数学建模减肥计划.docx

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减肥计划——节食与运动

摘要：

肥胖已成为公众日益关注的卫生健康问题。

肥胖是与目前严重危害人类健康疾病，如糖尿病、高血压、冠心病、血脂异常、胆囊疾病、痛风、骨关节病、阻塞性睡眠呼吸暂停、某些癌症等的发病有明显相关的危险因素之一。

但是实际情况确是违禁广告屡禁不止。

之所以造成这种情况的原因很多，但是有一个重要原因就是科学素质低，不知道应该从生理机理，特别是从数学模型的角度来考虑和认识问题。

数学模型的优点是科学的解释了肥胖的机理，引导群众合理科学的减肥。

关键词：

减肥饮食合理运动

一、问题重述

联合国世界卫生组织颁布的体重指数（简记BMI）定义为体重（单位：

kg）除以身高（单位：

m）的平方，规定BMI在18.5至25为正常，大于25为超重，超过30则为肥胖。

据悉，我国有关机构对人的特点，拟将上述规定中的25改为24，30改为29。

在国人初步过上小康生活以后，不少自感肥胖的人纷纷奔向减肥食品的柜台。

可是大量事实说明，多数减肥食品达不到减肥的目标，或者即使能减肥一时，也难以维持下去。

许多医生和专家的意见是，只有通过控制饮食和适当的运动，才能在不伤害身体的条件下，达到减轻体重并维持下去的目的。

肥胖是与目前严重危害人类健康疾病，如糖尿病、高血压、冠心病、血脂异常、胆囊疾病、痛风、骨关节病、阻塞性睡眠呼吸暂停、某些癌症等的发病有明显相关的危险因素之一。

肥胖也是身体健康的晴雨表，反映着体多方面的变化。

很多人在心理上害怕自己变得肥胖，追求苗条，因而减肥不仅是人们经常听到的话题，更有人花很多的时间和金钱去付诸实践的活动，从而也就造成了各种减肥药、器械和治疗方法的巨大的市场。

各种假药或对身体有害的药品和治疗方法、夸大疗效的虚假广告等等就应运而生了，对老百姓造成了不应有的伤害。

情况的严重使得国家广电总局、新闻出版总署等不得不发出通知，命令所有电视台自2006年8月1日起停止播出丰胸、减肥等产品的电视购物节目。

但是实际情况确是违禁广告屡禁不止。

之所以造成这种情况的原因很多，但是有一个重要原因就是科学素质低，不知道应该从生理机理，特别是从数学模型的角度来考虑和认识问题。

二、模型分析

通常，当体能量守恒被破坏时就会引起体重的变化。

人们通过饮食吸收热量，转化为脂肪等，导致体重增加；又由于代和运动消耗热量，引起体重减少。

只要作适当的简化假设就可得到体重变化的关系。

减肥计划应以不伤害身体为前提，这可以用吸收热量不要过少、减少体重不要过快来表达。

当然，增加运动量是加速减肥的有效手段，也要在模型中加以考虑。

每日膳食中，营养的供给是作为保证正常人身体健康而提出的膳食质量标准，营养素的要求量是指维持身体正常的生理能所需的营养素的数量，如果人们在饮食中摄入营养素的数量低于这个数量，将使身体产生不利的影响。

（每天膳食提供的热量不少于5000—7500J这是维持正常命活动的最少热量）

通常，制定减肥计划以周为时间单位比较方便，所以这里用离散时间模型——差分方程模型来谈论。

三、模型假设

根据上述分析，参考有关生理数据，作出以下简化假设：

1.体重增加正比于吸收的热量，平均每8000kcal增加体重1kg（kcal为非国际单位制单位1kcal=4.2kj）；

2.正常代引起的体重减少正比于体重，每周每公斤体重消耗热量一般在200kcal至320kcal之间，且因人而异，这相当于体重70kg的人每天消耗2000kcal~3200kcal；

3.运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关；

4.为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5kg，每周吸收热量不要小于10000kcal。

符号说明：

ω（k）

第k周末的体重

c（k）

第k周吸收的热量

α

热量转换系数

β

代消耗系数

c

每周吸收的热量

cmin

吸收热量的下限

γ

运动热消耗

t

运动时间

四、基本模型

记第k周末体重为ω（k），第k周吸收热量为c（k），热量转换系数α=1/8000（kg/kcal），代消耗系数β（因人而异），则在不考虑运动情况下体重变化的基本方程为

ω（k+1）= ω（k）+ αc（k+1）－βω（k）,k=0，1，2，… 

（1）

增加运动时只需将β改为β+β1，β1由运动的形式和时间决定。

五、减肥计划的提出

某甲身高1.7m，体重100kg，BMI高达34.6。

自述目前每周吸收20000kcal热量，体重长期不变。

试为他按照以下方式制订减肥计划，使其体重减至75kg并维持下去：

1）在基本上不运动的情况下安排一个两阶段计划，第一阶段：

每周减肥1kg，每周吸收热量逐渐减少，直至达到安全的下限（10000kcal）；第二阶段：

每周吸收热量保持下限，减肥达到目标。

2）若要加快进程，第二阶段增加运动，重新安排第二阶段计划。

3）给出达到目标后维持体重的方案。

六、减肥计划的制订

1）首先应确定某甲的代消耗系数β。

根据他每周吸收c=20000kcal热量，体重ω=100kg不变，由

（1）式得

ω=ω+αc－βω， β=αc/ω=20000/8000/100=0.025

相当每周每公斤体重消耗热量20000/100=200kcal。

从假设2可以知道，某甲属于代消耗相当弱的人，他又吃得那么多，难怪如此之胖。

●第一阶段要求体重每周减少b=1kg，吸收热量减至下限cmin=10000kcal，即

ω（k）－ω（k+1）=b，ω（k）= ω（0）－bk

由基本模型

（1）式可得

c（k+1）=  [ βω（k）－b]= ω（0）－ （1+βk）

将α，β，b的数值代入，并考虑下限cmin，有

c（k+1）=12000－200kcmin=10000

得k10，即第一阶段共10周，按照

c（k+1）=12000－200k，k=0，1，…，9 

（2）

吸收热量，可使体重每周减少1kg，至10周末达到90kg。

●第二阶段要求每周吸收热量保持下限cmin，由基本模型

（1）式可得

ω（k+1）=（1－β） ω（k）+ αcmin （3）

为了得到体重减至75kg所需的周数，将（3）式递推可得

ω（k+n）=（1－β）nω（k）+ αcmin[1+（1－β）+…+（1－β）n-1]=（1－β）n[ω（k）－αcmin/β]+ αcmin/β

已知ω（k）=90，要求ω（k+n）=75，再以α，β，cmin的数值代入，（4）式给出

75=0.975n（90－50）+50 （5）

得到n=19，即每周吸收热量保持下限10000kcal，再有19周体重可减至75kg。

●配餐方案：

常见食物热量：

食物

数量

热量（kcal）

米饭

1碗（135g）

200

面条

1碗（135g）

280

煎蛋

1只

136

大饼鸡蛋

1个

165

馒头

1个

280

小米粥

100g

46

豆腐

100g

57

青椒土豆丝

100g

72

草鱼

100g

113

西红柿鸡蛋汤

100g

14

豆腐脑

100g

47

烤馍片

100g

221

炸鸡腿

100g

261

什锦炒饭

1份

800

苹果

1个

55

梨

1个

45

方便面

1份

470

花卷

100g

217

猪肉水饺

一个

40

烧饼

100g

326

水煮土豆

100g

67

土豆粉

100g

337

素什锦

100g

173

韭菜包子

100g

199

煎饼

100g

304

配餐方案：

星期一

星期二

星期三

星期四

星期五

星期六

星期日

早餐

小米粥、大饼鸡蛋

豆腐脑、烤馍片

西红柿鸡蛋汤、馒头

方便面汤、花卷

小米粥、烧饼

豆腐脑、烤馍片

西红柿鸡蛋汤、烤馍片

午餐

米饭、豆腐、煎蛋、草鱼

西红柿刀削面、苹果

米饭、炸鸡腿、梨

猪肉水饺、苹果

米饭、水煮土豆、豆腐

西红柿刀削面、炸鸡腿

米饭、草鱼、煎蛋、苹果

晚餐

西红柿鸡蛋汤、烤馍片

小米粥、馒头

小米粥、什锦炒饭

豆腐脑、大饼鸡蛋、馒头

西红柿鸡蛋汤、烤馍片

小米粥、素什锦、馒头

小米粥、韭菜包子、煎饼

2）为加快进程，第二阶段增加运动。

经过调查资料得到以下各项运动每小时每公斤体重消耗的热量：

运动

跑步

跳舞

乒乓

自行车

（中速）

游泳

（50m/min）

热量消耗

（kcal）

7.0

3.0

4.4

2.5

7.9

记表中热量消耗γ，每周运动时间t，为利用基本模型

（1）式，只需将β改为β+αγt，即

ω（k+1）= ω（k）+ αc（k+1）－（β+αγt） ω（k） （6）

试取αγt=0.003，即γt=24，则（4）式中的β=0.025应改成β+αγt=0.028，（5）式为

75=0.0972n（90－44.6）+44.6 （7）

得到n=14，即若增加γt=24的运动，就可将第二阶段的时间缩短为14周。

3）最简单的维持体重75kg的方案，是寻求每周吸收热量保持某常数c，使ω（k）不变。

由（6）式得

ω=ω+αc－（β+αγt） ω

c=（β+αγt） ω/α （8）

若不运动，容易算出c=15000kcal；若运动（容同上），则c=16800kcal。

七、评注

人体体重的变化是有规律可循的，减肥也应科学化、定量化。

这个模型虽然只考虑了一个非常简单的情况，但是它对专门从事减肥这项活动（甚至作为一项事业）的人来说也不无参考价值。

体重的变化与每个人特殊的生理条件有关，特别是代消耗系数β，不仅因人而异，而且即使同一个人在不同环境下也会有所改变。

从上面的计算中我们看到，当β由0.025增加到0.028时（变化约12%），减肥所需时间就从19周减少到14周（变化约25%），所以应用这个模型时要对β作仔细的核对。

参考文献：

[1]启源、金星、叶俊，数学模型（第三版）

[2]卢向南、俊杰、寿涌毅，应用运筹学

[3]百度搜索，热量表