数学八年级上 因式分解练习题及答案解析.docx

数学八年级上 因式分解练习题及答案解析.docx

《数学八年级上 因式分解练习题及答案解析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学八年级上 因式分解练习题及答案解析.docx（18页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

数学八年级上因式分解练习题及答案解析

一、单选题

1、正整数a，b，c是等腰三角形三边的长，并且a+bc+b+ca=24，则这样的三角形有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

2、任何一个正整数n都可以进行这样的分解：

n=s×t（s，t是正整数，且s≤t），如果p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：

F（n）=

．例如18可以分解成1×18，2×9，3×6这三种，这时就有F（18）=

=

．给出下列关于F（n）的说法：

（1）F

（2）=

；

（2）F（24）=

；（3）F（27）=3；（4）若n是一个完全平方数，则F（n）=1．其中正确说法的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

3、△ABC的内角A和B都是锐角，CD是高，若

=

，则△ABC是（）

A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形

4、对于任意整数n，多项式（n+11）2-（n+2）2都能被（）整除．

A．9B．2C．11D．n+9

5、已知a-b=1，则a2-b2-2b的值为（）

A．4B．3C．1D．0

6、如果x2+x-1=0，那么代数式x3+2x2-7的值为（）

A．6B．8C．-6D．-8

7、如果x2+3x-3=0，则代数式x3+3x2-3x+3的值为（）

A．0B．-3C．3D．

8、设x2-

x+7=0，则x4+7x2+49=（）

A．7B．

C．-

D．0

二、填空题

9、设

，则代数式3a3+12a2-6a-12的值为

10、已知关于x的方程x2-nx+m=0有一个根是m（m≠0），则m-n=．

11、若ab=3，a+b=4，则a2b+ab2=．

12、设a2+2a-1=0，b4-2b2-1=0，且1-ab2≠0，则

=．

13、已知a+b=3，ab=-1，则a2b+ab2=．

14、已知m2+m-1=0，那么代数式m3+2m2-2011的值是．

15、甲、乙两农户各有两块地，如图所示，今年，这两个农户决定共同投资搞饲养业，为此，他们准备将这4块土地换成一块地，那块地的宽为（a+b）米，为了使所换土地的面积与原来4块地的总面积相等，交换之后的土地应该是米．

三、解答题

16、我们学过因式分解的概念，在计算多项式的过程中，如果能适当地分解因式进行化简，会使得计算更为简单．我们为此引入质因数分解定理：

每一个大于1的整数都能分解为质因数的乘积的形式，如果把质因数按照从小到大的顺序排在一起，相同因数的积写成幂的形式，那么这种分解方法是唯一的．请你学习例题的解法，完成问题的研究．

例：

试求5746320819乘以125的值．

解：

∵125=1000÷8

∴5769320819×125=5746320819000÷8=718290102375

答：

由上知，5746320819×125=718290102375．

请根据例题，求一实数，使得它被10除余9，被9除余8，被8除余7，…，被2除余1

17、按下面规则扩充新数：

已有a和b两个数，可按规则c=ab+a+b扩充一个新数，而a，b，c三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，…，每扩充一个新数叫做一次操作．现有数2和3．

①求按上述规则操作三次得到扩充的最大新数；

②能否通过上述规则扩充得到新数5183？

并说明理由

1、正整数a，b，c是等腰三角形三边的长，并且a+bc+b+ca=24，则这样的三角形有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

C

【解答】 分析：

先将a+bc+b+ca=24可以化为（a+b）（c+1）=24，然后根据24分解为大于等于2的两个正整数的乘积有几种组合讨论是否符合题意即可得出答案．

解答：

解：

a+bc+b+ca=24可以化为（a+b）（c+1）=24，其中a，b，c都是正整数，并且其中两个数相等，

令a+b=A，c+1=C则A，C为大于2的正整数，

那么24分解为大于等于2的两个正整数的乘积有几种组合2×12，3×8，4×6，6×4，3×8，2×12，

①、A=2，C=12时，c=11，a+b=2，无法得到满足等腰三角形的整数解；

②、A=3，C=8时，c=7，a+b=3，无法得到满足等腰三角形的整数解；

③、A=4，C=6时，c=5，a+b=4，无法得到满足等腰三角形的整数解；

④、A=6，C=4时，c=3，a+b=6，可以得到a=b=c=3，可以组成等腰三角形；

⑤、A=8，C=3时，c=2，a+b=8，可得a=b=4，c=2，可以组成等腰三角形，a=b=4是两个腰；

⑥、A=12，C=2时，可得a=b=6，c=1，可以组成等腰三角形，a=b=6是两个腰．

∴一共有3个这样的三角形．

故选C．

题考查数的整除性及等腰三角形的知识，难度一般，在解答本题时将原式化为因式相乘的形式及将24分解为大于等于2的两个正整数的乘积有几种组合是关键

2、2×9，3×6这三种，这时就有F（18）=

=

．给出下列关于F（n）的说法：

（1）F

（2）=

；

（2）F（24）=

；（3）F（27）=3；（4）若n是一个完全平方数，则F（n）=1．其中正确说法的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

B

【解答】 分析：

把2，24，27，n分解为两个正整数的积的形式，找到相差最少的两个数，让较小的数除以较大的数，看结果是否与所给结果相同．

解答：

解：

∵2=1×2，

∴F

（2）=

是正确的；

∵24=1×24=2×12=3×8=4×6，这几种分解中4和6的差的绝对值最小，

∴F（24）=

=

，故

（2）是错误的；

∵27=1×27=3×9，其中3和9的绝对值较小，又3＜9，

∴F（27）=

，故（3）是错误的；

∵n是一个完全平方数，

∴n能分解成两个相等的数，则F（n）=1，故（4）是正确的．

∴正确的有

（1），（4）．

故选B．

点评：

本题考查题目信息获取能力，解决本题的关键是理解此题的定义：

所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，F（n）=

（p≤q）．

3、△ABC的内角A和B都是锐角，CD是高，若

=

，则△ABC是（）

A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形

D

【解答】 分析：

分别从当AD=BD时，可得△ABC是等腰三角形；当AC2=AD•AB，BC2=BD•AB时，△ABC是直角三角形．

解答：

解：

①若AD=BD，

∵

=

，

∴AC=BC，

此时CD是高，符合题意，

即△ABC是等腰三角形；

②∵

=

，

∴

=

=

，

∴当AC2=AD•AB，BC2=BD•AB时成立，

即

，

∵∠A是公共角，

∴△ABC∽△ACD，

∴∠ACB=∠ADC=90°，

∴△ABC是直角三角形；

∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．

故选D．

点评：

此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及直角三角形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．

4、对于任意整数n，多项式（n+11）2-（n+2）2都能被（）整除．

A．9B．2C．11D．n+9

A

【解答】 分析：

将多项式利用平方差公式分解因式，由n为整数，得到2n+13为整数，可得出多项式能被9整除．

解答：

解：

多项式（n+11）2-（n+2）2=[（n+11）+（n+2）][（n+11）-（n+2）]=9（2n+13），

∵n为整数，∴2n+13为整数，

则多项式（n+11）2-（n+2）2都能被9整除．

故选A

点评：

此题考查了因式分解的应用，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．

5、已知a-b=1，则a2-b2-2b的值为（）

A．4B．3C．1D．0

C

【解答】 分析：

先将原式化简，然后将a-b=1整体代入求解．

解答：

解：

∵a-b=1，

∴a2-b2-2b=（a+b）（a-b）-2b

=a+b-2b

=a-b

=1．

故选C．

点评：

此题考查的是整体代入思想在代数求值中的应用．

6、如果x2+x-1=0，那么代数式x3+2x2-7的值为（）A．6B．8C．-6D．-8

C

【解答】 分析：

由x2+x-1=0得x2+x=1，然后把它的值整体代入所求代数式，求值即可．

解答：

解：

由x2+x-1=0得x2+x=1，

∴x3+2x2-7=x3+x2+x2-7，

=x（x2+x）+x2-7，

=x+x2-7，

=1-7，

=-6．

故选C．

点评：

本题考查提公因式法分解因式，代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式x2+x的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值．

7、如果x2+3x-3=0，则代数式x3+3x2-3x+3的值为（）

A．0B．-3C．3D．

C

【解答】 分析：

先对所求代数式的前三项提取公因式x，再利用整体代入来求值．

解答：

解：

当x2+3x-3=0时，

x3+3x2-3x+3，

=x（x2+3x-3）+3，

=3．

故选C．

点评：

本题考查提公因式法分解因式，关键是提取公因式后出现已知条件的形式，然后利用整体代入求解．

8、设x2-

x+7=0，则x4+7x2+49=（）A．7B．

C．-

D．0

D

【解答】 分析：

首先将x4+7x2+49变形，可得x2（x2+7）+49；然后将x2-

x+7=0变形，可得：

x2=

x-7，x2+7=

x，整体代入即可得到7x2-7

，提取公因式7，即可求得．

解答：

解：

∵x4+7x2+49=x2（x2+7）+49

又∵x2-

x+7=0，

∴x2=

x-7，

∴

，

把x2=

x-7和

代入x2（x2+7）+49得：

=（

-7）

+49，

=7x2-7

，

=7（x2-

x+7），

=7×0，

=0．

故选D．

点评：

本题主要考查了因式分解的应用．注意整体思想的应用

9、设

，则代数式3a3+12a2-6a-12的值为

24

【解答】 分析：

将所求式子提取3后，拆项变形，分别得到a+1的因式，将已知等式变形得到a+1=

，把a与a+1的值代入计算，即可求出值．

解答：

解：

∵a=

-1，即a+1=

，

∴3a3+12a2-6a-12=3（a3+4a2-2a-4）=3（a3+a2+3a2+3a-5a-5+1）

=3[a2（a+1）+3a（a+1）-5（a+1）+1]

=3×[（

-1）2×

+3（

-1）×

-5

+1]

=3（8

-14+21-3

-5

+1）

=3×8

=24．

故答案为：

24

点评：

此题考查了因式分解的应用，将所求式子进行适当的变形是解本题的关键．

10、已知关于x的方程x2-nx+m=0有一个根是m（m≠0），则m-n=．

答案是-1．

【解答】 分析：

将x=m代入原方程，列出关于m的一元二次方程m2-nm+m=0，然后通过因式分解法解该方程求得m-n的值即可．

解答：

解：

∵关于x的方程x2-nx+m=0有一个根是m（m≠0），

∴x=m满足关于x的方程x2-nx+m=0，

∴m2-nm+m=0，即m（m-n+1）=0，

∴m=0（舍去），或m-n+1=0，

∴m-n=-1；

故答案是：

-1．

点评：

本题考查了一元二次方程的解的定义、因式分解的应用．解答该题时，通过提取公因式m将方程m2-nm+m=0的左边转化为两式之积的形式，从而求得m-n的值．

11、若ab=3，a+b=4，则a2b+ab2=．

【答案】12．

【解答】 分析：

此题只需先对a2b+ab2进行因式分解得ab（a+b），再将ab和a+b的值代入即可得到结果．

解答：

解：

∵ab=3，a+b=4，

∴a2b+ab2=ab（a+b）=3×4=12．

故答案为：

12．

点评：

本题考查了因式分解的应用，关键是提取公因式，比较简单．

12、设a2+2a-1=0，b4-2b2-1=0，且1-ab2≠0，则

=．

答案为-32．

【解答】 分析：

根据1-ab2≠0的题设条件求得b2=-a，代入所求的分式化简求值．

解答：

解：

∵a2+2a-1=0，b4-2b2-1=0，

∴（a2+2a-1）-（b4-2b2-1）=0，

化简之后得到：

（a+b2）（a-b2+2）=0，

若a-b2+2=0，即b2=a+2，则1-ab2=1-a（a+2）=1-a2-2a=-（a2+2a-1），

∵a2+2a-1=0，

∴-（a2+2a-1）=0，与题设矛盾

∴a-b2+2≠0，

∴a+b2=0，即b2=-a，

∴

=

=-

=-（

）5

=-25

=-32．

故答案为-32．

解法二：

∵a2+2a-1=0，

∴a≠0，

∴两边都除以-a2，得

-

-1=0

又∵1-ab2≠0，

∴b2≠

 而已知b4-2b2-1=0，

∴

和b2是一元二次方程x2-2x-1=0的两个不等实根 

∴

+b2=2，

×b2=

=-1，

∴（ab2+b2-3a+1）÷a=b2+

-3+

=（b2+

）+

-3=2-1-3=-2，

∴原式=（-2）5=-32．

点评：

本题考查了因式分解、根与系数的关系及根的判别式，解题关键是注意1-ab2≠0的运用

13、已知a+b=3，ab=-1，则a2b+ab2=．

【答案】-3

【解答】 分析：

将所求式子提取公因式ab，分解因式后，将a+b及ab的值代入即可求出值．

解答：

解：

∵a+b=3，ab=-1，

∴a2b+ab2=ab（a+b）=-1×3=-3．

故答案为：

-3

点评：

此题考查了因式分解的应用，利用了整体代入的思想，将所求式子分解因式是本题的突破点．

14、已知m2+m-1=0，那么代数式m3+2m2-2011的值是{@answer}．

【答案】-2010．

【解答】 分析：

根据已知求出m2+m=1，把所求的代数式化成含有m2+m的形式，代入求出即可．

解答：

解：

∵m2+m-1=0，

∴m2+m=1．

∴m3+2m2-2011

=m（m2+m）+m2-2011

=m•1+m2-2011

=m+m2-2011

=1-2011

=-2010．

故答案为：

-2010．

点评：

本题考查了分解因式的应用，关键是如何把已知条件代入所求的代数式，思路是：

求出m2+m的值，把m2+m当作一个整体进行代入．

15、甲、乙两农户各有两块地，如图所示，今年，这两个农户决定共同投资搞饲养业，为此，他们准备将这4块土地换成一块地，那块地的宽为（a+b）米，为了使所换土地的面积与原来4块地的总面积相等，交换之后的土地应该是{@answer}米．

【答案】（a+c）米．

【解答】 分析：

首先计算原来4块地的总面积，再进一步因式分解，出现a+b的形式．

解答：

解：

原来四块地的总面积是a2+bc+ac+ab=a（a+c）+b（a+c）=（a+c）（a+b），

则交换之后的土地长是（a+c）米．

故答案为：

（a+c）米．

点评：

此题要能够熟练运用分组分解法进行因式分解．

16、我们学过因式分解的概念，在计算多项式的过程中，如果能适当地分解因式进行化简，会使得计算更为简单．我们为此引入质因数分解定理：

每一个大于1的整数都能分解为质因数的乘积的形式，如果把质因数按照从小到大的顺序排在一起，相同因数的积写成幂的形式，那么这种分解方法是唯一的．请你学习例题的解法，完成问题的研究．

例：

试求5746320819乘以125的值．

解：

∵125=1000÷8

∴5769320819×125=5746320819000÷8=718290102375

答：

由上知，5746320819×125=718290102375．

请根据例题，求一实数，使得它被10除余9，被9除余8，被8除余7，…，被2除余1．

【答案】N=3×3×2×2×2×7×5-1=2519．

【解答】 分析：

这个数加1可以被10，9，8，7，6，5，4，3，2整除，只需要求出10、9、8、7、6、5、4、3、2的最小公倍数减一即可．

解答：

解：

设这个实数是N．根据题意，可知，

这个自然数加1就可以被10，9，8，7，6，5，4，3，2整除，

则N就是10，9，8，7，6，5，4，3，2的最小公倍数减去1，

故N=3×3×2×2×2×7×5-1=2519．

点评：

本题考查带余数的除法，难度较大，关键是掌握解答本题的解答步骤．

17、按下面规则扩充新数：

已有a和b两个数，可按规则c=ab+a+b扩充一个新数，而a，b，c三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，…，每扩充一个新数叫做一次操作．现有数2和3．

①求按上述规则操作三次得到扩充的最大新数；

②能否通过上述规则扩充得到新数5183？

并说明理由．

【答案】5183可以通过上述规则扩充得到．

【解答】 分析：

①将2与3分别代入求解，再取其最大的两个值依次代入即可求得答案；

②找到规律：

设扩充后的新数为x，则总可以表示为x+1=（a+1）m•（b+1）n，式中m、n为整数，即可得当a=2，b=3时，x+1=3m×4n，然后求解即可．

解答：

解：

①∵a=2，b=3，

c1=ab+a+b=6+2+3=11，

∴取3和11，

∴c2=3×11+3+11=47，

取11与47，

∴c3=11×47+11+47=575，

∴扩充的最大新数575；

②5183可以扩充得到．

∵c=ab+a+b=（a+1）（b+1）-1，

∴c+1=（a+1）（b+1），

取数a、c可得新数

d=（a+1）（c+1）-1=（a+1）（b+1）（c+1）（a+1）-1=（a+1）2（b+1），

即d+1=（a+1）2（b+1），

同理可得e=（b+1）（c+1）=（b+1）（a+1）-1，

∴e+1=（b+1）2（a+1），

设扩充后的新数为x，则总可以表示为x+1=（a+1）m•（b+1）n，式中m、n为整数，

当a=2，b=3时，x+1=3m×4n，

又∵5183+1=5184=34×43，

故5183可以通过上述规则扩充得到．

点评：

此题考查了因式分解的应用，解题的关键是找到规律设扩充后的新数为x，则总可以表示为x+1=（a+1）m•（b+1）n，式中m、n为整数．