高中数学第一章计数原理11分类加法计数原理与分步乘法计数原理2学案新人教A版选修23.docx
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高中数学第一章计数原理11分类加法计数原理与分步乘法计数原理2学案新人教A版选修23
1．1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
（二）
[学习目标]
1．进一步理解和掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理．
2．能根据实际问题特征，正确选择原理解决实际问题．
[知识链接]
1．火车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的可能方式有多少种？
答 分10步．
第1步：
考虑第1名乘客下车的所有可能有5种；
第2步：
考虑第2名乘客下车的所有可能有5种；
…
第10步：
考虑第10名乘客下车的所有可能有5种．
故共有乘客下车的可能方式有5×5×5×…×5 ,10个＝510（种）．
2．从1，2，3，4，7，9六个数中，任意两个不同数作对数的底数和真数，则所有不同的对数的值的个数有多少？
答
（1）当取的两数中有1时，且1只能为真数，此时不管取哪一个数为底数对数的值都为0.
（2）当两数都不取1时，分两步：
①取底数，5种；②取真数，4种．
其中log23＝log49，log32＝log94，log24＝log39，log42＝log93，
∴即所有不同的对数的值的个数为1＋5×4－4＝17.
[预习导引]
1．两计数原理的联系
分类加法计数原理与分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法的种数问题．
2．两计数原理的区别
分类加法计数原理针对的是分类问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事，分类要做到不重不漏；分步乘法计数原理针对的是分步问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事，分步要做到步骤完整.
要点一 两个计数原理在排数中的应用
例1 数字不重复的四位偶数共有多少个？
解
（1）0在末位时，十、百、千分别有9，8，7种排法，共有9×8×7＝504（个）．
（2）0不在末位时，2，4，6，8中的一个在末位，有4种排法，首位有8种（0除外），其余两位分别有8，7两种排法．
∴共有4×8×8×7＝1792（个）．
由
（1）
（2）知，共有符合题意的偶数为504＋1792＝2296（个）．
规律方法 排数问题实际就是分步问题，需要用分步乘法计数原理解决．此题中，由于数字0的出现，又进行了分类讨论，即在解决相关的排数问题时，要注意两个原理的综合应用．
跟踪演练1 用0，1，…，9这十个数字，可以组成多少个：
（1）三位整数？
（2）无重复数字的三位整数？
（3）小于500的无重复数字的三位整数？
解 由于0不可在最高位，因此应对它进行单独考虑．
（1）百位数字有9种选择，十位数字和个位数字都各有10种选择．由分步乘法计数原理知，适合题意的三位数共有9×10×10＝900（个）．
（2）由于数字不可重复，可知百位数字有9种选择，十位数字也有9种选择，但个位数字仅有8种选择．由分步乘法计数原理知，适合题意的三位数共有9×9×8＝648（个）．
（3）百位数字只有4种选择，十位数字有9种选择，个位数字有8种选择．
由分步乘法计数原理知，适合题意的三位数共有4×9×8＝288（个）．
要点二 抽取（分配）问题
A．16种B．18种C．37种D．48种
答案 C
解析 法一 （直接法）
综上所述，不同的分配方案有1＋9＋27＝37（种）．
法二 （间接法）
先计算3个班自由选择去何工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即：
4×4×4－3×3×3＝37（种）方案．
规律方法 解决抽取（分配）问题的方法
（1）当涉及对象数目不大时，一般选用例举法、树状图法、框图法或者图表法．
（2）当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：
①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若是按对象特征抽取的，则按分类进行．②间接法：
去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可．
跟踪演练2 3个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子至多放一个小球，共有多少种方法？
解 法一 （以小球为研究对象）分三步来完成：
第一步：
放第一个小球有5种选择；
第二步：
放第二个小球有4种选择；
第三步：
放第三个小球有3种选择．
根据分步乘法计数原理得：
共有方法数N＝5×4×3＝60（种）．
法二 （以盒子为研究对象）盒子标上序号1，2，3，4，5；分成以下10类：
第一类：
空盒子标号为（1，2），选法有3×2×1＝6（种）；
第二类：
空盒子标号为（1，3），选法有3×2×1＝6（种）；
第三类：
空盒子标号为（1，4），选法有3×2×1＝6（种）．
分类还有以下几种情况：
（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）；共10类，每一类都有6种方法．
根据分类加法计数原理得：
共有方法数N＝6＋6＋…＋6＝60（种）．
要点三 涂色问题
例3 一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部分种植草坪和绿色灌木，周围的圆环分为n（n≥3，n∈N）等份，种植红、黄、蓝三色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花．
（1）如图1，圆环分成的3等份为a1，a2，a3，有多少种不同的种植方法？
（2）如图2，圆环分成的4等份为a1，a2，a3，a4，有多少种不同的种植方法？
解
（1）如题图1，先对a1部分种植，有3种不同的种植方法，再对a2，a3种植．
因为a2，a3与a1不同颜色，a2，a3也不同，所以由分步乘法计数原理得3×2×1＝6（种）．
（2）如图2，当a1，a3不同色时，有3×2×1×1＝6（种）种植方法，当a1，a3同色时，有3×2×2×1＝12（种）种植方法，由分类加法计数原理，共有6＋12＝18（种）种植方法．
规律方法
（1）涂色问题的基本要求是相邻区域不同色，但是不相邻的区域可以同色．因此一般以不相邻区域同色、不同色为分类依据，相邻区域可用分步涂色的办法涂色．
（2）涂色问题往往涉及两计数原理的综合应用，因此，要找准分类标准，兼顾条件的情况下分步涂色．
跟踪演练3 如图所示的几何体是由一个正三棱锥P－ABC与正三棱柱ABC－A1B1C1组合而成的，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色（底面A1B1C1不涂色），要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有________种．
答案 12
解析 先涂三棱锥P－ABC的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，由分步乘法计数原理，共有3×2×1×2＝12（种）不同的涂法．
要点四 种植问题
例4 从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，求有多少种不同的种植方法．
解 法一 （直接法）：
若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2×1＝6（种）不同种植方法．
同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有3×2×1＝6（种）不同种植方法．
故不同的种植方法共有6×3＝18（种）．
法二 （间接法）：
从4种蔬菜中选出3种，种在三块地上，有4×3×2＝24（种），其中不种黄瓜有3×2×1＝6（种），故共有不同种植方法24－6＝18（种）．
规律方法 按元素性质分类，按事件发生过程分步是计数问题的基本思想方法，区分“分类”与“分步”的关键，是验证所提供的某一种方法是否完成了这件事情，分类中的每一种方法都完成了这件事情，而分步中的每一种方法不能完成这件事情，只是向事情的完成迈进了一步．
跟踪演练4 将3种作物种植在如图所示的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有________种（以数字作答）．
答案 42
解析 分别用a，b，c代表3种作物，先安排第一块田，有3种方法，不妨设放入a，再安排第二块田，有2种方法b或c，不妨设放入b，第三块也有2种方法a或c.
（1）若第三块田放c：
a
b
c
第四、五块田分别有2种方法，共有2×2＝4（种）方法．
（2）若第三块田放a：
a
b
a
第四块有b或c2种方法：
①若第四块放c：
a
b
a
c
第五块有2种方法；
②若第四块放b：
a
b
a
b
第五块只能种作物c，共1种方法．
综上，共有3×2×（2×2＋2＋1）＝42（种）方法．
1．某小组有8名男生，6名女生，从中任选男生、女生各一人去参加座谈会，则不同的选法有（ ）
A．48种B．24种C．14种D．12种
答案 A
解析 从8名男生中任意挑选一名参加座谈会，共有8种不同的选法，从6名女生中任意挑选一名参加座谈会，共有6种不同的选法．由分步乘法计数原理知，不同的选法共有8×6＝48（种）．
2．已知函数y＝ax2＋bx＋c为二次函数，其中a，b，c∈{0，1，2，3，4}，则不同的二次函数的个数为（ ）
A．125B．15C．100D．10
答案 C
解析 若y＝ax2＋bx＋c为二次函数，则a≠0，要完成该事件，需分步进行：
第一步：
对于系数a有4种不同的选法；
第二步：
对于系数b有5种不同的选法；
第三步：
对于系数c有5种不同的选法．
由分步乘法计数原理知，共有4×5×5＝100（个）．
3．（a1＋a2）·（b1＋b2＋b3）·（c1＋c2＋c3＋c4）的展开式中有________项．
答案 24
解析 要得到项数分三步：
第一步，从第一个因式中取一个因子，有2种取法；
第二步，从第二个因式中取一个因子，有3种取法；
第三步，从第三个因式中取一个因子，有4种取法．
由分步乘法计数原理知，共有2×3×4＝24（项）．
4．由0，1，2，3这四个数字，可组成多少个：
（1）无重复数字的三位数？
（2）可以有重复数字的三位数？
解
（1）0不能做百位数字，所以百位数字有3种选择，十位数字有3种选择，个位数字有2种选择，所以无重复数字的三位数共有3×3×2＝18（个）．
（2）百位数字有3种选择，十位数字有4种选择，个位数字也有4种选择．
由分步乘法计数原理知，可以有重复数字的三位数共有3×4×4＝48（个）．
1．分类加法计数原理与分步乘法计数原理是两个最基本，也是最重要的原理，是解答排列，组合问题，尤其是较复杂的排列，组合问题的基础．
2．应用分类加法计数原理要求分类的每一种方法都能把事件独立完成；应用分步乘法计数原理要求各步均是完成事件必须经过的若干彼此独立的步骤．
3．一般是先分类再分步，分类时要设计好标准，设计好分类方案，防止重复和遗漏．
4．若正面分类，种类比较多，而问题的反面种类比较少时，则使用间接法会简单一些．
一、基础达标
1．如图，小圆点表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可沿不同的路径同时传递，则单位时间传递的最大信息量是（ ）
A．26B．24C．20D．19
答案 D
解析 单位时间内传递的最大信息量是N＝3＋4＋6＋6＝19，故选D.
2．已知x∈{1，2，3，4}，y∈{5，6，7，8}，则xy可表示不同值的个数为（ ）
A．2B．4C．8D．15
答案 D
解析 完成xy这件事分两步：
第一步：
从集合{1，2，3，4}选一个数，共有4种选法；
第二步：
从集合{5，6，7，8}选一个数，共有4种选法．
共有4×4＝16（种）选法．其中3×8＝4×6，所以xy可表示的不同值的个数为15.
3．从0，1，2，…，9这10个数字中，任取两个不同数字作为平面直角坐标系中点（a，b）的坐标，能够确定不在x轴上的点的个数是（ ）
A．100B．90C．81D．72
答案 C
解析 分两步：
第一步选b，∵b≠0，所以有9种选法；第二步选a，因a≠b，所以有9种选法．由分步乘法计数原理知共有9×9＝81（个）点．
4．（2013·福建理）满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对（a，b）的个数为（ ）
A．14B．13C．12D．10
答案 B
解析 ①当a＝0时，很显然为垂直于x轴的直线方程，有解，此时b取4个值，故有4种有序数对；②当a≠0时，需要Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1，显然有3个实数对不满足题意，分别为（1，2），（2，1），（2，2）．∵（a，b）共有3×4＝12个实数对，此时（a，b）的取值为12－3＝9（个）．∴（a，b）的个数为4＋9＝13.
5．五个工程队承建某项工程的5个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案有________种．
答案 96
解析 完成承建任务可分五步：
第一步，安排1号有4种；
第二步，安排2号有4种；
第三步，安排3号有3种；
第四步，安排4号有2种；
第五步，安排5号有1种．
由分步乘法计数原理知，共有4×4×3×2×1＝96（种）．
6．有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中任取两本不同类的书，共有________种不同的取法．
答案 242
解析 分三类，第一类：
取数学书和语文书，有10×9＝90（种）；第二类：
取数学书和英语书，有10×8＝80（种）；第三类：
取语文书和英语书，有9×8＝72（种），故共有90＋80＋72＝242（种）．
7．若把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有多少对？
解 把六棱锥的棱分成三类：
第一类，底面上的六条棱所在的直线共面，则每两条之间不能构成异面直线．
第二类，六条侧棱所在的直线共点，每两条之间也不能构成异面直线．
第三类，结合图形可知，底面上的六条棱所在的直线中的每一条与之不相交的四条侧棱所在的四条直线中的每一条才能构成异面直线．
再由分步乘法计数原理，可构成异面直线6×4＝24（对）．
二、能力提升
8．现有4种不同颜色对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（ ）
A．24种B．30种
C．36种D．48种
答案 D
解析 共有4×3×2×2＝48（种）．
9．从集合{1，2，3，4，5}中任取2个不同的数，作为直线Ax＋By＝0的系数，则形成不同的直线最多有（ ）
A．18条B．20条C．25条D．10条
答案 A
解析 第一步取A的值，有5种取法，第二步取B的值有4种取法，其中当A＝1，B＝2时，与A＝2，B＝4时是相同的；当A＝2，B＝1时，与A＝4，B＝2时是相同的，故共有5×4－2＝18（条）．
10．如图是5个相同的长方形，用红、黄、蓝、白、黑5种颜色涂这些长方形，使每个长方形涂一种颜色，且相邻长方形涂不同的颜色．如果颜色可反复使用，那么共有________种涂色方法．
答案 1280
解析 涂第一个长方形时有5种方法；涂第二个长方形时颜色与第一个不同，有4种方法；由于颜色可以反复使用，因此第三个、第四个、第五个长方形各有4种涂法．由分步乘法计数原理知，所有的涂色方法共有5×4×4×4×4＝1280（种）．
11．有一项活动，需在3名老师、8名男同学和5名女同学中选人参加．
（1）若只需一人参加，有多少种不同方法？
（2）若需老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同选法？
（3）若需一名老师、一名学生参加，有多少种不同选法？
解
（1）有三类选人的方法：
3名老师中选一人，有3种方法；8名男同学中选一人，有8种方法；5名女同学中选一人，有5种方法．
由分类加法计数原理，共有3＋8＋5＝16种选法．
由分步乘法计数原理，共有3×8×5＝120种选法．
（3）可分两类，每一类分两步．第一类：
选一名老师再选一名男同学，有3×8＝24种选法；第二类：
选一名老师再选一名女同学，共有3×5＝15种选法．
由分类加法计数原理，共有24＋15＝39种选法．
12．从{－3，－2，－1，0，1，2，3}中，任取3个不同的数作为抛物线方程y＝ax2＋bx＋c的系数，如果抛物线经过原点，且顶点在第一象限，则这样的抛物线共有多少条？
解 因为抛物线经过原点，所以c＝0，从而知c只有1种取值．
又抛物线y＝ax2＋bx＋c顶点在第一象限，所以顶点坐标满足
由c＝0解得a<0，b>0，所以a∈{－3，－2，－1}，b∈{1，2，3}，
这样要求的抛物线的条数可由a，b，c的取值来确定：
第一步：
确定a的值，有3种方法；
第二步：
确定b的值，有3种方法；
第三步：
确定c的值，有1种方法．
由分步乘法计数原理知，表示的不同的抛物线有N＝3×3×1＝9（条）．
三、探究与创新
13．
（1）从5种颜色中选出三种颜色，涂在一个四棱锥的五个顶点上，每个顶点上染一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，求不同的染色方法总数．
（2）从5种颜色中选出四种颜色，涂在一个四棱锥的五个顶点上，每个顶点上染一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，求不同的染色方法总数．
解
（1）如图，由题意知，四棱锥S－ABCD的顶点S，A，B所染色互不相同，则A，C必须颜色相同，B，D必须颜色相同，所以，共有5×4×3×1×1＝60（种）．
（2）法一 由题意知，四棱锥S－ABCD的顶点S，A，B所染色互不相同，则A，C可以颜色相同，B，D可以颜色相同，并且两组中必有一组颜色相同．所以，先从两组中选出一组涂同一颜色，有2种选法（如：
B，D颜色相同）；再从5种颜色中，选出四种颜色涂在S，A，B，C四个顶点上，有5×4×3×2＝120（种）涂法；根据分步乘法计数原理，共有2×120＝240（种）不同的涂法．
法二 分两类．
第一类，C与A颜色相同．由题意知，四棱锥S－ABCD的顶点S，A，B所染色互不相同，它们共有5×4×3＝60（种）染色方法．共有5×4×3×1×2＝120（种）方法；
第二类，C与A颜色不同．由题意知，四棱锥S－ABCD的顶点S，A，B所染色互不相同，它们共有5×4×3＝60（种）染色方法．共有5×4×3×2×1＝120（种）方法；
由分类加法计数原理，共有120＋120＝240（种）不同的方法．
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