高三数学学科基地密卷3含答案.docx
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高三数学学科基地密卷3含答案
2021-2022年高三数学学科基地密卷(3)含答案
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共70分.
1.函数的最小正周期为,其中,则.
2.若复数是纯虚数,则实数=.
3.若
,则=.
4.已知双曲线中,若以其焦点为圆心,半实轴长为半径的圆与渐近线相切,则其渐近线方程为.
5.如果数据,,,…,的方差是,若数据,,,…,的方差为9,则.
6.执行右边的程序框图,若p=80,则输出的n的值为.
7.如果投掷两颗骰子,得到其向上的点数分别为和,则的概率为.
8.若是R上的增函数,且,设,,若“”是“的充分不必要条件,则实数的取值范围是______.
9.正方形铁片的边长为8cm,以它的一个顶点为圆心,一边长为半径画弧剪下一个顶角为的扇形,用这块扇形铁片围成一个圆锥形容器,则这个圆锥形容器的容积等于________cm3.
10.若方程
表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆,则的最小值为.
11.已知若关于的方程在(0,4)上有两个实数解,则的取值范围是.
12.已知圆C过点,且与圆M:
关于直线对称.若Q为圆C上的一个动点,则的最小值为.
13.已知函数
若函数在上存在唯一的极值点.则实数的取值范围为 .
14.已知函数,且,则.
二、解答题:
本大题共6小题,共90分.
15.(本小题满分14分)已知的三个内角所对的边分别为,向量,,且.
(1)求角A的大小;
(2)若,求证:
为等边三角形.
16.(本小题满分14分)在直三棱柱中,AC=4,CB=2,AA1=2,,E、F分别是的中点.
(1)证明:
平面平面;
(2)设P为线段BE上一点,且,求三棱锥的体积.
17.(本小题满分14分)设椭圆方程,椭圆上一点到两焦点的距离和为4,过焦点且垂直于x轴的直线交椭圆于A,B两点,AB=2.
(1)求椭圆方程;
(2)若M,N是椭圆C上的点,且直线OM与ON的斜率之积为,是否存在动点,若,有为定值.
18.(本小题满分16分)某固定在墙上的广告金属支架如图所示,根据要求,AB至少长3米,C为AB的中点,B到D的距离比CD的长小0.5米,∠BCD=600
(1)若将支架的总长度表示为的函数,并写出函数的定义域.(注:
支架的总长度为图中线段AB、BD和CD长度之和)
(2)如何设计的长,可使支架总长度最短.
19.(本小题满分16分)若数列的前项和为,且满足等式.
(1)能否在数列中找到按原来顺序成等差数列的任意三项,说明理由;
(2)能否从数列中依次抽取一个无穷多项的等比数列,且使它的所有项和满足,如果这样的数列存在,这样的等比数列有多少个?
(注:
设等比数列的首项为,公比为,则它的所有项的和定义为)
20.(本小题满分16分)已知函数,.
(1)若函数有三个极值点,求的取值范围;
(2)若依次在处取到极值,且,求的零点;
(3)若存在实数,使对任意的,不等式恒成立,试求正整数的最大值.
第Ⅱ卷(附加题,共40分)
21.[选做题]本题包括A、B、C、D四小题,每小题10分;请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答.
A.(选修4-1:
几何证明选讲)在中,过点A的直线与其外接圆交于点P,交BC延长线于点D.求证:
B.(选修4-2:
矩阵与变换)的顶点A(1,2),B(3,3),C(2,1),求在矩阵对应的变换下所得图形的面积.
C.(选修4-4:
坐标系与参数方程)已知直线和直线的交于点.
(1)求P点的坐标;
(2)求点与的距离.
D.(选修4-5:
不等式选讲)设是正数,证明:
.
【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.
22.在如图所示的几何体中,四边形ABCD为矩形,平面ABEF⊥平面ABCD,EF//AB,∠BAF=90º,AD=2,AB=AF=2EF=1,点P在棱DF上.
(1)若P是DF的中点,求异面直线BE与CP所成角的余弦值;
(2)若二面角D-AP-C的余弦值为,求PF的长度.
23.数列满足,且,其中
(1)求证:
≤1;
(2)求证:
.
xx高考模拟试卷(3)参考答案
南通市数学学科基地命题
第Ⅰ卷(必做题,共160分)
一、填空题
1.6.;
2.1.将复数表示为的形式,然后由即可求;
3..
,即.,;
4..设焦点为,渐近线方程为,即所以所以即渐近线方程为;
5.3.原数据的方差为,则新方差为,而已知新方差为9,所以;
6.7.依次产生的和值分别为
所以,输出的值为7;
7..因为抛掷两枚均匀的正方体骰子的基本事件数为36种,又由知,所以,满足条件的事件有:
(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)共4种,则的概率为;
8..
,
,因为函数是R上的增函数,所以
,,要使“”是“的充分不必要条件,则有,即;
9..由题意知,弧长为×8=2π,即围成圆锥形容器底面周长为2π,所以圆锥底面半径为r=,可得圆锥高h=,所以容积V=
πr2×h=
π×;
10.4.方程表示焦点在轴且离心率小于的椭圆时,
有
,即,化简得,
又,,画出满足不等式组的平面区域,如右图阴影部分所示,令,平移直线当过时,;
11.可以转化为,记,则在(0,4)上有两个实数解,可以转化为函数
与的图象,结合图像和特殊点可知;
12.-4.设圆心C,则
,解得,则圆C的方程为,将点的坐标代入得,故圆C的方程为,设,则,
且
==,
法一:
令,,则≥-2
法二:
令,则,所以≥-4,的最小值为;
13..,若函数在上存在唯一的极值点,则方程=0在区间上有唯一解.因为抛物线的对称轴为,函数在区间单调递减,所以;
14.xx.为奇数时为偶数,,为偶数时,为奇数,∴,,,,,
,……,∴,,即.
二、解答题
15.
(1)由,,
得
…………4分
又因为,所以,解得或…………6分
……7分
(2)在中,且
所以,
…………9分
又,∴,
代入
整理得,解得,∴,
于是,.…………13分
即为等边三角形..…………14分
16.
(1)在,∵AC=2,BC=4,,
∴,∴,
∴.………………………………3分
由已知,,∴.…………………5分
又∵,
即平面平面……7分
(2)取的中点,连结,
则且,
由
(1),
∴,……10分
∵,
∴
.……14分
17.
(1)因为,所以,---------------------------------2分
∵过焦点且垂直于x轴的直线交椭圆于A,B两点,AB=2.
∴由椭圆的对称性知,椭圆过点,即--------------------4分
,解得
椭圆方程为------------------------------------------------------------7分
(2)存在这样的点.
设,,
则,化简为---------------------9分
∵M,N是椭圆C上的点,∴,
由得-----------------------------------------11分
所以
即存在这样的点-----------------------------------------------------14分
18.
(1)由则,设,
则支架的总长度为,
在中,由余弦定理
化简得即①……4分
记
由,则
---------6分
(2)由题中条件得,即
设
则原式
=
……10分
由基本不等式
有且仅当,即时成立,又由满足
,当时,金属支架总长度最短.…16分
19.
(1)当时,,则.
又,所以,两式相减得,
即是首项为1,公比为的等比数列,
所以------------------------------------------------------4分
假设存在三项按原来顺序成等差数列,记为
则,即,
所以,即,即
又,,所以
所以
假设不成立,所以不存在三项按原来顺序成等差数列--------8分
(2)设抽取的等比数列首项为,公比为,项数为,且
则
,-------------------------------------------10分
因为,所以
,------------------12分
所以
由
(1)得到,所以,------------13分
由
(2)得到,--------------------------------14分
当时,适合条件,这时等比数列首项为,公比为
当时,均不适合.
当时,均不适合.
综上可得满足题意的等比数列有只有一个.------------------16分
20.
(1)①
∵有3个极值点,∴有3个不同的根,--------2分
令,则
,
从而函数在,上递增,在上递减.
∵有3个零点,∴,∴.-----------------4分
(2)是的三个极值点
∴
----6分
∴
,∴或(舍∵)
∴
,
所以,的零点分别为,1,.-------------------10分
(3)不等式,等价于,即.
转化为存在实数,使对任意的,不等式恒成立.
即不等式在上恒成立.
即不等式在上恒成立.----------------12分
设,则.
设,则.
因为,有.所以在区间上是减函数.
又,,,
故存在,使得.
当时,有,当时,有.
从而在区间上递增,在区间上递减.
又,,,
,,.
所以,当时,恒有;当时,恒有.
故使命题成立的正整数的最大值为5.-----------------16分
第Ⅱ卷(附加题,共40分)
21.A.由,所以,所以
所以所以所以
由,所以.………10分
B.由,所以,A,B,C在矩阵变换下变为,
从而可得
,可得S=6.………10分
C.
(1)将代入得,得,………5分
(2)由,得.………10分
D.
……3分
……6分
.当且仅当时等号成立.……10分
22.
(1)因为∠BAF=90º,所以AF⊥AB,
因为平面ABEF⊥平面ABCD,且平面ABEF∩平面ABCD=AB,
所以AF⊥平面ABCD,因为四边形ABCD为矩形,
所以以A为坐标原点,AB,AD,AF分别
为x,y,z轴,建立如图所示空间直角坐标系.
所以,,,.
所以,,
所以
,
即异面直线BE与CP所成角的余弦值为.-----------------------------5分
(2)因为AB⊥平面ADF,所以平面APF的法向量为.
设P点坐标为,在平面APC中,,,
所以平面APC的法向量为,
所以,
解得,或(舍).所以.---------------10分
23.
(1)猜想:
≤1,1≤k当k=1时,由,得==1但
∴=-1,∴成立--------------------------------------------2分
假设k=m(1≤m所以所以k=m+1时结论也成立.
综上,有,1≤k(2)当N=2时,由且得成立
假设N=m(m≥2)时,存在,使得------------------7分
则当N=m+1时,由归纳假设,存在k,使得,
则===
所以=或=
所以无论N取任何大于1的正整数,都存在k使得--10
Pj
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