数学建模论文.docx
《数学建模论文.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学建模论文.docx（16页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
数学建模论文
数学建模期末论文题目
水资源短缺风险综合评价
水资源短缺风险综合评价模型
摘要：
本文采用层次分析模型对水资源短缺风险进行综合评定。
定义水资源短缺率为（水资源短缺率=（总用水量—水资源总量）/总用水量），用以表示水资源短缺风险。
基于层次分析理论建立了水资源短缺风险因子评价模型，得到评价函数，对影响水资源短缺的风险因子进行评价，确定了“年平均降水量”为主要风险因子。
基于回归模型做水资源短缺风险评价模型，得到以年平均降水量和年平均气温为自变量，水资源短缺率为因变量的评价函数，可对每年的水资源短缺状况及风险进行评价或预测。
然后我们应用模型对北京市未来十年的水资源短缺状况进行了评价，预测了北京市在2001—2010年的水资源短缺风险等级。
鉴于北京市的水资源短缺状况，我们建议其通过调整工业用水、农业用水、第三产业用水的分配比例，改变北京市水资源利用分配状况，从而降低水资源短缺风险。
关键词：
层次分析模型回归模型风险因子风险预测
1.问题的重述
水资源，是指可供人类直接利用，能够不断更新的天然水体。
主要包括陆地上的地表水和地下水。
风险，是指某一特定危险情况发生的可能性和后果的组合。
水资源短缺风险，泛指在特定的时空环境条件下，由于来水和用水两方面存在不确定性，使区域水资源系统发生供水短缺的可能性以及由此产生的损失。
近年来，我国、特别是北方地区水资源短缺问题日趋严重，水资源成为焦点话题。
以北京市为例，北京是世界上水资源严重缺乏的大都市之一，其人均水资源占有量不足300m3，为全国人均的1/8，世界人均的1/30，属重度缺水地区，附表中所列的数据给出了1979年至2000年北京市水资源短缺的状况。
北京市水资源短缺已经成为影响和制约首都社会和经济发展的主要因素。
政府采取了一系列措施,如南水北调工程建设,建立污水处理厂,产业结构调整等。
但是，气候变化和经济社会不断发展，水资源短缺风险始终存在。
如何对水资源风险的主要因子进行识别，对风险造成的危害等级进行划分，对不同风险因子采取相应的有效措施规避风险或减少其造成的危害，这对社会经济的稳定、可持续发展战略的实施具有重要的意义。
《北京2000统计年鉴》及市政统计资料提供了北京市水资源的有关信息。
利用这些资料和你自己可获得的其他资料，讨论以下问题：
1.对北京市2001－2010年每年的水资源短缺状况进行预测，并提出应对措施。
2.建立一个数学模型对北京市水资源短缺风险进行综合评价,作出风险等级划分并陈述理由。
对主要风险因子,如何进行调控，使得风险降低？
2.问题分析
本题主要研究水资源短缺风险，其主要是在特定的时空环境条件下，由于来水和用水两方面存在不确定性，使区域水资源系统发生供水短缺的可能性以及由此产生的损失问题。
题目中已经交代了用水的主要方面，故北京的工业用水，农业用水，第三产业及生活等其他用水每年的不确定性给用水带来了不确定性；而根据实际情况，来水的不确定性主要在于北京的人口规模（即人口增长的不确定性），年降水量，年平均气温，还有水利工程（蓄水工程、南水北调等）和水污染等。
为了预测并减小水资源短缺风险，就需要找出影响北京市水资源的主要风险因子，然后设计出对北京市水资源风险的评价等级模型。
由于北京市的水资源短缺风险因子之间的权重不清晰，因此，第一步利用Saaty提出的层次分析法AHP（AnalyticHierarchyProcess）将水资源短缺的各种风险因子定量，进行比较，得到北京市水资源短缺的主要风险因子。
这样第一问就基本上完成了。
第二步是建立北京市水资源短缺风险评价模型。
由于各风险因子内部规律的复杂及人们认识程度有限，无法分析出风险因子之间的内在因果关系。
因此，我们通过统计分析，找出与数据基本吻合的回归模型，来构建水资源短缺风险模型。
通过我们构建出的模型来对北京市未来两年的短缺风险进行预测，并且能提出相应的措施来降低这一风险。
3.模型假设
（1）假设问题中所给出的数据能客观的反映现实情况，值得相信；
（2）假设每年的气候稳定,不出现严重旱情和较大的涝灾；
（3）假设每年政府在人口政策上不做大的调整；
（4）假设水利工程建设安全可靠；
（5）假设北京市水污染状况正常，不出现重大污染。
4.符号的使用及说明
W…………方案层对目标层的权向量
w2…………准则层对目标层的权重向量
w3…………方案层对准则层的归一化权向量
Q…………水资源短缺率
S1…………年总用水量
S2…………年水资源总量
a…………年均降水量
b…………年平均温
t…………年份
G…………工业用水
N…………农业用水
D…………第三产业用水
5.模型的建立与求解
5.1问题
（1）的模型的建立与求解
主要风险因子的层次模型
5.1.1层次分析法问题提出
为了对北京市水资源短缺的主要风险因子进行确定，而风险因子含有“北京的人口规模（即人口增长的不确定性），年降水量，年平均气温，还有水利工程（蓄水工程、南水北调等）和水污染”。
另外，除了考虑农业用水外，还要考虑工业用水，第三产业及生活等其他用水，即为多决策问题，考虑用层次分析法解决。
5.1.2建立递阶层次结构
在北京市水资源短缺问题中，要找出资源短缺的主要风险因子，即决策目标是“北京市水资源短缺程度”。
为了找到影响水资源短缺的主要风险因子，利用各风险因子对水资源用途的影响来建立准则层而水资源的主要用途有“工业用水，农业用水，第三产业及生活等用水”，虽然这些只是主要方面，但是也能说明问题。
故该问题的准则层可以定为“工业用水，农业用水，第三产业及生活用水等”。
假设本问题只考虑这些准则，接下来就是考虑方案层。
即为通过方案层，导致了目标层的实现（即水资源短缺），依此，则可以定义风险因子为方案层，即“北京的人口规模（即人口增长的不确定性），年降水量，年平均气温，还有水利工程（蓄水工程、南水北调等）和水污染等”。
很明显，方案层与所有的准则层有关。
5.1.3Saaty等人提出1~9尺度来将定性的量转化为定量的数字。
取值1,2,…,9及其互反数1,1/2,…,1/9，
1-9的表格
尺度
1
2
3
4
5
6
7
8
9
的重要性
相同
中值
稍强
中值
一般强
中值
明显强
中值
绝对强
依照此中分析，可以将工业用水，农业用水，第三产业及生活等用水对北京水资源短缺的影响分别定位——5，3，2。
则可以列出矩阵：
w2：
得到准则层对目标层的权重向量w2=（0.5,0.3,0.2）T
再分别利用以上的尺度列出方案层对准则层的影响的矩阵：
再利用正互反阵最大特征根和特征向量的简化计算，对A，c1，c2，c3的列向量进行归一化处理，过程如下：
即得到方案层对准则层的归一化权向量：
5.1.4计算权向量：
第三层对第二层的影响的计算结果，如下：
K
人口
水利
降雨
人口规模
0.166667
0.157895
0.200000
水利工程
0.166667
0.222222
0.066667
年平均气温
0.250000
0.777778
0.800000
年平均降雨量
0.333333
0.315789
0.400000
水污染
0.083333
0.052632
0.066667
λ
5.000000
5.000000
5.000000
CI
0
0
0
即得到了方案层对目标层的权向量
所以可以认为北京市水资源短缺的主要风险因子是“年平均降水量”。
5.2北京市水资源短缺风险综合评价模型的建立
5.2.1水资源短缺率模型的建立
根据问题
（1）中的分析与结论，可得水资源短缺的主要风险因子为：
年平均降水量和年平均气温，由于各风险因子内部规律的复杂及人们认识程度有限，无法分析出风险因子之间的内在因果关系。
因此，我们通过统计分析，找出与数据基本吻合的回归模型，来构建水资源短缺风险模型。
在这里，我们利用水资源短缺率来描述水资源短缺风险，故下面先定义水资源短缺率（Q）：
年总用水量（S1）—水资源总量（S2）
水资源短缺率（Q）=--------------------------------------------＊100%
年总用水量（S1）
通过对年平均降水量和年平均气温（通过2009年年鉴统计所得）的分析（表格如下附表二），可以得到以年平均降水量和年平均气温为自变量，以水资源短缺率为因变量的离散点，通过mathmatic[3]软件作图得到该函数的曲面,然后再得到函数：
应用mathmatic软件作图得到函数的三维立体图像：
f（a，b）=1.41495-0.00410487a-1.25215×10-7a2+0.0246789
b+0.000228206ab-0.0047579b2
上图中纵坐标为水资源的短缺率：
Q=（S1—S2）/S1，用短缺率来表示水资源短缺风险，可见水资源短缺风险随年平均降水量和年平均气温的增长而增长，符合实际生活中的现象规律，说明模型具有可行性。
通过以上拟合的水资源短缺率函数来预测今后两年的北京市水资源短缺风险，即可以用以上函数得到的Q与下表[4]对比得到水资源短缺的风险类别：
风险等级划分表：
水资源短缺类别
短缺率范围（Q）
风险类别
不缺水
小于0.10
低风险
较轻微缺水
0.10~0.20
较低风险
缺水
0.20~0.35
中风险
较严重缺水
0.35~0.50
较高风险
严重缺水
0.50以上
高风险
5.2.2年平均降水量和年平均气温函数的拟合
利用上面的模型来预测下一年的水资源短缺风险（即我们定义的水资源短缺率），我们就必须先预测到下一年的年平均降水量和年平均气温，故再次利用上面的回归模拟的方法分别得到年平均降水量和年平均气温的函数，如下：
［Ⅰ］年平均降水量：
a（t）=-7.454563428877999`*^8+1.120740674883457`*^6t-561.6413240737265`t2+0.09381759395947609`t3
［Ⅱ］年平均气温：
b（t）=-2.0201257143091718`*^6+3035.826927867376`t-1.520738225854896`t2+0.00025392973042282326`t3
即通过这两个与曲线拟合的函数来预测下一年的年平均降水量和年平均气温，再代入到回归分析得到的北京市水资源短缺率Q=（S1-S2）/S1中，即可得到水资源短缺率，再将其与风险等级划分表进行比照，即可得到所预测年的水资源短缺风险等级。
5.3对风险进行调控
在主要的风险因子中，可以改变的因素少，但是仍然可以改变。
比如在降水比较少的时候，遇到适当的降水天气，就尽量实行人工降水，以增加降水量，从而增加可以使用的水资源量，这样就可以缓解比较严重的旱情。
同时，我们应当可以看出，水资源总量不足是一种常见状态，所以在这种情况下，应当做到合理分配工、农业和第三产业及生活用水的比重，这样即便总水量不足以应付所需水量，但是在水人工循环系统中，可以再次产生额外水资源（本模型没有给出考虑），这样就可以做到较为好的缓解效果。
在水资源分配中，我们给出如下面函数所示的的分配比例：
G（t）=1.98855×107-30021.9t+15.1083t2-0.00253439t3
N（t）=4.94266×107-74455.2t+37.3859t2-0.00625747t3
D（t）=1.09316×107-16462.3t+8.26349t2-0.00138261t3
6.模型的评价：
6.1对研究北京市水资源短缺风险主要因子的层次分析的一致性检验：
Elgenvalues[a]
{0,0,3}
得：
λ=3；
；
因为：
λ=n=3
得：
CI=0故正互反阵一致性良好。
Elgenvalues[c1]；
{0,0,0,0,5}；
得：
λ=5；
；
因为：
λ=n=5；
得：
CI=0故正互反阵一致性良好。
同理可以得到，c2，c3的一致性均属良好。
又c1，c2，c3均满足aija*jk=aik，i,j,k=1,2,3…即矩阵c1,c2,c3均为一致阵。
6.2水资源短缺风险综合评价模型的评价
主体函数水资源短缺率（Q）是以年平均降水量和年平均气温为自变量，用二次来进行曲线拟合得到的函数，函数本身就有二次函数的一般特点，所以其只能在有限的区间内预测我们所需要的水资源短缺率。
因此，我们可以用更复杂的函数来对我们所需要的结果进行拟合。
另外，还可以增加其他的变量因子，如人口增长，污水处理和重复利用，还有管理策略等，使模型更加趋于合理化和实际化。
还有，年平均降水量函数（a）和年平均气温函数（b）拟合为三次的函数，也存在三次函数本身特点带来的缺点，同样也只能预测今后几年的情况，这方面也是很值得改进的。
关于北京市水资源短缺问题的预测
及应对方案的报告
北京市水利厅的同志：
你好！
我们查阅了《1979年至2000年北京市水资源短缺状况报表》以及《北京市2009年统计年鉴》等有关北京市水资源状况的报表，对北京市近30年的水资源短缺状况进行了统计分析，并应用数学模型对北京市未来两年的水资源短缺状况进行了预测，现将水资源短缺状况、预测及应对预案建议报告如下：
一、北京市现阶段水资源短缺状况：
我们采用层次分析模型对影响北京市水资源状况的风险因子进行了综合分析。
首先将水资源短缺风险定义为：
水资源短缺率=（总用水量—水资源总量）/总用水量
水资源短缺率越大即水资源短缺风险越大。
通过统计计算，得如表……数据，看出北京市水资源短缺风险严重，该问题亟待解决。
通过对年平均降水量、年平均气温、水利工程、人口规模以及水污染这五个风险因子的层次分析，得到五种因子影响大小的比例，知道了年平均降水量为主要风险因子。
然后建立线性规划模型，采用回归分析法，得到水资源短缺风险随年平均降水量和年平均气温的变化函数。
二、对未来两年内北京市水资源状况的预测：
通过年平均降水量及年平均温度函数预测了北京市未来两年的年平均降水量和年平均温度，然后带入水资源短缺函数中，预测到北京市在2012年的水资源短缺风险等级为边缘风险，即缺水，2013年为低风险，即轻微缺水。
三、应对预案：
鉴于北京市的水资源短缺状况，我们建议你们通过调整工业用水、农业用水、第三产业用水的分配比例，改变北京市水资源利用分配状况，从而降低水资源短缺风险。
同时，对于主要风险因子，可改变性较小，但应当注意环境建设，改善气候条件，从而尽可能的改善水资源状况。
参考文献：
[1]刘涛，邵东国.基层次分析法的供水风险综合评价模型[J].武汉大学
报（工学版），2006,39（4）：
25-28.
[2]沈继红，施久玉，高振滨，张晓威.数学建模.哈尔滨工程大学出版社，1995,11.
[3]成立波，蔡志丹.大学数学实验教程.北京理工大学出版社，2009.4
[4]王红瑞，钱龙霞，许新宜，王岩.基于模糊概率的水资源短缺风险评价模型及其应用.水利学报.2009.7
附表一：
水资源短缺
年份
总用水量（亿立方米）
水资源总量（亿方）
（S1—S2）/S1
2000
40.4
16.86
0.582673
2001
38.9
19.2
0.506427
2002
34.6
16.1
0.534682
2003
35.8
18.4
0.486034
2004
34.6
21.4
0.381503
2005
34.5
23.2
0.327536
2006
34.3
24.5
0.285714
2007
34.8
23.8
0.316092
2008
35.1
34.2
0.025641
2009
34.9
30.1
0.137536
2010
34.5
30.9
0.104348
附表二：
1979年至2000年北京市水资源短缺的状况
年份
总用水量（亿立方米）
农业用水（亿立方米）
工业用水（亿立方米）
第三产业及生活等其它用水（亿立方米）
水资源总量（亿方）
1979
42.92
24.18
14.37
4.37
38.23
1980
50.54
31.83
13.77
4.94
26
1981
48.11
31.6
12.21
4.3
24
1982
47.22
28.81
13.89
4.52
36.6
1983
47.56
31.6
11.24
4.72
34.7
1984
40.05
21.84
14.376
4.017
39.31
1985
31.71
10.12
17.2
4.39
38
1986
36.55
19.46
9.91
7.18
27.03
1987
30.95
9.68
14.01
7.26
38.66
1988
42.43
21.99
14.04
6.4
39.18
1989
44.64
24.42
13.77
6.45
21.55
1990
41.12
21.74
12.34
7.04
35.86
1991
42.03
22.7
11.9
7.43
42.29
1992
46.43
19.94
15.51
10.98
22.44
1993
45.22
20.35
15.28
9.59
19.67
1994
45.87
20.93
14.57
10.37
45.42
1995
44.88
19.33
13.78
11.77
30.34
1996
40.01
18.95
11.76
9.3
45.87
1997
40.32
18.12
11.1
11.1
22.25
1998
40.43
17.39
10.84
12.2
37.7
1999
41.71
18.45
10.56
12.7
14.22
2000
40.4
16.49
10.52
13.39
16.86
升级会员 