常微分方程初值问题的数值解法上机报告.docx

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常微分方程初值问题的数值解法上机报告

常微分方程初值问题的数值解法上机报告

（一）问题：

考虑著名的Lorenz方程

其中

为变化区域有一定限制的实参数。

（1）对取定的参数值

，选取不同的初值，观察计算的结果有什么特点？

解的曲线是否有界，是不是周期的或者趋于某个固定的点？

（2）在问题允许的范围内适当改变其中的参数值，再选取不同的初值，观察并记录计算的结果有什么特点？

是否发现什么不同的现象？

（二）解决问题的算法

考虑一阶常微分方程组初值问题

其中

可以用四级四阶古典Runge-Kutta方法求解：

（三）使用的软件

IDL

（四）数值结果及结果分析

取h=0.001s

显然，当初值取为（0,0,0）T时，x,y,z恒为0.

（1）取定参量值

仅对初值的x分量作一个小扰动，取为（0.0001,0,0）T，此时求解该常微分方程组，可以得到如下的轨迹：

解的曲线有界，但是曲线不是周期的，而且不会趋于某个固定的点，而是在两个值附近振荡。

仅对初值的y分量作一个小扰动，取为（0,0.0001,0）T，可以得到如下轨迹：

可以得到和上面相同的结论。

仅改变初值的z分量，取为（0,0,20）T，可以得到如下轨迹：

可以看到只改变z方向的初值，结果为一条直线。

这是由于根据方程可知，当x=0,y=0时

，x，y不随时间变化，仅z随时间变化。

下面改变方程的初值来求解。

当初值取为（-5,-5,-5）T时，可以得到如下轨迹：

当初值取为（200,200,200）T时，可以得到如下轨迹：

将t比较大时曲线的轨迹放大：

可以看出，当初值均为负数或者绝对值都很大时，仍然满足解的曲线有界，且在某个值附近振荡。

将非原点附近的点设为初值并作一小扰动，并画图来进行比较。

设初始值为（5,5,5）T（红色线）和（5,5.0001,5）T（蓝色线），作出三个分量随时间的变化：

对y的初值作一极小的扰动（0.0001），在t>20后坐标的变化就会千差万别。

对x作同样地扰动，会得到相似的结果。

设初始值为（5,5,5）T（红色线）和（5.0001,5,5）T（蓝色线），作出三个分量随时间的变化：

对z作同样地扰动，会得到相似的结果。

设初始值为（5,5,5）T（红色线）和（5,5,5.0001）T（蓝色线），作出三个分量随时间的变化：

可见，对x、y、z作极小的扰动，求解同样地常微分方程组就会得到相差甚远的结果。

可见，本题中方程组的解及其依赖其初值。

总之，对于不同的初值，只要x、y初值不全为零，解的曲线有界，但是曲线不是周期的，而且不会趋于某个固定的点，而是在一个值或者两个值附近振荡。

而且方程组的解对初值条件很敏感。

（2）改变参量值

只改变

，①取参数值为

，初值选为（5,5,5）T：

对x的初值作一极小的扰动（0.0001），设初始值为（5,5,5）T（红色线）和（5,5,5.0001）T（蓝色线），下面仅考察x随时间的变化：

可见与

（1）有相似的结论。

另取任意初值（12,7.2,5.3）T：

初值（-2,-5,-0.3）T：

可见对不同的初值，有着与

（1）相似的结果。

②取参数值为

，初值选为（5,5,5）T：

解会趋于某个特定的点。

对x的初值作一极小的扰动（0.0001），设初始值为（5,5,5）T（红色线）和（5,5,5.0001）T（蓝色线），下面仅考察x随时间的变化：

可见小扰动对结果几乎没有影响。

另取任意初值（10,20,15）T：

考察其x分量变化：

可知解会趋于某个特定的点。

另取任意初值（-2,-5,-0.3）T：

考察x的变化：

可知解会趋于某个特定的点。

不同的初值收敛到不同的点，且收敛速度有差异。

③取参数值为

，初值选为（5,5,5）T，可以得到轨迹：

经过分析会发现和②有相同的结果。

可见，在固定两个参数值

，改变另一个参数值

时，

的不同取值会影响该问题的解，有可能和

（1）中结果类似，也有可能出现解趋于某个固定的点的现象。

对于后一种情形，小扰动不会造成“混沌”的现象，不同的初值会有不同的收敛点、收敛速度。

只改变

或

会出现相似的现象，不再赘述。