行程专题班50道配套习题及详解.docx
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行程专题班50道配套习题及详解
2007年行程专题班50道配套习题及详解
一．相遇与追及
1．一个人原计划骑自行车由甲地去乙地，后来改为前一半路乘汽车，后一半路步行。
汽车速度是自行车速度的2倍，步行速度是自行车速度的一半，自行车速度为每小时10千米。
求行这段路的平均速度？
解：
设全程的一半为“1”，列式为
2÷（
+
）=8千米/小时.
2.王刚骑自行车从家到学校去，平常只用20分钟。
因途中有2千米正在修路，只好推车步行。
步行速度只有骑车速度的
，结果这天用了36分钟才到学校。
王刚家到学校有多少千米?
解法一：
王刚这天比平时多用36—20=16（分钟）。
这是因为步行比骑车慢
所以步行了
步行24分钟的路程骑车只需24×
=8（分钟），所以骑车8分钟行2千米，骑车20分钟行2×（20÷8）=5（千米）。
列算式为
解法二：
设走2千米路，原计划所用时间X分钟，根据速度比等于时间的反比列出比例式1：
3=X：
[X+（36—20）]，得出原来行2千米需8分钟，每分钟行2÷8=
（千米），从而可求出全长为
3．小方从家去学校，如果他每小时比原来多走1.5千米，他走这段路只需原来时间的
；如果他每小时比原来少走1.5千米，那么他走这段路的时间比原来时间多几分之几?
解：
速度提高后，所用的时间是原来的
，可知速度是原来的l
，原来的速度是1.5÷（1
一1）=6（千米）。
6一1.5=4.5（千米），相当于原来速度的
，所用时间比原来多l÷
一1=
。
列算式为
4．甲、乙两人分别从Ａ、B两地同时相向出发。
相遇后，甲继续向B地走，乙马上返回，往Ｂ地走。
甲从Ａ地到达B地。
比乙返回Ｂ地迟0．5小时。
已知甲的速度是乙的
。
甲从Ａ地到达地Ｂ共用了多少小时?
解：
相遇时，甲、乙两人所用时间相同。
甲从Ａ地到达B地比乙返回B地迟0．5小时，即从相遇点到B地这同一段路程中，甲比乙多用0．5小时。
可求出从相遇点到B地甲用了0．5÷（1一
）=2（小时），相遇时，把乙行的路程看做“l”，甲行的路程为
，从而可求
5．一个圆的周长为60厘米，三个点把这个圆圈分成三等分，3只甲虫A、B、C按顺时针方向分别在这三个点上，它们同时按逆时针方向沿着圆圈爬行，A的速度为每秒5厘米，B的速度为每秒1．5厘米，C的速度为每秒2．5厘米．问3只甲虫爬出多少时间后第一次到达同一位置?
解：
们先考虑B、C两只甲虫什么时候到达同一位置，C与B相差20厘米，C追上B需要20÷（2．5—1．5）=20（秒）．而20秒后每次追及又需60÷（2.5-1.5）=60（秒）；再考虑A与C，它们第一次到达同一位置要20÷（5—2．5）=8（秒），而8秒后，每次追及又需60÷（5--2．5）=24（秒）．可分别列出A与C、B与C相遇的时间，推导出3只甲虫相遇的时间
（1）C第一次追上B所需时间20÷（2．5—1．5）=20（秒）．
（2）以后每次C追上B所需时间：
60÷（2．5—1．5）=60（秒）．
（3）C追上B所需的秒数依次为：
20，80，140，200，…．
（4）A第一次追上C所需时间：
20÷（5—2．5）=8（秒）．
（5）以后A每次追上C所需时间：
60÷（5--2．5）=24（秒）
（6）A追上C所需的秒数依次为：
8，32，56，80，104…．
所以80秒后3只甲虫第一次到达同一位置.
6.甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，如果两人同向而行，甲26分钟赶上乙；如果两人相向而行，6分钟可相遇，又已知乙每分钟行50米，求A、B两地的距离。
解：
先画图如下：
【方法一】若设甲、乙二人相遇地点为C，甲追及乙的地点为D，则由题意可知甲从A到C用6分钟.而从A到D则用26分钟，因此，甲走C到D之间的路程时，所用时间应为：
（26-6）=20（分）。
同时，由上图可知，C、D间的路程等于BC加BD.即等于乙在6分钟内所走的路程与在26分钟内所走的路程之和，为50×（26＋6）=1600（米）.所以，甲的速度为1600÷20＝80（米/分），由此可求出A、B间的距离。
50×（26+6）÷（26-6）=50×32÷20＝80（米/分）
（80+50）×6＝130×6=780（米）
答：
A、B间的距离为780米。
【方法二】设甲的速度是x米/分钟
那么有（x-50）×26=（x+50）×6
解得x=80
所以两地距离为（80+50）×6=780米
7.甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山速度都是各自上山速度的1.5倍，而且甲比乙速度快，两人出发后1小时，甲与乙在离山顶600米处相遇，当乙到达山顶时，甲恰好下到半山腰。
那么甲回到出发点共用多少小时？
解：
由甲、乙两人下山的速度是上山的1.5倍，有：
⑴甲、乙相遇时，甲下山600米路程所需时间，相当于甲上山走600÷1.5=400米的时间。
所以甲、乙以上山的速度走一小时，甲比乙多走600+400=1000米。
⑵乙到山顶时，甲走到半山腰，也就是甲下山走了
的路程。
而走这
路程所需时间，相当于甲上山走山坡长度
÷1.5=
的时间。
所以在这段时间内，如
保持上山的速度，乙走了一个山坡的长度，甲走了1+
=
个山坡的长度。
所以，甲上山的速度是乙的
倍。
用差倍问题求解甲的速度，甲每小时走：
1000÷（
-1）×
=4000米。
根据⑴的结论，甲以上山的速度走1小时的路程比山坡长度多400，所以山坡长3600米。
1小时后，甲已下坡600米，还有3600-600=3000米。
所以，甲再用3000÷6000=0.5小时。
总上所述，甲一共用了1+0.5=1.5小时。
评注：
题关键在转化，把下山的距离再转化为上山的距离，这种转化是在保证时间相等的情况下。
通过转化，可以理清思路。
但是也要分清哪些距离是上山走的，哪些是下山走的。
8.老师教同学们做游戏：
在一个周长为114米的圆形跑道上，两个同学从一条直径的两端同时出发沿圆周开始跑，1秒钟后他们都调头跑，再过3秒他们又调头跑，依次照1、3、5……分别都调头而跑，每秒两人分别跑5.5米和3.5米，那么经过几秒，他们初次相遇？
解：
⑴半圆周长为144÷2=72（米）先不考虑往返，两人相遇时间为：
72÷（5.5+3.5）=8（秒）
⑵初次相遇所需时间为：
1+3+5+……+15=64（秒）。
二．多次相遇与多人相遇
9．甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地4千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地3千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离.
解：
第二次相遇两人总共走了3个全程，所以甲一个全程里走了4千米，三个全程里应该走4*3=12千米，
通过画图，我们发现甲走了一个全程多了回来那一段，就是距B地的3千米，所以全程是12-3=9千米，
所以两次相遇点相距9-（3+4）=2千米。
．A，B两地相距540千米。
甲、乙两车往返行驶于A，B两地之间，都是到达一地之后立即返回，乙车较甲车快。
设两辆车同时从A地出发后第一次和第二次相遇都在途中P地。
那么两车第三次相遇为止，乙车共走了多少千米？
解：
根据总结：
第一次相遇，甲乙总共走了2个全程，第二次相遇，甲乙总共走了4个全程，乙比甲快，相遇又在P点，所以可以根据总结和画图推出：
从第一次相遇到第二次相遇，乙从第一个P点到第二个P点，路程正好是第一次的路程。
所以假设一个全程为3份，第一次相遇甲走了2份乙走了4份。
第二次相遇，乙正好走了1份到B地，又返回走了1份。
这样根据总结：
2个全程里乙走了（540÷3）×4=180×4=720千米，乙总共走了720×3=2160千米。
．小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回），他们在离甲村3.5千米处第一次相遇，在离乙村2千米处第二次相遇.问他们两人第四次相遇的地点离乙村多远（相遇指迎面相遇）？
解：
画示意图如下.
第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村距离的3倍，因此张走了
3.5×3＝10.5（千米）.
从图上可看出，第二次相遇处离乙村2千米.因此，甲、乙两村距离是
10.5-2＝8.5（千米）.
每次要再相遇，两人就要共同再走甲、乙两村距离2倍的路程.第四次相遇时，两人已共同走了两村距离（3＋2＋2）倍的行程.其中张走了
3.5×7＝24.5（千米），
24.5=8.5＋8.5＋7.5（千米）.
就知道第四次相遇处，离乙村
8.5-7.5=1（千米）.
答：
第四次相遇地点离乙村1千米.
．
、
两地相距1000米，甲从
地、乙从
地同时出发，在
、
两地间往返锻炼。
乙跑步每分钟行150米，甲步行每分钟行60米。
在30分钟内，甲、乙两人第几次相遇时距B地最近？
最近距离是多少？
解：
甲乙的运行图如下，图中实现表示甲，虚线表示乙。
由图可知，第3次相遇时距离
地最近，此时两人共走了
千米，用时
分钟，相遇地点距离B地
米。
13．甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走67.5米，丙每分钟走75米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过2分钟与甲相遇，求东西两镇间的路程有多少米？
解：
那2分钟是甲和丙相遇，所以距离是（60+75）×2=270米，这距离是乙丙相遇时间里甲乙的路程差
所以乙丙相遇时间=270÷（67.5-60）=36分钟，所以路程=36×（60+75）=4860米。
14．甲、乙两地间有一条公路，王明从甲地骑自行车前往乙地，同时有一辆客车从乙地开往甲地。
40分钟后王明与客车在途中相遇，客车到达甲地后立即折回乙地，在第一次相遇后又经过10分钟客车在途中追上了王明。
客车到达乙地后又折回甲地，这样一直下去。
当王明骑车到达乙地时，客车一共追上（指客车和王明同向）王明几次？
解：
设王明10分钟所走的路程为a米，则王明40分钟所走的路程为4a米，则客车在10分钟所走的路程为4a×2+a=9a米，客车的速度是王明速度的9a÷a=9倍。
王明走一个甲、乙全程则客车走9个甲、乙全程，其中5个为乙到甲地方向，4个为甲到乙地方向，即客车一共追上王明4次。
15．王的步行速度是4.8千米/小时，小张的步行速度是5.4千米/小时，他们两人从甲地到乙地去.小李骑自行车的速度是10.8千米/小时，从乙地到甲地去.他们3人同时出发，在小张与小李相遇后5分钟，小王又与小李相遇.问：
小李骑车从乙地到甲地需要多少时间？
解：
画一张示意图：
图中A点是小张与小李相遇的地点，图中再设置一个B点，它是张、李两人相遇时小王到达的地点.5分钟后小王与小李相遇，也就是5分钟的时间，小王和小李共同走了B与A之间这段距离，它等于
这段距离也是出发后小张比小王多走的距离，小王与小张的速度差是（5.4-4.8）千米/小时.小张比小王多走这段距离，需要的时间是
1.3÷（5.4-4.8）×60=130（分钟）.
这也是从出发到张、李相遇时已花费的时间.小李的速度10.8千米/小时是小张速度5.4千米/小时的2倍.因此小李从A到甲地需要
130÷2=65（分钟）.
从乙地到甲地需要的时间是
130＋65=195（分钟）＝3小时15分.
答：
小李从乙地到甲地需要3小时15分.
16．甲、乙、丙是一条路上的三个车站，乙站到甲、丙两站的距离相等，小强和小明同时分别从甲、丙两站出发相向而行，小强经过乙站100米时与小明相遇，然后两人又继续前进，小强走到丙站立即返回，经过乙站300米时又追上小明，问：
甲、乙两站的距离是多少米？
解：
先画图如下：
结合上图，我们可以把上述运动分为两个阶段来考察：
①第一阶段——从出发到二人相遇：
小强走的路程=一个甲、乙距离+100米，
小明走的路程=一个甲、乙距离-100米。
②第二阶段——从他们相遇到小强追上小明，小强走的路程=2个甲、乙距离-100米+300米=2个甲、乙距离+200米，小明走的路程=100+300=400（米）。
从小强在两个阶段所走的路程可以看出：
小强在第二阶段所走的路是第一阶段的2倍，所以，小明第二阶段所走的路也是第一阶段的2倍，即第一阶段应走400÷2＝200（米），从而可求出甲、乙之间的距离为200＋100=300（米）。
17．快车和慢车分别从A，B两地同时开出，相向而行.经过5小时两车相遇.已知慢车从B到A用了12.5小时，慢车到A停留半小时后返回.快车到B停留1小时后返回.问：
两车从第一次相遇到再相遇共需多少时间？
解：
画一张示意图：
设C点是第一次相遇处.慢车从B到C用了5小时，从C到A用了12.5-5=7.5（小时）.我们把慢车半小时行程作为1个单位.B到C10个单位，C到A15个单位.慢车每小时走2个单位，快车每小时走3个单位.
有了上面“取单位”准备后，下面很易计算了.
慢车从C到A，再加停留半小时，共8小时.此时快车在何处呢？
去掉它在B停留1小时.快车行驶7小时，共行驶3×7=21（单位）.从B到C再往前一个单位到D点.离A点15-1＝14（单位）.
现在慢车从A，快车从D，同时出发共同行走14单位，相遇所需时间是
14÷（2＋3）＝2.8（小时）.
慢车从C到A返回行驶至与快车相遇共用了
7.5＋0.5＋2.8＝10.8（小时）.
答：
从第一相遇到再相遇共需10小时48分.
三．环型相遇与追及
18．如图，有一个圆，两只小虫分别从直径的两端Ａ与C同时出发，绕圆周相向而行。
它们第一次相遇在离Ａ点8厘米处的B点，第二次相遇在离c点处6厘米的Ｄ点，问，这个圆周的长是多少?
解：
如上图所示，第一次相遇，两只小虫共爬
行了半个圆周，其中从Ａ点出发的小虫爬了8厘米，第二次相遇，两
只小虫从出发共爬行了1个半圆周，其中从Ａ点出发的应爬行8×3=24（厘米），比半个圆周多6厘米，半个圆周长为8×3—6=18（厘米），一个圆周长就是：
（8×3—6）×2=36（厘米）
答：
这个圆周的长是36厘米。
19．A、B是一圈形道路的一条直径的两个端点，现有甲、乙两人分别从A、B两点同时沿相反方向绕道匀速跑步（甲、乙两人的速度未必相同），假设当乙跑完100米时，甲、乙两人第一次相遇，当甲差60米跑完一圈时，甲、乙两人第二次相遇，那么当甲、乙两人第十二次相遇时，甲跑完几圈又几米？
解：
甲、乙第一次相遇时共跑0.5圈，乙跑了100米；第二次相遇时，甲、乙共跑1.5圈，则乙跑了100×3=300米，此时甲差60米跑一圈，则可得0.5圈是300-60=240米，一圈是480米。
第一次相遇时甲跑了240-100=140米，以后每次相遇甲又跑了140×2=280米，所以第十二次相遇时甲共跑了：
140+280×11=3220=6圈340米。
20．如图所示，沿着某单位围墙外面的小路形成一个边长300米的正方形，甲、乙两人分别从两个对角处沿逆时针方向同时出发。
已知甲每分走90米，乙每分走70米。
问：
至少经过多长时间甲才能看到乙？
解：
甲、乙在同一条边（包括端点）上时甲才能看到乙。
甲追上乙一条边，即追上300米需300÷（90-70）=15（分），此时甲、乙的距离是一条边长，而甲走了90×15÷300=4.5（条边），位于某条边的中点，乙位于另一条边的中点，所以甲、乙不在同一条边上，甲看不到乙。
甲再走0.5条边就可以看到乙了，即甲总共走了5条边后就可以看到乙了，共需要
小时。
21．甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练：
他们同时从同一地出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的2/3。
甲跑第二圈的速度是比第一圈提高了1/3，乙跑第二圈的速度提高了1/5，已知沿跑道看从甲、乙两人第二次相遇点到第一次相遇点的最短路程是190米，问这条跑道长多少米？
解：
先找第一次相遇的地方在距起点2/5（或者3/5）处。
再找到第二次相遇在距离起点（1-2/3）÷（4/3+4/5）×4/5=1/8处，两次相遇点间隔2/5+1/8=21/40，注意到1-21/40=19/40<21/40，所以最短相距19/40，即190米是全长的19/40，所以这条跑道长190÷19/40=190×40/19=400米.
22．正方形ABCD是一个环型公路，汽车在AB上的时速是90千米，在BC上的时速是120千米，在CD上的时速是60千米，在DA上的时速是80千米，从CD上一点P反向各发出一辆汽车，它们将在AB中点相遇，如果从PC的中点M同时反向各发出一辆汽车，它们在AB上一点N相遇，那么A到N的距离除以N到B的距离商是多少？
解：
假设正方形边长为“1”，DP长为a，那么有：
a/60+1/80+1/2÷90=（1-a）/60+1/120+1/2÷90，所以a=3/8，所以CM=（1-3/8）÷2=5/16，DM=1-5/16=11/16，再假设AN=b，就有：
11/16÷60+1/80+b/90=5/16÷60+1/120+（1-b）/90，解这个方程得：
b=1/32，所以最后的结果应该是：
1/32÷（1-1/32）=1/31.
23．8点10分，甲、乙二人以相同的速度分别从相距60米的A、B两地顺时针方向沿长方形ABCD的边走向D，甲8点20分到D后，丙、丁两人立即以相同速度从D出发，丙由D向A，8点24分在E与乙相遇，丁由D向C，8点30分在F被乙追上，求三角形BEF的面积.（希望杯赛题）
解：
甲到D时，乙距离D60米，乙丙合走60米花了4分钟，乙追丁60米花了10分钟，所以他们的速度和是60÷4=15米/分，速度差是60÷10=6米/分，由此得到甲乙的速度是（15+6）÷2=10.5米/分，丙丁的速度是15-10.5=4.5米/分。
那么AD的长度就是10.5×10=105米，DE长度是4.5×4=18米，DF的长度就是4.5×10=45米，现在可以求三角形的面积了：
60×105－60×（105－18）÷2－18×45÷2－105×（60－45）÷2=6300－2610－405－787.5=2497.5
四．运用比例解相遇与追及
24．甲、乙两车分别从A，B两地出发，相向而行，出发时，甲、乙的速度比是5：
4，相遇后，甲的速度减少20%，乙的速度增加20%，这样，当甲到达B时，乙离A地还有10千米。
那么A，B两地相距多少千米？
解：
相遇后速度比值为[5×（1-20%）]：
[4×（1+20%）]=5：
6，假设全程为9份，甲走了5份，乙走了4份，之后速度发生变化，这样甲到达B地，甲又走了4份，根据速度变化后的比值，乙应该走了4×6÷5=24/5份，这样距A地还有5-24/5份，所以全程为10÷（1/5）×9=450千米。
25．小方从家去学校，如果他每小时比原来多走1.5千米，他走这段路只需原来时间的
；如果他每小时比原来少走1.5千米，那么他走这段路的时间比原来时间多几分之几?
解：
速度提高后，所用的时间是原来的
，可知速度是原来的l
，原来的速度是1.5÷（1
一1）=6（千米）。
6一1.5=4.5（千米），相当于原来速度的
，所用时间比原来多l÷
一1=
。
列算式为
26．王刚骑自行车从家到学校去，平常只用20分钟。
因途中有2千米正在修路，只好推车步行。
步行速度只有骑车速度的
，结果这天用了36分钟才到学校。
王刚家到学校有多少千米?
解法一：
设走2千米路，原计划所用时间X分钟，根据速度比等于时间的反比列出比例式1：
3=X：
[X+（36—20）]，得出原来行2千米需8分钟，每分钟行2÷8=
（千米），从而可求出全长为
解法二：
王刚这天比平时多用36—20=16（分钟）。
这是因为步行比骑车慢
所以步行了
步行24分钟的路程骑车只需24×
=8（分钟），所以骑车8分钟行2千米，骑车20分钟行2×（20÷8）=5（千米）。
列算式为
27．甲、乙两人步行的速度之比是7：
5，甲、乙分别由A、B两地同时出发。
如果相向而行，0.5小时后相遇；如果他们同向而行，那么甲追上乙需要多少小时？
解：
（1）设甲追上乙要x小时。
因为相向而行时，两人的距离÷两人的速度和=0.5小时，同向而行时，两人的距离÷两人的速度差=x小时。
甲、乙两人的速度之比是7：
5，所以
=
解得：
x=3
（2）根据路程之比等于速度之比可知，相遇时甲行7份，乙行5份（总路程12份），0.5小时内甲比乙多行7-5=2份。
追及时甲要追上乙，需要多行12份，即12÷2×0.5=3小时。
28．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，出发时他们的速度之比是3:
2,他们第一次相遇后甲的速度提高了20﹪，乙的速度提高了30﹪，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有14千米，那么A、B两地的距离是多少千米？
解：
因为他们第一次相遇时所行的时间相同，所以第一次相遇时甲、乙两人行的路程之比也为3:
2
相遇后，甲、乙两人的速度比为〔3×（1+20﹪）〕：
〔2×（1+30﹪）〕=3.6:
2.6=18:
13到达B地时，即甲又行了2份的路程，这时乙行的路程和甲行的路程比是18：
13，即乙的路程为2×
=1
。
乙从相遇后到达A还要行3份的路程，还剩下3-1
=1
（份），正好还剩下14千米，所以1份这样的路程是14÷1
=9（千米）。
A、B两地有这样的3+2=5（份），因此A、B两地的总路程为：
[3×（1+20%）]:
[2×（1+30%）]=18:
13
14÷（3-2×
）=14÷1
=9（千米）
9×（3+2）=45（千米）
答：
A、B两地的距离是45千米。
29．姐弟俩正要从公园门口沿马路向东去某地，他们回家要从公园门口沿马路向西行，他们商量是先回家取车再骑车去某地省时间，还是直接从公园门口步行向东去某地省时间。
姐姐算了一下：
已知骑车与步行的速度之比是4︰1，从公园门口到达某地距离超过2千米时，回家取车才合算。
那么，公园门口到他们家的距离有多少米？
解：
从题中“公园门口到达某地距离超过2千米时，回家取车才合算”，可以知道，从公园门口到某地距离是2千米时，则两者时间相同。
设公园门口到家的距离是x千米。
=
8-4x=x+2
x=1.2
答：
从公园门口到他们家的距离有1.2米。
30．一辆车从甲地开往乙地.如果车速提高20％，可以比原定时间提前一小时到达；如果以原速行驶120千米后，再将速度提高25％，则可提前40分钟到达.那么甲、乙两地相距多少千米？
解：
设原速度是1.
％后，所用时间缩短到原时间的
这是具体地反映：
距离固定，时间与速度成反比.
用原速行驶需要
同样道理，车速提高25％，所用时间缩短到原来的
如果一开始就加速25％，可少时间
现在只少了40分钟，72-40＝32（分钟）.
说明有一段路程未加速而没有少这个32分钟，它应是这段路程所用时间
真巧，320-160＝160（分钟），原速的行程与加速的行程所用时间一样.因此全程长
答：
甲、乙两地相距270千米.
31．一辆汽车从甲地开往乙地，如果车速提高20％，可以提前1小时到达。
如果按原速行驶一段距离后，再将速度提高30％
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