苏教版九年级数学下册知识点总结归纳苏科版.docx

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苏教版九年级数学下册知识点总结归纳苏科版

苏教版九年级数学下册知识点总结归纳（苏科版）

知识点总结

第五章  二次函数

一、二次函数概念：

1．二次函数的概念：

一般地，形如

的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：

和一元二次方程类似，二次项系数

，而

可以为零．二次函数的定义域是全体实数．

2. 二次函数的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2．

⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．

二、二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式：

的性质：

a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

的符号

开口方向

顶点坐标

对称轴

性质

向上

轴

时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下

轴

时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．

2. 的性质：

上加下减。

的符号

开口方向

顶点坐标

对称轴

性质

向上

轴

时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下

轴

时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．

3. 的性质：

左加右减。

的符号

开口方向

顶点坐标

对称轴

性质

向上

X=h

时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下

X=h

时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．

4. 的性质：

的符号

开口方向

顶点坐标

对称轴

性质

向上

X=h

时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下

X=h

时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．

三、二次函数图象的平移

 1. 平移步骤：

方法一：

⑴将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；

⑵保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：

 2. 平移规律

    在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．

概括成八个字“左加右减，上加下减”．

   方法二：

⑴沿轴平移:

向上（下）平移个单位，变成

（或）

⑵沿轴平移：

向左（右）平移个单位，变成（或）

四、二次函数与的比较

从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中．

五、二次函数图象的画法

五点绘图法：

利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：

顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.

画草图时应抓住以下几点：

开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.

六、二次函数的性质

 1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．

当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值．

 2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．

七、二次函数解析式的表示方法

1. 一般式：

（，，为常数，）；

2. 顶点式：

（，，为常数，）；

3. 两根式：

（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.

注意：

任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

八、二次函数的图象与各项系数之间的关系

 1. 二次项系数

二次函数中，作为二次项系数，显然．

     ⑴当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；

     ⑵当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．

总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．

2. 一次项系数

   在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．

   ⑴在的前提下，

当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧；

当时，，即抛物线的对称轴就是轴；

当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧．

⑵在的前提下，结论刚好与上述相反，即

当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧；

当时，，即抛物线的对称轴就是轴；

当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧．

总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．

的符号的判定：

对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异”

总结：

 3. 常数项

     ⑴当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；

     ⑵当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；

     ⑶当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负．

     总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．

 总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．

二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：

1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；

3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；

4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．

九、二次函数图象的对称

    二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达

 1. 关于轴对称

    关于轴对称后，得到的解析式是；

关于轴对称后，得到的解析式是；

 2. 关于轴对称

    关于轴对称后，得到的解析式是；

关于轴对称后，得到的解析式是；

 3. 关于原点对称

    关于原点对称后，得到的解析式是；

    关于原点对称后，得到的解析式是；

 4. 关于顶点对称（即：

抛物线绕顶点旋转180°）

    关于顶点对称后，得到的解析式是；

关于顶点对称后，得到的解析式是．

 5. 关于点对称  

关于点对称后，得到的解析式是

    根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．

十、二次函数与一元二次方程：

1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：

一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.

图象与轴的交点个数：

①当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根．这两点间的距离.

②当时，图象与轴只有一个交点；

③当时，图象与轴没有交点.

 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；

 当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．

2. 抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，；

3. 二次函数常用解题方法总结：

⑴求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；

⑶根据图象的位置判断二次函数中，，的符号，或由二次函数中，，的符号判断图象的位置，要数形结合；

⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.

⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式本身就是所含字母的二次函数；下面以时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：

抛物线与轴有两个交点

二次三项式的值可正、可零、可负

一元二次方程有两个不相等实根

抛物线与轴只有一个交点

二次三项式的值为非负

一元二次方程有两个相等的实数根

抛物线与轴无交点

二次三项式的值恒为正

一元二次方程无实数根.

二次函数图像参考：

十一、函数的应用

二次函数应用

十二、二次函数考查重点与常见题型

1．  考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：

已知以为自变量的二次函数的图像经过原点，则的值是         

2．  综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：

如图，如果函数的图像在第一、二、三象限内，那么函数的图像大致是（    ）

       y              y            y              y

      1                             1

     0   x         o-1 x       0   x         0-1 x

    A              B            C              D

3．  考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：

已知一条抛物线经过（0,3），（4,6）两点，对称轴为，求这条抛物线的解析式。

4．  考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：

已知抛物线（a≠0）与x轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y轴交点的纵坐标是－

（1）确定抛物线的解析式；

（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.

   5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。

【例题经典】

由抛物线的位置确定系数的符号

例1

（1）二次函数的图像如图1，则点在（ ）

        A．第一象限   B．第二象限  C．第三象限  D．第四象限

（2）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图2所示，则下列结论：

①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是（ ）

A．1个   B．2个   C．3个   D．4个

（1）                        

（2）

【点评】弄清抛物线的位置与系数a，b，c之间的关系，是解决问题的关键．

例2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（-2，O）、（x1，0），且1

①aO；③4a+cO，其中正确结论的个数为（ ）

 A1个 B.2个 C.3个 D．4个

会用待定系数法求二次函数解析式

例3.已知：

关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=-2，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为（ ）

   A（2，-3）   B.（2，1）   C（2，3）   D．（3，2）

答案：

C

例4、如图（单位：

m），等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动，直到AB与CD重合．设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym2．

（1）写出y与x的关系式；

（2）当x=2，3.5时，y分别是多少？

（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，

三角形移动了多长时间？

求抛物线顶点坐标、

对称轴.

例5、已知抛物线y=x2+x-．

（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴．

（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．

【点评】本题

（1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第

（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系．

例6、“已知函数的图象经过点A（c，－2），  

求证：

这个二次函数图象的对称轴是x=3。

”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。

（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？

若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。

（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。

点评：

 对于第

（1）小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点A（c，－2）”，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。

对于第

（2）小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第

（1）小题中的解析式就可以了。

而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。

[解答] 

（1）根据的图象经过点A（c，－2），图象的对称轴是x=3，得

解得

所以所求二次函数解析式为图象如图所示。

（2）在解析式中令y=0，得，解得

所以可以填“抛物线与x轴的一个交点的坐标是（3+”或“抛物线与x轴的一个交点的坐标是

令x=3代入解析式，得

所以抛物线的顶点坐标为

所以也可以填抛物线的顶点坐标为等等。

函数主要关注：

通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。

十三、用二次函数解决最值问题

例1已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．

【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力．同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间．

例2 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：

x（元）

15

20

30

…

y（件）

25

20

10

…

   若日销售量y是销售价x的一次函数．

（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；

（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？

此时每日销售利润是多少元？

   【解析】

（1）设此一次函数表达式为y=kx+b．则 解得k=-1，b=40，即一次函数表达式为y=-x+40．

（2）设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元

        w=（x-10）（40-x）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225．

   产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元．

   【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：

（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；

（2）问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程．

第六章 图形的相似

一、比例线段

1、比例线段的相关概念

如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别为m，n，那么就说这两条线段的比是或写成a：

b=m：

n

在两条线段的比a：

b中，a叫做比的前项，b叫做比的后项。

在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段

若四条a，b，c，d满足或a：

b=c：

d，那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项，线段的d叫做a，b，c的第四比例项。

如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或a：

b=b：

c，那么线段b叫做线段a，c的比例中项。

2、比例的性质

（1）基本性质

①a：

b=c：

dad=bc

②a：

b=b：

c

（2）更比性质（交换比例的内项或外项）

              （交换内项）

    （交换外项）

             （同时交换内项和外项）

（3）反比性质（交换比的前项、后项）：

（4）合比性质：

（5）等比性质：

3、黄金分割

把线段AB分成两条线段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=AB0.618AB

二、平行线分线段成比例定理   

三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

推论：

（1）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。

逆定理：

如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

（2）平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。

三、相似三角形   

1、相似三角形的概念

对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。

相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”。

相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。

2、相似三角形的基本定理

平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

用数学语言表述如下：

∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC

相似三角形的等价关系：

（1）反身性：

对于任一△ABC，都有△ABC∽△ABC；

（2）对称性：

若△ABC∽△A’B’C’，则△A’B’C’∽△ABC

（3）传递性：

若△ABC∽△A’B’C’，并且△A’B’C’∽△A’’B’’C’’，则△ABC∽△A’’B’’C’’。

3、三角形相似的判定

（1）三角形相似的判定方法

①定义法：

对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似

②平行法：

平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似

③判定定理1：

如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。

④判定定理2：

如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

⑤判定定理3：

如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似

（2）直角三角形相似的判定方法

①以上各种判定方法均适用

②定理：

如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似

③垂直法：

直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。

4、相似三角形的性质

（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例

（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比

（3）相似三角形周长的比等于相似比

（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

5、相似多边形

（1）如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。

相似多边形对应边的比叫做相似比（或相似系数）

（2）相似多边形的性质

①相似多边形的对应角相等，对应边成比例

②相似多边形周长的比、对应对角线的比都等于相似比

③相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比

④相似多边形面积的比等于相似比的平方

6、位似图形

如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，此时的相似比叫做位似比。

性质：

每一组对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比都等于位似比。

由一个图形得到它的位似图形的变换叫做位似变换。

利用位似变换可以把一个图形放大或缩小。

第七章 锐角函数

一、知识框架 

二、知识点、概念总结  

1.Rt△ABC中

（1）∠A的对边与斜边的比值是∠A的正弦，记作sinA＝ ∠A的对边/斜边  

（2）∠A的邻边与斜边的比值是∠A的余弦，记作cosA＝ ∠A的邻边/斜边  

（3）∠A的对边与邻边的比值是∠A的正切，记作tanA＝ ∠A的对边/∠A的邻边  

（4）∠A的邻边与对边的比值是∠A的余切，记作cota＝ ∠A的邻边/∠A的对边  

2.特殊值的三角函数：

3. 互余角的三角函数间的关系

  sin（90°-α）=cosα,   cos（90°-α）=sinα,    tan（90°-α）=cotα,   cot（90°-α）=tanα. 

4. 同角三角函数间的关系 

 1）平方关系：

    sin2（α）+cos2（α）=1       tan2（α）+1=sec2（α）       cot2（α）+1=csc2（α）  

 2）积的关系：

    sinα=tanα·cosα    cosα=cotα·sinα    tanα=sinα·secα    cotα=cosα·cscα    secα=tanα·cscα    cscα=secα·cotα  

 3）倒数关系：

    tanα·cotα=1     sinα·cscα=1     cosα·secα=1 

5. 三角函数值 

（1）特殊角三角函数值  

（2）0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。

（3）锐角三角函数值的变化情况：

    （i）锐角三角函数值都是正值 

    （ii）当角度在0°～90°间变化时：

1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）    

    （iii）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinα≤1, 1≥cosA≥0；当角度在0°<∠A<90°间变化时，  tanA>0, cotA>0.    

6.解直角三角形的基本类型 

解直角三角形的基本类型及其解法如下表：

7.仰角、俯角 

 当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角。

三、考点解析：

考点1  锐角三角函数的概念

    例1  （2014威海）如图1，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是（   ）

（A）       （B）            （C）            （D）

分析 如图2，作AC⊥OB于点C．利用勾股定理求得AC和AB的长，根据正弦的定义即可求解．

解　如图2，作AC⊥OB于点C．

则AC＝，

AO＝，

∴sin∠AOB＝．

    因此，选D．

温馨提示 锐角三角函数的概念是在直角三角形中给出的，若题目中没有直角三角形，则须先构造直角三角形，才能应用锐角三角函数的有关知识来解决问题．

    考点2 特殊角的三角函数值

    例2

（1）（2014包头）计算sin245°＋cos30°tan60°，其结果是（   ）

    （A）2             （B）1       （C）      （D）

（2）（2014凉山州）在△ABC中，若＋（1－tanB）2＝0，则∠C的度数是（   ）

   （A）45°