数字信号处理滤波器的设计.docx
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数字信号处理滤波器的设计
《数字信号处理》课程设计报告
设计课题滤波器设计与实现
专业班级电信1101班
姓名
学号201105
报告日期2013年12月
《数字信号处理》
课程设计任务书
题目
滤波器设计与实现
学生姓名
甘源滢
学号
201105020103
专业班级
电信1101班
设
计
内
容
与
要
求
一、设计内容：
设计一个模拟低通巴特沃斯滤波器，技术指标：
通带截止频率
，通带最大衰减
；阻带起始频率
，阻带最小衰减
，画出其幅度谱和相位谱。
二、设计要求
1设计报告一律按照规定的格式，使用A4纸，格式、封面统一给出模版。
2报告内容
（1）设计题目及要求
（2）设计原理（包括工作原理、涉及到的matlab函数的说明）
（3）设计内容（设计思路，设计流程、仿真结果）
（4）设计总结（收获和体会）
（5）参考文献
（6）程序清单
起止时间
2013年12月16日至2013年12月23日
指导教师签名
2013年12月10日
系（教研室）主任签名
2013年12月12日
学生签名
2013年12月13日
1课题描述..........................................................1
1.1报告介绍.......................................................1
2设计原理..........................................................2
2.1巴特沃斯低通模拟滤波器的设计原理...............................2
2.2低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下...............................3
2.3函数说明.......................................................3
2.3.1buttord函数.................................................3
2.3.2butter函数..................................................4
2.4模拟低通滤波器的性能指标.......................................4
3设计内容..........................................................5
3.1MATLAB简介.....................................................5
3.2巴特沃斯滤波器的设计步骤.......................................6
3.3对巴特沃斯低通模拟滤波器的仿真.................................6
4实验结果分析......................................................7
5实验心得体会......................................................7
6程序清单..........................................................8
7参考文献..........................................................9
1.课题描述
1.1报告介绍
模拟滤波器的理论和设计方法已经发展的相当成熟，且有多种典型的滤波器供我们选择，如巴特沃斯（butterworth）滤波器,切比雪夫（chebyshev）滤波器，椭圆（ellipse）滤波器，贝塞尔（bessel）滤波器等。
这些滤波器都有着严格的设计公式，现成的曲线和图表供设计人员使用，而且所设计的系统函数都满足电路实现条件。
这些典型的滤波器各有特点：
巴特沃斯滤波器具有单调下降到幅频特性；切比雪夫滤波器的幅频特性在带通或者阻带有等波纹特性，可以提高选择性；贝塞尔滤波器通带内有较好的线性相位特性；椭圆滤波器的选择性相对前三种是最好的，但通带和阻带内均呈现等波纹幅频特性，相位特性的非线性也稍严重。
设计时，根据具体要求选择滤波器的类型。
2.设计原理
2.1巴特沃斯低通模拟滤波器的设计原理
巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数|Ha（jΩ）|^2用下式表示：
|Ha（jΩ）|^2=1/（1+（Ω/Ωc）^2N）
公式中，N称为滤波器的阶数。
在Ω=0时，|Ha（jΩ）|=1；Ω=Ωc时，|Ha（jΩ）|=1/√2，
Ωc是3dB截止频率。
在Ω=Ωc附近，随Ω加大，复制迅速下降。
复制特性与Ω和N的关，N越大，通带越平坦，过渡带越窄，过渡带与阻带幅值下降的速度越快，总是频响特性与理想低通滤波器的误差越小。
以S代替jΩ,将幅度平方函数|Ha（jΩ）|^2写成s的函数：
Ha（S）Ha（-S）=1/（1+（S/jΩ）^2N）
复变量S=δ+jΩ,此公式表明幅度平方函数由2N各极点，极点Sk用下公式表示：
Sk=（-1）^1/2N（jΩc）=Ωce^jπ（1/2+（2k+1）/2N）
公式中K=0,1,2……,2N-1。
2N个极点等间隔分布在半径为Ωc的圆上，间隔是
Π/Nrad。
为形成因果稳定的滤波器，2N个极点中只取S平面左半平面的N个极点构成Ha（S）,而右半平面的N个极点构成Ha（-S）。
Ha（S）的表达式为
Ha（S）=Ωc^N/Π（S-Sk）
设N=3，极点由六个，它们分别是
S0=Ωce^j2π/3S1=-ΩcS2=Ωce^-j2π/3
S3=Ωce^jπ/3S4=ΩcS5=Ωce^-jπ/3
取S平面的左半平面的极点S0,S1,S2组成系统函数Ha（S）,即
Ha（S）=Ωc^3/（S+Ωc）（S-Ωc^j2π/3）（S-Ωc^-j2π/3）
由于不同的技术指标对应的边界频率和滤波器幅频特性不同，为使设计公式和图表统一将频率归一化。
巴特沃斯滤波器采用对3dB截止频率Ωc归一化，归一化后的系统函数为
Ga（S/Ωc）=1/Σ（S/Ωc-Sk/Ωc）
令ρ=η+jλ=s/Ωc,λ=Ω/Ωc,λ称为归一化频率，ρ称为归一化复变量，这样的巴特沃斯滤波器的归一化低通原型系统函数为
Ga（ρ）=1/Σ（ρ-ρk）
公式中，ρk=sk/Ωc称为归一化极点，用下公式表示，
ρk=e^jπ（1/2+（2k+1）/2N）k=0,1,…,N-1
显然，sk=Ωcρk
这样，只要根据技术指标求出阶数N,按照ρk=e^jπ（1/2+（2k+1）/2N）公式求出N个极点，再按Ga（ρ）=1/Σ（ρ-ρk）得到归一化低通原型系统函数Ga（ρ），如果给定Ωc，再去归一化，即将ρ=S/Ωc，代入Ga（ρ）中，便可得到期望设计的系统函数Ha（S）。
2.2低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下
（1）根据技术指标Ωρ，αρ，Ωs,αs,用λsp=Ωs/Ωρksp=√（10^αs/10-1）/（10^α/10-1）N=lgksp/lgλsp求出滤波器的阶数N。
（2）按照ρk=e^jπ（1/2+（2k+1）/2N）k=0,1,…,N-1公式求出归一化极点ρk，将ρk代入Ga（ρ）=1/Σ（ρ-ρk），得到归一化低通原型系统函数GA（ρ）。
也可以根据阶数N直接查表得到ρk，Ga（ρ）。
（3）将Ga（ρ）去归一化。
将ρ=S/Ωc代入Ga（ρ），得到实际的滤波器系统函数Ha（S）=G（ρ）|ρ=S/Ωc代入Ga（ρ），得到实际的滤波器系统函数Ha（S）=G（ρ）|ρ=S/Ωc
这里Ωc为3dB截止频率，如果技术指标没有给出Ωc，可以由Ωc=Ωρ（10^αs/10-1）^（-1/2N）Ωc=Ωs（10^αs/10-1）^（-1/2N）
求出。
2.3函数说明
1、buttord函数
（1）[N,wc]=buttord（wp,ws,ap,as）
用于计算巴特沃斯数字滤波器的阶数N和3dB截止频率wc。
其中，调用参数wp,ws分别为数字滤波器的通带、阻带截止频率的归一化值，要求：
0≤wp≤1,
0≤ws≤1（1表示数字频率pi）。
当ws≤wp时，为高通滤波器；当wp和ws为二元矢量时，为带通或带阻滤波器，这时wc也是二元向量。
ap,as分别为通带最大衰减和阻带最小衰减（dB）。
N,wc为butter函数的调用参数。
（2）[N,Ωc]=buttord（Ωp,Ωs,ap,as,’s’）
用于计算巴特沃斯模拟滤波器的阶数N和3dB截止频率Ωc。
其中，Ωp,Ωs，Ωc均为实际模拟角频率。
说明：
buttord函数使用阻带指标计算3dB截止频率，这样阻带会刚好满足要求，而通带会有富余。
2、butter函数
（1）[B,A]=butter（N,wc,’ftype’）
计算N阶巴特沃斯数字滤波器系统函数分子、分母多项式的系数向量B、A。
其中，调用参数N和wc分别为巴特沃斯数字滤波器的阶数N和3dB截止频率的归一化值（关于π归一化），一般是调用buttord
（1）格式计算N和wc。
系数B、A是按照z^（-1）的升幂排列。
（2）[B,A]=butter（N,Ωc,’ftype’,’s’）
计算巴特沃斯模拟滤波器系统函数分子、分母多项式的系数向量ba、aa。
其中，调用参数N和wc分别为巴特沃斯模拟滤波器的阶数N和3dB截止频率（实际角频率），可调用butter
（2）格式计算N和wc。
系数B、A是按s的正降幂排列。
ftype为滤波器的类型：
1）ftype=high时，高通；Ωc只有1个值。
2）ftype=stop时，带阻；此时Ωc=[Ωc,Ωcu],分别为带阻滤波器的通带3dB下截止频率和上截止频率。
3）ftype=缺省时，若Ωc只有1个值，则默认为低通；若Ωc只有2个值，则默认为带通；其通带频率区间Ωc1<Ω<Ωcu。
所设计的带通和带阻滤波器系统函数是2N阶。
因为带通滤波器相当于N阶低通滤波器和N阶高通滤波器级联。
2.4模拟低通滤波器的性能指标
模拟低通滤波器的设计指标有αp,Ωρ和αs,Ωs,其中Ωρ和Ωs分别称为通带边界频率和阻带截止频率。
Αp称为通带最大衰减，αs是阻带最小衰减，αp和αs一般用dB表示。
对于单调下降的幅度特性，可表示成：
αp=10lg|Ha（j0）|^2/|Ha（jΩp）|^2
αp=10lg|Ha（j0）|^2/|Ha（jΩs）|^2
如果Ω=0处幅度已归一化，即|Ha（jΩ）|=1，αp和αs表示为
αp=-10lg|Ha（jΩp）|^2
αs=-10lg|Ha（jΩs）|^2
滤波器的技术指标给定以后，需要设计一个传输函数Ha（S），希望其幅度平方函数满足给定的指标αp和αs，一般滤波器的单位冲激响应为实数，因此
|Ha（jΩ）|^2=Ha（α）Ha（-s）|s=jΩ=Ha（jΩ）Ha*（jΩ）
如果能由αp，Ωp，αs,Ωs求出|Ha（jΩ）|^2，那么就可以求出所需的Ha（s），对于上面介绍的典型滤波器，其幅度平方函数有自己的表达式，可以直接引用。
这里要说明的是Ha（s）必须是稳定的。
因此极点必须落在s平面的左半平面，相应的Ha（-s）的极点落在右半平面。
这就是由Ha（s）Ha（-s）求所需要的Ha（s）的具体原则，及模拟低通滤波器的逼近方法。
因此幅度平方函数在模拟滤波器的设计中起着很重要的作用。
3.设计内容
3.1MATLAB简介
MATlAB软件包括基本部分和专业扩展部分。
基本部分包括：
矩阵的运算和各种变换、代数和超越方程的求解、数据处理和傅里叶变换、数值积分等。
专业扩展部分称为工具箱。
它实际上是用MATLAB的基本语句编成的各种子程序集，用于解决某一方面的专门问题，或实现某一类的新算法。
在MATLAB的发展史上，许多科学家、数学家、工程技术人员用它开发出了一些新的，有价值的应用程序，所有的程序完全不需要使用底层代码来编写。
通过这些工作，已经发展起来的工具箱有控制系统、信号处理、图像处理、系统辨识、模糊集合、神经元网络、小波分析等20余个。
如果用MATLAB来开发光学方面的应用程序，在不久的将来，也可能出现专门用来解决光学问题的工具箱。
3.2巴特沃斯滤波器的设计步骤
（1）给定模拟滤波器的性能指标
（2）确定滤波器阶数
（3）设计模拟低通原型滤波器
（4）按频率变换设计模拟滤波器
3.3对巴特沃斯模拟低通滤波器的仿真
技术指标：
设计一个模拟低通巴特沃斯滤波器，技术指标：
通带截止频率
，通带最大衰减
；阻带起始频率
，阻带最小衰减
，画出其幅度谱和相位谱。
设计程序如下：
Wp=1000;Ws=5000;Rp=1;As=30;%设置滤波器参数
[N,Wc]=buttord（Wp,Ws,Rp,As,'s'）;%计算滤波器阶数N和3dB截止频率wc
[B,A]=butter（N,Wc,'s'）;%求传递函数
K=0:
511;fk=0:
12000/512:
12000;wk=2*pi*fk;
Hk=freqs（B,A,wk）;
subplot（2,1,1）;
plot（fk,20*log10（abs（Hk）））;
gridon
title（'巴特沃斯低通滤波器的幅频特性'）;
xlabel（'频率/Hz'）;
ylabel（'幅度'）;
axis（[0,12000,-40,5]）
subplot（2,1,2）;
plot（wk,angle（Hk））;
gridon
title（'巴特沃斯低通滤波器的相频特性'）;
xlabel（'频率/Hz'）;
ylabel（'相位/rad'）
4.实验结果分析
技术要求通带截止频率
，通带最大衰减
；阻带起始频率
，阻带最小衰减
，画出其幅度谱和相位谱。
由幅频曲线和相位曲线可以看出，巴特沃斯滤波器拥有最平滑的频率响应，在截断频率以外，在阻带中响应为0.在截断频率处有1dB的衰减。
巴特沃斯低通滤波器除了具有单调平滑递减的频率响应的优点之外，其过渡带的陡峭程度正比于滤波器的阶数。
高阶巴特沃斯滤波器的频率响应近似于理性低通滤波器。
5.实验心得体会
通过这次课程设计学习，掌握了MATLAB的仿真和设计，对低通滤波器设计原理的了解及技术指标的设置。
对教材中所学知识有了更深的理解和认识，教材中的基本定理和原理对我的设计起到了很好的指导作用，同时更深刻学习应用了MATLAB软件。
通过了解所要编程运行的对象的原理，学会了熟练运用其基本功能。
在验证实验程序是否准确时，输入完整个程序之后，回车一运行，error不断出现，于是我又把输入好的程序拆分，一部分一部分的输入，一步一步检查错误，实验给我的经验就是一定要进行步步验证其正确性，要尽量多的设想你的问题的复杂性，尽可能保证程序的适用性很强。
这次的课程设计是我们第一次设计，第一次自主利用所学解决数字信号问题，我们一直局限于课本，资料，很少甚至没有亲自动手动脑实践过，课程设计给我提供了一个很好地平台，不仅更近一步的学习了数字信号处理这门课程，而且在一定程度上锻炼了我的自主学习能力，在很多方面都有了提高。
6.程序清单
Wp=1000;Ws=5000;Rp=1;As=30;%设置滤波器参数
[N,Wc]=buttord（Wp,Ws,Rp,As,'s'）;%计算滤波器阶数N和3dB截止频率wc
[B,A]=butter（N,Wc,'s'）;%求传递函数
K=0:
511;fk=0:
12000/512:
12000;wk=2*pi*fk;
Hk=freqs（B,A,wk）;
subplot（2,1,1）;
plot（fk,20*log10（abs（Hk）））;
gridon
title（'巴特沃斯低通滤波器的幅频特性'）;
xlabel（'频率/Hz'）;
ylabel（'幅度'）;
axis（[0,12000,-40,5]）
subplot（2,1,2）;
plot（wk,angle（Hk））;
gridon
title（'巴特沃斯低通滤波器的相频特性'）;
xlabel（'频率/Hz'）;
ylabel（'相位/rad'）
7.参考文献
[1]程佩青，数字信号处理教程清华大学出版社
[2]李正周，MATLAB数字信号处理与应用清华大学出版社
[3]刘波，文忠，曾涯，MATLAB信号处理电子工业出版社
[4]高西全，丁玉美等，数字信号处理（第三版）西安电子科技大学出版社
[5]郑阿奇，曹弋等，MATLAB实用教程（第三版）电子工业出版社
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