考签中有4个难签，3人参加抽签（不放回）甲先、乙次、丙最后。

求甲抽到难签，甲乙都抽到难签，甲没抽到难签而乙抽到难签，以及甲乙丙都抽到难签的概率解：

设事件A、B、C分别表示甲、乙、丙各抽到难签,第79页/共152页,例7盒中有3个红球，2个白球，每次从盒中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从盒中连续取球4次,试求第1、2次取得白球且第3、4次取得红球的概率。

解：

设Ai为第i次取球时取到白球，则,第80页/共152页,P27,第81页/共152页,18、19、20,三、全概率公式与贝叶斯公式,例1.市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为2、1、3，试求市场上该品牌产品的次品率。

第82页/共152页,P（B）=P（AB）+P（B）=P（A）P（B/A）+P（）P（B/）=0.665+0.24=0.905P（A/B）=P（AB）/P（B）=0.665/0.9050.7348,例2、市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率为95%，乙厂产品的合格率为80%，求从市场上买到一个灯泡是甲厂生产的合格灯泡的概率。

求从市场上买到一个灯泡是合格灯泡的概率。

试判断该合格灯泡是甲厂生产的概率若用A、分别表示甲乙两厂的产品，B表示产品为合格品，试写出有关事件的概率。

解：

P（A）=70%P（B/A）95%,第83页/共152页,P（）=30%P（B/）=80%,P（AB）=0.665P（B）=0.24,定义:

事件组A1，A2，An（n可为），称为样本空间的一个划分，若满足：

A1,A2,An,B,第84页/共152页,定理1.1（p17）设A1，,An是的一个划分，构成一个完备事件组,且P（Ai）0，（i1，n），则对任何事件B有,式（1.12）就称为全概率公式。

第85页/共152页,例3:

有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球，1个红球，乙袋中有两个红球，一个白球,这六个球手感上不可区别今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？

解：

设A1从甲袋放入乙袋的是白球；A2从甲袋放入乙袋的是红球；B从乙袋中任取一球是红球；,甲,第86页/共152页,乙,式（1.13）就称为贝叶斯公式。

思考：

上例中，若已知取到一个红球，则从甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少？

答:

定理2（p18）设A1，,An是的一个划分，且P（Ai）0，（i1，n），则对任何事件B，有,第87页/共152页,例4.市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为2、1、3，试求市场上该品牌产品的次品率。

试判断该次品是甲厂生产的概率,由全概率公式：

由Bayes公式:

第88页/共152页,例5（88.3）商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8,0.1,0.1，某顾客选中一箱，从中任选4只检,第89页/共152页,查，结果都是好的，便买下了这一箱.问这一箱含有一个次品的概率是多少？

解：

设A“从一箱中任取4只检查,结果都是好的”.B0,B1,B2分别表示事件每箱含0，1，2只次品,已知:

P（B0）=0.8,P（B1）=0.1,P（B2）=0.1,由Bayes公式:

第90页/共152页,例6：

12个乒乓球都是新球，每次比赛时取出3个用完后放回去，求第3次比赛时取到的3个球都是新球的概率。

解：

设事件Ai、Bi、Ci分别表示第一、二、三次比赛时取到i个新球（i0、1、2、3）则且B0、B1、B2、B3构成一个完备事件组,第91页/共152页,根据全概率公式：

有,第92页/共152页,条件概率,条件概率小结,缩减样本空间,定义式,乘法公式,全概率公式,贝叶斯公式,第93页/共152页,P2722、23、26、30,第94页/共152页,1.5独立试验概型,

（一）事件的独立性定义1.4（P20）如果事件A发生的可能性不受事件B发生与否的影响，即P（A/B）=P（A）,则称事件A对于事件B独立。

若A对于B独立，则B对于A也一定独立，称事件A与事件B相互独立。

第95页/共152页,定义1.5如果n（n2）个事件A1,A2,An中任何一个事件发生的可能性都不受其他一个或几个事件发生与否的影响，则称A1,A2,An相互独立,第96页/共152页,一、两事件独立,根据定义1.4设A、B是两事件，P（B）0,若则称事件A与B相互独立。

等价于：

第97页/共152页,二、三个事件的相互独,第98页/共152页,立,根据定义1.4和1.5若三个事件A、B、C满足：

（1）P（AB）=P（A）P（B）,

（2）P（AC）=P（A）P（C）,（3）P（BC）=P（B）P（C）,则称事件A、B、C两两相互独立；若在此基础上还满足：

（4）P（ABC）P（A）P（B）P（C）,则称事件A、B、C相互独立。

关于独立性的几个结论如下：

事件A与B相互独立的充分必要条件是P（AB）=P（A）P（B）以下四个命题等价：

3.若事件A1,A2,An相互独立，则有,第99页/共152页,注意:

互斥与独立的区,第100页/共152页,别,1.互斥的概念是事件本身的属性；独立的概念是事件的概率属性。

2.两事件互斥,即A与