完整版匀速圆周运动专题.docx
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完整版匀速圆周运动专题
匀速圆周运动专题
从现行高中知识体系来看，匀速圆周运动上承牛顿运动定律，下接万有引力，因此在高一物理中占据极其重要的地位，同时学好这一章还将为高二的带电粒子在磁场中的运动及高三复习中解决圆周运动的综合问题打下良好的基础。
（一）基础知识
1.匀速圆周运动的基本概念和公式
（1）线速度大小
，方向沿圆周的切线方向，时刻变化；
（2）角速度
，恒定不变量；（3）周期与频率
；
（4）向心力
，总指向圆心，时刻变化，向心加速度
，方向与向心力相同；
（5）线速度与角速度的关系为
，
、
、
、
的关系为
。
所以在
、
、
中若一个量确定，其余两个量也就确定了，而
还和
有关。
2.质点做匀速圆周运动的条件
（1）具有一定的速度；
（2）受到的合力（向心力）大小不变且方向始终与速度方向垂直。
合力（向心力）与速度始终在一个确定不变的平面内且一定指向圆心。
3.匀速圆周运动的动力学特征
（1）始终受合外力作用，且合外力提供向心力，其大小不变，始终指向圆心，因合力始终与速度垂直，所以合力不做功．
（2）匀速圆周运动的动力学方程
根据题意，可以选择相关的运动学量如v，ω，T，f列出动力学方程；
，
，
，
.
熟练掌握这些方程，会给解题带来方便．
4．变速圆周运动的动力学特征
（1）受合外力作用，但合力并不总是指向圆心，且合力的大小也是可以变化的，故合力可对物体做功，物体的速率也在变化．
（2）合外力的分力（在某些位置上也可以是合外力）提供向心力．
例题1．在图1中所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r，a是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径为4r，小轮的半径为2r。
b点在小轮上，到小轮中心的距离为r。
c点和d点分别于小轮和大轮的边缘上。
若在传动过程中，皮带不打滑。
则（）
A．a点与b点的线速度大小相等
B．a点与b点的角速度大小相等
C．a点与c点的线速度大小相等
D．a点与d点的向心加速度大小相等
说明：
在分析传动装置的各物理量时，要抓住等量和不等量之间的关系。
如同轴各点的角速度相等，而线速度与半径成正比；通过皮带传动（不考虑皮带打滑的前提下）或是齿轮传动，皮带上或与皮带连接的两轮边缘的各点及齿轮上的各点线速度大小相等、角速度与半径成反比。
练习
1．如图所示的皮带转动装置，左边是主动轮，右边是一个轮轴，
，
。
假设在传动过程中皮带不打滑，则皮带轮边缘上的A、B、C三点的角速度之比是；线速度之比是；向心加速度之比是。
2．图示为某一皮带传动装置。
主动轮的半径为r1，从动轮的半径为r2。
已知主动轮做顺时针转动，转速为n，转动过程中皮带不打滑。
下列说法正确的是（）。
A．从动轮做顺时针转动B．从动轮做逆时针转动
C．从动轮的转速为
nD．从动轮的转速为
n
例2：
如图1所示，直径为d的圆筒绕中心轴做匀速圆周运动，枪口发射的子弹速度为v，并沿直径匀速穿过圆筒。
若子弹穿出后在圆筒上只留下一个弹孔，则圆筒运动的角速度为多少？
例3：
质点P以O为圆心做半径为R的匀速圆周运动，如图2所示，周期为T。
当P经过图中D点时，有一质量为m的另一质点Q受到力F的作用从静止开始作匀加速直线运动。
为使P、Q两质点在某时刻的速度相同，则F的大小应满足什么条件？
例4：
如图4所示，半径为R的水平圆盘正以中心O为转轴匀速转动，从圆板中心O的正上方h高处水平抛出一球，此时半径OB恰与球的初速度方向一致。
要使球正好落在B点，则小球的初速度及圆盘的角速度分别为多少？
5．描述圆周运动的动力学物理量———向心力
（1）向心力来源：
向心力是做匀速圆周运动的物体所受外力的合力。
向心力是根据力的作用效果命名的，不是一种特殊的性质力。
向心力可以是某一个性质力，也可以是某一个性质力的分力或某几个性质力的合力。
例如水平转盘上跟着匀速转动的物体由静摩擦力提供向心力；带电粒子垂直射入匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力；电子绕原子核旋转由库仑力提供向心力；圆锥摆由重力和弹力的合力提供向心力。
做非匀速圆周运动的物体，其向心力为沿半径方向的外力的合力，而不是物体所受合外力。
（2）向心力大小：
根据牛顿第二定律和向心加速度公式可知，向心力大小为：
其中r为圆运动半径。
（3）向心力的方向：
总是沿半径指向圆心，与速度方向永远垂直。
（4）向心力的作用效果：
只改变线速度的方向，不改变线速度的大小。
3．解答圆周运动问题时的注意事项
（1）圆周运动的轨道平面、圆心位置和半径；
（2）确定是匀速圆周运动还是变速圆周运动，以确定运用相应的物理规律；
（3）正确进行受力分析，并进行相应的分解（一般是沿法向和切向进行正交分解），再根据牛顿第二定律沿半径方向列出动力学方程；
（4）注意圆周运动问题中的临界状态及临界条件的确定，结合能量的观点来求解
例题1.如图所示，Ａ、Ｂ、Ｃ三个物体放在旋转圆台上，动摩擦因数均为
，Ａ的质量为
，Ｂ、Ｃ质量均为
，Ａ、Ｂ离轴Ｒ，Ｃ离轴2Ｒ，则当圆台旋转时（设Ａ、Ｂ、Ｃ都没有滑动），Ａ、Ｂ、Ｃ三者的滑动摩擦力认为等于最大静摩擦力，下列说法正确的是（）
A.Ｃ物的向心加速度最大；
B.Ｂ物的静摩擦力最小；
C.当圆台转速增加时，Ｃ比Ａ先滑动；
D.当圆台转速增加时，Ｂ比Ａ先滑动。
例2：
如图2所示，水平转盘上放有质量为m的物体，当物块到转轴的距离为r时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直（绳上张力为零）。
物体和转盘间的最大静摩擦力是其正压力的
倍。
求：
（1）当转盘的角速度
时，细绳的拉力
。
（2）当转盘的角速度
时，细绳的拉力
。
点评：
当转盘转动角速度
时，物体有绳相连和无绳连接是一样的，此时物体做圆周运动的向心力是由物体与圆台间的静摩擦力提供的，求出
。
可见，
是物体相对圆台运动的临界值，这个最大角速度
与物体的质量无关，仅取决于
和r。
这一结论同样适用于汽车在平路上转弯。
例3、汽车与路面的动摩擦因数为μ，公路某转弯处半径为R（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），问：
（1）若路面水平，汽车转弯不发生侧滑，汽车速度不能超过多少？
（2）若将公路转弯处路面设计成外侧高，内侧低，使路面与水平面有一倾角α，汽车以多大速度转弯时，可使车与路面间无摩擦力？
例题4、如右图所示，某游乐场有一水上转台，可在水平面内匀速转动，沿半径方向面对面手拉手坐着甲、乙两个小孩，假设两小孩的质量相等，他们与盘间的动摩擦因数相同，当圆盘转速加快到两小孩刚好还未发生滑动时，某一时刻两小孩突然松手，则两小孩的运动情况是（ ）
A．两小孩均沿切线方向滑出后落入水中
B．两小孩均沿半径方向滑出后落入水中
C.甲所受的静摩擦力变小
D．两小孩仍随圆盘一起做匀速圆周运动，不会发生滑动而落入水中
E．甲仍随圆盘一起做匀速圆周运动，乙发生滑动最终落入水中
练习
1.如图3—12所示，一转盘可绕其竖直轴在水平面内转动，转动半径为R，在转台边缘放一物块A，当转台的角速度为ω0时，物块刚能被甩出转盘。
若在物块A与转轴中心O连线中点再放一与A完全相同的物块B（A、B均可视为质点），并用细线相连接。
当转动角速度ω为多大时，两物块将开始滑动？
例5：
小球在半径为R的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动，试分析图3中的
（小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角）与线速度v、周期T的关系。
（小球的半径远小于R）。
点评：
本题的分析方法和结论同样适用于火车转弯、飞机在水平面内做匀速圆周飞行等在水平面内的匀速圆周运动的问题。
共同点是由重力和弹力的合力提供向心力，向心力方向水平。
例6、如图所示，长为L的细绳一端固定，另一端系一质量为m的小球。
给小球一个合适的初速度，小球便可在水平面内做匀速圆周运动，这样就构成了一个圆锥摆，设细绳与竖直方向的夹角为θ。
下列说法中正确的是
A．小球受重力、绳的拉力和向心力作用
B．小球只受重力和绳的拉力作用
C．θ越大，小球运动的速度越大
D．θ越大，小球运动的周期越大
例7.一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定，有质量相等的小球A和B沿着筒的内壁在水平面内作匀速圆周运动，如图7所示，A的运动半径较大，则
A.A球的角速度必小于B球的角速度
B.A球的线速度必小于B球的线速度
C.A球的运动周期必小于B球的运动周期
D.A球对筒壁的压力必等于B球对筒壁的压力
例8、用一根细线一端系一可视为质点的小球，另一端固定在一光滑锥顶上，如图所示，设小球在水平面内作匀速圆周运动的角速度为ω，线的张力为T，则T随ω2变化的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
练习
光滑的圆锥体固定在水平面上，其轴线沿铅直方向，母线与轴线间夹角θ=30°（图）。
一条长为l的轻质细绳，一端固定在锥体顶点0处，另一端拴着质量为m的小物体，物体以速率v绕锥体轴线作水平匀速圆周运动．求：
（1）当v=
时，绳对物体的拉力；
（2）当v=
时，绳对物体的拉力
6、火车转弯
如图所示，火车在平直的轨道上转弯，将挤压外轨，由外轨给火车的弹力提供火车转弯所需的向心力，这样久而久之，将损坏外轨。
故火车转弯处使外轨略高于内轨，火车驶过转弯处时，铁轨对火车的支持力FN的方向不再是竖直的，而是斜向弯道的内侧，它与重力的合力指向圆心，提供火车转弯所需的向心力。
这就减轻了轮缘与外轨的挤压。
例1、铁路在弯道处的内外轨道高低是不同的，已知内外轨道对水平面倾角为θ，弯道处的圆弧半径为R，若质量为m的火车转弯时速度小于
，则
（A）内轨对内侧车轮轮缘有挤压；
（B）外轨对外侧车轮轮缘有挤压；
（C）这时铁轨对火车的支持力小于mg/cosθ；
（D）这时铁轨对火车的支持力大于mg/cosθ.
7.竖直面内的圆周运动
竖直面内圆周运动最高点处的受力特点及题型分类。
这类问题的特点是：
由于机械能守恒，物体做圆周运动的速率时刻在改变，所以物体在最高点处的速率最小，在最低点处的速率最大。
物体在最低点处向心力向上，而重力向下，所以弹力必然向上且大于重力；而在最高点处，向心力向下，重力也向下，所以弹力的方向就不能确定了。
所以竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动。
一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况，常涉及过最高点时的临界问题。
１．“绳模型”所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况。
（注意：
绳对小球只能产生拉力）
（1）小球能过最高点的临界条件：
绳子和轨道对小球刚好没有力的作用
mg=
=
（2）小球能过最高点条件：
v≥
（当v>
时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力）
（3）不能过最高点条件：
v<
（实际上球还没有到最高点时，就脱离了轨道）
２．“杆模型”如图所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况
（注意：
轻杆和细线不同，轻杆对小球既能产生拉力，又能产生推力。
）
（1）小球能最高点的临界条件：
v=0，F=mg（F为支持力）
（2）当0时，F随v增大而减小，且mg>F>0（F为支持力）
（3）当v=
时，F=0
（4）当v>
时，F随v增大而增大，且F>0（F为拉力）
注意：
管壁支撑情况与杆一样。
杆与绳不同，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力．
由于两种模型过最高点的临界条件不同，所以在分析问题时首先明确是哪种模型，然后再利用条件讨论．
（3）拱桥模型
如图所示，此模型与杆模型类似，但因可以离开支持面，在最高点当物体速度达v=
时，FN=0，物体将飞离最高点做平抛运动。
若是从半圆顶点飞出，则水平位移为s=
R。
例题1如图4-4所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动。
现给小球一初速度，使它做圆周运动，图3中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是（）
A.a处为拉力，b处为拉力B.a处为拉力，b处为推力
C.a处为推力，b处为拉力D.a处为推力，b处为推力
例题2半径为R的光滑半圆球固定在水平面上，顶部有一小物体，
如图所示。
今给小物体一个水平初速度
，则小物体将（）
A.沿球面下滑至M点
B.先沿球面下滑至某点Ｎ，然后便离开斜面做斜下抛运动
Ｃ.按半径大于R的新的圆弧轨道做圆周运动
D.立即离开半圆球做平抛运动
例题3如图所示，小球m在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，下列说法中正确的有：
A．小球通过最高点的最小速度为
B．小球通过最高点的最小速度为零
C．小球在水平线ab以下管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
D．小球在水平线ab以上管道中运动时，内侧管壁对小球一定有作用力
例题4如图所示，光滑管形圆轨道半径为R（管径远小于R），小球a、b大小相同，质量均为m,其直径略小于管径，能在管中无摩擦运动。
两球先后以相同速度u通过轨道最低点，且当小球a在最低点时，小球b在最高点，以下说法正确的是
A、当小球b在最高点对轨道无压力时，小球a比小球b所需向心力大5mg
B、当
时，小球b在轨道最高点对轨道无压力
C、速度
至少为
，才能使两球在管内做圆周运动
D、只要
小球a对轨道最低点的压力比小球b对轨道最高点的压力大6mg
例5、过山翻滚车是一种常见的游乐项目。
如图是螺旋形过山翻滚车的轨道，一质量为100kg的小车从高为14m处由静止滑下，当它通过半径为R=4m的竖直平面内圆轨道的最高点A时，对轨道的压力的大小恰等于车重，小车至少要从离地面多高处滑下，才能安全的通过最高点A点？
（g取10m/s2）
练习
1.（2015春•隆化县校级期中）如图所示，有A、B两颗行星绕同一颗恒星M做圆周运动，旋转方向相同，A行星的周期为T1，B行星的周期为T2，在某一时刻两行星相距最近，则（ ）
A．经过时间t=T1+T2，两行星再次相距最近
B．经过时间t=
，两行星再次相距最近
C．经过时间t=
，两行星相距最远
D．经过时间t=
，两行星相距最远
2．（2015春•邢台校级月考）如图所示，行星A绕O点沿逆时针方向做匀速圆周运动，周期为T1，行星B绕O点沿顺时针方向做匀速圆周运动，周期为T2．某时刻AO、BO刚好垂直，从此时刻算起，经多长时间它们第一次相距最远（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2014•邢台一模）如图所示，在同一竖直平面内有两个正对着的半圆形光滑轨道，轨道的半径都是R．轨道端点所在的水平线相隔一定的距离x．一质量为m的小球能在其间运动而不脱离轨道，经过最低点B时的速度为v．小球在最低点B与最高点A对轨道的压力之差为△F（△F＞0）．不计空气阻力．则 A．m、x一定时，R越大，△F一定越大
B．m、x一定时，v越大，△F一定越大
C．m、R一定时，x越大，△F一定越大
D．m、R一定时，v越大，△F一定越大
4．（2014•浙江校级模拟）如图所示，A、B两球穿过光滑水平杆，两球间用一细绳连接，当该装置绕竖直轴OO′匀速转动时，两球在杆上恰好不发生滑动，若两球质量之比mA：
mB=2：
1，那么关于A、B两球的下列说法中正确的是（ ）
A．A、B两球受到的向心力之比为2：
1
B．A、B两球角速度之比为1：
1
C．A、B两球运动半径之比为1：
2
D．A、B两球向心加速度之比为1：
2
6．（2013秋•个旧市校级期末）一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替，如图（a）所示，曲线上的A点的曲率圆定义为：
通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆．在极限情况下，这个圆就叫做A点的曲率圆，其半径ρ叫做A点的曲率半径．现将一物体沿与水平面成α角的方向以速度v0抛出，如图（b）所示，则在其轨迹最高点P处的曲率半径是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2015春•娄底期中）如图，两个质量均为m的小木块a和b（可视为质点）放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g，若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速运动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是
A．b一定比a先开始滑动
B．a，b所受的摩擦力始终相等
C．ω=
是b开始滑动的临界角速度
D．当ω=
时，a所受摩擦力的大小为kmg
9．（2015•安庆校级四模）如图，一质量为M的光滑大圆环，用一细轻杆固定在竖直平面内：
套在大环上质量为m的小环（可视为质点），从大环的最高处由静止滑下．重力加速度大小为g，当小环滑到大环的最低点时，大环对轻杆拉力的大小为（ ）
A．Mg﹣5mgB．Mg+mgC．Mg+5mgD．Mg+10mg
11．（2015•西安模拟）如图所示，两个可视为质点的、相同的木块A和B放在转盘上，两者用长为L的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的K倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动．开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是（ ）
A．当
时，A、B相对于转盘会滑动
B．当
时，绳子一定有弹力
C．
范围内增大时，B所受摩擦力变大
D．
范围内增大时，A所受摩擦力一直变大
17．（2014•安徽）如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止，物体与盘面间的动摩擦因数为
，（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），盘面与水平面的夹角为30°，g取10m/s2，则ω的最大值是（ ）
A．
rad/sB．
rad/sC．1.0rad/sD．0.5rad/s
18．（2013秋•广东月考）如图所示，M为固定在水平桌面上的有缺口的方形木块，abcd为半径是R的
光滑圆弧形轨道，a为轨道的最高点，地面水平且有一定长度．今将质量为m的小球在d点的正上方高为h处由静止释放，让其自由下落到d处切入轨道内运动，不计空气阻力，则（ ）
A．只要h大于R，释放后小球就能通过a点
B．只要改变h的大小，就能使小球通过a点后，既可能落回轨道内，又可能落到de面上
C．无论怎样改变h的大小，都不可能使小球通过a点后落回轨道内
D．调节h的大小，可以使小球飞出de面之外（即e的右侧）
如图所示，两绳系一质量为m＝0.1kg的小球，上面绳长L＝2m，两端都拉直时与轴的夹角分别为30°与45°，问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧，当角速度为3rad／s时，上、下两绳拉力分别为多大？
27．（2012•利州区校级一模）如图所示，AB是倾角为θ的粗糙直轨道，BCD是光滑的圆弧轨道，AB恰好在B点与圆弧相切，圆弧的半径为R．一个质量为m的物体（可以看作质点）从直轨道上的P点由静止释放，结果它能在两轨道间做往返运动．已知P点与圆弧的圆心O等高，物体与轨道AB间的动摩擦因数为μ．求：
（1）物体做往返运动的整个过程中在AB轨道上通过的总路程；
（2）最终当物体通过圆弧轨道最低点E时，对圆弧轨道的压力；
（3）为使物体能顺利到达圆弧轨道的最高点D，释放点距B点的距离L′应满足什么条件？
28．（2012•海南）如图，在竖直平面内有一固定光滑轨道，其中AB是长为R的水平直轨道，BCD是圆心为O、半径为R的
圆弧轨道，两轨道相切于B点．在外力作用下，一小球从A点由静止开始做匀加速直线运动，到达B点时撤除外力．已知小球刚好能沿圆轨道经过最高点C，重力加速度大小为g．求：
（1）小球从在AB段运动的加速度的大小；
（2）小球从D点运动到A点所用的时间．
29．（2015•山东校级模拟）如图是利用传送带装运煤块的示意图．其中，传送带的从动轮与主动轮圆心之间的距离为s=3m，传送带与水平方向间的夹角θ=37°，煤块与传送带间的动摩擦因数μ=0.8，传送带的主动轮和从动轮半径相等，主动轮轴顶端与运煤车底板间的竖直高度H=1.8m，与运煤车车箱中心的水平距离x=0.6m．现在传送带底端由静止释放一煤块（可视为质点）．煤块恰好在轮的最高点水平抛出并落在车箱中心，取g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（l）主动轮的半径；
（2）传送带匀速运动的速度；
（3）煤块在传送带上直线部分运动的时间．
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