数学导航届高考数学大一轮复习 第三章 三角函数解三角形同步练习 文.docx
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数学导航届高考数学大一轮复习第三章三角函数解三角形同步练习文
【数学导航】2016届高考数学大一轮复习第三章三角函数、解三角形同步练习文
第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数
1．了解任意角的概念．
2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化．
3．理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.
1．角的概念的推广
（1）定义：
角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
（2）分类
（3）终边相同的角：
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度制的定义和公式
（1）定义：
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．弧度记作rad.
（2）公式：
角α的弧度数公式
|α|＝（弧长用l表示）
角度与弧度的换算
①1°＝rad ②1rad＝°
弧长公式
弧长l＝|α|r
扇形面积公式
S＝lr＝|α|r2
3.任意角的三角函数
三角函数
正弦
余弦
正切
定义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么
y叫做α的正弦，记作sinα
x叫做α的余弦，记作cosα
叫做α的正切，记作tanα
各象限符号
Ⅰ
＋
＋
＋
Ⅱ
＋
－
－
Ⅲ
－
－
＋
Ⅳ
－
＋
－
口诀
Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦
三角函
数线
有向线段
MP为正弦线
有向线段
OM为余弦线
有向线段
AT为正切线
1．三角函数值的符号规律
三角函数值在各象限的符号规律概括为：
一全正、二正弦、三正切、四余弦．
2．三角函数的定义及单位圆的应用技巧
（1）在利用三角函数定义时，点P可取终边上异于原点的任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点，|OP|＝r一定是正值．
（2）在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．
1．判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）
（1）小于90°的角是锐角．（ ）
（2）锐角是第一象限角，反之亦然．（ ）
（3）三角形的内角必是第一、第二象限角．（ ）
（4）不相等的角终边一定不相同．（ ）
（5）终边相同的角的同一三角函数值相等．（ ）
（6）点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α终边在第二象限．（ ）
（7）α∈，则tanα>α>sinα.（ ）
（8）α为第一象限角，则sinα＋cosα>1.（ ）
答案：
（1）×
（2）× （3）× （4）× （5）√ （6）√ （7）√ （8）√
2．如图，在直角坐标系xOy中，射线OP交单位圆O于点P，若∠AOP＝θ，则点P的坐标是（ ）
A．（cosθ，sinθ）
B．（－cosθ，sinθ）
C．（sinθ，cosθ）
D．（－sinθ，cosθ）
解析：
由三角函数的定义可知，点P的坐标是（cosθ，sinθ）．
答案：
A
3．若sinα＜0且tanα＞0，则α是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：
由sinα＜0，知α在第三、第四象限或α终边在y轴的负半轴上，由tanα＞0，知α在第一或第三象限，因此α在第三象限．
答案：
C
4．若点P在角的终边上，且P的坐标为（－1，y），则y等于________．
解析：
因tan＝－＝－y，∴y＝.
答案：
5．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是________（填序号）．
①2kπ＋45°（k∈Z）；②k·360°＋（k∈Z）；③k·360°－315°（k∈Z）；④kπ＋（k∈Z）．
解析：
∵＝×180°＝360°＋45°＝720°－315°，
∴与终边相同的角可表示为k·360°－315°（k∈Z）．
答案：
③
象限角及终边相同的角
1．若α＝k·180°＋45°（k∈Z），则α在（ ）
A．第一或第三象限 B．第一或第二象限
C．第二或第四象限 D．第三或第四象限
解析：
当k＝2n（n∈Z）时，α＝2n·180°＋45°＝n·360°＋45°，α为第一象限角．
当k＝2n＋1（n∈Z）时，α＝（2n＋1）·180°＋45°＝n·360°＋225°，α为第三象限角．
所以α为第一或第三象限角．故选A．
答案：
A
2．
（1）写出终边在直线y＝x上的角的集合；
（2）若角θ的终边与角的终边相同，求在[0,2π）内终边与角的终边相同的角；
（3）已知角α为第三象限角，试确定－α、2α的终边所在的象限．
解析：
（1）∵在（0，π）内终边在直线y＝x上的角是，
∴终边在直线y＝x上的角的集合为.
（2）∵θ＝＋2kπ（k∈Z），
∴＝＋（k∈Z）．
依题意0≤＋<2π⇒－≤k<，k∈Z.
∴k＝0,1,2，即在[0,2π）内终边与相同的角为，，.
（3）∵π＋2kπ<α<＋2kπ（k∈Z），
∴－－2kπ<－α<－π－2kπ（k∈Z）．
∴－α终边在第二象限．
∴2π＋4kπ<2α<3π＋4kπ（k∈Z）．
∴角2α的终边在第一、二象限及y轴的非负半轴．
1.利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角．
2．利用终边相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0,2π）范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α的象限．
扇形的弧长及面积公式
已知一扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.
（1）若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长l；
（2）已知扇形的周长为10，面积是4，求扇形的圆心角；
（3）若扇形周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
解析：
（1）α＝60°＝rad，
∴l＝α·R＝×10＝（cm）．
（2）设圆心角是θ，半径是r，
则⇒（舍去），故扇形圆心角为.
（3）由已知得，l＋2R＝20.
所以S＝lR＝（20－2R）R＝10R－R2＝－（R－5）2＋25，
所以当R＝5时，S取得最大值25，
此时l＝10，α＝2.
应用弧度制解决问题的方法
（1）利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
（2）求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．
（3）在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
三角函数的定义
（1）（2014·全国卷Ⅰ）若tanα>0，则（ ）
A．sin2α>0 B．cosα>0
C．sinα>0 D．cos2α>0
（2）已知角α的终边上一点P（－，m）（m≠0），且sinα＝，求cosα，tanα的值．
解析：
（1）∵tanα＞0，∴α∈（k∈Z）是第一、三象限角．
∴sinα，cosα都可正、可负，排除B，C．
而2α∈（2kπ，2kπ＋π）（k∈Z），
结合正、余弦函数图象可知，A正确．
取α＝，则tanα＝1＞0，而cos2α＝0，故D不正确．
（2）设P（x，y）．由题设知x＝－，y＝m，
∴r2＝|OP|2＝（－）2＋m2（O为原点），r＝，
∴sinα＝＝＝，
∴r＝＝2，3＋m2＝8，解得m＝±.
当m＝时，r＝2，x＝－，y＝，
∴cosα＝＝－，tanα＝－；
当m＝－时，r＝2，x＝－，y＝－，
∴cosα＝＝－，tanα＝.
答案：
（1）A
1．已知点P（sinα－cosα，tanα）在第一象限，则在[0,2π]内，α的取值范围是（ ）
A．∪ B．∪
C．∪ D．∪
解析：
由已知得α∈[0,2π]，
∴
故α∈∪.
答案：
B
2．若角α的终边过点P（－8m，－6sin30°），且cosα＝－，则m的值为________．
解析：
∵r＝，∴cosα＝＝－，
∴m>0，＝，∴m＝.
答案：
3．若角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．
解析：
设α终边上任一点为P（－4a,3a），
当a>0时，r＝5a，sinα＝，cosα＝－，tanα＝－，
当a<0时，r＝－5a，sinα＝－，cosα＝，tanα＝－.
4．（2014·全国卷Ⅰ）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M.将点M到直线OP的距离表示成x的函数f（x），则y＝f（x）在[0，π]的图象大致为（ ）
解析：
以O为坐标原点，射线OA为x轴的正方向，建立坐标系．
则P（cosx，sinx），M（cosx,0），故M到直线OP的距离为f（x）＝|sinx·cosx|＝|sin2x|，x∈[0，π]，故选C．
答案：
C
用定义法求三角函数值的两种情况
（1）已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解；
（2）已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题．
A级 基础训练
1．集合{α|kπ＋≤α≤kπ＋，k∈Z}中的角的终边所在的范围（阴影部分）是（ ）
解析：
当k＝2n时，2nπ＋≤α≤2nπ＋；当k＝2n＋1时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋.故选C．
答案：
C
2．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是（ ）
A． B．
C．－ D．－
解析：
将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角，故A、B不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的.
即为－×2π＝－.
答案：
C
3．已知α是第二象限角，P（x，）为其终边上一点，且cosα＝x，则x＝（ ）
A． B．±
C．－ D．－
解析：
依题意得cosα＝＝x<0，由此解得x＝－，选D．
答案：
D
4．给出下列各函数值：
①sin（－1000°）；②cos（－2200°）；③tan（－10）；④.其中符号为负的是（ ）
A．① B．②
C．③ D．④
解析：
sin（－1000°）＝sin80°＞0；cos（－2200°）＝cos（－40°）＝cos40°＞0；tan（－10）＝tan（3π－10）＜0；
＝，sin＞0，tan＜0，∴原式＞0.
答案：
C
5．若sinαtanα<0，且<0，则角α是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：
由sinαtanα<0可知sinα，tanα异号，从而α为第二或第三象限角．
由<0可知cosα，tanα异号，从而α为第三或第四象限角．
综上可知，α为第三象限角．
答案：
C
6．已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的弧长等于________．
解析：
设扇形半径为r，弧长为l，则，
解得.
答案：
7．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cosα＝________.
解析：
因为A点纵坐标yA＝，且A点在第二象限，又因为圆O为单位圆，
所以A点横坐标xA＝－，
由三角函数的定义可得cosα＝－.
答案：
－
8．设角α是第三象限角，且＝－sin，则角是第________象限角．
解析：
由α是第三象限角，知2kπ＋π<α<2kπ＋（k∈Z），kπ＋<答案：
四
9．已知角θ的终边上有一点P（x，－1）（x≠0），且tanθ＝－x，求sinθ＋cosθ的值．
解析：
∵θ的终边过点（x，－1）（x≠0），
∴tanθ＝－.
又tanθ＝－x，
∴x2＝1，即x＝±1.
当x＝1时，sinθ＝－，cosθ＝.
因此sinθ＋cosθ＝0；
当x＝－1时，sinθ＝－，cosθ＝－，
因此sinθ＋cosθ＝－.
故sinθ＋cosθ的值为0或－.
10．已知α＝.
（1）写出所有与α终边相同的角；
（2）写出在（－4π，2π）内与α终边相同的角；
（3）若角β与α终边相同，则是第几象限角？
解析：
（1）所有与α终边相同的角可表示为
.
（2）由
（1），令－4π＜2kπ＋＜2π（k∈Z），
则有－2－＜k＜1－.
又∵k∈Z，∴取k＝－2，－1,0.
故在（－4π，2π）内与α终边相同的角是－、－、.
（3）由
（1）有β＝2kπ＋（k∈Z），则＝kπ＋（k∈Z）．
∴是第一、三象限的角．
B级 能力提升
1．已知角α＝2kπ－（k∈Z），若角θ与角α的终边相同，则y＝＋＋的值为（ ）
A．1 B．－1
C．3 D．－3
解析：
由α＝2kπ－（k∈Z），及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，
又角θ与角α的终边相同，
所以角θ是第四象限角，
所以sinθ<0，cosθ>0，tanθ<0.
所以y＝－1＋1－1＝－1.
答案：
B
2．满足cosα≤－的角α的集合为________．
解析：
作直线x＝－交单位圆于C、D两点，连接OC、OD，则OC与OD围成的区域（图中阴影部分）即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为
.
答案：
3．已知扇形AOB的周长为8.
（1）若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；
（2）求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB．
解析：
设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α，
（1）由题意可得
解得或
∴α＝＝或α＝＝6.
（2）∵2r＋l＝8，
∴S扇＝lr＝l·2r≤2＝×2＝4，当且仅当2r＝l，即α＝＝2时，扇形面积取得最大值4.
∴r＝2，
∴弦长AB＝2sin1×2＝4sin1.
4．
（1）确定的符号；
（2）已知α∈（0，π），且sinα＋cosα＝m（0解析：
（1）∵－3,5,8分别是第三、第四、第二象限角，
∴tan（－3）>0，tan5<0，cos8<0，∴原式大于0.
（2）若0<α<，则如图所示，在单位圆中，OM＝cosα，MP＝sinα，
∴sinα＋cosα＝MP＋OM>OP＝1.
若α＝，则sinα＋cosα＝1.
由已知0于是有sinα－cosα>0.
第二节 同角三角函数的基本关系及诱导公式
1．理解同角三角函数的基本关系式：
sin2α＋cos2α＝1，＝tanα.
2．能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：
sin2α＋cos2α＝1.
（2）商数关系：
tanα＝.
2．六组诱导公式
组数
一
二
三
四
五
六
角
α＋2kπ（k∈Z）
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sinα
－sin_α
－sinα
sinα
cos_α
cosα
余弦
cosα
－cosα
cos_α
－cosα
sinα
－sin_α
正切
tanα
tanα
－tanα
－tan_α
1．诱导公式记忆口诀
对于角“±α”（k∈Z）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号．”
2．三角函数求值与化简的常用方法
（1）弦切互化法：
主要利用公式tanα＝化成正、余弦．
（2）和积转换法：
利用（sinθ±cosθ）2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化．
（3）巧用“1”的变换：
1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ（1＋tan2θ）＝tan＝….
3．同角三角函数的基本关系式
sinα＋cosα、sinα－cosα与sinαcosα的关系
（sinα±cosα）2＝1±2sinαcosα；
（sinα＋cosα）2＋（sinα－cosα）2＝2；
（sinα＋cosα）2－（sinα－cosα）2＝4sinαcosα.
对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，已知其中一个式子的值，可求其余二式的值．
1．判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）
（1）sin2θ＋cos2φ＝1.（ ）
（2）同角三角函数的基本关系式中角α可以是任意角．（ ）
（3）六组诱导公式中的角α可以是任意角．（ ）
（4）诱导公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的“符号”与α的大小无关．（ ）
（5）若sin（kπ－α）＝（k∈Z），则sinα＝.（ ）
答案：
（1）×
（2）× （3）√ （4）√ （5）×
2．tan315°的值为（ ）
A． B．－
C．1 D．－1
答案：
D
3．若cosα＝，α∈，则tanα等于（ ）
A．－ B．
C．－2 D．2
答案：
C
4．sin＝________.
解析：
sin＝－sin＝sin＝.
答案：
5.＝________.
解析：
原式＝
＝＝－1.
答案：
－1
利用诱导公式化简
1．已知sin（θ＋π）<0，cos（θ－π）>0，则下列不等关系中必定成立的是（ ）
A．sinθ<0，cosθ>0 B．sinθ>0，cosθ<0
C．sinθ>0，cosθ>0 D．sinθ<0，cosθ<0
解析：
sin（θ＋π）<0，∴－sinθ<0，sinθ>0.
∵cos（θ－π）>0，∴－cosθ>0.∴cosθ<0.
答案：
B
2．已知A＝＋（k∈Z），则A的值构成的集合是（ ）
A．{1，－1,2，－2} B．{－1,1}
C．{2，－2} D．{1，－1,0,2，－2}
解析：
当k为偶数时，A＝＋＝2；
k为奇数时，A＝－＝－2.
答案：
C
3．化简：
＝________.
解析：
原式＝
＝＝
＝－＝－·＝－1.
答案：
－1
利用诱导公式化简三角函数的原则
遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行三角函数名称转化，以保证三角函数名称最少．
利用诱导公式求值
（1）已知sin＝，则cos＝________；
（2）sin（－1200°）cos1290°＋cos（－1020°）·sin（－1050°）＝________.
解析：
（1）∵＋＝，
∴cos＝cos＝sin＝.
（2）原式＝－sin1200°cos1290°－cos1020°·sin1050°
＝－sin（3×360°＋120°）cos（3×360°＋210°）－cos（2×360°＋300°）·sin（2×360°＋330°）
＝－sin120°cos210°－cos300°sin330°
＝－sin（180°－60°）cos（180°＋30°）－cos（360°－60°）·sin（360°－30°）＝sin60°cos30°＋cos60°sin30°＝×＋×＝1.
答案：
（1）
（2）1
1．已知tan＝，则tan＝________.
解析：
∵＋＝π，
∴tan＝－tan
＝－tan＝－.
答案：
－
2．求值：
sin690°·sin150°＋cos930°·cos（－870°）＋tan120°·tan1050°.
解析：
原式＝sin（720°－30°）·sin（180°－30°）＋cos（1080°－150°）·cos（720°＋150°）＋tan（180°－60°）·tan（1080°－30°）
＝－sin30°sin30°＋cos150°cos150°＋tan60°tan30°
＝－＋＋1＝.
1.诱导公式应用的步骤：
→→→
注意：
诱导公式应用时不要忽略了角的范围和三角函数的符号．
2．巧用相关角的关系会简化解题过程．常见的互余关系有－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等，常见的互补关系有＋θ与－θ；＋θ与－θ等．
同角三角函数基本关系式
（1）若tanα＝2，则＋cos2α＝（ ）
A． B．－
C． D．－
（2）已知－解析：
（1）＋cos2α＝＋＝＋＝.
（2）由sinx＋cosx＝，
平方得sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝，
即2sinxcosx＝－，
∴（sinx－cosx）2＝1－2sinxcosx＝.
又∵－0，sinx－cosx<0，
故sinx－cosx＝－.
答案：
（1）A
（2）－
1．已知tanα＝2，则
（1）＝________.
（2）3sin2α＋3sinαcosα－2cos2α＝________.
解析：
（1）法一：
∵tanα＝2，∴cosα≠0，
∴＝
＝＝＝.
法二：
由tanα＝2，得sinα＝2cosα，代入得
＝＝＝.
（2）3sin2α＋3sinαcosα－2cos2α
＝＝
＝＝.
答案：
（1）
（2）
2．（2014·湖北武汉模拟）已知sin（π－α）－cos（π＋α）＝，则sinα－cosα＝________.
解析：
由sin（π－α）－cos（π＋α）＝，
得sinα＋cosα＝，①
将①两边平方得1＋2sinα·cosα＝，
故2sinαcosα＝－.
∴（sinα－cosα）2＝1－2sinαcosα＝1－＝，
又∵<α<π，∴sinα>0，cosα<0.
∴sinα－cosα＝.
答案：
3．已知＝5，则sin2α－sinαcosα＝________.
解析：
依题意得：
＝5，∴tanα＝2.
∴sin2α－sinαcosα＝
＝＝＝.
答案：
4．（2014·浙江杭州模拟）若θ∈，sin2θ＝，则cosθ－sinθ的值是________．
解析：
（cosθ－sinθ）2＝1－sin2θ＝.
∵<θ<，∴cosθ∴cosθ－sinθ＝－＝－.
答案：
－
5．（2014·山西山大附中5月月考）已知sinα－cosα＝，α∈（0，π），则tanα＝（ ）
A．－1 B．－
C． D．1
解析：
由sinα－cosα＝及sin2α＋cos2α＝1，得（sinα－cosα
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