高考江苏数学理大一轮复习理科提高版复习练习练习册 第七章数列.docx

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高考江苏数学理大一轮复习理科提高版复习练习练习册第七章数列

第七章　数列、推理与证明

第37课　数列的概念及等差数列

A.课时精练

一、填空题

1.已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n，那么a3＋a4＝________．

2.（2018·贵州二模）已知数列{an}为等差数列，且a5＝5，那么S9的值为________．

3.（2018·南京、盐城、连云港二模）已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S15＝30，a7＝1，则S9的值为________．

4.（2017·南通一调）《九章算术》中的“竹九节”问题：

现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为________升．

5.（2018·南京、盐城一模）已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若{an}的前2017项中的奇数项和为2018，则S2017的值为________．

6.已知Sn是数列{an}的前n项和，且log3（Sn＋1）＝n＋1，那么数列{an}的通项公式为________．

7.已知数列{an}满足5an＋1＝25·5an，且a2＋a4＋a6＝9，那么log

（a5＋a7＋a9）＝________．

8.已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝3且当n≥2时，2an＝Sn·Sn－1，则数列{an}的通项公式为an＝________．

二、解答题

9.已知数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn，a1＝3，a2＝5.

（1）求数列{an}的前n项和Sn；

（2）求数列{an}的通项公式．

10.已知递减的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3a5＝63，a2＋a6＝16.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）当n为多少时，Sn取得最大值？

并求出其最大值；

（3）求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.

11.已知数列{an}是首项为a、公差为d的等差数列，其中a，d均为正数，它的前n项和为Sn，记bn＝

.

（1）当3b1，2b2，b3成等差数列时，求

的值；

（2）求证：

存在唯一的正整数n，使得an＋1≤bn＜an＋2.

B.滚动小练

1.已知a＞0，曲线f（x）＝2ax2－

在点（1，f

（1））处的切线的斜率为k，那么当k取最小值时a的值为________．

2.已知θ∈

，且cos

＝

，那么tan

＝________．

3.

（1）已知两角的和是1弧度，两角的差是1°，试求这两个角的大小（用弧度表示）．

（2）已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角；

（3）已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？

第38课　等比数列

A.课时精练

一、填空题

1.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且

<1，若a3＋a5＝20，a3a5＝64，则S4＝________．

2.已知数列{an}是等比数列，若a3＝1，a7＝9，则a5＝________．

3.（2017·启东中学）在等比数列{an}中，若a2＝3，a5＝81，则an＝________．

4.（2018·扬州期末）已知各项都是正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若4a4，a3，6a5成等差数列，且a3＝3a

，则S3＝________．

5.已知等差数列{an}的公差不为0，a1＝1，且a2，a4，a8成等比数列，若{an}的前n项和为Sn，则Sn＝________．

6.已知在各项都为正数的等比数列{an}中，若a1＝2，a9＝a

，则a2018＝________．

7.（2017·常州一模）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列，且a2＋a5＝4，则a8＝________．

8.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝an＋1－2n＋2，a2＝2，那么数列{an}的通项公式为an＝________．

二、解答题

9.（2017·全国卷Ⅱ）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，且a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2.

（1）若a3＋b3＝5，求数列{bn}的通项公式；

（2）若T3＝21，求S3的值．

10.已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S1＋1，S3，S4成等差数列，且a1，a2，a5成等比数列．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若S4，S6，Sn成等比数列，求n及此等比数列的公比．

11.已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，a2＝

，a3＝

，且当n≥2时，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1.

（1）求a4的值；

（2）求证：

为等比数列；

（3）求数列{an}的通项公式．

B.滚动小练

1.已知在曲线y＝x－

（x>0）上一点P（x0，y0）处的切线分别与x轴、y轴交于点A，B，O是坐标原点，若△OAB的面积为

，则x0＝________．

2.已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（－∞，0）上单调递增．若实数a满足

f（2|a－1|）>f（－

），则a的取值范围是________．

3.若对于任意的a∈[－1，1]，函数f（x）＝x2＋（a－4）x＋4－2a的值总大于0，则x的取值范围是________．

第39课　数列的递推关系和通项

A.课时精练

一、填空题

1.在数列{an}中，若an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，则a5＝________．

2.在数列{an}中，若a1＝3，

＝

（n∈N*），则an＝________．

3.已知数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列，且bn＝an＋1－an.若b3＝－2，b10＝12，则a8＝________．

4.已知数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝

，那么数列{an}的通项公式为________．

5.在数列{an}中，已知Sn为数列{an}的前n项和，若a1＝1，an＝

（n≥2），则数列{an}的前n项和Sn＝________．

6.已知数列{an}满足a1＝15，

＝2（n∈N*），那么

的最小值为________．

7.已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＋Sn＝3n－1，那么数列{an}的通项公式为an＝________．

8.已知数列{an}的前n项和为Sn＝2＋λan，若a1＝1，则Sn＝________．

二、解答题

9.已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，n·an＋1＝Sn＋n（n＋1），证明：

数列{an}为等差数列，并求其通项公式．

10.在数列{an}中，已知a1＝1，当n≥2（n∈N*）时，

＝

，求数列{an}的通项公式an.

11.（2018·苏州暑假测试）已知数列{an}满足an＋1＋an＝4n－3（n∈N*）．

（1）若数列{an}是等差数列，求a1的值；

（2）当a1＝2时，求数列{an}的前n项和Sn.

B.滚动小练

1.已知|a|＝|b|＝1，且（a＋2b）·（a－b）＝－2，那么a与b的夹角为________．

2.已知α，β∈（0，π），且tan（α－β）＝

，tanβ＝－

，那么tanα的值为________．

3.如图，在△ABC中，已知AC＝4，BC＝5.

（1）若A＝60°，求cosB的值；

（2）若cos（A－B）＝

，点D在边BC上且满足BD＝DA，求CD的长．

（第3题）

第40课　数列的求和

A.课时精练

一、填空题

1.已知数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，bn－an＝2n＋1，那么Tn－Sn＝________．

2.已知数列{an}的通项公式为an＝

（n∈N*），若数列{an}的前n项和为Sn，则Sn＝________．

3.已知数列{an}满足an＋1＋（－1）n＋1an＝2，那么其前100项和S100＝________．

4.已知数列{an}的通项公式为an＝n

，其前n项和为Sn，那么S2018＝________．

5.已知数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝1，an＋1－an＝

＝2，n∈N*，那么数列{ban}的前10项的和S10＝________．

6.已知Sn为数列{an}的前n项和，且3Sn＝1－an，那么数列{an}的通项公式为an＝________．

7.若数列{an}满足a1＝1，（1－an＋1）（1＋an）＝1，则

（akak＋1）的值为________．

8.已知数列{an}是等差数列，且a2＝－1，数列{bn}满足bn－bn－1＝an（n＝2，3，4，…），且b1＝b3＝1，那么数列{bn}的通项公式为________________．

二、解答题

9.在等差数列{an}中，已知a2＋a7＝－23，a3＋a8＝－29.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设数列{an＋bn}是首项为1、公比为q的等比数列，求数列{bn}的前n项和Sn.

10.已知单调的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝39，且3a4是a6，－a5的等差中项．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若数列{bn}满足bn＝log3a2n＋1，且{bn}的前n项和为Tn，求

.

11.已知公差不为零的等差数列{an}满足a1＝5，且a3，a6，a11成等比数列．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn＝an·3n－1，求数列{bn}的前n项和Sn.

B.滚动小练

1.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝7，S6＝63，则a7＋a8＋a9＝________．

2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝7，S3＝12，则a10＝________．

3.已知边长为6的正三角形ABC，若

＝

，

＝

，AD与BE交于点P，则

·

的值为________．

第41课　数列的综合应用

A.课时精练

一、填空题

1.已知数列{an}的前n项和为Sn＝（－1）n·n，那么an＝________.

2.在正项等比数列{an}中，若a1，a99是方程x2－10x＋16＝0的两个根，则a40a50a60＝________．

3.已知{an}是等差数列，且a4＝15，S5＝55，那么过点P（3，a3），Q（4，a4）的直线的斜率为________．

4.已知函数

的定义域为R，数列{an}（n∈N*）满足an＝f（n），

且{an}是递增数列，那么a的取值范围是________．

5.若数列{an}满足

－

＝1，且a1＝5，则数列{an}的前100项中能被5整除的项数为________．

6.已知数列{an}，若定义数列{bn}满足bn＝an＋1－an（n∈N*），且bn＋1－bn＝1（n∈N*），a3＝1，a4＝－1，则a1＝________．

7.（2018·无锡期末）已知等比数列{an}满足a2a5＝2a3，且a4，

，2a7成等差数列，那么a1·a2·…·an的最大值为________．

8.（2017·扬州期末）在正项等比数列{an}中，若a4＋a3－2a2－2a1＝6，则a5＋a6的最小值为________．

二、解答题

9.已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1＝2，且a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn＝

，n∈N*，Sn是数列{bn}的前n项和，求使得Sn<

成立的最大的正整数n.

10.某地今年年初有居民住房面积为am2，其中需要拆除的旧房面积占了一半，当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%的住房增长率建设新住房，同时每年拆除xm2的旧住房，又知该地区人口年增长率为4.9‰.

（1）如果10年后该地区的人均住房面积正好比目前翻一番，那么每年应拆除的旧住房面积x是多少？

（2）按照

（1）中的拆房速度，共需多少年能拆除所有需要拆除的旧房？

参考数据：

1.19＝2.38

1.00499＝1.04

1.110＝2.6

1.004910＝1.05

1.111＝2.85

1.004911＝1.06

11.已知等差数列{an}是递增的，且P（a2，14），Q（a4，14）都在函数f（x）＝x＋

的图象上．

（1）求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；

（2）设bn＝

，求数列{bn}的前n项和Tn.

B.滚动小练

1.已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，那么x＋2y的最小值是________．

2.已知关于x的一元二次方程x2＋ax＋2b＝0的两个根在（0，1）与（1，2）内，那么

的取值范围为________．

3.已知函数f（x）＝2cos2

－2

sin

cos

－1，x∈R.

（1）求当函数f（x）取得最大值时x的取值集合；

（2）若函数g（x）＝x＋f（x），求函数g（x）的单调减区间．

第42课　推理与证明

A.课时精练

一、填空题

1.观察下列等式：

a2－b2＝（a－b）（a＋b），

a3－b3＝（a－b）（a2＋ab＋b2），

a4－b4＝（a－b）（a3＋a2b＋ab2＋b3），

…，

照此规律，an＋1－bn＋1＝________．（n∈N*）

2.用反证法证明命题“a，b∈N*，ab可以被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是____________．

3.若函数y＝f（x）在（0，2）上是单调增函数，函数y＝f（x＋2）是偶函数，则f

（1），f（2.5），f（3.5）的大小关系是_________________．

4.观察下列关系式：

1＋x＝1＋x，（1＋x）2≥1＋2x，（1＋x）3≥1＋3x，…，照此规律，得到的第n个关系式为_________________________．

5.《聊斋志异》中有这样一首诗：

“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：

2

＝

，3

＝

，4

＝

，5

＝

，…，则按照以上规律，若8

＝

具有“穿墙术”，则n＝________．

6.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：

（第6题）

按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数是________．

7.将全体正整数排成一个三角形数阵：

根据以上排列规律，数阵中第n（n≥3）行从左至右的第3个数是　　　　.

8.大数学家拉普拉斯曾经这样说过“数学本身赖以获得真理的重要手段就是归纳和类比”.事实上，数学中的许多重要定理和猜想都是通过归纳总结出来的，如欧拉公式：

观察三棱锥、四棱锥、三棱柱、五棱柱等多面体，发现其顶点数V与面数F的和与棱数E相差2，即V＋F－E＝2，于是猜想任意凸多面体都具有这样的性质，后经过严格证明确实如此.利用上述思想，观察下列等式：

1＝1，

2＋3＋4＝9，

3＋4＋5＋6＋7＝25，

4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49，

…，

则第7个等式左端的和式的最后一个数字、右端的结果分别是　　　　.

二、解答题

9.若a，b∈（0，＋∞），且a＋b＝1，求证：

＋

≤2.

10.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：

①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；

②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；

③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；

④sin2（－18°）＋cos248°－sin（－18°）cos48°；

⑤sin2（－25°）＋cos255°－sin（－25°）cos55°.

（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；

（2）根据

（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.

11.已知等差数列{an}的公差d＝2，首项a1＝5.

（1）求数列{an}的前n项和Sn；

（2）设Tn＝n（2an－5），求S1，S2，S3，S4，S5，T1，T2，T3，T4，T5，并归纳出Sn与Tn的大小规律.

B.滚动小练

1.已知函数

满足对任意的x1≠x2，都有

>0成立，那么实数a的取值范围是　　　　.

2.已知函数f（x）＝

sin

和g（x）＝sin

的图象在y轴左、右两侧靠近y轴的交点分别为M，N，若O为坐标原点，则

·

＝　　　　.

3.已知函数f（x）＝

x3－（1＋a）x2＋4ax＋24a，其中常数a>1.

（1）讨论函数f（x）的单调性；

（2）若当x≥0时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围.

第八章　不等式