afasycq2007年全国大学生数学建模竞赛国家一等奖论文手机套餐优惠.docx
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--GuoGeTech
手机“套餐”优惠几何
作者：
张男男1 朱爽1 刘小平1
（1.吉林工业职业技术学院 自动化3052班，吉林 吉林市 132013）
摘要：
手机资费问题已经成为人们心中关注的热点问题。
本文主要根据运营商的收费方案，运用所学知识，建立数学模型，计算推导出它们的资费计算方法，利用MATLAB、EXCEL画出相应的函数图像，进行分析、比较、评价，看哪种资费方案更“省钱”。
根据已给资费方案，设计模型，在现有“套餐”方案运营商的收入降低不超过10%的条件下，推出新的可行的“套餐”方案，既要满足客户的“省钱”，又要满足运营商的设计目标。
关键词：
线性规划 资费方案 手机套
一、问题重述
手机现已成为人们日常工作、社交、经营等社会活动中必备的工具之一，近年来通信业务量飞速增长。
手机资费问题一直是人们关心的热点问题，多少年来资费方案始终没有实质性变化。
但是2007年1月以来上海、北京、广东等地的移动和联通两大运营商都相继推出了“手机单向收费方案”---各种品牌的“套餐”，手机“套餐”的花样琳琅满目，让人眼花缭乱。
人们不禁要问：
手机“套餐”究竟优惠几何？
请参照中国移动公司现行的资费标准和北京的全球通“畅听99套餐”、上海的“全球通68套餐”方案，建立数学模型,分析研究下列问题：
（1）给出北京、上海各“套餐”方案的资费计算方法，并针对不同（通话量）需求的用户，分析说明各种“套餐”方案适应于什么样的用户？
（2）提出你们对各种资费方案的评价准则和方法,据此对北京、上海推出的“套餐”方案与现行的资费标准作分析、比较，并给出评价。
（3）北京移动公司2007年5月23日又推出了所谓的全球通“被叫全免费计划”方案，即月租50元，本地被叫免费，其他项目资费均同现行的资费标准，还要求用户至少在网一年。
你们又如何评价这个方案？
并说明理由。
（4）如果移动公司聘请你们帮助设计一个全球通手机的资费方案,你们会考虑哪些因素?
根据你们的研究结果和北京、上海的实际情况，在现有“套餐”方案运营商的收入降低不超过10%的条件下,用数学建模方法设计一个你们认为合理的“套餐”方案。
二、问题分析
我们对手机“套餐”的各种资费方案，作了详细的调查，并得到了大量的数据和资料。
利用已有的资料和题目的要求进行分析，并根据北京、上海各“套餐”的实际情况以及题目要求，理论推导出计算资费方法的数学模型，看哪种资费方案更“省钱”。
根据已有方案建立设计的模型，并推出新的、可行的“套餐”方案，既满足客户的“省钱”，又要满足运营商的设计目标。
制定评价准则，建立相应数学模型，并对北京、上海推出的“套餐”方案与现行的资费标准进行分析、比较和评价。
分析“被叫全免费计划”方案，并和现有的全球通用户进行比较，再给出评价。
研究现有的“套餐”方案和各种收费方案，建立起设计方案的数学模型，并进行优化改进，在现有“套餐”方案运营商的收入降低不超过10%的条件下，用改进的、优化的数学模型设计一个合理的新的“套餐”方案。
三、模型假设
（4） 为了简化模型,我们只考虑影响手机话费的主要因素:
打电话费用,月租费，而忽略短信的收发,网上图片和手机铃声下载等服务项目。
因其对任何一种手机卡的收费情况基本是一致的,故略去不考虑。
（2）不考虑节假日等优惠政策。
为描述收费的大致情况,不妨设话费关于时间是连续函数。
（3）假设用户网内,网外,长途总的拨打时间为一定值T分钟,以便在这种情况下比较几种卡的优越性；另外也可以假定总通话费用一定，使用时间最长的手机卡。
（5） 假设用户每月拨打网内,网外,长途都有一定的时间范围，该范围由实际情况结合经验来确定。
四、符号说明
（1） z表示月基本费（元）
（2） k1表示超出套餐部分本地主叫资费（元/分钟）
（3）t表示通话时间（分钟）
（4）t0表示包含主叫分钟数
（5）t1表示超出的包含本地主叫分钟数
（6）t2表示长途主叫分钟数
（7）y表示每月总费用（元）
（8）E表示超出的GPRS流量（kb）
（9）Ai, Bi表示第i种通话的时间的上界和下界
（10）T表示总时间
（11）p0为目前资费率
（12）P为实施套餐资费率
五、建立模型及求解
问题一
根据问题要求以及附录一北京移动公司全球通“畅听99套餐”方案的资料，我们忽略次要因素，考虑主要因素，建立了北京套餐的资费计算方法如下公式：
y=z+0.1t2 （t1≤t0, E<10m）
（1）
y=z+k1t1+0.1t2 （t1>t0, E<10m）
（2）
y=z+0.1t2+0.03E （t1≤t0, E≥10m） （3）
y=z+k1t1+0.1t2+0.03E （t1>t0, E≥10m） （4）
公式⑴⑵说明GPRS未超出规定流量，⑶⑷为GPRS超出规定流量。
为了更好的看出北京移动公司全球通“畅听99套餐”中，因月基本费的不同而适合的人群，即基本费为99元、139元、199元、299元适合于什么样的人群，把计算得出的公式转变成图像，更直观、明了、方便。
根据题目要求，即针对不同通话量而不考虑数据业务的要求来说明，所以计算公式如下：
y=z+0.1t2 （t1≥t0） （5）
y=z+k1t1+0.1t2 （t1>t0） （6）
将所得的公式转换成MATLAB语言，利用MATLAB软件绘制出如图一所示的图像。
图1 计算结果函数图像
从图像中可得出如下结论：
利用图表表示，见表一。
表一 “畅听99套餐”用户各时间段每月消费表
用户通话主叫时间（分）
月基本费99（元）
月基本费129（元）
月基本费199（元）
月基本费299（元）
0〈〈400
99139
139
199
299
400800
141271
139199
199
299
8001500
281526
199370
199299
299
15002500
526876
374624
299499
299374
（1）从图表中可以看出当用户每月消费99元139元，即通话时间在400分钟以内的，适用于选用月基本费99（元）的“畅听99套餐”。
（2）用户每月消费139元199元，即通话时间在400分钟和800分钟之间的，适合于选用月基本费139（元）的“畅听99套餐”。
（3）用户每月消费199元299元即通话时间在800分钟和1500分钟之间的，适合于选用月基本费199（元）的“畅听99套餐”。
（4）用户每月消费299元399元即通话时间在1500分钟或更长的，适合于选用月基本费299（元）的“99套餐”。
该“套餐”在北京首先突破了全球通高端品牌接听免费的先河，而且将月租费融入“套餐”。
从整体上考虑，如果是被叫用户、高端商务人士以及对市话、长途都有需求，但整体话费又不高的用户，则99元档比较划算。
根据附录一上海移动公司“全球通68套餐”方案的资料，我们忽略次要因素，考虑主要因素，建立了上海套餐的资费计算方法如下公式：
y=z （t≤t0） ⑺
y=z+k1t1 （t1>t0） ⑻
利用同样方法把所得的公式转换成MATLAB语言，利用MATLAB软件绘制出如图二所示的图像。
图2 计算结果函数图像
从图像中可得出如下结论：
利用图表表示，见表二。
表二“68套餐”用户各时间段每月消费表
用户通话时间
月基本费68（元）
月基本费128（元）
月基本费188（元）
0693.33
68128
128
188
693.331175
128214.7
111188
188
11752500
214.7453.2
188400
188357
（1）从图表中可以看出当用户每月消费68元128元，即通话时间在693分钟以内的，适合于选用月基本费68（元）的“68套餐”。
（2）当用户每月消费111元188元，即通话时间在693分钟和1175分钟之间的，适合于选用月基本费128（元）的“68套餐”。
（3）当用户每月消费188元357元，即通话时间大于1175分钟的，适合于选用月基本费188（元）的“68套餐”。
从整体上考虑，在所优惠的时间内，适用于主叫而不适用于被叫用户。
超出优惠时间则按通话时间来计算，具体选择方法如上所述。
问题二
根据第二问的要求，以及附录及网上的相关资料，利用线性规划及其相关知识,建立线性规划数学模型。
在总时间一定的情况下讨论了手机卡的评价准则和方法，并以哪种卡“最省钱”作为评价准则。
总时间一定的情况下通话费用最小的线性规划模型，首先给出现行标准都适合的一般优化模型。
为了有效的求出总费用最小时的最优通话时间分配方案，我们分别对本地通话和长途通话相应的总时间做一定限制。
此处考虑到大多数用户不会在闲时使用手机，计算一律按忙时处理，使问题更为简化，也在合理要求的范围内。
需要说明的是该参数的确定具有一定的主观性，我们将根据实际情况结合经验适当选取数值进行计算求解。
具体模型如下：
ymin=z+ci1t1+ci2t2 ⑼
条件：
A1 ≤ t3 ≤B1
A2≤ t4 ≤B2
t3+t4=T
ti ≥0
该模型对每种卡，如神州行卡、动感地带、全球通等都适用。
只要将模型中参数取某种卡的相关信息即可计算出该种卡在总通话时间一定的情况下的最佳的通话分配方案。
在一般模型基础之上分别针对每种卡计算，这里我们T多取几组值，然后将计算结果列成表格以便比较、分析。
在对计算结果全面，详细的分析和综合比对基础上，得出哪种卡在哪种情况下最优。
计算:
给定时间t1的范围即AiBi i=1,2 （单位分钟）
表三 i种通话的时间的上界和下界表
A1
B1
A2
B2
30
80
20
70
120
150
50
80
220
300
100
180
280
480
320
400
400
560
240
400
560
800
200
440
800
1000
500
700
1000
1200
600
800
1200
1300
700
800
1200
1600
600
900
分别取T=100~2200（分钟）,用LINGO求解，结果如表四所示:
表四 各种“套餐”卡对照表
S
T
神州行
动感地带
全球通
100
66
49
96
200
135
78
152
400
270
132
240
600
390
184
326
800
552
240
442
1000
660
380
510
1500
1050
620
800
1800
1260
750
950
2000
1410
865
1060
2200
1500
960
1110
当总时间一定,相对应的通话总费用最小时,各种通话时间的分配结果如下表五所示（单位为分钟）：
表五 本地、长途时间表
S
T
神州行
动感地带
全球通
t1
t2
t1
t2
t1
t2
100
80
20
80
20
80
20
200
150
50
150
50
150
50
400
280
120
280
120
2800
120
600
480
120
480
120
480
120
800
560
240
560
240
560
240
1000
800
200
800
200
800
200
1500
1000
500
1000
500
1000
500
1800
1200
600
1200
600
1200
600
2000
1300
700
1300
700
1300
700
2200
1600
600
1600
600
1600
600
通过计算比较,我们可以得出在总时间T等于100~2200分钟的情况下,本地和长途都有一定范围限制的情况下，我们所求的都是动感地带卡的费用最低。
当T=100分钟和T=2200分钟时,使得总费用最少的各类通话时间的取值都是相同的,而动感地带卡在各类单位时间通话费用都是最低的,所以无论是哪一类通话时间较多的用户选择动感地带均最为省钱。
由于通话总时间和对各类通话时间范围的取值都有一定的主观性,所以最后求出的通话费用都是动感地带卡的费用较少,但是收费也很高，2007年北京移动公司全球通“畅听99套餐”方案，上海推出了“68套餐”。
比较如下:
当0“68套餐”说明当每月通话时间在0＜t≤160分钟范围内，动感地带收费最少。
超过160分钟后，则“68套餐”更为合适。
当0“68套餐”说明当每月通话时间在0＜t≤200分钟范围内，动感地带收费最少。
超过280分钟后，北京用户则“畅听99套餐”更为合适,上海应选择“68套餐”。
综合结论
综合以上计算，我们可以看出，对于不同的月话务量，选择不同服务类型可以达到缴纳最低费用的目的。
可将计算结果列表表示如表六所示：
表六 结果列表
月通话时间（分）
北京用户
上海用户
[0,160]
——
动感地带
（160,+∞）
——
“68套餐”
[0,280]
动感地带
——
（280,+∞）
“畅听99套餐”
——
根据以上结论，我建议手机用户在购买移动通讯服务时注意：
1、上海用户如果使用手机时间较少，每月市话通话时间仅在3小时以内，最好购买“动感地带”。
2、上海用户如果使用手机时间适中，每月市话通话时间大于3小时，最好购买“68套餐”。
3、北京用户如果使用手机时间较少，每月市话通话时间仅在4小时以内，最好购买“神州行”。
4、北京用户如果使用手机时间适中，每月市话通话时间大于4小时，最好购买“畅听99套餐”。
问题三
北京移动公司推出全球通“被叫全免费计划”，月租50元，本地被叫免费，但要求用户至少在网一年，其他项目资费均同现行的资费标准。
本套餐和全球通进行比较、评价，此套餐适用于被叫时间长的用户，而不适用于主叫时间长的用户。
利用已有资料，同样，忽略次要因素，如拨打长途时拨中国移动IP以及短信漫游等不可控因素，用最小资费计算，可得出“被叫全免费计划”资费模型为：
y=50+0.4t0+0.1t2 （10）
全球通资费模型为：
y=0.4t0+0.1t2 t=t0+t1 （11）
我们可以假设全球通用户和被叫全免费用户各9户，每户拨打总时间同为400分钟，每户拨中国移动IP时间相同，以主叫时间递减，被叫时间递增的顺序进行排列。
为了计算方便时间取整，做出如下表格：
表七 用户拨打时间表
全球通用户
主叫时间
被叫时间
拨中国移动IP
被叫全免费用户
主叫时间
被叫时间
拨中国移动IP
用户1
300
50
50
用户1
300
50
50
用户2
260
90
50
用户2
260
90
50
用户3
220
130
50
用户3
220
130
50
用户4
180
170
50
用户4
180
170
50
用户5
140
210
50
用户5
140
210
50
用户6
110
240
50
用户6
110
240
50
用户7
80
270
50
用户7
80
270
50
用户8
40
310
50
用户8
40
310
50
用户9
10
340
50
用户9
10
340
50
把表格中的数据代入上述两个模型可得出以下数据，见表八，以便清晰直观的进行观察。
表八 对照表
全球通用户
用户1
用户2
用户3
用户4
用户5
用户6
用户7
用户8
用户9
（元）
145
145
145
145
145
145
145
145
145
被叫全免费用户
用户1
用户2
用户3
用户4
用户5
用户6
用户7
用户8
用户9
（元）
175
159
143
127
111
99
87
71
59
把上述表格做成图像，如图三所示：
图3 结果函数曲线
从表格和图像中我们可以得出如下结论：
在主叫、被叫总时间分别相同，及每户拨中国移动IP时间也相同，即每月总费用相同的情况下。
从表格中不难看出被叫全免费用户当被叫时间越长，每月总费用越低。
这时需要我们考虑月租问题，假设拨打长途时间为零，主叫时间也为零，如果每月被叫时间很小，由 ，可以得出。
月租同样为50元，（=50元），如果小于125分钟，由全球通模型可知可以看出=，在元，时，计算出用户被叫时间小于125分钟的情况时，选择被叫全免费计划的手机卡是不划算的，因为被叫时间长的用户使用被叫全免费卡是很划算的。
问题四
如果移动公司聘请我们帮助设计一个全球通手机的资费方案，我们会从多方面考虑，因为资费套餐的设计是一项需要智慧和丰富经验的工作，它的设计既要方便用户理解和选择，从而吸引用户积极参与，又要在用户的不经意之中，实现运营商自己的设计目标。
从运营商的角度来说，资费套餐的设计应该考虑以下因素：
因素一、价格竞争的隐蔽性
因为资费套餐的结构比较复杂，它往往由三部分组成：
移动通话月租费、免费移动通话时间、超出的移动通话费，所以，对于竞争对手和用户来说，要理解资费套餐都需要经过一个转换，从而在价格竞争上显得不那么直接。
因素二、不同用户对通话量多层次的需求
移动电话用户千差万别，他们对通信量的需求、价格承受能力、使用方式和习惯等方面存在明显的差异，通过不同档次的资费套餐，可以向用户提供不同口味的消费方案，从而提高用户满意度。
因素三、综合因素
不应模仿，因为资费套餐的设计是根据运营商自己的用户结构、财务状况、赢利目标等综合因素来考虑设计的，不同运营商的情况千差万别，因而一个资费套餐不可能被所有运营商所采用。
但资费套餐的弱点在于：
一个经过精心设计的资费套餐经不住一个无理性的简单降价的冲击，特别是在降价空间尚十分宽松的条件下。
因此，反过来说，资费套餐存在的合理性环境，必定是行业利润率接近社会平均利润率，简单降价空间不大且不太奏效的领域。
在这个领域，市场运作的技巧和经验就显得非常重要，通过精心设计的资费套餐，运营商可以通过消费者自己的理性思考和选择，最大限度地引导用户的消费行为，使用户和运营商双方都能够实现利益最大化。
因素四、客户的忠诚度
实行对大客户倾斜的政策，提高大客户的忠诚度。
资费套餐的设计原理
根据北京移动公司全球通“畅听99套餐”方案和上海移动公司“全球通68套餐”方案，不难看出资费套餐包括三个基本组成部分：
移动电话月租费+免费移动通话时间+超出的移动通话费率。
套餐设计的基本原理是：
根据用户通话量的分布，确定几档用户通话量比较集中的通话时间长度点，将这些通话长度点作为套餐的主要构成部分之一：
免费通话时长，并规定该时长的月租费。
在给定移动资费水平的条件下，由于通话时间与通话费用存在一一对应的关系，也可先确定通话费用比较集中的几个点作为月租费，赠增值业务或优惠与之捆绑的增值业务。
当然，免费通话时长和超出的通话费率的确定，依赖于移动运营市场的有效程度。
一、在垄断竞争的移动通信市场中
在资费套餐设计中，必须始终坚持两个假设，即高端用户“按需使用”和低端用户“按额度使用”，只有在这样的假设下，才能确定资费套餐的设计原则。
“畅听99套餐”、“全球通68套餐”不适合资费套餐低端用户，我们自己设计一个资费套餐低端用户套餐如下：
图4 资费套餐低端设计
上图以图示的形式表现了10元的套餐方案设计：
1、用户采用套餐后的话费收入不低于采用套餐前的话费收入，30×0.33=28×0.35=10元；2、原来月话费为30元的用户不会采用10元档次的套餐，30×0.33+（77-30）×0.469=30元；较高话费的用户采用套餐享受的平均话费率低于较低话费用户采用套餐享受的平均话费率，0.34元/分钟<0.35元/分钟。
同时，基于对高端用户“按需使用”及低端用户“按额度使用”的不同假设，全球通高端用户采用某档次的套餐方案存在不打满规定话务量的可能性。
也就是说，在保证收入不减少10%的条件下，资费套餐的价格之所以能较低，在于部分购买套餐的用户存在并不打满规定话务量的可能（风险机率）。
图5 高端用户资费套
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