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网极限

在我们所采用的定义1至定义4中均应用了网极限的概念，因此有必要将网极限的一般定义及部分可能要用到的性质略作阐述•

定义0.1设集合D「I,称D上的二元关系：

:

：

为半序关系，若其满足：

（i）非自反性:

-X）yD,x：

：

：

y=x=y

（ii）传递性:

-χ,y,zD若x：

：

y,y：

：

Z则:

XZ

定理0.1如此定义的半序集中没有最大元

证明仮设-χD,-∖zDStXZ

另TZDStz：

：

Z

由（ii）知:

X：

：

z'

但由⑴知：

Z=Z矛盾.即得证.

注:

半序关系中并没有要求-χ,y∙D,一定要有X：

：

：

y或y：

：

：

x,只要两者不同时成

立即可.也就是说,两者可以在这种关系下无法比较.

我们回忆在学习数列时定义极限的情形，不难发现当时是依靠N中的良序关系来描述极限的，然而在更多的情形下，极限的基未必能满足这样的良序关系.为了使这样的极限也能利用序列来进行描述，我们引入半序关系.这样,用能序列描述的极限的范围就被极大地扩展了.

定义0.2称偶（DI：

：

：

）为半序集若D=•一且：

：

：

为D上的半序关系.

定义0.3称半序集（D,0为定向集,若其满足：

（iii）共尾性：

一X,yDzDstX：

：

z,y：

：

Z

这个性质对网极限的定义至关重要，正是共尾性保障了我们所定义极限的唯一性

定义0.4称映射S:

D—X为X中的网若集合Df一且（D,：

：

：

）为定向集,

记作S=

一般的网极限理论是在拓扑空间展开的，我们在此不必涉及.我们所讨论的的网极限中恒令X=R.

定义0.5对于定向集（D,：

：

：

）上的网S:

D-R）

若ΞIER）对〒Ea0,ED,Fddcd）有∣S（d）_l|<ε

则称I为映射S在定向集（D」：

：

）上的网极限，即记作IimS

（D,Q

定理0.1定义5中所述的网极限是唯一的.

证明：

假设三∣i,∣2^RsiVε>0^dι^DΛ∕d∕^

Ξd2^D,Wd2cd,有IS（d）-I2Ieg

由（D,：

：

：

）上的共尾性：

d>Dsid1*

d*

■”-**

从而有：

S（d）-∣ιV呂且S（d）-∣2

由；的任意性知：

I1=I2

即证网极限是唯一的，说明定义5是良好的.

定义0.6设集合D^D且（D1,<）中沿用（D,：

）中的半序关系.若:

-dD,d√D1,

Std9,则称网S:

D—R的限制S1P1—R为网S的临界子网，称半序集

（D1,<）为（D,■■■■.）的临界子定向集.

定理0.2上述定义6中的（D1,.）为定向集

证明:

首先按照定义，（U,）是半序集

又一X,yDI-DZ-Dstx：

z,y：

：

Z

TZlDIStz：

：

z1

由半序关系的传递性:

Xz1,yz

即（Dj）为定向集.

定义0.7称S1P1—R为网S的临界子网若网S:

D—R限制在（D,：

：

：

）的一个临界子定向集上.

在临界子网上也可以定义网极限，为了证明广义二重积分在不同定义下的等价性我们有必要建立起不同网之间的关系•

定理0.3IimS=IimS

（D,Q（Dι,Q

这个定理常用来反证网极限不存在，也就是说我们可以选取一个临界子网使极限在此子网上极限不存在，从而说明网极限不存在•

定义0.8称定向集（D1,<1）与（D2,：

2）是等价的,

若映射T:

Di—D2满足:

x：

：

：

y=T（X）

Q

定义0.9称网Si：

Di—R与网S2:

D2—R是等价的，

若（Di,G二（D2,：

：

2）且SI=ST,记作SI二S?

定理0.4SirS2=∣imSiIimS2

'2（Di,<⅛（D2&

证明:

不妨设IimSI存在且IimSi=Ii,

（Di,-⅛'（Di,匕''

V&>0三d；EDiWdEDi,d；Cd∣S1（d^Ii∣

由S三S2的定义,我们有：

Vε>0ΞT（di^D2VdED2,T（di）cd

由T为i_i映射:

diDstT（di*）

再由T的保序性得：

di*

即IimS2存在且IimS2=Ii

（D2,■）2（D2,：

：

）2'

下面来说明我们以后证明中使用频率最高的共同临界子网的概念.

定义0.i0称Sl与S2存在共同临界子网若S的临界子网与S的临界子网等价.

至此,我们可以提出我们证明的一般思路了.

如我们要证明定义i=定义2:

StePi对于正函数，在定义i,2下的网收敛=临界子网收敛

Step2在定义1,2下,有绝对收敛性,即f收敛=:

f收敛

Step3找出定义1中的网与定义2中的网的一个公共临界子网

于是fER（0）=IfeR（O）U（Iim）S（If|,0）二

（Dm）S2（∣f∣,0）=∣f乏R2（O）="R2（Ω）

其中第一个和第五个等价性是由广义二重积分的绝对收敛性得出的，第二个和第四个等价是由正函数的广义二重积分网极限与临界子网极限同时存在得出，而第三个等号是由公共临界子网的等价性得出。

注意在定义四中我们找不到简单的公共临界子网，不过我们可以转而证有界性的等价性得出我们要的结论。

定义1

定理1.1设F⑴）为区域i中任意可求积的子集的全体集合，赋序

i1:

:

：

12二i1二：

：

2,

则（F⑴）,■■■■）为一个定向集.

证明:

先说明F（X）是一个半序集：

（i）非自反性:

i\:

:

：

i.=F1「2

（ii）传递性：

JI—」,：

：

：

'1I=f

且满足（iii）共尾性：

一JQ2∙F（」）,记—SUP.χ2y2,取-RN

（χ,y）咳UfJ

则X2y2ER2包围的区域D满足:

J=D门可测,且UE3

定义1.1称在上述定向集上的映射S:

FC」）一R,（SD）为有限积分网，

记作Iimilf（X,y）dxdy

D

引理1.2当二元函数f（x,y）_0时,有I=SUPllf（X,y）dxdy,DFC1）

.D

、r”+

证明:

（1）先证:

若I存在,则SUPmf（X,y）dxdy,D£F（C）＞存在且两者相等:

ID,

取=1月D1^F（Ω）,当D^F（Ω）,D1cD时，JJf（x,y）dxdy—I<1

D

即门f（x,y）dxdy：

：

I1

D

-D2F（'」），-D3F（.1）,D^：

：

D3且D1：

：

D3

二∫∫f（x,y）dxdy=JJf（x,y）dxdy-JJf（x,y）dxdyc∣I∣+1-JJf（x,y）dxdycI+1

D2D3D3D2D3D2

即f（x,y）dxdy有界

D

令I=SuPllf（X,y）dxdy,DFCI）

IDJ

:

乜O,-D4F（1J）stI-；：

：

f（x,y）dxdy：

：

I

D4

f（x,y）_0.当DFCl）时，D4：

：

D时：

I*-；：

：

f（x,y）dxdy：

I*

D

对于同样的；0,D^FCI）St

当DF⑴），D5：

：

D时,I-；：

：

f（x,y）dxdy：

I；

D

我们取D6=D4D5,则一；0,D^D当DFC1）,D^：

：

D时有：

I-；：

f（x,y）dxdy：

I且I-；：

f（x,y）dxdy：

I；

DD

即有l-l*c2j于是由E的任意性，1=1*得证.

⑵再证:

若SUPllf（X,y）dxdy,DFCI）存在,则∣存在且两者相等

IDJ

令I=SUPIif（x,y）dxdy,DF（J）

.D

PE>0,三D1乏F（C）StI一E

DI

而f（x,y）一0,我们有:

D1D^,,f（x,y）dxd^..f（x,y）dxdy

D1D

即：

a0,^D1EF（O）St当D1

*LBLBLBLB**

I-；：

：

f（x,y）dxdy-f（x,y）dxdy：

：

I:

I:

D1D

根据定义,I存在且I=I*,即得证.

定理1.3当二元函数f（x,y）_0时,Iim!

!

f（x,y）dxdy=Iimf（x,y）dxdy,

iCIl

DD

其中DF（I∙1）,F（χ）为Fw）的临界子网.

证明:

⑴先证明：

若Iimf（x,y）dxdy存在,则Iimf（x,y）dxdy存在且两者相等

DD'

由引理1.2:

Iimilf（X,y）dxdy=supIlf（X,y）dxdy,DF（J）

D.D

%

又f（x,yU0得U∫f（x,y）dxdy,D宅F©）卜单调递增且有上界，则其上确界存在

于是由引理12Iimf（x,y）dxdy存在且等于SUPf（X,y）dxdy,DFW）

F（0）uF（C）,sup』Hf（x,y）dxdy,DUF^Ω^≤su^[f（x,y）dxdy,D乏F（C）》

D.D-

eJ

而-D1F（I）D2F（T）stD1：

：

D2,进而有Iif（x,y）dxdy一f（x,y）dxdy

DID2

f1\1

于是SUPllf（X,y）dxdy,DF（T）-SUP11f（x,y）dxdy,DF（J）

.D.D'

r「1

于是SUPgHf（x,y）dxdy,DEFg）∖=

.D.D'

⑵再证明:

若IimIif（x,y）dxdy存在,则IimIlf（x,y）dxdy存在且二者相等

-Dtl~D

\]

由引理1:

Iimf（x,y）dxdy=supf（x,y）dxdy,DFL）

UL∣VJ

-。

3FC1）,D^FCl）StD3：

D4,进而有Iif（x,y）dxdy…Ilf（X,y）dxdy

D3D4

于是f（x,y）dxdy,DF（"）有上界.

.D

又f（x,y）—0得..f（x,y）dxdy,DF（⑴单调递增故有上确界

ID“

再由引理12IimHf（X,y）dxdy存在且等于SuPqJf（X,y）dxdy,DF（O）卜

JDL.D“

由⑴中证明知:

SuP{[jf（x,y）dxdy,DEF（C）>={JJf（X,y）dxdy,D*F（Ω）>

IDJID；J

即得证.

定理1.4在定义1下的广义二重积分是绝对收敛的，即:

f（x,y）R1D=∣f（x,y）∣R1⑴）

Jir+

Jf（x,y）=f（χ,y）—f一（χ,y）

if（x,y）∣=f（Xly）f^（x,y）

证明:

记f（X，八max5x,y）,0[

[fIXIy）=max{—f（x,y）,0}

要证明f（x,y）和f（x,y）∣在D上可积等价只需证:

f（x,y）RIL）

「]

我们先证明:

若f（x,y）ER1（Ω）,则:

卩Jf（x,y）dxdy,DEF（Ω）>有界

D

取名=1,mD1^F（0）,当DWF（C）,U

D

即f（x,y）dxdy：

：

I1

D

-DFCl）,D2FC1）,D

：

D2

二JJf（x,y）dxdy="f（x,y）dxdy—Hf（x,y）dxdycI+1+Uf（x,y）dxdy

DD2D2DD2D

1若D门D1=0,则:

DIcD2D,从而有JJf（x,y）dxdy<11+1

D2D

2若DD^D^.,则：

D「：

D2（DD3）,从而有：

Hf（x,y）dxdy=

Hf（x,y）dxd^∏f（x,y）dxdy

≤

+1+

fff（x,y）dxdy

D2D

D2∖（DD3）D3

D3

而D1为某定区域,f（x,y）在D上有界,则f（x,y）在U上有界

于是我们得到：

口f（x,y）dxdy有界,

而D3：

：

D,故

..f（x,y）dxdy

JJf（x,y）dxdyVM

DI

D2D

综上所述，JJf（x,y）dxdy≤2I+2+M,有界性得证

F面再证明：

f（x,y）∙R1CI）

I=f（x,y）wR1g）n∣f（x,y）∣乏R1（O）:

反设f（x,y）--R1（I）,则-n,Dn=F（J）StIlf（X,y）dxdyn

DnL

取Dn的分划σ∙n,ι,□n,2,6,mSt其DarboUX下和An,

m即：

'mn,jf（x,y）fjn

j4

我们将▽n,j分为以下两类：

<1>在二n,j上,mn,jf（X,y）=0

<2>在二n,j上,mn,jf（x,y）0（此时有f（x,y）=f（x,y））

将第二类∙σn,j取出,并记为仃n+^j,j=1,…Ik

k

则'mn,jf（x,yKn,'jn

j吕

k

记Qn,j,则Ilf（x,y）dxdy=f（X）y）dxdyn

j1QQ

而这与f（x,y）∙RIeI）矛盾,于是「（x,y）・R1C1）

2'f（x,y）ER1（C）u∣f（x,y）∣ER1（C）

注意到：

0VfiX,y）兰|f（x,y）

则Ilf（x,y）dxdy,DF（I】）单调递增且有上界，

D

[]

于是SUPIlf（X,y）dxdy,DF^I）存在

IDJ

由引理1.2知:

f（x,y）Ru）

综上所述f（X,y）€R1（O）=∣f（X,y）∣ER1（C）

定义2

定理2.1设L（X）为所有L割下门部分的全体,赋序W十wd1."τ,则（L（"）,：

：

：

）是一个定向集，并且以dL作为其中每个元素的参数，我们称这种定向集为可参数化的定向集•

证明:

先说明（L（「），,.）是一个半序集：

（i）非自反性m=∙dL

（ii）传递性m且程小5=代代,即门「化

然后是共尾性：

（iii）"l1,'L（χ）,由于A（L1）=A（Lq）=OWPL1^有界,那么R0St

22X=RCOSV

R■max{X2y21|（x,Y）LiL?

}那么可求长曲线L:

0岂二岂2~

y=RSin日

满足：

d1.=RdL1,dL2,即卩1A使得I-Yl'1L^/Y2。

定义2.2在上述定向集上的映射S:

LW）—R（SWl）=f（x,y）dxdy）称为菲赫金

Ω

哥尔茨网。

我们先对f（Xly）一0的情况进行分析：

注意到（f/1）菲赫金哥尔茨网是存在临界子网的.比如说中心为原点的圆圈列:

x二nCOS-

Ln:

.OrV2二所包围的区组成的集合记为L（"）,L（门）L^I）且

y=nsin二

（LC1）,）是一个临界子定向集.将S限制在LC1）上即为网S的一个临界子网。

nL[0,0.25]

另一个例子是中心为原点的正方形列：

Ln:

X=

3n-8tnt[0.25,0.5]

-nt[0.5,0.75]

8n-7tnt[0.75,1]

—n8tn

n

Ln:

y_5n_8tn

一n

t[0,0.25]

t[0.25,0.5]

C所包围的区组成的集合记为Ld）,Lg）UL（O）

t[0.5,0.75]

t[0.75,1]

且（L（「），：

：

：

）是一个临界子定向集.将S限制在Lw）上即为网S的一个临界子网。

定理2.3若f（x,y）_O,则：

∣imS=SUPf（x,y）dxdy「」LL（X）。

（Ld&J

证明:

若I=SUPlIf（χ,y）dxdy”；LL（J）：

：

：

：

：

那么由上确界的定义：

-；.O,r:

LSt

I-；：

：

f（x,y）dxdy乞I。

ILLI

记J-maxx2y2

（χ,y）丄1'

取L:

X八COSrOr2二Jy=PSin日

那么,由于IIL*为可求长曲线，则d*∙L^I）^lIL有

由U*的定义有-ILI-L

严1

又由f（x,y）一0知:

|-；：

：

f（x,y）dxdy辽f（x,y）dxdy^lQΩ

反之,只需证由

I=..∣in）ι^S存在=f（x,y）dxd^∖L^l）有界即可

（•".'-.L

即证俪

[X-ncos^,

-''Y■LC1）,取临界子网Ln:

「0"一2二

Jy=nsin日

由于f（x,y）—0,f（x,y）dxdy门LLL）单调上升到I

LdJ

记Hmax-.,XV

（x,y）⅛1

NOst：

：

N

从而有..f（x,y）dxdy,f（x,y）dxdy^f（x,y）dxdySωx2为2參6N

即Iif（X,y）dxdy”.：

L∙=L（IJ有界得证.

定理23若f（χ,八。

则（LIim严＜卢，其中S为S限制在Lg上的临界子

网.

证明:

先证明若帆S存在则（LIjmJ也存在:

若IimS存在则SUPf（x,y）dxdy"LL。

」）存在:

（L（UI...J

.''L

由上确界的定义知：

SUPf（x,y）dxd^.∖■LCI）岂SUPf（x,y）dxdy汽∙L（X）

.1'L.'-L1

从而由定理2.3有（LIim）^S存在

反之若IjmS存在,则:

SUPIlf（X,y）dxdyITLL（IT）存在.

（Ld恆J

^l'\■L^l）,由于S为S的临界子网，记》=ma^,x2y21,那么：

-!

「［**

St

IX_,'cos^,其中ωl*为L*jlyZPSine，^^围成的区域。

Hf（x,y）dxdyIlf（x,y）dxdyIlf（x,y）dxdy乞SUPf（x,y）dxdyd

LL

LW）

可知:

SUP..f（x,y）dxdy卜∙LLCI）存在

.'■L

且SUPf（x,y）dxdydLCI）ESUPf（x,y）dxdy,∙lL（J）

JbJ

.''.L

L-

那么SUPf（x,y）dxdyllL（1J）=SUPf（x,y）dxdy,∖L（1J）

F.''.L'

只要等式有一边存在，则必然有两边同时存在且相等，即』m或S=（LIj（m^s"得证.

注意以下事实：

Jir、

当f（x,y）_O时若SUPf（x,y）dxdyi.∖L（X）-•：

：

那么同样有：

IωJ

SUPlif（X,y）dxdy〔IL（Il）--■■-,即在任意临界子网上IimS=：

：

（L（Il）,：

：

：

）

引理2.1首尾相连的曲线的相加

设曲线L1,L2,...,Ln的参数表示为：

Lk:

!

Xk（OW[0,1]满足!

Xk（I）=XW（O）m（t）IJk（I>y∏1（0）

证明：

我们取这样的曲线

（1乞k乞n-1）,而且除以上各点外曲线互不相交，这样我们就可以定义若尔当曲t[kn,kF0

由Q（幕;:

:

（（O））（IWZ知这个分段的参数表示是连续的，而此时L没有

n

重点，故L为若尔当曲线，满足：

graph（L）八graph（Lk）o

km

注意如果曲线L1'L2Ln是围成一圈的，即Cl（XXnn（（Il））,那么我们构造的曲

线L为若尔当闭曲线。

定理2.4在定义2.2下的广义二重积分是绝对收敛的，即：

f（x,y）^R2（Ω）台∣f（x,y）∣ER2（Ω）

证明：

（U）注意到'f（x,y）+f（x,y）=2f+（x,y），

由极限的线性性，我们只需证f（x,y）∙R2（J）:

r÷ιJir]

由于f+（x,y^≡∣f（x,y）,故sup」Hf^+（x,y）∣01.L（O）"sup<∏f（x,y）∣01.L（0）>

SJsJ

于是f（x,y）R2CJ

（=⅛）反设’f（x,y）∣更R2（Q）

Jir、

那么由定理2.2可知:

SUPf（x,y）[.'L-L0」）-•：

：

我们选取临界子定向集｛⅛J,其中:

Ln为正方形的边界曲线

在其上由定理2.3有:

limILf（X,y）dxdy=址f

于是我们不妨取SlJ满足：

JJ,f（x,y）dxdy>3川f（x,y）dxdy∣+2n

f⅛+Ωn

（由Jlmf（x,y）dxdy「：

：

知:

我们可以选出一个无穷子序列使得：

n'.Lnk

JJlf（x,y）dxdya3JJ∣f（x,y）dxdy+2n,不妨取9仏>作为新的^L^即可）

I-Lnk1I-Lnk

记R=OL车0L

n1n

首先Pn是可求积的，而且If（x,y）在OL卄上是有界可求积的，那由积分关于区域的

线性性是成立的，即有：

Hlf（x,y）'dxdy=JJIf（x,y）dxdy-Hlf（x,y）dxdyPn角丰Ωn

又有:

af（x,y）dxdy：

11f（x,y）dxdy亠11f^（x,y）dxdy

PnPnPn

不妨设Iif（x,y）dxdy，ιιf^（x,y）dxdy,

PnPn

则由上可得：

iif（x,y）dxdyf（x,y）dxdyn

Pn茲

对于Uf+（x,y）dxdy,将其所在的正方形区域ΩLn+进行分划T:

Pn

一an4t=x0cxiWcx,4exCXm兰…VX2l4VX2l=an4t