物理光学衍射光栅.docx

物理光学衍射光栅.docx

《物理光学衍射光栅.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《物理光学衍射光栅.docx（22页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

物理光学衍射光栅

衍射光栅

按空间周期性规律，在一定范围内改变入射光波的振幅或位相的装置称为衍射光栅，简称为光栅。

光栅的这种作用也称作对入射光波的“振幅调制”和“位相调制”。

这样，在一个调制周期内出射的光波可以看成是一个“光束”，因此光栅按其调制周期把入射光波分割成多束相干光。

通常，利用与观察夫琅和费衍射相同的方法，在透镜的后焦面上或远处的屏幕上观察这多束光的干涉图形：

光栅干涉图。

由于光栅在调制和分割波面时必然以某种方式限制了入射击光波的传播，所以总是伴随着衍射现象，光栅干涉图兼有衍射图形的特性。

实际上，如果把光栅看作是一个限制光波传播的衍射光屏，那么光栅干涉图可以用夫琅和费衍射理论计算。

换言之，光栅干涉图上的复振幅分布与刚通过光栅的光分布之间有傅里叶变换的关系（可能相差一个二次位相因子）。

然而，在多数实际应用中，人们主要利用光栅干涉图的多光束干涉特点，因此我们称它为“干涉图”而不称为“衍射图”。

一、衍射光栅的分类

可以从各种不同的角度对光栅分类。

（一）、二维光栅和三维光栅

根据对入射波的调制是在二维空间还是在三维空间中实现，可以分为“二维光栅”和“三维光栅”。

二维光栅的工作表面可以是平面状的（平面光栅），也可以是凹球面等曲面形状的（凹面光栅）。

后者除了分割波面外，还有一定的聚集能力。

大多数二维光栅调制波面的周期性规律只与一个直角坐标分量有关，与另一个坐标分量无关。

换言之，它由一系列平行等距线条组成。

这类光栅有时称作“一维光栅”。

三维光栅又称“体（积）光栅”。

晶体因其原子（或晶胞）在空间的规则排列，对X射线起到三维光栅的作用。

经过适当曝光和处理的厚感光乳胶层，也构成对光学波段辐射的三维光栅。

实际上，一切二维光栅的“工作表面”都有一个不为零的厚度，应该看作是三维光栅的一种特殊情形。

在这种情形中，厚度的影响可以忽略不计。

（二）、振幅光栅和位相光栅

根据光栅所调制的是入射波的振幅还是位相，可以分为“振幅光栅”和“位相光栅”。

在透明基底上制作大量透光和不透光相间的平行线条，即得到“一维振幅光栅”，细而密的金属丝网格可以看成是“二维振幅光栅”。

现有的位相光栅都通过对入射光波的不同地点引入不同附加光程的方式实现位相调制。

它们在原理上属于三维光栅。

在一定条件下，可以认为附加光程在一个“面”上产生，这时可近似当作二维光栅处理。

三维光栅必然对入身光波作位相调制，因此它是一种位相光栅。

严格地说，大多数实际光栅都同时调制入射波的振幅和位相，振幅光栅或位相光栅的区别只是强调哪一种调制起主要作用。

（三）、透射光栅和反射光栅

根据所研究的干涉场与入射波所在空间位在光棚的异侧还是同侧，可以分成“透射光栅”和“反射光栅”。

有些光栅同时产生透射的和反射的多相干光束，需视其使用方式决定它属于哪一类。

（四）、其它分类

光栅还可以按其制作方法、工作波段、光栅材料等等进行分类。

例如按制作方法有“（机械）刻线光栅”、“（模压）复制光栅”、“全息光栅”等，按工作波段有“红外光栅”、“紫外光栅”等，按材料有“石英光栅”、“金属光栅”等。

二、双缝夫琅和费衍射

实验装置如图1所示，设两个缝的宽度同为a，两缝之间不透光部分长度为b，两缝中心距离为d，则a+b=d。

当用极细的平行于双缝的线光源S作光源时，可看到在透镜L2后焦面上的光强度分布。

可利用傅里叶变换计算。

建立的坐标系也画在图1中。

光源S发出的光波经过透镜L1后变成平面波。

在单位振幅的平面波正入射时，B（ξ，η）=1，所以：

A（ξ，η）=T（ξ，η）=rect（ξ）

（1）

式中“矩形函数”rect（ξ）函数的范围是：

（2）

A（ξ，η）的傅里叶变换a（fξ，fη）为：

（3）

其中

式中δ（fη）是狄拉克δ函数。

而

，

，于是得到P点的光场强度为：

（4）

而P点的光强度则为：

（5）

其中I0=Ca2为单缝衍射在y轴上各点的光强度，而

。

，根据图1所示的几何关系，在大距离、很小尺寸的近似下，

，则Δφ=kdsinθ，可见

Δφ是双缝对应点到P点的位相差。

，同样的近似下，

。

式（5）表明，双缝衍射图样的光强度分布由两个因子决定：

其一是

，它表示宽度为a的单缝的夫琅和费衍射图样的光强度分布；其二是

，它表示光强度同为I0而位相相差为Δφ的两束光所产生的干涉图样的光强度分布。

因此，我们可以这样理解；双缝的夫琅和费衍射图样乃是单缝衍射图样和双缝干涉图样的组合，是衍射和干涉这

两个因素联合作用的结果。

从图2不难看出狭缝的干涉条纹由因子

决定，而

所表示的衍射因子则可以看作是对干涉条纹的强度起调制作用。

图2双缝夫琅和费衍射图样的光强度分布

根据式（5）可知，出现单缝衍射光强度极小值的条件为：

（n=1，2，3，……）

即

asinθ=±nλ（n=1，2，3，……）（6）

出现双缝干涉光强度极小值的条件为：

Δφ=kdsinθ=±（m+

）2π（m=0，1，2，3，……）

即

dsinθ=±（m+

）λ（m=0，1，2，3，……）（7）

出现双缝干涉光强度极大值的的条件为：

Δφ=kdsinθ=±2mπ（m=0，1，2，3，……）

即

dsinθ=±mλ（m=0，1，2，3，……）（8）

如果由dsinθ=±mλ确定的干涉极大的方向正好与由asinθ=±nλ确定的衍射极小的方向重合，那末第m级干涉极大将不会出现。

某一极干涉极大因与衍射极小重合而不出现的现象称为缺级现象。

即当

（9）

时发生缺级。

例如d/a＝2，则缺少2，4，6……各级；d/a＝3，则缺少3，6，9……各级。

三、多缝夫琅和费衍射——光栅衍射

观察光栅衍射的装置如图2A所示。

设光栅G包含有N条宽度为a的狭缝，相邻两狭缝中心之间的距离为d，d也称为光栅常数。

现在求单色平面波通过光栅后在透镜然而上任一点P所产生的光振动。

与双缝衍射一样也可以应用夫琅和费公式计算，只不过现在要完成的是N个缝上露出波面的积分。

只是现在出现了ξ轴的原点的定位问题。

根据单缝和双缝的情况很容易确定，当N为奇数时，如图2A1所示，ξ轴的原点定在光栅中心缝的中央，图2A1中画出了3条狭缝；而当N为偶数时，如图2A2所示，ξ轴的原点定在光栅中心不透光部分的中央，图2A2中画出了4条狭缝。

而为了计算简便起见，我们也可将ξ轴的原点定在第一个狭缝的下边缘，如图2A3所标明的那样，同样观察屏Π上的x轴的原点的处理也是一样。

在第三种情况下，以下所说的衍射光线的传播方向用与光栅G的法线（图2A的

）方向的夹角（图2A的θ角）表示。

但是无论怎样确定ξ轴的原点，所讨论的关于光强分布的结果都是相同的。

为普遍起见，我们讨论倾斜入射于光栅G的平面波的情况，即极细狭缝S处于透镜L1的左焦平面上，但不在其中垂线上，这样的平面波的入射方向即其波矢

与ξ轴、z轴的方位如图2B所示，设波矢

在ξz平面内。

设入射平面波的振幅为1，这不影响最终的讨论结果，于是入射平面波到达光栅G左侧时的波函数则为：

对于图2A1所示的坐标，光栅G的透射系数T（ξ，η）为：

于是

（10a）

其中

。

对于图2A2所示的坐标，光栅G的透射系数T（ξ，η）为：

则

（10b）

其中

。

而对于图2A3所示的情况，光栅G的透射系数T（ξ，η）为：

于是

（10c）

其中l=1，2，……，N。

我们首先求（10a）的A（ξ，η）的傅里叶变换a（fξ，fη）为：

双缝夫琅和费衍射里的一些结论依然适用，例如：

其中

。

采用相同的近似

，可令：

（11）

于是计算出：

于是得到P点的光场强度为：

（12a）

按照相同的步骤，我们也可求出（10b）的A（ξ，η）的傅里叶变换a（fξ，fη）以及P点的光场强度分布公式，结果和上述结果相同，故这里节略。

而按照相同的步骤，我们求得（10c）的A（ξ，η）的傅里叶变换a（fξ，fη）则为：

而得到P点的光场强度则为：

（12b）

可见（12b）表示的光场强度比（12a）表示的光场强度在位相上多

，但是P点的光强度则相同，为：

（13）

其中

，原因是I=E·E*，可见位相这时不起作用。

如果令：

β=Ha/2和Δφ=Hd

则有：

（14）

由上式可见与双缝衍射的情形一样，光强度由两个因子决定。

单缝的夫琅和费衍射因子；

是干涉因子，表示多缝干涉的结果，显然当N=2，i=0°时，就是前面所讲的平面波正入射时的双缝夫琅和费衍射。

因此，光栅衍射图样乃是单缝衍射图样与N个单缝多光束干涉图样的组合。

可以想得到，当缝的数目N增加后，衍射图样最显著的改变是亮条纹变细。

此外当N增大时，在相邻主极大之间出现次极大，次极大的数目随N的增多而增加，但次极大的强度比主极大小的多。

实际使用的光栅N是相当大的。

例如一块宽为60毫米的平面光栅，若在每毫米内有1200条缝，则该光栅的总缝数N＝7200。

这样，亮条纹就非常明锐，成为一些在暗背景上的亮线。

衍射光栅条纹的这些特点可以通过对式（14）的讨论得出。

对于涉因子，I（P）的极值位置可以由令其对（Δφ/2）的导数为零得到。

（15）

由上式第二行的后一个方括号得到：

Ntg（Δφ/2）=tg（NΔφ/2）（16）

容易证明当

（m=1，2，3，……）

即

Δφ=d（sini-sinθ）=±mλ（m=1，2，3，……）（17）

在衍射角为θ的方向上产生主极大，并且有

（18）

用因子sinc2β来乘这些主极大强度，可以看作是对主极大起调制作用。

因此，各极大之间的强度比与双缝衍射一样。

对主极大而言，若光栅常数d一定，它们的相对强度和位置是不随缝数的增加而改变的，不管是N缝还是双缝都是一样的。

由（15）第二行前一方括号为零求得：

（19）

满足该条件时，

使得I（P）=0，显然式（19）是干涉极小值条件。

满足这个条件的这些Δφ值给出了干涉因子中的零极小值位置。

如果用m表示整数，则在Δφ属于[2mπ，2（m+1）π]这个周期内，共有（N-1）个值能满足（19）式：

Δφ=2（m+1/N）π，2（m+2/N）π，……，2[m+（N-1）/N]π（20）

代入Δφ的具体值，利用（11）有：

d（sini-sinθ）=（m+1/N）λ，（m+2/N）λ，……，[m+（N-1）/N]λ（21）

可见在两相邻主极大之间有N-1个零值，而两零值之间有一个次极大，因此两相邻主极大之间有N-2个次极大。

易见（14）中的衍射因子为零的方向由

β=nπ（n＝1，2，3……）

即：

a（sini-sinθ）＝nλ（n＝1，2，3……）（22）

如果（17）的极大值被衍射因子调制，与（22）的极小值重合时，极大值将消失，这和双缝衍射类似，也是缺级现象。

可见，在衍射光栅中也有缺级现象，其规律与双缝衍射相同。

四、光栅方程、光栅的色散与分辨本领

（一）光栅方程

由（17）式可知，决定光栅衍射主极大方向的公式为：

（m=1，2，3，……）（23）

我们称之为光栅方程。

它是使用光栅的基本方程式。

实际使用的光栅除了透射光栅外，还有反射光栅，光栅方程（23）都适用。

但是（23）是从图2的光路推导出来的，在图2的情况下，入射光和衍射光分别在光栅法线的两侧，所以（23）适用于入射光和衍射光分别在光栅法线的两侧的情况。

但是入射光和衍射光都在光栅法线的同侧，将如何呢？

首先我们看看当i不变化，即图2的入射光不变的情况，这时我们考虑一下对称于光栅法线的方向，此时衍射角θ为负值，（23）左边的-sinθ为正值，于是（23）变为：

（m=1，2，3，……）（24）

接下来我们看看衍射角θ不变，而i发生变化的情况，这时入射光如图3所示，假设缝数为奇数，采用2A1的坐标系，那么入射平面波到达光栅G左侧时的波函数则为：

于是

（10a'）

其中

。

以后的推导都相同，而得到的决定光栅衍射主极大方向的公式为：

d（-sini-sinθ）=±mλ（m=1，2，3，……）

即为：

d（sini+sinθ）=±mλ（m=1，2，3，……）（24'）

可见，入射光与衍射光处于法线同侧，光栅方程为（24）。

这段论述是针对透射式光栅而得到的结论，如果光栅是反射式的，那么入射光将图2的光栅G的右侧入射，针对入射方向、衍射方向的不同，讨论过程类似，而得到的结论相同。

因此光栅方程的普遍形式可写成：

d（sini±sinθ）=mλ（m=1，2，3，……）（25）

式中，（+）号表示衍射光和入射光在光栅法线的同一侧，（-）号表示它们各在法线一侧。

可以证明，在透射光栅中，光栅方程与光栅材料的折射率无关，普遍式（25）也同样适用。

（二）光栅光谱与色散

由光栅方程（25）可知，主极大的衍射角θ与波长λ有关。

对于给定常数d的光栅，当用多色光照明时，除零级外，不同波长的同一级主极大，均不重合即发生“色散”现象。

因此，在透镜的后焦面上将得到该多色光所有波长的各级亮线，这些亮线称为光栅光谱线。

图4表示了波长λl＝400nm和λ2＝500nm的两种光波的光谱线，可见两种波长的零级谱线重合，而其它级次的谱线彼此分开，分开的程度随级次增高而增大。

图4光栅光谱

通常用角色散或线色散表示不同波长谱线分开的程度。

波长相差1埃的两条谱线之间的角距离称为角色散。

可由光栅方程（25）对波长的微分求得：

（26）

线色散是焦平面上波长相差1埃的两条谱线之间的距离它可以表示为：

（27）

式中f为透镜的焦距。

色散是光谱仪的一个重要指标，光谱仪的色散愈大，就愈容易将两条靠近的谱线分开，由于实用光栅的常数d都很小，所以光栅具有很大的色散能力。

这一特性，使光栅成为一种优良的光谱仪器。

如果我们在θ角不大的地方观察光栅光谱，cosθ几乎不随θ而变化，所以色散差不多是一个常数，色散为常数的光谱称为匀排光谱。

测定这种光谱的波长时，可用线性内插法，这也是光栅光谱相对于棱镜光谱的优点之一。

图5表示了λl＝400nm，λ2＝500nm和λ3＝600nm的三种波长的谱线，可见第2级光谱与第3级光谱部分重迭。

由光栅方程可知，λ的第m+1级与λ+Δλ的第m级重迭在某一位置时，有

（m+1）λ＝m（λ+Δλ）

因此，

Δλ＝λ/m（28）

在满足式（28）的Δλ的光谱范围内，可以观察到互相分开（即不发生重迭）的谱线，Δλ称为自由光谱区。

图5光栅光谱的重级现象

（三）光栅的分辨本领

分辨本领是光谱仪器的另一个重要指标，它与光栅的色散有直接的关系。

在光谱仪中，分辨本领乃是指分辨两个很靠近的谱线的能力，又称为色分辨本领。

光栅有了很大的色散，还不保证有可能分辨两条靠近的光谱线λl和λ2。

色散决定了λl和λ2这两种波长的谱线之间的角距离或线距离，但光谱线并不是一条几何线，而是从极大到极小或快或慢逐渐过渡的干涉条纹。

随着光栅缝数N的增加，从极大到极小的过渡愈陡，即谱线愈细锐。

图6表示了两条谱线的外形，当它们靠近到一定程度，观察到的光强度将是λl和λ2所产生的光强度之和。

根据瑞利判据，如果一条谱线强度极大值与另一谱线的第一个极小值重合时，两条谱线刚好分辨。

谱线的锐度愈大，光栅的分辨本领也愈大。

图6光栅分辨极限

对于正入射的平面光来说，此时i=0，由式（17）或光栅方程可知，第m级主极大满足：

dsinθm=+mλ

或

sinθm=+mλ/d（29）

而与它靠近的第一个极小值应满足[见式（21）]：

dsinθ1=+mλ+λ/N

今θ1＝θm+Δθ，Δθ表示主亮纹的角宽度之半。

于是上式变为

sin（θm+Δθ）=（mN+1）λ/（Nd）（30）

（30）与（29）两式相减，并设cosΔθ=1和sinΔθ=Δθ，则得：

Δθ=λ/（Ndsinθm）（31）

按照瑞利判据，此角度所对应的波长差δλ，就是光栅能够分辨的最小波长差。

从光栅的角色散公式（26）可知，角度差为1单位的两谱线的波长差为：

因此，

δλ=（

）·Δθ

代入（31）式整理得：

δλ=

（32）

通常把波长λ与在该波长附近能被分辨的最小波长差δλ的比值作为分辨本领的量度，因此光栅分辨本领可表示为

（33）

可见，光栅的分辨本领等于光谱的级数m与光栅缝数N的乘积。

一般光栅中，使用的光谱级数为1到3级，而光栅缝数N是一个很大的数值，所以光栅可得到很高的分辨本领。

例如，每毫米有1200条缝的光栅，若宽度为60毫米则在由它产生的第一级光谱中，分辨本领为

A=mN=1×60×1200=72000

即对于λ=600nm的红光所能分辨的最靠近的两谱线的波长差为：

δλ=600nm/72000≈0.008nm

这样高的分辨本领对于棱镜来说是达不到的。

所以，在分辨本领方面，光栅也是优于棱镜的。

衍射光栅与法布里—珀罗干涉仪同属于高分辨本领的光谱仪器。

它们的区别是：

在法布里—珀罗干涉仪中，有效光束数目N并不大，它的高分辨本领是由于干涉级m极高所致。

现在由于光栅的刻制和复制技术的不断发展，使以光栅作为色散元件的光谱仪得到更为广泛的应用。

（注：

可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!

）