中考数学真题分类汇编之第三十八章尺规作图含答案.docx
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中考数学真题分类汇编之第三十八章尺规作图含答案
第38章尺规作图
一、选择题
1.（2011浙江绍兴，8，4分）如图，在
中，分别以点
和点
为圆心，大于
的长为半径画弧，两弧相交于点
，作直线
，交
于点
，连接
.若
的周长为10，
，则
的周长为（）
A.7B.14C.17D.20
（第8题图）
【答案】C
二、解答题
1.（2011江苏扬州，26,10分）已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90º，∠BAC的角平分线AD交BC边于D。
（1）以AB边上一点O为圆心，过A，D两点作⊙O（不写作法，保留作图痕迹），再判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若
（1）中的⊙O与AB边的另一个交点为E，AB=6，BD=
求线段BD、BE与劣弧DE所围成的图形面积。
（结果保留根号和
）
【答案】
（1）如图，作AD的垂直平分线交AB于点O，O为圆心，OA为半径作圆。
判断结果：
BC是⊙O的切线。
连结OD。
∵AD平分∠BAC∴∠DAC=∠DAB
∵OA=OD∴∠ODA=∠DAB
∴∠DAC=∠ODA∴OD∥AC∴∠ODB=∠C
∵∠C=90º∴∠ODB=90º即：
OD⊥BC
∵OD是⊙O的半径∴BC是⊙O的切线。
（2）如图，连结DE。
设⊙O的半径为r，则OB=6-r，
在Rt△ODB中，∠ODB=90º，
∴0B2=OD2+BD2即：
（6-r）2=r2+（
）2
∴r=2∴OB=4∴∠OBD=30º，∠DOB=60º
∵△ODB的面积为
，扇形ODE的面积为
∴阴影部分的面积为
—
。
2.（2011山东滨州，23，9分）根据给出的下列两种情况，请用直尺和圆规找到一条直线，把△ABC恰好分割成两个等腰三角形（不写做法，但需保留作图痕迹）；并根据每种情况分别猜想：
∠A与∠B有怎样的数量关系时才能完成以上作图？
并举例验证猜想所得结论。
（1）如图①△ABC中，∠C=90°，∠A=24°
（第23题图①）
①作图：
②猜想：
③验证：
（2）如图②△ABC中，∠C=84°，∠A=24°.
（第23题图②）
①作图：
②猜想：
③验证：
【答案】
（1）①作图：
痕迹能体现作线段AB（或AC、或BC）的垂直平分线，或作∠ACD=∠A（或∠BCD=∠B）两类方法均可，
在边AB上找出所需要的点D，则直线CD即为所求………………2分
②猜想：
∠A+∠B=90°，………………4分
③验证：
如在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°时，有∠A+∠B=90°，此时就能找到一条把△ABC恰好分割成两个等腰三角形的直线。
………………5分
（2）答：
①作图：
痕迹能体现作线段AB（或AC、或BC）的垂直平分线，或作∠ACD=∠A或在线段CA上截取CD=CB三种方法均可。
在边AB上找出所需要的点D，则直线CD即为所求………………6分
②猜想：
∠B=3∠A………………8分
③验证：
如在△ABC中，∠A=32°，∠B=96，有∠B=3∠A，此时就能找到一条把△ABC恰好分割成两个等腰三角形的直线。
………………9分
3.（2011山东威海，20，8分）我们学习过：
在平面内，将一个图形绕一个定点沿着某一个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转，这个定点叫旋转中心．
（1）如图①，△ABC≌△DEF，△DEF能否由△ABC通过一次旋转得到？
若能，请用直尺和圆规画出旋转中心，若不能，试简要说明理由．图①
（2）如图②，△ABC≌△MNK，△MNK能否由△ABC通过一次旋转得到？
若能，请用直尺和圆规画出旋转中心，若不能，试简要说明理由．
（保留必要的作图痕迹）
图①图②
【答案】解：
（1）能，点
就是所求作的旋转中心．
图①图②
（1）能，点
就是所求作的旋转中心．
4.（2011浙江杭州，18，6）四条线段a，b，c，d如图，a：
b：
c：
d＝1：
2：
3：
4．
（1）选择其中的三条线段为边作一个三角形（尺规作图，要求保留作图痕迹，不必写出作法）；
（2）任取三条线段，求以它们为边能作出三角形的概率．
【答案】
（1）只能取b,c,d三条线段，作图略
（2）四条线段中任取三条共有四种等可性结果：
（a，b，c），（a，b，d），（a，c，d），（b，c，d），其中能组成三角形的只有（b，c，d），所以以它们为边能作出三角形的概率是
．
5.（2011四川重庆，20，6分）为进一步打造“宜居重庆”，某区拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A、B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A、B、C的位置如图所示．请在答题卷的原图上利用尺规作出音乐喷泉M、位置．（要求：
不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图）
【答案】
6.（2011甘肃兰州，25，9分）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C。
（1）请完成如下操作：
①以点O为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；②用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D的位置（不用写作法，保留作图痕迹），并连结AD、CD。
（2）请在
（1）的基础上，完成下列问题：
①写出点的坐标：
C、D；
②⊙D的半径=（结果保留根号）；
③若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面面积为（结果保留π）；
④若E（7，0），试判断直线EC与⊙D的位置关系并说明你的理由。
O
【答案】
（1）
E
（2）①C（6，2），D（2，0）②
③
④相切。
理由：
∵CD=
，CE=
，DE=5
∴CD2+CE2=25=DE2
∴∠DCE=90°即CE⊥CD
∴CE与⊙D相切。
7.（2011重庆江津，23，10分）A、B两所学校在一条东西走向公路的同旁,以公路所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,且点A的坐标是（2,2）,点B的坐标是（7,3）.
（1）一辆汽车由西向行驶,在行驶过程中是否存在一点C,使C点到A、B两校的距离相等,如果有?
请用尺规作图找出该点,保留作图痕迹,不求该点坐标.
（2）若在公路边建一游乐场P,使游乐场到两校距离之各最小,通过作图在图中找出建游乐场的位置,并求出它的坐标.
第23题图
【答案】
（1）存在满足条件的点C:
作出图形，如图所示，作图略；
（2）作出点A关于x轴的对称点A/（2,-2）,连接A/B，与x轴的交点即为所求的点P.
设A/B所在的直线的解析式为：
y=kx+b,把A/（2,-2）,B（7,3）分别代入得：
解得：
·
所以：
y=x-4·
当y=0时，x=4,所以交点P为（4，0）·
8.（2011重庆綦江，19，6分）为了推进农村新型合作医疗制度改革,准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等（A、B、C不在同一直线上，地理位置如下图），请你用尺规作图的方法确定点P的位置.
要求:
写出已知、求作；不写作法，保留作图痕迹．
解：
已知：
求作：
【答案】：
解：
已知：
A、B、C三点不在同一直线上.
求作：
一点P，使PA＝PB＝PC.
（或经过A、B、C三点的外接圆圆心P）
正确作出任意两条线段的垂直平分线，并标出交点P
9.（2011江苏南京，27，9分）如图①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点．
⑴如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ACB＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE⊥CD，垂足为E，试说明E是△ABC的自相似点．
⑵在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．
①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；
②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．
（第27题）
【答案】解：
⑴在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB上的中线，
∴
，∴CD=BD．
∴∠BCE＝∠ABC．∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°，
∴∠BEC＝∠ACB．∴△BCE∽△ABC．
∴E是△ABC的自相似点．
⑵①作图略．
作法如下：
（i）在∠ABC内，作∠CBD＝∠A；
（ii）在∠ACB内，作∠BCE＝∠ABC；BD交CE于点P．
则P为△ABC的自相似点．
②连接PB、PC．∵P为△ABC的内心，∴
，
．
∵P为△ABC的自相似点，∴△BCP∽△ABC．
∴∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC=2∠PBC=2∠A，
∠ACB＝2∠BCP=4∠A．∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°．
∴∠A+2∠A+4∠A＝180°．
∴
．∴该三角形三个内角的度数分别为
、
、
．
10．（2011江苏无锡，26，6分）（本题满分6分）如图，等腰梯形MNPQ的上底长为2，腰长为3，一个底角为60°。
正方形ABCD的边长为1，它的一边AD在MN上，且顶点A与M重合。
现将正方形ABCD在梯形的外面沿边MN、NP、PQ进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q重合即停止滚动。
（1）请在所给的图中，用尺规画出点A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图；
（2）求正方形在整个翻滚过程中点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ
所围成图形的面积S。
Q
【答案】解：
（1）如右图所示．……………………（3分）
（2）S=2[π·12+π·（）2+1+π·12]
=+2．………………………（6分）
Q
11.（2011重庆市潼南,19,6分）画△ABC,使其两边为已知线段a、b，夹角为
.
（要求：
用尺规作图，写出已知、求作；保留作图痕迹；不在已知的线、角上作图；不
写作法）.
已知：
求作：
【答案】已知：
线段a、b、角
-------------1分
求作：
△ABC使边BC=a，AC=b，∠C=
------------2分
画图（保留作图痕迹图略）--------------6分
12.（2011湖北宜昌，23，10分）如图1,Rt△ABC两直角边的边长为AC=1，BC=2.
（1）如图2,⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点X，与边CB相切于点Y.请你在图2中作出并标明⊙O的圆心0；（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）P是这个Rt△ABC上和其内部的动点，以P为圆心的⊙P与Rt△ABC的两条边相切.设⊙P的面积为S，你认为能否确定S的最大值？
若能，请你求出S的最大值；若不能，请你说明不能确定S的最大值的理由.
（第23题图1）（第23题图2）
【答案】解：
（1）共2分.（标出了圆心，没有作图痕迹的评1分）看见垂足为Y（X）的一 条 垂 线 （或 者∠ABC的平分线）即评1分，
（2）①当⊙P与Rt△ABC的边 AB和BC相切时，由角平分线的性质，动点P是∠ABC的平分线BM上的点，如图1，在∠ABC的平分线BM上任意确定点P1 （不为∠ABC的顶点），
∵ OX ＝BOsin∠ABM，P1Z＝BP1sin∠ABM．当 BP1＞BO 时 ，P1Z＞OX,即P与B的距离越大，⊙P的面积越大．这时，BM与AC的交点P是符合题意的BP长度最大的点.
（3分.此处没有证明和结论不影响后续评分）
如图2，∵∠BPA＞90°，过点P作PE⊥AB，垂足为E，则E在边AB上.
∴以P为圆心、PC为半径作圆，则⊙P与边CB相切于C，与边AB相切于E，即这时的⊙P是符合题意的圆.（4分.此处没有证明和结论不影响后续评分）这时⊙P的面积就是S的最大值.
∵∠A＝∠A，∠BCA＝∠AEP＝90°,∴ Rt△ABC∽Rt△APE，（5分）
∴
=
.∵AC＝1，BC＝2，∴AB＝
.
设PC＝x，则PA＝AC－PC＝1－x,PC＝PE，
∴
=
，∴x＝
．（6分）
②如图3，同理可得：
当⊙P与Rt△ABC的边AB和AC相切时，
设PC＝y，则
=
，∴y=
（7分）
③如图4，同理可得：
当⊙P与Rt△ABC的边BC和AC相切时，设PF＝z，则
=
，∴z=
（8分）由①，②，③可知：
∵
＞2，∴
＋2＞
＋1＞3，∵当分子、分母都为正数时，若分子相同，则分母越小，这个分数越大，（或者:
∵x＝
＝2
－4,y=
=
，
∴y-x=
>0,∴y>x.
∵z-y=
－
=
>0，∴2
>
>
，（9分，没有过程直接得出酌情扣1分）∴ z＞y＞x.
∴⊙P的面积S的最大值为
π.（10分）
P
O
B
（第23题答图1）（第23题答图1）
P
（第23题答图3）（第23题答图4）
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