F4 力学观点的综合应用
26．F4[2011·全国卷]装甲车和战舰采用多层钢板比采用同样质量的单层钢板更能抵御穿甲弹的射击．通过对以下简化模型的计算可以粗略说明其原因．
质量为2m、厚度为2d的钢板静止在水平光滑桌面上．质量为m的子弹以某一速度垂直射向该钢板，刚好能将钢板射穿．现把钢板分成厚度均为d、质量均为m的相同两块，间隔一段距离平行放置，如图1－8所示．若子弹以相同的速度垂直射向第一块钢板，穿出后再射向第二块钢板，求子弹射入第二块钢板的深度．设子弹在钢板中受到的阻力为恒力，且两块钢板不会发生碰撞．不计重力影响．
图1－8
【解析】设子弹初速度为v0，射入厚度为2d的钢板后，最终钢板和子弹的共同速度为V，由动量守恒得
（2m＋m）V＝mv0①
解得V＝v0
此过程中动能损失为
ΔE＝mv－×3mV2②
解得ΔE＝mv
分成两块钢板后，设子弹穿过第一块钢板时两者的速度分别为v1和V1，由动量守恒得
mv1＋mV1＝mv0③
因为子弹在钢板中受到的阻力为恒力，射穿第一块钢板的动能损失为，由能量守恒得
mv＋mV＝mv－④
联立①②③④式，且考虑到v1必须大于V1，得
v1＝v0⑤
设子弹射入第二块钢板并留在其中后两者的共同速度为V2，由动量守恒得
2mV2＝mv1⑥
损失的动能为
ΔE′＝mv－×2mV⑦
联立①②⑤⑥⑦式得
ΔE′＝×⑧
因为子弹在钢板中受到的阻力为恒力，由⑧式可得，射入第二钢板的深度x为
x＝d⑨
24．F4[2011·安徽卷]如图1－17所示，质量M＝2kg的滑块套在光滑的水平轨道上，质量m＝1kg的小球通过长L＝0.5m的轻质细杆与滑块上的光滑轴O连接，小球和轻杆可在竖直平面内绕O轴自由转动，开始轻杆处于水平状态．现给小球一个竖直向上的初速度v0＝4m/s，g取10m/s2.
（1）若锁定滑块，试求小球通过最高点P时对轻杆的作用力大小和方向．
（2）若解除对滑块的锁定，试求小球通过最高点时的速度大小．
（3）在满足
（2）的条件下，试求小球击中滑块右侧轨道位置点与小球起始位置点间的距离．
图1－17
【解析】
（1）设小球能通过最高点，且此时的速度为v1.在上升过程中，因只有重力做功，小球的机械能守恒，则
mv＋mgL＝mv①
v1＝m/s②
设小球到达最高点时，轻杆对小球的作用力为F，方向向下，则
F＋mg＝m③
由②③式，得
F＝2N④
由牛顿第三定律可知，小球对轻杆的作用力大小为2N，方向竖直向上．
（2）解除锁定后，设小球通过最高点时的速度为v2，此时滑块的速度为V.在上升过程中，因系统在水平方向不受外力作用，水平方向的动量守恒．以水平向右的方向为正方向，有
mv2＋MV＝0⑤
在上升过程中，因只有重力做功，系统的机械能守恒，则
mv＋MV2＋mgL＝mv⑥
由⑤⑥式，得
v2＝2m/s⑦
（3）设小球击中滑块右侧轨道的位置点与小球起始位置点间的距离为s1，滑块向左移动的距离为s2.任意时刻小球的水平速度大小为v3，滑块的速度大小为V′.由系统水平方向的动量守恒，得
mv3－MV′＝0⑧
将⑧式两边同乘以Δt，得
mv3Δt－MV′Δt＝0⑨
因⑨式对任意时刻附近的微小间隔Δt都成立，累积相加后，有
ms1－Ms2＝0⑩
又s1＋s2＝2L
由⑩式，得
s1＝m
24．F4[2011·重庆卷]如图1－13所示，静置于水平地面的三辆手推车沿一直线排列，质量均为m.人在极短时间内给第一辆车一水平冲量使其运动，当车运动了距离L时与第二车相碰，两车以共同速度继续运动了距离L时与第三车相碰，三车以共同速度又运动了距离L时停止．车运动时受到的摩擦阻力恒为车所受重力的k倍，重力加速度为g，若车与车之间仅在碰撞时发生相互作用，碰撞时间很短，忽略空气阻力，求：
图1－13
（1）整个过程中摩擦阻力所做的总功；
（2）人给第一辆车水平冲量的大小；
（3）第一次与第二次碰撞系统动能损失之比．
24．F4[2011·重庆卷]【解析】
（1）设运动过程中摩擦阻力做的总功为W，则
W＝－kmgL－2kmgL－3kmgL＝－6kmgL
（2）设第一车初速度为u0，第一次碰前速度为v1，碰后共同速度为u1；第二次碰前速度为v2，碰后共同速度为u2；人给第一车的水平冲量大小为I.
由：
－kmgL＝mv－mu
－k（2m）gL＝（2m）v－（2m）u
－k（3m）gL＝0－（3m）u
mv1＝2mu1
2mv2＝3mu2
得：
I＝mu0－0＝2m
（3）设两次碰撞中系统动能损失分别为ΔEk1和ΔEk2.
由ΔEk1＝kmgL
ΔEk2＝kmgL
得：
＝
F5 实验：
验证碰撞中的动量守恒
21．J8F5[2011·北京卷]
（1）用如图1所示的多用电表测量电阻，要用到选择开关K和两个部件S、T.请根据下列步骤完成电阻测量：
图1
①旋动部件________，使指针对准电流的“0”刻线．
②将K旋转到电阻挡“×100”的位置．
③将插入“＋”、“－”插孔的表笔短接，旋动部件_____，使指针对准电阻的_____（填“0刻线”或“∞刻线”）．
④将两表笔分别与待测电阻相接，发现指针偏转角度过小．为了得到比较准确的测量结果，请从下列选项中挑出合理的步骤，并按_____的顺序进行操作，再完成读数测量．
A．将K旋转到电阻挡“×1k”的位置
B．将K旋转到电阻挡“×10”的位置
C．将两表笔的金属部分分别与被测电阻的两根引线相接
D．将两表笔短接，旋动合适部件，对电表进行校准
【答案】①S ③T 0刻线 ④ADC
【解析】S为指针定位螺丝，作用是把电表的指针调到左端零位置，称之为机械调零．T为欧姆调零旋纽，当选择开关打到欧姆挡时，调节该旋纽，使指针指到右端零位置．当笔尖相互接触时，接入的电阻为零，所以指针的示数应在0刻度．将两表笔分别与待测电阻相接，发现指针偏转角度过小，说明电阻很大（打到欧姆挡，指针在无穷大处），所以量程应该调大一些，让指针在中央刻度附近，所以先换成大挡位，调零，再测量，所以顺序为ADC.
（2）如图2所示，用“碰撞实验器”可以验证动量守恒定律，即研究两个小球在轨道水平部分碰撞前后的动量关系．
图2
①实验中，直接测定小球碰撞前后的速度是不容易的．但是，可以通过仅测量________（填选项前的序号），间接地解决这个问题．
A．小球开始释放高度h
B．小球抛出点距地面的高度H
C．小球做平抛运动的射程
②图2中O点是小球抛出点在地面上的垂直投影．实验时，先让入射球m1多次从斜轨上S位置静止释放，找到其平均落地点的位置P，测量平抛射程OP.
然后，把被碰小球m2静置于轨道的水平部分，再将入射球m1从斜轨S位置静止释放，与小球m2相撞，并多次重复．
接下来要完成的必要步骤是______．（填选项的符号）
A．用天平测量两个小球的质量m1、m2
B．测量小球m1开始释放高度h
C．测量抛出点距地面的高度H
D．分别找到m1、m2相碰后平均落地点的位置M、N
E．测量平抛射程OM、ON
③若两球相碰前后的动量守恒，其表达式可表示为________________________（用②中测量的量表示）；
若碰撞是弹性碰撞．那么还应满足的表达式为______________________（用②中测量的量表示）．
④经测定，m1＝45.0g，m2＝7.5g，小球落地点的平均位置距O点的距离如图3所示．
图3
碰撞前、后m1的动量分别为p1与p′1，则p1∶p′1＝________∶11；若碰撞结束时m2的动量为p′2，则p′1∶p′2＝11∶________.
实验结果说明，碰撞前、后总动量的比值为________．
⑤有同学认为，在上述实验中仅更换两个小球的材质，其他条件不变，可以使被碰小球做平抛运动的射程增大．请你用④中已知的数据，分析和计算出被碰小球m2平抛运动射程ON的最大值为________cm.
21．J8F5[2011·北京卷]①C ②ADE或DEA或DAE
③m1·OM＋m2·ON＝m1·OP m1·OM2＋m2·ON2＝m1·OP2 ④14 2.9 1～1.01 ⑤76.8
【解析】①被碰小球碰撞前后的时间仅由下落高度决定，两球下落高度相同，时间相同，所以水平速度可以用水平位移数值表示．
②本实验需要测量的量有两小球的质量m1、m2和平抛射程OM、ON，显然要确定两小球的平均落点M和N的位置．
③碰撞过程中，动量守恒，即碰撞前的动量m1·OP等于碰撞后的动量m1·OM＋m2·ON；若是弹性碰撞，则机械能守恒，m1·＋m2·＝m1·，整理可得m1·OM2＋m2·ON2＝m1·OP2.
④把测量的小球的质量以及图中的距离代入动量守恒公式中，就可以得出结果．
⑤当碰撞为弹性碰撞时，被碰小球射程最大，把数据代入③中的两个方程，可以得出结果．
1．【2011·温州质检】如图X30－1所示，国际花样滑冰锦标赛男女双人自由滑项目中，我国著名选手申雪、赵宏博在决赛中的一个瞬间，他们正以相同的速度v0在光滑冰面上前进，当赵宏博用力将申雪向后推出后，申雪单腿沿直线匀速运动后继而做出优美的旋转动作，若赵宏博以相对自己的速度v向后推出申雪，问赵宏博的速度变为多大？
（设赵宏博的质量为M，申雪的质量为m）
图X30－1
1．【解析】设他们前进的方向为正方向，以冰面为参考系，推出后，赵宏博的动量为Mv男，申雪相对冰面的速度为－，根据动量守恒定律得：
v0＝Mv男－m
解得v男＝v0＋.
2．【2011·临沂模拟】两磁铁各放在一辆小车上，小车能在水平面上无摩擦地沿同一直线运动．已知甲车和磁铁的总质量为0.5kg，乙车和磁铁的总质量为1.0kg.两磁铁的N极相对，推动一下，使两车相向运动．某时刻甲车的速率为2m/s，乙车的速率为3m/s，方向与甲相反．两车运动过程中始终未相碰．求：
（1）两车最近时，乙车的速度为多大？
（2）甲车开始反向运动时，乙车的速度为多大？
2．【解析】
（1）两车相距最近时，两车的速度相同，设该速度为v，取乙车的速度方向为正方向．由动量守恒定律得
m乙v乙－m甲v甲＝（m甲＋m乙）v
所以两车最近时，乙车的速度为
v＝＝m/s＝m/s＝1.33m/s
（2）甲车开始反向时，其速度为0，设此时乙车的速度为v乙′，由动量守恒定律得
m乙v乙－m甲v甲＝m乙v乙′
解得v乙′＝＝m/s＝2m/s.
3．【解析】
（1）在子弹撞击A的过程中，子弹与A组成系统的总动量守恒，此过程结束时A的速度最大，设此刻子弹的速度为v，A的速度为vA，则有
mv0＝mv＋mAvA，
解得：
vA＝2.5m/s.
（2）当A在B上滑动过程中，A与B组成的系统的总动量守恒，若A不会滑离B，则当A滑到B右端时两者速度恰好相等，设相对滑动距离为s，两者达到的共同速度为v共，则有：
mAvA＝（mA＋mB）v共，
mAv－（mA＋mB）v＝μmAgs，
解得：
v共＝1.25m/s，s＝3.125m
4．【2011·濮阳一模】如图X30－4所示，子弹水平射入放在光滑水平地面上静止的木块，子弹未穿透木块，此过程木块动能增加了E.请推证：
此过程子弹和木块系统产生的内能一定大于E.
图X30－4
4．【解析】设子弹和木块的质量分别为m、M，子弹打入木块前的速度为v0，打入后二者的共同速度为v.
子弹打入木块过程中，动量守恒，有：
mv0＝（m＋M）v
子弹打入木块过程中，系统产生的内能为：
Q＝mv－（m＋M）v2
而E＝Mv2
联立解得：
Q＝Mv2＝E>E.
5．【2011·莱芜质检】如图X30－5所示，光滑轨道上，小车A、B用轻弹簧连接，将弹簧压缩后用细绳系在A、B上，然后使A、B以速度v0沿轨道向右运动，运动中细绳突然断开，当弹簧第一次恢复到自然长度时，A的速度刚好为0.已知A、B的质量分别为mA、mB，且mA被压缩的弹簧具有的弹性势能Ep.
图X30－5
5．【解析】绳断后A、B动量守恒
（mA＋mB）v0＝mBv
弹开过程，弹性势能转化为动能
Ep＋v＝mBv2
解以上两式得：
Ep＝v.
6．【2011·温州模拟】在光滑的水平面上，质量为m1的小球A以速率v0向右运动．在小球A的前方O点有一质量为m2的小球B处于静止状态，如图X30－7所示．小球A与小球B发生正碰后均向右运动．小球B被在Q点处的墙壁弹回后与小球A在P点相遇，PQ＝1.5PO.假设小球间的碰撞及小球与墙壁之间的碰撞都是弹性的，求两小球质量之比m1∶m2.
图X30－7
6．【解析】从两小球碰撞后到它们再次相遇，小球A和B的速度大小保持不变．根据它们通过的路程，可知小球B和小球A在碰撞后的速度大小之比为4∶1.
设碰撞后小球A和B的速度分别为v1和v2，在碰撞过程中动量守恒，碰撞前后动能相等，则有
m1v0＝m1v1＋m2v2
m1v＝m1v＋m2v
利用＝4，可解出m1∶m2＝2∶1.
7.【2011·自贡模拟】如图X30－8所示，在水平光滑直导轨上，静止放着三个质量均为m＝1kg的相同小球A、B、C.现让A球以v0＝2m/s的速度向着B球运动，A、B两球碰撞后粘在一起，两球继续向右运动并跟C球碰撞，C球的最终速度vC＝1m/s.求：
（1）A、B两球跟C球相碰前的共同速度为多大？
（2）两次碰撞过程中一共损失了多少动能？
图X30－8
7.【解析】
（1）A、B相碰满足动量守恒：
mv0＝2mv1
得两球跟C球相碰前的速度v1＝1m/s
（2）两球与C碰撞
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