中考数学复习 三角形 课时训练十九等腰三角形.docx
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中考数学复习三角形课时训练十九等腰三角形
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课时训练（十九） 等腰三角形
（限时:
40分钟）
|夯实基础|
1.若等腰三角形的顶角为40°,则它的底角度数为（ ）
A.40°B.50°C.60°D.70°
2.如图K19-1,已知等腰三角形ABC,AB=AC,若以点B为圆心,BC长为半径画弧,交腰AC于点E,则下列结论一定正确的是（ ）
图K19-1
A.AE=ECB.AE=BE
C.∠EBC=∠BACD.∠EBC=∠ABE
3.[2017·昌平二模]如图K19-2,△ABC中,∠ACB=90°,∠B=55°,点D是斜边AB的中点,那么∠ACD的度数为（ ）
图K19-2
A.15°B.25°C.35°D.45°
4.如图K19-3,AB∥CD,AC的垂直平分线交CD于点F,交AC于点E,连接AF.若∠BAF=80°,则∠CAF的度数为（ ）
图K19-3
A.40°B.50°C.60°D.80°
5.在等腰三角形ABC中,AB=AC,其周长为20cm,则AB边长的取值范围是（ ）
A.1cmB.5cmC.4cmD.4cm6.[2017·门头沟二模]如图K19-4,在△ABC中,点D是BC边上一点且CD=CA,过点A作MN∥BC,∠CAN=48°,∠B=41°,则∠BAD=（ ）
图K19-4
A.23°B.24°C.25°D.26°
7.[2018·凉山州]如图K19-5,在△ABC中,按以下步骤作图:
①分别以A,B为圆心,大于
AB长为半径作弧,两弧相交于M,N两点;②作直线MN交BC于D,连接AD.若AD=AC,∠B=25°,则∠C=（ ）
图K19-5
A.70°B.60°C.50°D.40°
8.[2018·师达中学月考]已知△ABC是等边三角形,边长为4,则BC边上的高是（ ）
A.4B.2
C.2D.
9.等腰三角形的一个内角为100°,则顶角的度数是 .
10.等腰三角形的周长为16,其一边长为6,则另两边长为 .
11.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°,则该等腰三角形的底角的度数为 .
12.[2018·房山一模]一个正方形和两个等边三角形的位置如图K19-6所示,则∠1+∠2+∠3的度数为 .
图K19-6
13.在边长为4的等边三角形ABC中,D为BC边上的任意一点,过点D分别作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,则DE+DF= .
14.[2018·义乌]等腰三角形ABC中,顶角∠A为40°,点P在以A为圆心,BC长为半径的圆上,且BP=BA,则∠PBC的度数为 .
15.[2018·丰台一模]如图K19-7,在△ABC中,AB=AC,D是BC边的中点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.
求证:
DE=DF.
图K19-7
16.[2018·通州一模]已知:
如图K19-8,在△ABC中,∠B=45°,点D是BC边的中点,DE⊥BC于点D,交AB于点E,连接CE.
（1）求∠AEC的度数;
（2）请你判断AE,BE,AC三条线段之间的等量关系,并证明你的结论.
图K19-8
|拓展提升|
17.[2018·延庆期末]如图K19-9,等边三角形ABC的边长为6,AD是BC边的中线,点E是AC边的中点.如果点P是AD上的动点,那么EP+CP的最小值为 .
图K19-9
18.[2018·东城二模]如图K19-10所示,点P位于等边三角形ABC的内部,且∠ACP=∠CBP.
图K19-10
（1）∠BPC的度数为 °;
（2）延长BP至点D,使得PD=PC,连接AD,CD.
①依题意补全图形;
②证明:
AD+CD=BD;
（3）在
（2）的条件下,若BD的长为2,求四边形ABCD的面积.
参考答案
1.D
2.C [解析]∵△ABC是等腰三角形,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.又∵BC=BE,∴∠ACB=∠BEC,∴∠BAC=∠EBC,因此选C.
3.C 4.B
5.B [解析]∵在等腰三角形ABC中,AB=AC,其周长为20cm,∴设AB=AC=xcm,则BC=（20-2x）cm,
∴
解得56.C 7.C 8.B
9.100° [解析]根据三角形的内角和等于180°,又等腰三角形的一个内角为100°,所以这个100°的内角只能是顶角,故填100°.
10.5,5或6,4
11.63°或27° [解析]在三角形ABC中,设AB=AC,BD⊥AC于点D.
①如图①,若三角形是锐角三角形,∠A=90°-36°=54°,
此时底角=（180°-54°）÷2=63°;
②如图②,若三角形是钝角三角形,∠BAC=36°+90°=126°,
此时底角=（180°-126°）÷2=27°.
所以等腰三角形底角的度数是63°或27°.
12.150°
13.2
[解析]如图,过点C作CG⊥AB,垂足为G,连接AD,则AG=BG=2.
∴CG=
=
=2
.
∵S△ABD+S△ACD=S△ABC,
∴
AB×DE+
AC×DF=
AB×CG.
∴
×4×DE+
×4×DF=
×4×CG.
∴DE+DF=CG=2
.
14.30°或110° [解析]根据题意作出图形（如图）,当点P在AB右侧时,连接AP.
∵AB=AC,∠BAC=40°,∴∠ABC=∠C=70°,
∵AB=AB,AC=PB,BC=PA,
∴△ABC≌△BAP,∴∠ABP=∠BAC=40°,
∴∠PBC=∠ABC-∠ABP=30°.
当点P'在AB左侧时,同理可得∠ABP'=40°,
∴∠P'BC=40°+70°=110°.
故答案为30°或110°.
15.证明:
连接AD.
∵AB=AC,D是BC边上的中点,
∴∠BAD=∠CAD.
∵DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,
∴DE=DF.
16.解:
（1）∵点D是BC边的中点,DE⊥BC,
∴DE是BC的垂直平分线.
∴EB=EC.∴∠B=∠BCE.∵∠B=45°,
∴∠AEC=90°.
（2）AE2+BE2=AC2.
证明:
∵∠AEC=90°,
∴△AEC是直角三角形.
∴由勾股定理,得AE2+EC2=AC2.
∵ED垂直平分BC,∴EB=EC.
∴AE2+BE2=AC2.
17.3
18.解:
（1）120
（2）①如图所示.
②证明:
在等边三角形ABC中,∠ACB=60°,
∴∠ACP+∠BCP=60°.
∵∠ACP=∠CBP,
∴∠CBP+∠BCP=60°.
∴∠BPC=180°-（∠CBP+∠BCP）=120°.
∴∠CPD=180°-∠BPC=60°.
∵PD=PC,
∴△CDP为等边三角形.
∵∠ACD+∠ACP=∠ACP+∠BCP=60°,
∴∠ACD=∠BCP.
在△ACD和△BCP中,
∴△ACD≌△BCP（SAS）.
∴AD=BP.
∴AD+CD=BP+PD=BD.
（3）如图,作BM⊥AD于点M,BN⊥DC交DC的延长线于点N.
∵∠ADB=∠ADC-∠PDC=60°,
∴∠ADB=∠CDB=60°.
∴BM=BN=
BD=
.
又由
（2）得AD+CD=BD=2,
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD
=
AD·BM+
CD·BN
=
（AD+CD）
=
×2
=
.
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