流形上的Green公式证明.docx

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流形上的Green公式证明

杨科

中国成都610017

E-mail:

more2010e@

摘要:

Green公式是现代数学、物理体系的核心公式之一[1][3][4][5][6][7][8][9].

传统的Green公式证明逻辑体系,建立了基于（平面）直角坐标系的二重积分与环路积分的公式关联.但是基于（平面）直角坐标系的二重积分存在诸多明显的缺陷（例如计算过程繁琐、非标准化,不适用于不对称、不规则的平面有界闭区域等）,以致于物理、工程领域的许多重要问题二维化的解决途径,均建立在直角坐标系或其它坐标系的偏微分方程组求解基础上.一个多世纪以来的数学、物理和工程实践已经证明,通过简单的直角坐标系积分、直角坐标系或其它坐标系的偏微分方程组,难于甚至不能获得关于复杂几何对象（流形）的解析解、数值解;

传统的流形微积分学,用外微分形式推导出Green公式,Остроградский-Gauss公式,Stokes公式,乃至关于n维空间积分的广义Stokes公式[11],即

但是这类用外微分形式推导出的公式只具有抽象的理论意义,并没有揭示积分的具体实现过程,更无具体数值模型可言;

本稿件通过建立与具体几何对象（流形）匹配的个性化坐标系（即有什么样的几何形体,就建立什么样几何形体的坐标系,使用什么样几何形体的微元系数;而不再依赖于已有的少数几个直角坐标系、极坐标系、广义极坐标系及其相关微元系数等）,用积分以及和式极限的方法,证明Green公式在无穷多个任意参数曲线（流形）坐标系[单连通闭合曲线坐标系（基于Poincare猜想）]的存在,使Green公式超越传统的直角坐标系框架,建立基于个性化微元系数的二重积分与平面环路积分之间的新公式关联,并且在无限丰富、绚丽的公式数值模型运算中实现两种类型积分相互验证,确立基于个性化微元系数的二重积分方法的理论逻辑依据和数值模型.

"证明流形上的Green公式"本身不是唯一目的,"建立基于个性化微元系数的二重积分与平面环路积分之间的新公式关联,确立基于个性化微元系数的二重积分方法的理论逻辑依据和数值模型"是根本目的.

本稿件相关的数值模型表明,使用基于个性化微元系数的二重积分方法,能够获得关于复杂几何形体[流形]尤其是不对称、不规则平面有界区域的解析积分值或任意精度浮点积分值;实现任意平面有界闭区域二重积分（尤其是不对称、不规则平面有界闭区域二重积分）,实现向量场（平面电场、平面磁场、平面流体场等）和数量场（平面电位场、平面温度场等）在任意自由平面区域及其边界闭合路径的精确积分计算,确立两种类型积分的逻辑关联关系,实现流形上的Green公式和工程意义上的流形积分.

关键词:

微积分学拓扑学物理学Poincare猜想向量场数量场

（平面）单连通闭合曲线坐标系流形上的Green公式证明数值模型和式极限

基于个性化微元系数的二重积分方法

基于个性化微元系数的二重积分与平面环路积分之间的新公式关联

解析积分值任意精度浮点数积分值工程意义上的流形积分

中图分类号：

O17/O412.3

引言1（参见流形上的散度公式证明引言1）

引言2证明的前提条件--（平面）单连通闭合参数曲线坐标系的建立...............2

流形上的Green公式证明............................................7

总结............................................................9

参考书籍.........................................................10

引言2证明的前提条件

---（平面）单连通闭合参数曲线坐标系的建立

（一）

考察证明的对象---Green公式:

Green公式设平面有界闭区域S的边界曲线L由有限条光滑或分段光滑的曲线所组成,如果函数P（x,y）,Q（x,y）[构成平面向量场A]在平面有界闭区域S上具有一阶连续偏导数,则

在公式的定义中,强调平面有界闭区域S的边界曲线L必须是"闭合"曲线

在传统的直角坐标系Green公式证明中,”抽象闭合曲线L”是这样定义的:

抽象闭合曲线由"a,b,y=φ1（x）,y=φ2（x）"或"x=ψ1（y）,x=ψ2（y）,c,d"的四个边界值限定

（参见《高等数学（第六版）》（下册）同济大学数学系高等教育版2007P142-145）

也就是说,Green公式客观上要求,不论在平面直角坐标系,或者在其它坐标系,被证明的相关曲线必须具有两种属性:

（1）单连通性;

（2）闭合性

离开传统的平面直角坐标系,怎样刻画抽象的、具有普遍意义的”单连通闭合曲线”并且进一步建立”单连通闭合曲线坐标系”?

并没有现成的答案

Poincare猜想[19]断定"任何与n维球面同伦的n维闭合流形必定同胚于n维球面",在Green公式涉及的二维欧氏空间,对应的判断为"任何单连通1维闭合流形必定同胚于1维球面（即圆周）"

也就是说,根据Poincare猜想,在Green公式涉及的二维欧氏空间,任何单连通闭合曲线,不论其几何外观如何千变万化,必定有同胚于”圆周”这一普遍属性

进一步的问题自然是”在二维欧氏空间,能否根据Poincare猜想这一普遍属性,定义单连通闭合曲线的抽象的、普遍意义的表达式?

”这也正是本”引言2”讨论的中心内容

在平面解析几何学中,上述"1维球面（圆周）"的参数表达式为[cos（t）,sin（t）],其中参数t的变化范围[0,2*Pi]（在严格意义上,该参数表达式是”1维球面”在”平面直角坐标系”和”极坐标系”之间的转换式;”1维球面”在极坐标系的表达式是常数1）

在拓扑学领域,"同胚"的定义为"两个流形,如果可以通过弯曲、延展、剪切等操作把其中一个变为另一个，则认为两者是同胚的";

从解析几何学和拓扑学的角度再理解Poincare猜想,既然"1维球面"的参数方程为[cos（t）,sin（t）],其中参数变化范围t[0,2*Pi],则其变形[acos（t）,bsin（t）],

t[0,2*Pi]（其中a,b为任意非零常数）即为任意椭圆的参数方程.在二维欧氏空间,任意椭圆皆同胚于圆周,这是拓扑学的常识,无需讨论

如果a,b为任意"一阶可导连续函数",又可能出现怎样的情况?

参见下列图形:

图例1:

假设任意待定系数a=cos（2*t）+2*sin（t）/3,b=sin（3*t）/3,

则目标参数曲面[a*cos（t）,b*sin（t）]（其中t∈[0,2π]）

为[（cos（2*t）+2*sin（t）/3）*cos（t）,sin（3*t）/3*sin（t）]

（其中t∈[0,2π]）,其实际参数图形为:

图例1由待定系数a,b输入"一阶可导连续函数",

输出（平面）曲线呈非单连通闭合状态

与”Poincare猜想”及”流形上的Green公式”讨论的内容无关

图例2:

假设任意待定系数a=cos（t-1）+sin（9*t-2）/12,b=sin（t-1）-cos（t）,

则目标参数曲面[a*cos（t）,b*sin（t）]（其中t∈[0,2π]）

为[（cos（t-1）+sin（9*t-2）/12）*cos（t）,（sin（t-1）-cos（t））*sin（t）]

（其中t∈[0,2π]）,其实际参数图形为:

图例2由待定系数a,b输入"一阶可导连续函数"

输出（平面）曲线呈单连通闭合状态

可以作为”Poincare猜想”及”流形上的Green公式”讨论的对象

实验数据从原始现象表明,同样属于参数曲线[acos（t）,bsin（t）],t[0,2*Pi],因待定系数a,b的不同取值,一部份曲线属于单连通闭合曲线,一部分曲线则例外

也就是说,参数曲线[acos（t）,bsin（t）],t[0,2*Pi]存在两种情况:

（1）在待定系数a,b为任意非零常数的情况下,参数曲线为椭圆（自然同胚于圆周）;

（2）在待定系数a,b为任意一阶可导连续函数的情况下,参数曲线可以为单连通闭合曲线（同胚于圆周）,也可以为非单连通闭合曲线（不同胚于圆周）

进一步的问题自然是”在参数曲线[acos（t）,bsin（t）],t[0,2*Pi]模式中,能否通过某种定义将非单连通闭合曲线（不同胚于圆周）的情况排除?

（二）

设定”任意曲线”为一集合,则”任意单连通闭合曲线”是前者的子集合.Poincare猜想是这一子集合的属性,本论文”流形上的Green公式证明”及其”和式极限证明”则讨论Green公式是否适用于这一子集合.

Poincare猜想为用参数方程方法描述”任意单连通闭合曲线”的某种属性（即”同胚于1维球面[圆周]”这一属性）提供了实现途径.

基于上述情况,将无数具体的（平面）单连通闭合曲线抽象化为一个统一的表达式:

[acos（t）,bsin（t）],t[0,2*Pi]

（其中待定系数a,b也不能任意指定,而必须服从曲线的”单连通闭合”的拓扑学属性）

也就是说,如果待定系数a,b能够任意指定,则目标曲线[acos（t）,bsin（t）],

t[0,2*Pi]可能是”单连通闭合曲线”,也可能不是

如果预先设定目标曲线[acos（t）,bsin（t）],t[0,2*Pi]本身就是”单连通闭合曲线”,则待定系数a,b就不能任意指定了

从几何意义解释上述现象---在平面直角坐标系,圆周（即[cos（t）,sin（t）],

t[0,2*Pi]）沿x,y轴两个方向任意连续变化（即[acos（t）,bsin（t）],t[0,2*Pi],其中待定系数a,b为任意一阶可导连续函数）,不一定产生单连通闭合曲线;

反过来,在平面直角坐标系,任一单连通闭合曲线--必定由圆周（即[cos（t）,

sin（t）],t[0,2*Pi]）沿x,y轴两个方向连续变化而成（也必定能够沿x,y轴两个方向连续变回圆周）--Poincare猜想为依据

例如,正方形、三角形也可以被视为单连通闭合曲线---但是正方形、三角形难于甚至不能用参数方程描述---但是不能否认,根据Poincare猜想,正方形、三角形必定同胚于圆周,必定由圆周（即[cos（t）,sin（t）],t[0,2*Pi]）沿x,y轴两个方向连续变化而成（也必定能够沿x,y轴两个方向连续变回圆周）;根据Poincare猜想,,正方形、三角形同样可以用[acos（t）,bsin（t）],t[0,2*Pi]参数模式描述

用[acos（t）,bsin（t）],t[0,2*Pi]模式描述抽象的、具有普遍意义的单连通闭合曲线,实际上是用Poincare猜想来描述单连通闭合曲线的某种内在结构和属性（即同胚于圆周这一属性）,为进一步的公式推导设定一个恰当的前提条件

在实际操作层面,用Plot指令[属于WaterlooMaple计算机代数系统指令]绘画出某一（平面）参数曲线,必须在直观视觉上判定该曲线是否单连通闭合曲线以后,才能决定是否适用于流形上的Green公式数值模型;从参数表达式本身无法判断曲线是否为单连通闭合曲线.

“（平面）参数曲线是否为单连通闭合曲线”的决定因素在拓扑学领域而不在解析几何领域;单凭解析几何的参数方程方法并不能够推导、演绎出某一（平面）曲线的单连通闭合属性.

（三）

[acos（t）,bsin（t）],t[0,2*Pi]只是基于Poincare猜想定义的抽象的、普遍意义的单连通闭合曲线表达式,不属于坐标系;抽象单连通闭合曲线坐标系为[racos（t）,

rbsin（t）],r[0,∞],t[0,2*Pi],其中r为向径,a,b为待定系数（因为a,b既可以为非零常数,也可以为一阶可导连续函数）,具有不确定性.

实际上,抽象单连通闭合曲线表达式[acos（t）,bsin（t）],t[0,2*Pi]与椭圆表达式[acos（t）,bsin（t）],t[0,2*Pi]在形式上是完全一致的,只是两者对待定系数a,b的解释不同:

前者将a,b解释为"任意非零常数或一阶连续可导函数（非任意,受曲线的单连通闭合属性限制）”,而后者将a,b解释为只是"任意非零常数";故抽象单连通闭合曲线坐标系与直角坐标系的对应关系是x=r*acos（t）,y=r*bsin（t）（与椭圆坐标系-直角坐标系转换式是相同的）

流形上的Green公式证明:

（1）

证明:

定义任意单连通闭合曲线L的参数表达式[acos（t）,bsin（t）]

（2）

其中a,b为非零常数或一阶可导连续函数表达式,单连通闭合曲线L决定a,b的取值;设定参数t的变化范围[0,2

],使曲线L闭合.（参见Poincare猜想:

"任何与n维球面同伦的n维闭合流形必定同胚于n维球面"）[10]

计算平面向量场A在边界曲线L的环路积分:

（3）

将边界曲线L的参数表达式

（2）中的符号t改换为u;再通乘以向径r（设定r>0）,将x,y轴方向的曲线坐标参数转化为平面有界闭区域S坐标参数:

[racos（u）,rbsin（u）]（4）

根据平面有界闭区域S坐标参数（4）,定义并计算偏导数矩阵,获取平面有界闭区域S微元系数的一般表达式:

=abr（5）

将平面向量场A的微分函数

由直角坐标形式转变为平面有界闭区域S坐标形式:

（6）

平面向量场A的微分函数（6）与平面有界闭区域S微元的乘积对参数r,u的二重积分:

（7）

其中,

即设定平面有界闭区域S微元本身对参数u,v的二重积分不能为零.也可以理解为设定平面有界闭区域S不能为零面积

即（3）式=（7）式:

亦可表述为

（1）,证毕

流形上的Green公式数值模型,参见”附件1流形上的Green公式证明和数值模型（分析与说明）”;

流形上的Green公式和式极限证明及其数值模型,参见”流形上的Green公式和式极限证明和数值模型[附件3分析与说明]”

总结

传统的Green公式证明逻辑体系,建立了基于（平面）直角坐标系的二重积分与环路积分的公式关联.但是基于（平面）直角坐标系的二重积分存在诸多明显的缺陷（例如计算过程繁琐、非标准化,不适用于不对称、不规则的平面有界闭区域等）,以致于物理、工程领域的许多重要问题二维化的解决途径,均建立在直角坐标系或其它坐标系的偏微分方程组求解基础上..一个多世纪以来的数学、物理和工程实践已经证明,通过简单的直角坐标系积分、直角坐标系或其它坐标系的偏微分方程组,难于甚至不能获得关于复杂几何对象（流形）的解析解、数值解;

传统的流形微积分学,用外微分形式推导出Green公式,Остроградский-Gauss公式,Stokes公式,乃至关于n维空间积分的广义Stokes公式[11],即

但是这类用外微分形式推导出的公式只具有抽象的理论意义,并没有揭示积分的具体实现过程,更无具体数值模型可言;

建立与具体几何对象（流形）匹配的个性化坐标系（即有什么样的几何形体,就建立什么样几何形体的坐标系,使用什么样几何形体的微元系数;而不再依赖于已有少数几个直角坐标系、极坐标系、广义极坐标系及其相关微元系数等）,证明Green公式在无穷多个任意参数曲线（流形）坐标系[单连通闭合曲线坐标系（基于Poincare猜想）]的存在,使Green公式超越传统的直角坐标系框架,建立基于个性化微元系数的二重积分与平面环路积分之间的新公式关联,并且在无限丰富、绚丽的公式数值模型运算中实现两种类型积分相互验证,确立新型的基于个性化微元系数的二重积分方法的理论逻辑依据和数值模型.

"证明流形上的Green公式"本身不是唯一目的,"建立基于个性化微元系数的二重积分与平面环路积分之间的新公式关联,确立新型的基于个性化微元系数的二重积分方法的

理论逻辑依据和数值模型"是根本目的.

本稿件相关的数值模型表明,使用基于个性化微元系数的二重积分方法,能够获得关于复杂几何形体[流形]尤其是不对称、不规则平面有界区域的解析积分值或任意精度浮点积分值;实现任意平面有界闭区域二重积分,甚至实现积分区间的艺术化;寻找向量场（平面电场、平面磁场、平面流体场等）和数量场（平面电位场、平面温度场等）在任意自由平面区域及其边界闭合路径的积分计算途径和关联关系,寻找微积分学、拓扑学和工程计算三者的直接衔接点,实现流形上的Green公式和工程意义上的流形积分,实现更广大、更自由的物理、数学探索和工程实践.

参考书籍:

[1]《数学分析简明教程》（下册）[前苏联]А.Я.Хинчин高等教育版1956.8（P619-624）

[2]《工程数学:

矢量分析与场论》谢树艺高等教育版1978.12第1版1985.3第2版

2002.3第23次印刷（P85）

[3]《微积分》（下册）同济大学应用数学系高等教育版2002.1（P145-151,P208-210）

[4]《高等数学多元微积分及其教学软件》上海市教委组编

上海交通大学同济大学华东理工大学上海大学编科学版1999.6（P249-251,P348-350,P351）

[5]《工科微积分》（下册）丁晓庆科学版2002.9（P235-239,P297-303）

[6]《高等数学（第六版）》（下册）同济大学数学系高等教育版1978.10第1版2007.6第6版

2009.8第9次印刷（P142-145）

[7]《托马斯微积分》（第10版）[《Thomas’sCalculus》（TenthEdition）]高等教育版2003.8（P1025-1029,P1104-1114）

[8]《微积分》M.R.Spiegel[《Schaum’sOutlineofTheoryandProblemsofAdvancedCalculus》

[9]《现代数值计算方法》刘继军科学版2010.3（P62-136）

[10]《庞加莱猜想暨几何化猜想的完全证明》[《AcompleteproofofthePoincareandgeometrizationconjectures-ApplicationoftheHamilton-Perelmantheoryofthericciflow》]

Г.Я.Перельман朱熹平曹怀东《AsianJ.Math》June2006,P165-492

[11]《流形上的微积分》M.Spivak人民邮电版2006.1（P114-143）

[12]《Maple指令参考手册》国防工业版2002.1

ProofofGreenTheorematManifold

Yangke

ChinaChengdu610017

E-mail:

more2010e@

Abstract:

Greentheoremisoneofthehardcoreinmodernmathematicalandphysicalsystem[1][3][4][5][6][7][8][9].

ThelogicsystemofGreenTheorem’straditionalproof,establishedformularassociationbetweenDoubleIntegrals（Basedon2-DimensionalCartesiancoordinates）andClosedCurveIntegral.ButDoubleIntegral（Basedon2-DimensionalCartesiancoordinates）possessesmanyobviousdefects（e.g.complicated、tediousandnon-standardcalculatingcourse,bedisabletocalculateonasymmetrical、irregularplaneboundedclosedregionsetc.）,sothat2-Dimensionalresolventsofmanyimportantquestionsinphysics、engineeringfieldarebuiltonsolvingpartialdifferentialequationsinCartesiancoordinatesorothercoordinates.Formorethanacentury,countlessmathematical、physicalandengineeringpracticeshaveproved:

Dependonsimpleandcrudeintegralsin2-DimensionalCartesiancoordinates、partialdifferentialequationsinCartesiancoordinatesorothercoordinates,itisdifficultordisabletoobtainanalyticalsolutionornumericalsolutionaboutcomplicatedgeometricobjects（Manifold）;

TraditionalmanifoldcalculusdeductsoutGreenTheorem、Остроградский-GaussTheoremandStokesTheorembyexteriordifferentialform,andevengeneralizedStokesTheoremaboutn-dimensionalspaceintegral[11],viz.

Butthesetheoremsdeductedbyexteriordifferentialform,scantlypossessabstractacademicmeaning,andcan’trevealidiographiccourseofintegrals,leavealoneidiographiccalculationalexamples

Inthismanuscript,constituteindividualcoordinatesthatmatcheswithidiographicgeometric

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