数学部分经典问题之百分数与配比问题.docx

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数学部分经典问题之百分数与配比问题

写在前面的话

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qzzn（求职指南论坛）

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westwood

2006年3月2日

百分数与配比问题

百分数是分母为100的分数，表示某些数量关系非常方便.特别是处理一些有比例关系的问题，在衡量、比较时有很多优点.不仅在数学、物理、化学等自然科学方面，而且在工程技术、社会科学方面都有着非常广泛的应用.

　　小学高年级的同学都知道百分数，但不一定能算得很好，用得很活.因此我们专门编写一讲，通过许多例题和习题，帮助同学们学习百分数.

　　第一节讲的是“卖买”，实质上是讲（1+百分数）与（1-百分数）的一些计算.第二节介绍各种各样常见的百分数.第三节讲的是对小学同学说来较为困难的配比问题.不论哪一节，从计算技巧来说，都是训练分数、比例的计算本领.

一、商品的出售

　　商店出售商品，总是期望获得利润.例如某商品买入价（成本）是50元，以70元卖出，就获得利润70-50＝20（元）.通常，利润也可以用百分数来说，20÷50＝0.4＝40％，我们也可以说获得40％的利润.因此

　　利润的百分数=（卖价-成本）÷成本×100％.

　　卖价=成本×（1+利润的百分数）.

　　成本=卖价÷（1+利润的百分数）.

　　商品的定价按照期望的利润来确定.

　　定价=成本×（1+期望利润的百分数）.

　　定价高了，商品可能卖不掉，只能降低利润（甚至亏本），减价出售.减价有时也按定价的百分数来算，这就是打折扣.减价25％，就是按定价的（1-25％）＝75％出售，通常就称为75折.因此

　　卖价=定价×折扣的百分数.

　　例1某商品按定价的80％（八折或80折）出售，仍能获得20％的利润，定价时期望的利润百分数是多少？

　　解：

设定价是“1”，卖价是定价的80％，就是0.8.因为获得20％

　　定价的期望利润的百分数是

　　答：

期望利润的百分数是50％.

　　例2某商店进了一批笔记本，按30％的利润定价.当售出这批笔记本的80％后，为了尽早销完，商店把这批笔记本按定价的一半出售.问销完后商店实际获得的利润百分数是多少？

　　解：

设这批笔记本的成本是“1”.因此定价是1×（1+30％）＝1.3.其中

　　80％的卖价是1.3×80％，

　　20％的卖价是1.3÷2×20％.

　　因此全部卖价是

　　1.3×80％＋1.3÷2×20％＝1.17.

　　实际获得利润的百分数是

　　1.17－1＝0.17＝17％.

　　答：

这批笔记本商店实际获得利润是17％.

　　例3有一种商品，甲店进货价（成本）比乙店进货价便宜10％.甲店按20％的利润来定价，乙店按15％的利润来定价，甲店的定价比乙店的定价便宜11.2元.问甲店的进货价是多少元？

　　解：

设乙店的进货价是“1”，甲店的进货价就是0.9.

　　乙店的定价是1×（1＋15％），甲店的定价就是0.9×（1＋20％）.

　　因此乙店的进货价是

　　11.2÷（1.15-0.9×1.2）=160（元）.

　　甲店的进货价是

　　160×0.9=144（元）.

　　答：

甲店的进货价是144元.

　　设乙店进货价是1，比设甲店进货价是1，计算要方便些.

　　例4开明出版社出版的某种书，今年每册书的成本比去年增加10％，但是仍保持原售价，因此每本利润下降了40％，那么今年这种书的成本在售价中所占的百分数是多少？

　　解：

设去年的利润是“1”.

　　利润下降了40％，转变成去年成本的10％，因此去年成本是40％÷10％＝4.

　　在售价中，去年成本占

　　因此今年占80％×（1+10％）＝88％.

　　答：

今年书的成本在售价中占88％.

　　因为是利润的变化，所以设去年利润是1，便于衡量，使计算较简捷.

　　例5一批商品，按期望获得50％的利润来定价.结果只销掉70％的商品.为尽早销掉剩下的商品，商店决定按定价打折扣销售.这样所获得的全部利润，是原来的期望利润的82％，问：

打了多少折扣？

　　解：

设商品的成本是“1”.原来希望获得利润0.5.

　　现在出售70％商品已获得利润

　　0.5×70％＝0.35.

　　剩下的30％商品将要获得利润

　　0.5×82％-0.35＝0.06.

　　因此这剩下30％商品的售价是

　　1×30％＋0.06＝0.36.

　　原来定价是1×30％×（1+50％）＝0.45.

　　因此所打的折扣百分数是

　　0.36÷0.45＝80％.

　　答：

剩下商品打8折出售.

　　从例1至例5，解题开始都设“1”，这是基本技巧.设什么是“1”，很有讲究.希望读者从中能有所体会.

　　例6某商品按定价出售，每个可以获得45元钱的利润.现在按定价打85折出售8个，所能获得的利润，与按定价每个减价35元出售12个所能获得的利润一样.问这一商品每个定价是多少元？

　　解：

按定价每个可以获得利润45元，现每个减价35元出售12个，共可获得利润

　　（45-35）×12＝120（元）.

　　出售8个也能获得同样利润，每个要获得利润

　　120÷8＝15（元）.

　　不打折扣每个可以获得利润45元，打85折每个可以获得利润15元，因此每个商品的定价是

　　（45-15）÷（1-85％）＝200（元）.

　　答：

每个商品的定价是200元.

　　例7张先生向商店订购某一商品，共订购60件，每件定价100元.

　　张先生对商店经理说：

“如果你肯减价，每件商品每减价1元，我就多订购3件.”商店经理算了一下，如果差价4％，由于张先生多订购，仍可获得原来一样多的总利润.问这种商品的成本是多少？

　　解：

减价4％，按照定价来说，每件商品售价下降了100×4％＝4（元）.因此张先生要多订购4×3＝12（件）.

　　由于60件每件减价4元，就少获得利润

　　4×60＝240（元）.

　　这要由多订购的12件所获得的利润来弥补，因此多订购的12件，每件要获得利润

　　240÷12＝20（元）.

　　这种商品每件成本是

　　100-4-20＝76（元）.

　　答：

这种商品每件成本76元.

二、各种各样的问题

　　百分数有着十分广泛的应用.这一节我们列举出有关百分数的各种各样的问题.

　　例8小明训练3000米赛跑，如果速度提高5％，那么时间缩短百分之几？

（百分数保留一位小数.）

　　解：

设原来的速度是“1”.

　　时间缩短的百分数是

　　也就是

　　答：

时间缩短了4.8％.

　　从后一算式可以看出，无论是多少米赛跑，速度提高5％，时间就缩短了4.8％.换一句话说，考虑这一问题，与距离无关.

　　例9采了10千克蘑菇，它们的含水量为99％，稍经晾晒后，含水量下降到98％.晾晒后的蘑菇重多少千克？

　　解：

晾晒前后蘑菇里的干物质（除了水分以外的其他成分）的重量是不变的.干物质的重量是

　　10×（1-99％）=0.1（千克）.

　　晾晒后，干物质将占总重量的（1-98％）.此时蘑菇重

　　0.1÷（1-98％）＝5（千克）.

　　答：

晾晒后蘑菇重5千克.

　　这一例题的答案是否使你感到意外？

　　下一例题可以说是例9的补充.

　　例10有盐水若干升，加入一定量水后，盐水浓度降到3％，又加入同样多的水后，盐水浓度又降到2％，再加入同样多的水，此时盐水浓度是多少呢？

又问未加水时盐水浓度是多少？

　　解：

关键是先算出每次加多少水.

　　浓度为3％，也就是盐3份，水97份，共100份.浓度下降为2％，原来3份，就成为2％，加水后总共是

　　3÷2％=150（份）.

　　因此加入的水是150-100＝50（份）.

　　第三次加水后，浓度是

　　未加入水时的浓度是

　　答：

三次加水后浓度是1.5％，未加水时浓度是6％.

　　例11把一个正方形的一边减少20％，另一边增加2米，得到一个长方形.它与原来的正方形面积相等.问正方形的面积是多少？

　　解：

设正方形的边长是“1”.因为长方形与原来的正方形面积相等，一边减少了20％，另一边将增加

　　所以正方形的边长是

　　2÷25％＝8（米）.

　　正方形的面积是

　　8×8＝64（平方米）.

　　答：

正方形面积是64平方米.

　　例12有一堆糖果，其中奶糖占45％，再放入16块水果糖后，奶糖就只占25％.问这堆糖中奶糖有多少块？

　　解：

奶糖占25％，其他糖果就是奶糖的

　　（100-25％）÷25％＝3（倍）.

　　原来其他糖果只有

　　1-45％＝55％.

　　放入16块水果糖后是

　　45％×3＝135％.

　　因此奶糖的块数是

　　16÷（135％-55％）×45％＝9（块）.

　　答：

这堆糖中，奶糖有9块.

　　例13有两包糖果，第一包的粒数与第二包粒数之比是2∶5.在第一包中奶糖占30％，在第二包中其他糖占42％，如果把两包糖合在一起，奶糖所占的百分数是多少？

　　解：

设第一包为2份，第二包为5份.

　　第一包中奶糖是2×30％＝0.6（份）.

　　第二包中奶糖是5×（1-42％）＝2.9（份）.

　　合起来后，奶糖占

　　（0.6＋2.9）÷（2＋5）＝50％.

　　答：

合在一起，奶糖占50％.

　　这是一个典型问题，与第五讲第二节中求平均数，做法是一致的.

　　例14早上水缸注满了水，白天用去了其中的20％，傍晚又用去27升，晚上用去剩下水的10％，最后剩下的水是半水缸多1升.问早上注入多少升水？

　　解：

白天和傍晚用去水后剩下

　　1-20％＝80％少27（升）

　　晚上用去水是

　　80％×10％＝8％少27×10％＝2.7（升）.

　　白天、傍晚、晚上总共用去水

　　20％＋8％再加（27-2.7）升，

　　它应该是50％少1升.

　　因此50％-（20％＋8％）是（27-2.7）＋1升.

　　早上水缸的水是

　　（27-2.7＋1）÷（50％-20％-8％）＝115（升）.

　　答：

早上注入水缸中的水是115升.

三、浓度和配比

　　一碗糖水中有多少糖，这就要用百分比浓度来衡量.放多少水和放多少糖能配成某一浓度的糖水，这就是配比问题.在考虑浓度和配比时，百分数的计算扮演了重要的角色，并产生形形色色的计算问题，这是小学数学应用题中的一个重要内容.

　　从一些基本问题开始讨论.

　　例15基本问题一

（1）浓度为10％，重量为80克的糖水中，加入多少克水就能得到浓度为8％的糖水？

（2）浓度为20％的糖水40克，要把它变成浓度为40％的糖水，需加多少克糖？

　　解：

（1）浓度10％，含糖80×10％＝8（克），有水80-8＝72（克）.

　　如果要变成浓度为8％，含糖8克，糖和水的总重量是8÷8％＝100（克），其中有水

　　100-8＝92（克）.

　　还要加入水92-72＝20（克）.

（2）浓度为20％，含糖40×20％＝8（克），有水40-8＝32（克）.

　　如果要变成浓度为40％，32克水中，要加糖x克，就有

　　x∶32＝40％∶（1-40％），

　　例16基本问题二

　　20％的食盐水与5％的食盐水混合，要配成15％的食盐水900克.问：

20％与5％食盐水各需要多少克？

　　解：

20％比15％多（20％-15％），5％比15％少（15％-5％），多的含盐量

　　（20％-15％）×20％所需数量

　　要恰好能弥补少的含盐量

　　（15％-5％）×5％所需数量.

　　也就是

　　画出示意图：

　　相差的百分数之比与所需数量之比恰好是反比例关系.

　　答：

需要浓度20％的600克，浓度5％的300克.

　　这一例题的方法极为重要，在解许多配比问题时都要用到.现在用这一方法来解几个配比的问题.

　　例17某人到商品买红、蓝两种笔，红笔定价5元，蓝笔定价9元.由于买的数量较多，商店就给打折扣.红笔按定价85％出售，蓝笔按定价80％出售.结果他付的钱就少了18％.已知他买了蓝笔30支，问红笔买了几支？

　　解：

相当于把两种折扣的百分数配比，成为1-18％＝82％.

　　（85%-82％）∶（82%-80％）＝3∶2.

　　按照基本问题二，他买红、蓝两种笔的钱数之比是2∶3.

　　设买红笔是x支，可列出比例式

　　5x∶9×30＝2∶3

　　答：

红笔买了36支.

　　配比问题不光是溶液的浓度才有的，有百分数和比，都可能存在配比.要提请注意，例17中是钱数配比，而不是两种笔的支数配比，千万不要搞错.

　　例18甲种酒精纯酒精含量为72％，乙种酒精纯酒精含量为58％，混合后纯酒精含量为62％.如果每种酒精取的数量比原来都多取15升，混合后纯酒精含量为63.25％.问第一次混合时，甲、乙两种酒精各取多少升？

　　解：

利用例16的方法，原来混合时甲、乙数量之比是

　　后一次混合，甲、乙数量之比是

　　这与上一讲例14是同一问题.都加15，比例变了，但两数之差却没有变.

　　5与2相差3，5与3相差2.前者3份与后者2份是相等的.把2∶5中前、后两项都乘2，3∶5中前、后两项都乘3，就把比的份额统一了，即

　　现在两个比的前项之差与后项之差都是5.15是5份，每份是3.原来这

　　答：

第一次混合时，取甲酒精12升，乙酒精30升.

　　例19甲容器中有8％的食盐水300克，乙容器中有12.5％的食盐水120克.往甲、乙两个容器分别倒入等量的水，使两个容器的食盐水浓度一样.问倒入多少克水？

　　解：

要使两个容器中食盐水浓度一样，两容器中食盐水重量之比，要与所含的食盐重量之比一样.

　　甲中含盐量：

乙中含盐量

　　=300×8％∶120×12.5％

　　=8∶5.

　　现在要使

　　（300克+倒入水）∶（120克+倒入水）＝8∶5.

　　把“300克+倒入水”算作8份，“120克+倒入水”算作5份，每份是

　　（300-120）÷（8-5）=60（克）.

　　倒入水量是60×8-300＝180（克）.

　　答：

每一容器中倒入180克水.

　　例20甲容器有浓度为2％的盐水180克，乙容器中有浓度为9％的盐水若干克，从乙取出240克盐水倒入甲.再往乙倒入水，使两个容器中有一样多同样浓度的盐水.问：

（1）现在甲容器中食盐水浓度是多少？

（2）再往乙容器倒入水多少克？

　　解：

（1）现在甲容器中盐水含盐量是

　　180×2％＋240×9％＝25.2（克）.

　　浓度是

　　25.2÷（180＋240）×100％=6％.

（2）“两个容器中有一样多同样浓度的盐水”，也就是两个容器中含盐量一样多.在乙中也含有25.2克盐.因为后来倒入的是水，所以盐只在原有的盐水中.在倒出盐水240克后，乙的浓度仍是9％，要含有25.2克盐，乙容器还剩下盐水25.2÷9％＝280（克），

　　还要倒入水420-280＝140（克）.

　　答：

（1）甲容器中盐水浓度是6％；

（2）乙容器再要倒入140克水.

　　例21甲、乙两种含金样品熔成合金.如甲的重量是乙的一半，得到含

　　乙两种含金样品中含金的百分数.

　　解：

因为甲重量增加，合金中含金百分数下降，所以甲比乙含金少.

　　用例17方法，画出如下示意图.

　　因为甲与乙的数量之比是1∶2，所以

　　（68％-甲百分数）∶（乙百分数-68％）

　　＝2∶1

　　＝6∶3.

　　注意：

6+3＝2＋7＝9.

　　那么每段是

　　因此乙的含金百分数是

　　甲的含金百分数是

　　答：

甲含金60％，乙含金72％.

　　用这种方法解题，一定要先弄清楚，甲和乙分别在示意图线段上哪一端，也就是甲和乙哪个含金百分数大.