小升初奥数专题训练.docx

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小升初奥数专题训练

第一讲数的整除问题

数的整除性是数论的基础内容，学生能否熟练掌握该内容对以后进一步深入学习数论至关重要.

本讲需要教授的内容有：

1、掌握并熟练运用能被2、3、4、5、6、9、11等整除的自然数性质，这类知识在（Ⅰ、Ⅱ类）题中运用很多.

2、训练学生对自然数的快速分解，记住并会运用几个特殊数（111、1001等）的分解情况对于解决（Ⅲ类）有很大的帮助.

3、自然数乘法末位数规律.

4、基础好的学生还应该掌握分式的化简方法.

基本概念和知识点

1．整除——约数和倍数

一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整数b（b≠0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。

记作b︱a。

否则，称为a不能被b整除（或b不能整除a）。

如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或因数）。

2．数的整除性质

性质1：

如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。

性质2：

如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a。

性质3：

如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。

性质4：

如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。

3．数的整除特征

1能被2整除的数的特征：

个位数字是0、2、4、6、8的整数。

2能被5整除的数的特征：

个位是0或5。

3能被3（或9）整除的数的特征：

各个数位数字之和能被3（或9）整除。

4能被4（或25）整除的数的特征：

末两位数能被4（或25）整除。

5能被8（或125）整除的数的特征：

末三位数能被8（或125）整除。

6能被11整除的数的特征：

这个整数的奇数数位上的数字之和与偶数数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。

7能被7（11或13）整除的数的特征：

一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。

4.部分特殊数的分解

111=3×37；1001=7×11×13；11111=41×271；10001=73×137；

1995=3×5×7×19；1998=2×3×3×3×37；2007=3×3×223；2008=2×2×2×251；2007+2008=4015=5×11×73;10101=3×7×13×37.

例题详解

【例1】（全国希望杯数学邀请赛）若四位数

能被15整除，则a代表的数字是．

【例2】把三位数

接连重复地写下去，共写1993个

，所得的数

恰是91的倍数，求

=？

【例3】如果有一个九位数

能被72整除，试求A、B两数的差（大减小）．

【例4】（2003年祖冲之杯小学数学邀请赛）三个连续自然数的和能被13整除,且三个数中最大的数被9除余4,那么符合条件的最小的三个数是_____,________,_______

【例5】要使

能被36整除，而且所得的商最小，那么A、B、C分别是多少？

【例6】求能被26整除的六位数

。

【例7】（2005年全国小学数学奥林匹克竞赛）如果

能被11整除,那么n最小值是_____.

【例8】（1998年香港圣公会小学数学奥林匹克竞赛）一个六位数,前四位是2857,即2857,这个六位数能被11和13整除,请你算出后两位数.

【例9】（2001年全国华罗庚金杯少年数学邀请赛）在算式+91=☺中,已知盖住的是一个能被9整除的两位数,☺盖住的是7的倍数,问☺盖住的数是多少?

【例10】（香港圣公会小学数学奥林匹克）这个199位整数：

被13除，余数是多少？

分数裂项求和方法总结

（一）用裂项法求

型分数求和

分析：

因为

＝

（n为自然数）

所以有裂项公式：

【例1】求

的和。

（二）用裂项法求

型分数求和

分析：

型。

（n,k均为自然数）

因为

所以

【例2】计算

（三）用裂项法求

型分数求和

分析：

型（n,k均为自然数）

＝

＝

所以

＝

【例3】求

的和

（四）用裂项法求

型分数求和

分析：

（n,k均为自然数）

【例4】计算：

（五）用裂项法求

型分数求和

分析：

（n,k均为自然数）

【例5】计算：

（六）用裂项法求

型分数求和

分析：

（n,k均为自然数）

【例6】计算：

（七）用裂项法求复合型分数和（例题略）