圆锥曲线的离心率.docx
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圆锥曲线的离心率
圆锥曲线的离心率
1
椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于—，且它的一个顶点恰好是抛物线
2
x28.3y的焦点，则椭圆C的标准方程为
22
A.xy—
B.
2x
2
y
1C.
2x
2
y
1D.
2x
2
y1
42
4
3
12
9
16
12
4.
2
2
已知椭圆笃
再1a
b
0与
x轴负半轴交于点
C,
A为椭圆第
-象限上的点，直线
a
b
0A交椭圆于另一点B,椭圆的左焦点为F,若直线AF平分线段BC,则椭圆的离心率等于
（）
A.—B.-3C.3D.—
322
5.
焦点在y轴的椭圆x2+ky2=1的长轴长是短轴长的2倍，那么k等于（）
9.
P为椭圆®匕=1（a>b>0）上异于左右顶点A,A的任意一点，则直线PA与PA
a2b2
的斜率之积为定值-，将这个结论类比到双曲线，得出的结论为:
--—=1（a>0,b>0）上异于左右顶点Ai,A的任意一点，则（）
2
A.直线PA与PA的斜率之和为定值—
2
B.直线PA与PA2的斜率之积为定值—-
12
C.直线PA与PA2的斜率之和为定值七
3
2
D.直线PA与PA2的斜率之积为定值—7
a
7.
以|y24
椭圆一r+-」=1（a>b>0）的两个焦点Fi,F2,点M在椭圆上，且MF丄F1F2,|MFi|=—：
/b，3
|MF2|==，则离心率e等于（）
A:
B.
C
D.'
6
3
4
如果椭圆的短轴长等于焦距，那么此椭圆的离心率等于（
心率为（
）
2
A.：
B.
T
C亍D.
11.
12.
=1
A.
14.
13.
15.
[2
经过椭圆亘+y=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线I，交椭圆于A、B两点.设O为
2
坐标原点，则匚
或-3D.±
已知a>b>0，椭圆
2
C的方程为七
a
2
=1,双曲线C2的方程为七
与G的离心率之积为」，则C2的渐近线方程为（）
A.x±y=0B.x±/y=0C.2x±y=0D.x±2y=0
在厶ABC中,
AB=BCcosB=
18
，若以A,B为焦点的椭圆经过点C,则该椭圆的离
心率e=（
A.
B.
D.
3
IS
18.
x2
设F,F2分别是椭圆
4
1的左、右焦点,
P是第一象限内该椭圆上的一点，且
PF丄
PF2，求点p的横坐标为（
=1
（a>b>0）
的左、右焦点分别为F1、F2,P是C上的点
B.-
C.-
D.—
3
2
3
则C的离心率为
）
A.
20.
已知椭圆:
=1
的焦距为4,贝Um等于（）
A.4
C.4或8
D.以上均不对
试卷答案
1.C
【考点】椭圆的简单性质.
由于△MNF为等腰
【分析】把x=-c代入椭圆”冷」_1.，解得y=±'
k2：
直角三角形，可得丄=2c，由离心率公式化简整理即可得出.
a
22
【解答】解：
把x=-c代入椭圆方程毛,
a2b_
解得y=±-
a
•••△MNF为等腰直角三角形,
•••—=2c,即卩a2-c2=2ac,
a
由e==，化为e2+2e-1=0,0vev1.a
解得e=-1+「.
故选C.
2.D
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】设P（mn）,代入椭圆方程，运用直线的斜率公式，化简整理代入，即可得到定值.
22
【解答】解：
设P（m,n）,可得m+4n=4,
即有m=4-4n2,
又ki=_—,k2='"
nrV5nrh/3
贝9kik2=
1
n——
2
?
!
1
?
-1
=-
ni"V3
nrh/3
故选：
D.
3.D
试题分析：
根据题意，可知抛物线的焦点为（0,2「3），所以对于椭圆而言，b23，结
考点：
抛物线的性质，椭圆的性质，椭圆的方程
4.A
【知识点】椭圆
【试题解析】设AF交BC于点M设右焦点为G,
由椭圆的对称性知：
A,B关于原点对称，所以MF//BG.因为M是BC的中点，所以F是CG的中点，
所以a-c=2c，即a=3c,所以--——
d3
故答案为：
A
5.D
【考点】椭圆的简单性质.
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程.
利用长轴长是短轴长的2倍，即可得出.
【解答】解：
椭圆x2+ky2=1的方程化为：
_+x2=1,
k|
t焦点在y轴上，可得：
a2=,b=1,
•••长轴长是短轴长的2倍,
'-=2X2,解得
故选：
D.
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档
题.
6.D
【考点】
椭圆的简单性质.
【专题】
综合题；方程思想；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程；推理和证明.
【分析】
由已知椭圆的性质类比可得直线
e2
PA与PA2的斜率之积为定值飞.然后加以证
3
明即可.
【解答】
2
解：
设P（xo,yo）为双曲线=
a
=1（a>0,b>0）上异于左右顶点
Ai,A的任意一点，则A（-a,0）,A（a,0）,
%
2
X
2y
2a
=1上,
又P（xo,yo）在双曲线
2）
•••直线PA与PA的斜率之积为定值故选：
D.
【点评】
本题考查椭圆与双曲线的简单性质，训练了类比推理思想方法，是中档题.
7.
C
离心率.
e=
上=
.Vs
a
故选：
c.
【点评】本题考查椭圆的定义，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于中档
题.
8.A
【考点】抛物线的简单性质；椭圆的标准方程.
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.
由此能求出椭圆方
【分析】根据题意设椭圆方程为
程.
且它的一个焦点与抛物线/二-的焦点重合,
•••椭圆的焦点坐标F（0,±:
-）,
22
•设椭圆方程为一■—■---1
ba
且丿耳2,解得a=2,c=^3,•b={4-3=1,
2
•椭圆方程为.
故选A.
【点评】本题考查椭圆方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意抛物线性质的合
理运用.
9.C
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】由于椭圆的短轴长等于焦距，即b=c,故a=.丁二'
到:
的值.
【解答】解：
由于椭圆的短轴长等于焦距，即b=c,「.a=•一'故选C.
10.A
【考点】双曲线的简单性质.
【专题】计算题.
【分析】依据题意，求得双曲线C的焦点坐标和实轴端点坐标，求得曲线的标准方程,从而求得双曲线C的渐近线方程.
22
【解答】解：
椭圆一二1的长轴端点为（土5,0）,焦点为（土3,0）.
2516"1
由题意可得，对双曲线C,焦点（土5,0）,实轴端点为（土3,0）,.・.a=3,c=5,b=4,
故选A.
【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出双曲线的标准方程是解题的关键.
11.D
【考点】椭圆的简单性质.
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】通过记椭圆的左焦点为Fi（-1,0）,则|AFi|=1，利用|PFi|W|PA|+|AFi|可知
aw4;利用|PFi|>|PA|-|AFi|可知a>3,进而可得结论.
【解答】解：
记椭圆的左焦点为Fi（-1,0）,贝U|AFi|=1,
•/|PFi|w|PA|+|AFi|,
•••2a=|PFi|+|PF|w|PA|+|AFi|+|PF|w1+7=8,
即aw4;
•••|PFi|>|PA|-|AFi|,
•2a=|PFi|+|PF|>|PA|-|AFi|+|PF|>7-1=6,
即a>3,
2
•9waw16,
故选：
D.
12.A
【考点】椭圆的简单性质.
【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】求得椭圆C的焦点和短轴的两个端点，可得椭圆C2的a=3,b蚯，求得c,
由离心率公式可得.
22
【解答】解：
椭圆C:
丄*匚二1的焦点为（土岳,0）,
1431
短轴的两个端点为（0,±3）,
由题意可得椭圆C2的a=3,b=_匚,
可得c=：
=2,
即有离心率e=—寸.
故选：
A.
【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的性质，求得a,b,c是解题的关
键，属于基础题.
13.B
【考点】椭圆的应用；数列的应用.
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】先设长轴为2a,短轴为2b,焦距为2c,由题意可知：
a+c=2b，由此可以导出该椭圆的离心率.
【解答】解：
设长轴为2a,短轴为2b,焦距为2c,
则2a+2c=2X2b,
即a+c=2b?
（a+c）2=4b2=4（a2-c2）,所以3a2-5c2=2ac，同除a2,
23
整理得5e+2e-3=0,二巴祈或e=-1（舍去），
故选B.
【点评】本题考查等差数列和椭圆的离心率，难度不大，只需细心运算就行.
14.C
【考点】椭圆的简单性质.
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】由题意可得：
c=8，并且得到椭圆的焦点在x轴上，再根据椭圆的定义得到
a=10，进而由a,b,c的关系求出b的值得到椭圆的方程.
【解答】解：
•••两个焦点的坐标分别是Fi（-8,0）,F2（8,0）,
•••椭圆的焦点在横轴上，并且c=8,
•••由椭圆的定义可得：
2a=20,即a=10,
•••由a,b,c的关系解得b=6,
2
2
椭圆方程是丄
+-「=i
100
36
故选：
C.
【点评】本题主要考查椭圆的标准方程与椭圆的定义，以及考查椭圆的简单性质，此题属
于基础题.
15.B
【考点】椭圆的应用.
【专题】计算题.
y,设A（xi,yi）,B（X2,y2）,根据韦达定理求得
程求得yiy2的值，最后根据向量的计算法则求得答案.
2
【解答】解：
由号+y2=i,得a2=2,b2=i,c2=a2-b2=i，焦点为（土i,0）直线I不妨过右焦点，倾斜角为45°,直线I的方程为y=x-i.
2
代入丄+y2=i得x2+2（x-i）2-2=0,
2
2
即3x-4x=0.设A（xi,yi）,B（X2,y2）,
故选B
【点评】本题主要考查了椭圆的应用•当涉及过叫焦点的直线时，常需设出直线方程与椭圆方程联立利用韦达定理来解决.
16.B
【考点】椭圆的简单性质.
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】通过椭圆与双曲线的方程可得各自的离心率，化简即得结论.
【解答】解：
•••椭圆C的方程为
12_2
•••椭圆Ci的离心率ei=r"-
•双曲线
•••Ci与G的离心率之积为
I■:
故选：
B.
【点评】本题考查求椭圆的离心率问题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题.
17.C
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】如图所示，禾U用椭圆的定义和余弦定理即可得出.
【解答】解：
如图所示，
•••|AB|=|BC|,•|BC|=2c.
又|AC|+|BC|=2a,•|AC|=2a-2c.
在厶ABC中,
7
C0s8=——r
1&
=__-'■--17:
1’
2X2cX2c
2
化为16e+18e-9=0,又e>0.解得e^.
S
故选：
C.
18.D
【考点】椭圆的简单性质.
【专题】计算题.
【分析】先根据椭圆方程求得椭圆的半焦距c,根据PF!
±PF2,推断出点P在以二为半
径，以原点为圆心的圆上，进而求得该圆的方程与椭圆的方程联立求得交点的坐标，则根据点P所在的象限确定其横坐标.
【解答】解：
由题意半焦距c=「—「；=二
又•••PFi丄PF2,
•••点P在以.：
为半径，以原点为圆心的圆上，
x2-by2=3
，解得x=±〕「.
故选：
D.
【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质，椭圆与圆的位置关系•考查了考生对椭圆基础知识的综合运用.属基础题.
19.D
【考点】椭圆的简单性质.
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】设|PF2|=x，在直角三角形PF1F2中，依题意可求得|PFi|与IFHI，利用椭圆离心率的性质即可求得答案.
【解答】解：
|PF2|=xPF2丄FiF，/PFiF2=30°
•••|PFi|=2x,IF1F2F.「；x,
又|PFi|+|PF2|=2a,|FiF2|=2c
•2a=3x,2c=「；x,
•C的离心率为：
e*-：
=:
;.
2a3
故选D.
【点评】本题考查椭圆的简单性质，求得|PFi|与|PF2|及|F1F2I是关键，考查理解与应用能
力，属于中档题.
20.C
【考点】椭圆的标准方程.
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】首先分两种情况：
（1）焦点在x轴上时：
10-m-（m-2）=4
（2）焦点在y轴上时m-2-（10-m）=4分别求出m的值即可.
【解答】解：
（1）焦点在x轴上时：
10-m-（m-2）=4
解得：
m=4
（2）焦点在y轴上时m-2-（10-m）=4
解得：
m=8
故选：
C
【点评】本题考查的知识要点：
椭圆方程的两种情况：
焦点在x轴或y轴上，考察a、b、
c的关系式，及相关的运算问题．
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