A．B．
C．D．
【难度】★★
【答案】C
【解析】线段的黄金分割点有两个，是对称的，其中三条线段之间存在一个黄金比例关系，，即,即．
【总结】考查线段的黄金分割．
【练习15】如图，在中，高BD、CE交于点O，下列结论错误的是（）
A．B．
C．D．
【难度】★★
【答案】D
【解析】基本图形“双垂型”，图中有4个三角形两两相似，
都可以用“AA”来判定，，对应边成比例换成等积式，其中D选项比例关系不对．
【总结】考查相似模型之“双垂型”．
【练习16】如图，AD是的中线，，把沿AD对折，点C落在的位置，则的值为（）
A．B．C．D．1
【难度】★★
【答案】C
【解析】联结,因为翻折，所以，设交点为O，因为∠ADC＝45°，所以∠OCD＝45°，又因为根据三角形内角和可以证明，所以为等腰直角三角形，即．
【总结】考查翻折的性质及等腰直角三角形的性质．
【练习17】把平面上所有单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形
是（）
A．一条线段B．一个圆面
C．圆上的一群孤点D．一个圆
【难度】★★
【答案】D
【解析】单位向量的长度是一样的，方向是任意的，将同一平面内的单位向量的起点归为同一点，它们的终点汇聚成了一个单位圆，到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆．
【总结】考查单位向量的性质及圆的定义．
【练习18】下面几个命题中，真命题的个数是（）
（1）若，则；
（2）两个向量、相等，则，//；
（3）若，则四边形ABCD是平行四边形；
（4）若四边形ABCD是平行四边形，则；
（5）若，，则；
（6）若//，//，则//．
A．4个B．3个C．2个D．1个
【难度】★★
【答案】B
【解析】长度相等的向量，方向不一定相同，所以
（1）不正确；若，则四边形ABCD是平行四边形，这句话也是有漏洞的，当A、B、C、D四点共线时，构不成平行四边形，不过它的逆命题是正确的；其它选项都是正确的．
【总结】考查平面向量的有关概念与性质．
【练习19】在四边形ABCD中，，，，其中、
不平行，则四边形ABCD为（）
A．平行四边形B．矩形C．梯形D．菱形
【难度】★★★
【答案】C
【解析】∵，，，∴
又∵，∴,∴,∵所以四边形ABCD是梯形．
【总结】考查特殊四边形的判定定理及平面向量的线性运算．
【练习20】如图，在中内有边长分别为a，b，c的三个正方形，则a，b，c满足
的关系式是（）
A．B．
C．D．
【难度】★★★
【答案】A
【解析】如图，可以证得，∴,
因为三个正方形的边长分别为a，b，c，
所以即，整理得．
【总结】综合考查相似三角形的判定和性质运用．
【练习21】A、B两地的实际距离是200千米，地图上的比例尺为1:
1000000，则A、B
两地在地图上的距离是______厘米．
【难度】★
【答案】20厘米．
【解析】厘米和千米的进率为：
，设图上距离为厘米，由题意，得，解得．
【总结】考查比例尺的运用．
【练习22】2、3、5再配上一个比它们都大的数组成比例式，这个数是______．
【难度】★
【答案】．
【解析】设这个数为，若其它三个比例项分别为，且，要使最大，则取最大值，取最小值，所以，若的取值没有要求，这样的（与2、3、5组成比例式）有三个．
【总结】考查比例的基本性质．
【练习23】若x:
y:
z=2:
7:
5，且x-2y+3z=6，则x=____，y=____，z=____．
【难度】★
【答案】．
【解析】∵设则
解得∴．
【总结】考查学生对设“”法的理解应用．
【练习24】已知线段a=8厘米，b=9厘米，则线段a和b的比例中项是______．
【难度】★
【答案】．
【解析】的比例中项，当为线段长时，取正值．
【总结】考查比例中项的定义．
【练习25】如图，已知，AC=4，AP=2，则AB=______．
【难度】★
【答案】AB＝8．
【解析】∵，且，∴
则,∵，∴．
【总结】考查相似三角形的判定与性质．
【练习26】如图，小智在打网球时，击球点距离球网的距离是8米，已知网高是0．8米，
要使球恰好能打过网，且落在离网4米的位置，则球拍击球的高度h为______米．
【难度】★
【答案】2.4米．
【解析】根据平行线分线段成比例，得，
解得．
【总结】考查平行线分线段成比例的应用，也可以用相似三角形的性质求解．
【练习27】如图，AB是斜靠在墙角的长梯，梯脚B距墙80厘米，梯上点D距墙70厘米，
BD长55厘米，则梯子长为______．
【难度】★
【答案】440厘米．
【解析】设根据平行线分线段成比例，得
即，解得，所以梯子的长为440厘米．
【总结】考查平行线分线段成比例的应用．
【练习28】若两个相似三角形的面积比为2:
9，则这两个三角形的对应中线的比是
______．
【难度】★
【答案】．
【解析】．
【总结】考查相似三角形的性质：
面积比是相似比的平方比，相似比也是对应中线之比．
【练习29】在边长为1的正方形ABCD中，设，，，则
______；______；______．
【难度】★
【答案】．
【解析】
（1）,因为正方形边长为1，所以，
即；
（2）,即；
（3），即．
【总结】考查平面向量的线性运算．
【练习30】计算：
______．
【难度】★
【答案】．
【解析】．
【总结】考查实数与向量相乘及平面向量的加减运算．
【练习31】若，则=______．
【难度】★★
【答案】．
【解析】设，解得，所以．
【总结】考查设“”法的理解应用．
【练习32】点P是线段AB的黄金分割点，且AP=2，则AB=______．
【难度】★★
【答案】．
【解析】
（1）当为较长的线段时，，解得；
（2）当为较短的线段时，,解得，．
【总结】考查线段的黄金分割，等量关系，一条线段的黄金分割点有两个，需要学生具有分类讨论的思想．
【练习33】过直角三角形的斜边上一点画直线，使直线与另一边相交，且截得的三角形与
原三角形相似，那么最多可画______条这样的直线；过直角三角形的直角边上一点画直线，使直线与另一边相交，且截得的三角形与原三角形相似，那么最多可画______条这样的直线．
【难度】★★
【答案】3条；4条．
【解析】当这个点在直角边上时，可以画4条这样的直线使得截得的三角形与原三角形相似；当这个点在斜边上时，可以画3条（有2条重合在一起）这样的直线使得截得的三角形与原三角形相似，如图所示．
【总结】考查相似基本图形，结论是“直4斜3”．
【练习34】如图，AD=DE=EC，且AB//DF//EH，AH交DF于K，则______．
【难度】★★
【答案】．
【解析】∵，∴
∵∴,
∵,
∴,
设，则，
∴．
【总结】考查平行线分线段成比例的性质运用．
【练习35】在等边三角形ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且DE//BC，如果BC=8
厘米，AD:
AB=1:
4，那么的周长为_________．
【难度】★★
【答案】6厘米．
【解析】∵,∴，
∵，∴,
因为，所以，．
【总结】考查相似三角形的性质运用．
【练习36】如果直角三角形的斜边长为18，那么这个直角三角形的重心到直角顶点的距
离为______．
【难度】★★
【答案】6．
【解析】直角三角形的斜边长为18，则斜边上的中线为9，根据三角形重心的性质，重心到
直角顶点的距离是斜边中线的．
【总结】考查直角三角形重心的性质运用．
【练习37】如图，在平行四边形ABCD中，，，则向量为______．（结
果用和表示）
【难度】★★
【答案】．
【解析】∵平行四边形对角线互相平分，∴，
∵，∴．
【总结】考查平面向量的线性分解及运算，结合平行四边形的性质．
【练习38】如图，将①；②；③；
④；⑤；⑥中的一个作为条件，另一个作为结论，组
成一个真命题，则条件是______，结论是______．（只填序号）
【难度】★★
【答案】答案不唯一，比如条件是①，结论是③．
【解析】这是一个典型的相似基本图形“母子型”，其中可以作为条件的选择不唯一，结论自然也不一，情况如下：
（1）当条件为①时，结论可以是②③④⑤；
（2）当条件为②时，结论可以是①③④⑤；（3）当条件为③时，结论可以是①②④⑤．
【总结】考查相似三角形的判定和性质运用以及对基本图形“母子型”的理解运用．
【练习39】如图，正方形ABCD内接于等腰，，则PA:
AQ=________．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】∵，∴，
∵正方形，∴,
∴，∵，∴,
即．
【总结】考查平行线分线段成比例联系等腰直角三角形和正方形的性质运用．
【练习40】已知，正方形ABCD的边长为2，E为BC边的延长线上一点，CE=2，联结
AE，与CD交于点F，联结BF并延长与线段DE交于点G，则BG的长为______．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】延长相交于点，
∵正方形，∴，
∵，
∴，∴，
∵∴，∴，
∵∴,
∴，
∵，∴
∴．
【总结】本题考点包括平行线分线段成比例、直角三角形的性质、正方形的性质，考查学生综合运用知识的能力．
【练习41】已知，，，求的值．
【难度】★★
【答案】．
【解析】∵∴，又∵，
∴．
【总结】考查等比性质的运用．
【练习42】已知，求x的值．
【难度】★★
【答案】．
【解析】
（1）当时，∴；
（2）当时，，根据等比性质，
；
综上，．
【总结】考查等比性质的运用，需要学生理解等比性质成立的条件，以及有分类的思想．
【练习43】如图，已知点D在的边AB上，且，．求的值．
【难度】★★
【答案】．
【解析】∵,∴
∵∴，∴．
【总结】考查相似三角形的判定与性质，需要理解相似三角形的相似比与面积比的关系．
【练习44】如图，已知点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上，，BE=3cm，
AB=6cm，矩形ABCD的周长为28cm，求CF的长．
【难度】★★
【答案】．
【解析】∵矩形，，∴，
∵,，可证,
∴，∵
∴．
【总结】本题在矩形背景下考查“一线三直角”模型．
【练习45】如图，已知中，AB=AC，CD是边AB上的高，且CD=2，AD=1，四
边形BDEF是正方形．和相似吗？
试证明你的结论．
【难度】★★
【答案】，证明略．
【解析】
∴
∴，即，
又∵，∴．
【总结】本题结合直角三角形的性质考查相似三角形的判定，同时需要学生扎实的运算功底．
【练习46】如图，D、E、F分别是的边BC、AB、AC的中点，AD与EF相交于点
O，线段CO的延长线交AB于点P．求证：
AB=3AP．
【难度】★★
【答案】证明略．
【解析】∵，∴，
∴，∵D是BC的中点，∴
∵，∴，设则
∴，，∴，即．
【总结】考查平行线分线段成比例的综合运用．
【练习47】如图，在中，，点D为AB的中点，，垂足为
点F，BE交AC于点E，CE=1cm，AE=3cm．
（1）求证：
∽；
（2）求斜边AB的长．
【难度】★★
【答案】
（1）证明略；
（2）．
【解析】
（1）∵∴，∴,
∵,∴∵∴
∴,∵,∴；
（2）∵，∴,∵∴，
∵∴．
【总结】考查相似三角形的判定和性质的综合运用．
【练习48】射影定理的内容是：
直角三角形中，斜边上的高线是两条直角边在斜边
上的射影的比例中项；且每一条直角边都是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．
请选择合适的方法证明这个定理中的任意一个结论．
【难度】★★★
【答案】略
【解析】已知如图，在
射影定理的结论可表示为：
．
选取其中的第1条进行证明如下：
∵∴
∵，∴，∴，
∵，∴，
∴，即；
其余两条结论证明方法同理，都是由三角形相似，对应线段成比例换为等积式即可．
【总结】考查学生对射影定理的理解，及其对射影定理证明方法的掌握．
【练习49】如图，在中，P是边BC上的一个动点，PQ//AC，PQ与边AB相交于
点Q，AB=AC=10，BC=16，BP=x，的面积为y．
（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（2）试探索，与能否相似？
如果能相似，请求出x的值；如果不能相似，请说明理由．
【难度】★★★
【答案】
（1）．
（2）能相似，．
【解析】
（1）设，作，∵，
∴，∵，∴，则；
∵∴，∴，∴，
∵，又，∴；
（2）能相似，假设，
∵,∴，，
∴对应关系为，
∵，∴,过点Q作则，
∵∴，则，
∵，∴，即，
∴，解得，
在定义域范围内，综上所述，存在，此时的值为．
【总结】本题综合考查相似三角形的性质与判定，以及相似三角形的讨论．
【练习50】和是两个等腰直角三角形，，的顶点E位
于边BC的中点上．
（1）如图1，设DE交AB于点M，EF交AC于点N，求证：
∽；
（2）如图2，将绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，除
（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形？
并证明你的结论．
【难度】★★★
【答案】
（1）证明略；
（2）,证明略．
【解析】
（1）∵，∴，
∵,，∴，
∴；
（2），理由如下：
∵
∴
∵
∴
即
∵
∴．
【总结】本题主要考查相似基本图形“一线三等角模型”的应用．
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