中考数学压轴题二doc.docx

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中考数学压轴题二doc

2019-2020年中考数学压轴题精选二

1、如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠A=60°，以点D为圆心的⊙D与边AB相切于点E．

（1）求证：

⊙D与边BC也相切；

（2）设⊙D与BD相交于点H，与边CD相交于点F，连接HF，求图中阴影部分的面积（结果保留π）；

（3）⊙D上一动点M从点F出发，按逆时针方向运动半周，当

S△HDF=S△MDF时，求动点M经过的弧长（结果保留π）．

思路点拨：

（1）过D作DQ⊥BC于Q，连接DE，根据切线性质得出⊥AB，根据菱形性质求出BD

平分∠ABC，根据角平分线性质得出DE=DQ，根据切线判定推出即可；

（2）根据菱形性质和等边三角形判定得出等边三角形ADB，求出DE值，即可得出圆

的半径长，得出等边三角形DCB和等边三角形DHF，求出△DFH的高FN，求出△DFH

的面积和扇形FDH的面积，相减即可得出答案；

（3）根据△FDH的面积和已知求出△MDF边DF上的高MZ，求出∠MDF，同理得出另一点M′也符合，且圆心角是150°，根据弧长公式求出即可．

（1）证明：

满分解答：

过D作DQ⊥BC于Q，连接DE，

∵⊙D切AB于E，

∴DE⊥AB，

∵四边形ABCD是菱形，

∴BD平分∠ABC，

∴DE=DQ（角平分线性质），

∵DQ⊥BC，

∴⊙D与边BC也相切；

（2）解：

过F作FN⊥DH于N，∵四边形ABCD是菱形，

∴AD=AB=2，

∵∠A=60°，

∴△ABD是等边三角形，

∴∠DBA=60°，DC∥AB，AD=BD=AB=2

∵DE⊥AB，

∴AE=BE=，

由勾股定理得：

DE=3=DH=DF，

∵四边形ABCD是菱形，∴∠C=∠A=60°，DC=BC，

∴△DCB是等边三角形，

∴∠CDB=60°，

∵DF=DH，

∴△DFH是等边三角形，

∵FN⊥DH，∴DN=NH=，

由勾股定理得：

FN=，

∴S阴影=S扇形FDH﹣S△FDH=﹣×3×=π﹣；

（3）解：

过M作MZ⊥DF于Z，

∵由

（2）知：

S△HDF=×3×=，DF=3，

又∵S△HDF=S△DFM，

∴=××3×MZ，

∴MZ=，

在Rt△DMZ中，sin∠MDZ==，

∴∠MDZ=30°，

同理还有另一点M′也符合，此时MM′∥CD，∠M′DC=180°﹣30°=150°，

∴弧

MC的长是

=π；

弧CM′的长是

=π；

答：

动点

M经过的弧长是

π或π．

本题考查的知识点是三角形的面积，等边三角形的性质和判定，勾股定理，菱形的性

点评：

质，扇形的面积，锐角三角函数的定义，弧长公式等，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，难度偏大．

2、如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（－1,0）、B（3,0）、C（0,3）三点，直线l是抛物线的对称轴．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；

（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

图1

思路点拨

1．第

（2）题是典型的“牛喝水”问题，点P在线段BC上时△PAC的周长最小．

2．第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性．

满分解答

（1）因为抛物线与x轴交于A（－1,0）、B（3,

0）两点，设y＝a（x＋1）（x－3），

代入点C（0,3）

，得－3a＝3．解得a＝－1．

所以抛物线的函数关系式是

y＝－（x＋1）（x－3）＝－x2＋2x＋

3．

（2）如图2，抛物线的对称轴是直线

x＝1．

当点P落在线段BC上时，PA＋PC最小，△PAC的周长最小．

设抛物线的对称轴与x轴的交点为H．

由BH

PH，BO＝CO，得PH＝BH＝2．

BO

CO

所以点P的坐标为（1,2）

．

图2

（3）点

的坐标为（1,1）

、（1,

6

）、（1,

6

）或（1,0）．

M

考点伸展

第（3）题的解题过程是这样的：

设点M的坐标为（1,m）．

22222

在△MAC中，AC＝10，MC＝1＋（m－3），MA＝4＋m．

①如图

2

2

2

2

，得m＝1．

3，当MA＝MC时，MA＝MC．解方程4＋m＝1＋（m－3）

此时点

的坐标为（1,1）．

M

②如图

2

2

2

6．

4，当AM＝AC时，AM＝AC．解方程4＋m＝10，得m

此时点M的坐标为（1,6）或（1,

6）．

③如图

2

2

2

5，当CM＝CA时，CM＝CA．解方程1＋（m－3）

＝10，得m＝0或6．

当M（1,

6）时，M、A、C三点共线，所以此时符合条件的点

M的坐标为（1,0）．

图3图4图5

3、如图1，已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数y4x的图象交于点A，且与x轴交于

3

点B．

（1）求点A和点B的坐标；

（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l//y轴．动

点P从点O出发，以每秒

1个单位长的速度，沿

O—C—A的

路线向点

A运动；同时直线

l从点B出发，以相同速度向左

平移，在平移过程中，直线

l交x轴于点R，交线段BA或线

段

于点

．当点

P

到达点

A

时，点

P

和直线

l

都停止运

AO

Q

动．在运动过程中，设动点

P运动的时间为t秒．

①当

t

为何值时，以

、、为顶点的三角形的面积为

8？

APR

②是否存在以

A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？

图1

若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

思路点拨

1．把图1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题．

2．求△APR的面积等于

8，按照点P的位置分两种情况讨论．事实上，

P在CA上运动

时，高是定值4，最大面积为

6，因此不存在面积为8的可能．

3．讨论等腰三角形

，按照点

P

的位置分两种情况讨论，点

P

的每一种位置又要讨

APQ

论三种情况．

满分解答

（1）解方程组

y

x

7,

x

3,所以点A的坐标是（3，4）．

4

得

y

y

4.

x,

3

令yx7

0，得x

7．所以点B的坐标是（7，0）．

（2）①如图2，当P在OC上运动时，0≤t＜4．由S△APR

S梯形CORAS△ACPS△POR

8，

1

1

1

8．整理，得t

2

8t120．解得t＝2或t＝6

得（3+7t）4

4（4t）

t（7t）

2

2

2

（舍去）．如图

3，当P在CA上运动时，△APR的最大面积为

6．

因此，当t

＝2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为

8．

图2

图3

图4

②我们先讨论P在OC上运动时的情形，

0≤t＜4．

如图1，在△

中，∠＝45°，∠

＞45°，

＝7，

AB

42

，所以

＞

．因

AOB

B

AOB

OB

OBAB

此∠OAB＞∠AOB＞∠B．

如图4，点P由O向C运动的过程中，OP＝BR＝RQ，所以PQ//

x轴．

此时点A在PQ的垂直平分线上，

OR＝2CA＝6．所以BR＝1，t＝1．

我们再来讨论

P在CA上运动时的情形，

4≤t＜7．

在△APQ中，cosA

3为定值，AP

7

t，AQ

OA

OQ

OA5OR

5t

20．

5

3

3

3

如图5，当AP＝AQ时，解方程7

t

5

t

20，得t

41．

3

3

8

如图

6，当

QP＝QA时，点Q在PA的垂直平分线上，

AP＝2（OR－OP）．解方程

7

t2[（7t）

（t4），得]

t5．

1

AQ

如7，当PA＝PQ时，那么

cos

A

2

．因此

AQ

2APcos

．解方程

AP

A

5t

20

2（7t）

3，得t

226．

3

3

5

43

综上所述，

t

＝1或41

或5或226时，△

是等腰三角形．

8

43

APQ

图5图6图7

考点伸展

当P在CA上，QP＝QA时，也可以用AP2AQcosA来求解．

3、如图1，抛物线y

1x2

3x4

与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），与

4

2

y

轴交于点

，连结

，以

为一边，点

为对称中心作菱形

，点

P

是

x

轴上的一个

C

BC

BC

O

BDEC

动点，设点

P的坐标为（m,

0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．

（1）求点A、B、C的坐标；

（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N．试探究m为何值时，

四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由；

（3）当点

P

在线段

上运动时，是否存在点

，使△

为直角三角形，若存在，请

EB

Q

BDQ

直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

图1

思路点拨

1．第

（2）题先用含m的式子表示线段MQ的长，再根据MQ＝DC列方程．

2．第

（2）题要判断四边形CQBM的形状，最直接的方法就是根据求得的m的值画一个

准确的示意图，先得到结论．

3．第（3）题△BDQ为直角三角形要分两种情况求解，一般过直角顶点作坐标轴的垂线

可以构造相似三角形．

满分解答

（1）由y

1x2

3x

4

1（x2）（x

8）

，得A（－2,0）

，B（8,0）

，C（0,－4）．

4

2

4

（2）直线DB的解析式为y

1

．

x4

2

由点P的坐标为（m,0）

，可得M（m,

1

m

4），Q（m,

1

m23

m

4）．

2

4

2

所以MQ＝（

1m4）（1m23m4）

1m2

m8．

2

4

2

4

当MQ＝DC＝8时，四边形CQMD是平行四边形．

解方程

1

m2

m

8

8，得m＝4，或m＝0（舍去）．

4

此时点P是OB的中点，N是BC的中点，N（4,－2）

，Q（4,

－6）．

所以

＝

＝4．所以

与

互相平分．

MNNQ

BC

MQ

所以四边形CQBM是平行四边形．

图2

图3

（3）存在两个符合题意的点

Q，分别是（－2,0）

，（6,－4）．

考点伸展

第（3）题可以这样解：

设点

Q的坐标为（x,

1

8））．

（x2）（x

4

QG

BH

1．所以

1（x2）（x

8）

1．

①如图3，当∠DBQ＝90°时，

4

GB

HD

2

8x

2

解得x＝6．此时Q（6,－4）．

QG

DH

4

1（x2）（x

8）

②如图4，当∠

＝90°时，

2

．所以

4

2

．

BDQ

GD

HB

x

解得x＝－2．此时Q（－2,0）．

图3图4

4、为表彰在“缔造完美教室”活动中表现积极的同学，老师决定购买文具盒与钢笔作为奖品．已知5个文具盒、2支钢笔共需100元；4个文具盒、7支钢笔共需161元．

（1）每个文具盒、每支钢笔各多少元？

（2）时逢“五一”，商店举行优惠促销活动，具体办法如下：

文具盒九折，钢笔10支以上

超出部分八折．设买x个文具盒需要y1元，买x支钢笔需要y2元，求y1、y2关于

关系式；

（3）若购买同一种奖品，并且该奖品的数量超过10件，请分析买哪种奖品省钱．

x

的函数

考点：

一次函数的应用；二元一次方程组的应用。

专题：

优选方案问题。

分析：

（1）设每个文具盒x元、每支钢笔y元，然后根据花费

100元与

161元分别列出方

程组成方程组，解二元一次方程组即可；

（2）根据促销方法对文具盒列出函数关系式，对钢笔分x≤10与x＞10两种情况列出函数关系式；

（3）求出买两种奖品花钱相同时的件数，然后根据一次函数的性质讨论求解．解答：

解：

（1）设每个文具盒x元、每支钢笔y元，

根据题意得，，

解得，

故，每个文具盒、每支钢笔各

14元，15元；

（2）根据题意，y1=0.9×14x=12.6x，当x≤10时，y2=15x，

当x＞10时，y2=15×10+（x﹣10）×15×0.8=150+12x﹣120=12x+30；

（3）当买两种奖品花钱相同时，12.6x=12x+30，

解得x=50，

所以，①当所买奖品小于50件时，买文具盒更节省，

②当所买奖品等于50件时，买文具盒与钢笔都一样，

③当所买奖品大于50件时，买钢笔更节省．

点评：

本题考查的是用一次函数解决实际问题，二元一次方程组的应用，本题根据题意列出二元一次方程组求出文具盒与钢笔的单价是解题的关键．

5、如图1，直线

4

4和

x

x

y

BC

A

-2

0

y

轴、

轴的交点分别为

的坐标是（

3

、，点

，）．

（1）试说明△ABC是等腰三角形；

（2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，

运动的速度均为每秒

1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设

M

运动t秒时，△MON的面积为S．

①求S与t的函数关系式；

②设点在线段

上运动时，是否存在

＝4的情形？

若存在，求出对应的

t

值；若

M

OB

S

不存在请说明理由；

③在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值．

图1

思路点拨

1．第

（1）题说明△ABC是等腰三角形，暗示了两个动点M、N同时出发，同时到达终

点．

2．不论M在AO上还是在OB上，用含有t的式子表示OM边上的高都是相同的，用含有t的式子表示OM要分类讨论．

3．将S＝4代入对应的函数解析式，解关于t的方程．

4．分类讨论△MON为直角三角形，不存在∠ONM＝90°的可能．

满分解答

（1）直线y4x4与x轴的交点为B（3，0）、与y轴的交点C（0，4）．

3

Rt△BOC中，OB＝3，OC＝4，所以BC＝5．

点A的坐标是（-2，0），所以BA＝5．因此BC＝BA，所以△ABC是等腰三角形．

（2）①如图2，图3，过点N作NH⊥AB，垂足为H．

在Rt△BNH中，BN＝t，sinB

4

，所以NH

4t．

5

5

如图2，当M在AO上时，OM＝2－t，此时

S

1

OMNH

1

（2t）

4

t

2

t2

4

t．定义域为0＜t≤2．

2

2

5

5

5

如图3，当M在OB上时，OM＝t－2，此时

S

1

OMNH

1

（t2）

4t

2t2

4t．定义域为2＜t≤5．

2

2

5

5

5

图2

图3

②把＝4代入

S

2

2

4

t，得

2

t

2

4

S

t

5

5

t4．

5

5

解得t1

2

11，t2

2

11（舍去负值）．

因此，当点M在线段OB上运动时，存在

S＝4的情形，此时t

2

11．

③如图4，当∠OMN＝90°时，在Rt△BNM中，BN＝t，BM5

t

，cosB

3

，

所以5t

3

25

5

．解得t

．

t

5

8

如图5，当∠OMN＝90°时，N与C重合，t5．

不存在∠ONM＝90°的可能．

所以，当t

25

5时，△MON为直角三角形．

或者t

8

图4图5

考点伸展

在本题情景下，如果△MON的边与AC平行，求t的值．

如图6，当ON//AC时，t＝3；如图7，当MN//AC时，t＝2.5．

图6图7

6、如图1，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A（0,1）、B（4,3）两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求tan∠ABO的值；

（3）过点

B

作

⊥

轴，垂足为

，在对称轴的左侧且平行于

y

轴的直线交线段

AB

于

BCx

C

点N，交抛物线于点

M，若四边形

MNCB为平行四边形，求点

M的坐标．

图1

思路点拨

1．第

（2）题求∠ABO的正切值，要构造包含锐角∠ABO的角直角三角形．

2．第（3