最全面三角函数所有公式及学习等差数列求和公式的四个层次和对数特例.docx

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最全面三角函数所有公式及学习等差数列求和公式的四个层次和对数特例

三角公式总表

⒈L=R=nπR

=

nR

弧长80S扇

LR=R

=

60

⒉正弦定理：

asinA

b

=

sinB

c

=

sinC

=R（R为三角形外接圆半径）

⒊余弦定理：

a=b+c-bc

cosA

b=a+c-ac

cosB

c=a+b-abcosC

cosA

bcabc

⒋S⊿=a

ha=

absinC=

bcsinA=

acsinB=

abc

=R

4R

sinA

sinB

sinC

asinBsinC

=

bsinAsinC

=

csinAsinB

=

=pr=

p（p

a）（p

b）（pc）

sinA

sinB

sinC

积（其中p

极

（ab

c）,r为三角形内切圆半径）

向⒌同角关系：

上

，

探⑴商地关系：

①tg=y=

索x

自

己y

sincos

=sin

sec

②ctg

xcos

ysin

r

cos

csc

本③sin

costg

④sectg

csc

身rx

价

值xr

cos

，⑤cos

sin

ctg

⑥cscctg

sec

学业

成

有⑵倒数关系：

⑶平方关系：

sinsin

r

csc

cos

cos

secsec

tgtg

ctgcsc

y

ctg

sin

⑷asin

bcos

ab

sin（

）（其中辅助角与点（a,b）在同一

象限，且tgb）

a

⒍函数y=

Asin（x

）k地图象及性质：

（

0,A0）

振幅A，周期T=,频率f=

相位x，初相

T

⒎五点作图法：

令x依次为0,

作图

⒏诱导公试

,

求出x与y，依点

x,y

sincostgctg

--sin+cos-tg-ctg

-+sin-cos-tg-ctg

+-sin-cos+tg+ctg

--sin+cos-tg-ctg

k++sin+cos+tg+ctg

积极向上

，sincontgctg

探

自

索+cos+sin+ctg+tg

己

本+cos-sin-ctg-tg

身

值

价-cos-sin+ctg+tg

，

2

业

学-cos+sin-ctg-tg

有

成⒐与差角公式

三角函数值等于地同名三角函数值，前面加上一个把看作锐角时，原三角函数值地符号；即：

函数名不变，符号看

象限

三角函数值等于地异名三角函数值，前面加上一个把看作锐角时，原三角函数值地符号;即：

函数名改变，符号看象

限

①sin（

）sin

cos

cos

sin

②cos（

）cos

cos

sin

sin

③tg（

）tgtg

tgtg

④tgtg

tg（

）（tg

tg）

⑤tg（

）tgtg

tgtg

tgtg

tgtg

tgtg

tgtg

其中当A+B+C=π时,有:

i）.tgA

tgB

tgC

tgA

tgB

tgC

ii）.tg

AtgB

tgAtgC

tgBtgC

⒑二倍角公式：

（含万能公式）

①sin

sin

cos

tg

1tg

②cos

cos

sin

2

cos

sin

tg

tg

③tg

tg

tg

④sin

tg

tg

cos

⑤cos

cos

⒒三倍角公式：

①sin

sin

4sin

4sin

sin（60

）sin（60）

②cos

cos

4cos

4cos

cos（60

）cos（60）

tgtg

积③tg

tgtg（60

）tg（60）

极tg

向

上⒓半角公式：

（符号地选择由

，

探

所在地象限确定）

自

索①sin

己

cos

②sin

cos

③cos

cos

本

身④cos

价

值

1

cos

⑤cos

2

sin⑥

cos

cos

，⑦

学

业

sin

（cos

sin）

cos

sin

有

成⑧tg

cos

cos

sin

cos

cossin

⒔积化与差公式：

sin

cos

cos

cos

sin（

cos（

）sin（

）cos（

）

）sin

sin

cos

sin

cos（

1

sin（

）cos

）sin（）

⒕与差化积公式：

①sin

③cos

sincos

sin

2cos

cos

cos

②sin

④cos

sincos

cos

sin

sin

sin

⒖反三角函数：

名称函数式定义域值域性质⒗

反正弦函数

yarcsinx

yarccosx

arcsin（-x）

1,1

增

R

1,1

减增

0,

R

减

0,

-arcsinx奇最

简

反余弦函数

yarctgx

arccos（x）

arccosx

单

反正切函数

arctg（-x）

-arctgx奇

地

反余切函数

积极向

，

上方程

探

yarcctgx

arcctg（x）

arcctgx三角

索方程方程地解集

自

己sinxa

本身

ax|xk

arcsina,kZ

价

值

，cosxa

ax|xk

karcsina,kZ

学业有成

tgxa

ax|xk

ax|xk

arccosa,kZarccosa,kZ

ctgxa

x|xk

x|xk

arctga,kZarcctga,kZ

等差数列求与公式地四个层次

等差数列前n项与公式Sn

（a

an）n

na

n（n

1）

d

为数列部分最重要公

式之一,学习公式并灵活运用公式可分如下四个层次:

1.直接套用公式

积从公式Sn

极

向

（a

an）n

（am

anm

）n

na

n（n

）d

中,我们可以看到公式

上中出现了五个量,包括

，

探

a,d,an,n,Sn,这些量中已知三个就可以求另外两个了.

索从基本量地观点认识公式、理解公式、掌握公式这为最低层次要求.

自

本

己例设等差数列

身

an地公差为d,如果它地前n项与Sn

n,那么

价（）.（99年三南高考试题）

值

，

学（A）an

业

n

有（C）a

成

n,d

n,d

（B）

（D）

ann

ann

d

d

解法由于Sn

n且a

SnSn

知,an

n（n

）

n,

dan

an

n

n

[（n）

],d

选（C）.

解法

Snna

n（n）

d

n,对照系数易知d,

此时由

na

n（n）

n知a

故an

n,选（C）.

1

例设Sn为等差数列

an地前n项与,已知

S与

3

S地等比中项为

4

4

S,S与S地等差中项为,求等差数列a地通项a.（997年全国高考

54nn

54

文科）

解设

an地通项为an

a（n

1）d,前n项与为Sn

na

n（n

）d.

由题意知

SS

3

4

4

3

4

SS

4

（S5）

5,

1

（a

即

d）

（4a

1

4

4d）

（5a

5

54d）

1

（a

d）

（4a

1

4

4d）

化简可得

ad

5d

0d

解得

0或d

5

ad

a

5

a4

极

n

积由此可知a

向

或an

4（n

）（

）

5

n.

55

上经检验均适合题意,故所求等差数列地通项为

，

探

索.逆向活用公式

自

an或an

n.

55

本

己在公式地学习中,不仅要从正向认识公式,而且要善于从反向分析弄清

身

价公式地本来面目.重视逆向地认识公式,逆向运用公式,无疑将大大地提高公

值

，

学式地解题功效,体现了思维地灵活性.

业

成

有例设n

N,求证:

n（n）

n（n）

n（n

）.

（985年全国高考文科）

证明n（n）

n,

又

,n

n（n

）,

n（n）

n（n

）.

又n（n）

4

（n）,

且

44,

n（n）

n,

n（n）

n（n

）.

例4数列

an对于任意自然数n均满足Sn

（a

an）n,求证:

an为等差

数列.（994年全国高考文科）

证明欲证

an

an为常数,

由Sn

（a

an）n及S

（a

an）（n

1）

可得

nan

a（n

）an

n

1

推出（n

）an

1a

nan,

作差可得

nan

nan

nan

2

因此an

an

an

an.

由递推性可知:

证.

积

an

an

anan

aa

d（d

为常数）,所以命题得

极这为九四年文科全国高考试题,高考中得分率极低,我们不得不承认此

向

，

上为公式教学与学习中地一个失误,倘若能重视逆向地认识公式,理解公式,应

探

索用公式,还“与”为“项”,结局还能如此惨重吗?

自

本

己.横向联系,巧用公式

身

价在公式地学习过程中,还要从运动、变化地观点来认识公式,从函数及数

值

，

学列结合地角度分析透彻理解公式,公式Sn

业

na

n（n

）d

表明为关于n地二次

成

有函数,且常数项为0,同时也可以看出点列

（n,Sn）

均在同一条抛物线上,且此抛

物线过原点,体现了思维地广阔性,请再看例.

解设Sn

an

bn,则可得

（a

b）

（a4

4

b4）

[（a5

5

5b）]

（9a

b）

（6a

4

4b）

解得a0或a

bb

6

5,所以Sn

6

5

n或Sn

6n

5

6n,

5

从而an

或an

n.

55

例5设等差数列

an地前项与为

Sn,已知a

S

0,S

0,指出

S,S,S,

S中哪一个值最大,并说明理由.（99年全国高考试题）

解由于Sn

na

n（n

）d

表明点列y

（n,Sn）

都在过原点地抛物线上,再由

S

0,S0,

易知此等差数列公差d<0,且a

积

极示,

向

0,图象

x0x

如图所

，

上易知其对称轴为x

探

x0,x0

（6,6.5）,O

索于为a6

自

0,a7

1

故S6最大.

己

本4.恰当变形妙用公式

身

价对公式进行适当变形,然后再运用公式为公式应用地较高层次,从而丰

值

，

学富了公式本身地内涵,往往给解题带来捷径,体现了思维地深刻性.

业

成

n

有对于公式S

（a

an）n,变形可得

S

（am

n

anm

a

）n

（a

am）m

（am

an）（n

m）,

对于公式Sn

na

n（n

）d,变形可得Sn

n

nd,

1

它表明对于任意n

N,点列（n,Sn）都在同一直线

n

l:

y

dx（a

d）上.

1

例6等差数列an地前m项与为0,前m项与为00,则它地前m项

与为（）

（A）0（B）70（C）0（D）60（996年全国高

考试题）

解法

Sm

（a

am）m

又由于

Sm

0am

2mm

00,

m（am

am）

40,

m（a

am）

m（am

am）

40,

从而Sm

40

0,选（C）.

解法由于点

此

（m,Sm）

m

（m,

Sm）

m

（m,Sm）

m

在同一直线y

dx（a

d）上,因

1

Sm

mm

Sm

mm

Sm

mm

Sm

m,化简可得:

m

Sm

（Sm

Sm）

0,选（C）.

积在上文我们曾给出97年高考试题两个解法,这里我们再给出两个解法.

极

上

向解法由于点列

，探

索而可得

自

（n,Sn）均在同一直线上,说明数列

n

Sn成等差数列,从

n

己SS5

本5

身SS

3

S4

4

S

S

S4

3

5

8

价

值

，S

学

业

有

4（5）

45

S4

4

解得S4

S5

a

4或S4

5

5S54

6

成从而可求得a4

a5

或45,

5

a8

5

P1

故等差数列an通项为an或y

a

n

n.Al

55

P

解法4由于点列所示,

（n,Sn）均在同一直线n

O

B上如图

x

P

l

3

由S

知A点坐标为（.5,）.

S

4

4

若直线l与x轴无交点,即平行于x轴,则

d=0,Sn

n

n

N,,显然也满足条件

S

S

34

4

（S5）5

从而S

n

n,an

nN.

若直线l与x轴相交,设其交点为B（x,0）,

P（,S）,

1

P（4,S4）,

2

4

P（5,S5）,由5

S

S

S

S

3

及

4（S5）4

454

知S0,

S40,且S5

45

0.若不然S0,

S40,S5

45

0.,由单调性知不可能有

S

S

4

4

SS5

（S5）5

因此点B应落在

3

4

5

（4,0）,（5,0）之间.由SS（S）可得5,

45

S5S4

54

即有x

5x

5x,解得x

4x

.

极

积由A、B两点坐标可求

向

（n,Sn）

n

所在直线方程为Sn

n

6（n

5

）

6n6,

55

上Sn

，

6n

5

6n,a

n

5

n.

55

探

索综上所述所求等差数列通项公式为

自

an或an

n.

55

本

己从以上可以看出,对公式地学习不应仅仅停留在公式地表面.对公式深

身

价刻而丰富地内涵忽视或视而不见,而应充分挖掘出这些隐藏在内部地思想方

值

，

学法为我所用,提高公式地解题功效,才能达到灵活运用公式地较高境界.

业有成

含参变量地对数高考高考试题解法综述

含参变量地对数问题常常在高考试题中出现,本文对这一类问题地解法作以总结,以揭示这类问题地一般解题规律.

1.直接转换

直接转换:

即把已知条件等价变形,而使问题获解,这里一定要注意等价变

形.

例已知a

0,a

试求使方程

loga（x

ak）

a

log

（x

a）有解地k地取值范

围.（989年全国高考试题）

解:

原方程等价于

（xak）xa①

xak0②

xa0③

由①可得x

k

a④

k

显然④满足不等式③,将④代入②可得k

或0k

即为所求.

积例解不等式

极

log

a（）

x

.（996年全国高考试题）

向解（Ⅰ）当a

上

时原不等式等价不等式组

，0

探x

索

自a

己x

本

a,从而x0.

xa

身（Ⅱ）当0a

价

时原不等式等价于不等式组

1

值0①

，x

学

业a②

有x

成

x.

a

由①知x由②得0

或x0

x

a

综上所述,当a

时原不等式解集为x|

a

x0},

当0a

时原不等式解集为

x|x}

a

2.消参策略

根据题目特征,消去参数可大大减少不必要地讨论.

例设0x

且a

0,a

试比较

loga（

x）与

loga（

x）地大小.（98年

全国高考试题）

解:

0

x,

0x

x

0x

x

于为loga（x）

loga（x）

log（

x）（x）

log（

x）（x）

1

x

log（x）

log（

x）（x）

因此loga（x）>loga（x）

3.引参策略

恰当地设立参数,使问题得到简化,计算量减少,这为解题中常用技巧.

例4设对所有实数x,不等式

xlog

4（a）

a

xlog

（a

log

）

0恒成立,

aa

4a

求a地取值范围.（987年全国高考试题）

积极向

上解:

令t

，

探

log

a,则原不等式可转化为

a

a

（t）x

txt0.

索要使原不等式恒成立,必须有

自

己t0

本

身t0t

t0

或t0

价t0

值

，a

即log

4t8t（t）0

0,解之0a.

业

学a

成

有适当地引入参数,另辟蹊径解题十分巧妙,请再看例.

解:

原方程等价于xakxa（xa）

a0,kx

xa

xa.

a

设xacsc,

（,0）

（0,）

则k

sin

ctg

当（,0）时k

cossin

ctg

又（,0）,k.

4

当（0,）时k

cossin

tg又

（0,）,0

4

k.

综上所述可知k地范围为k或0k.

4.分类讨论

分类讨论为解决含参变量问题地重要手段之一,值得注意地为在分类讨论中要准确地确定分类标准逐级分类讨论.

例5已知自然数n,实数a>,解关于x地不等式

logax

（4）logax

logax

n（）n

an

logx

（）n

log

a

（x

a）.（99年全国

高考试题）

积极

上

向解:

原不等式等价于

，探

（）n

logax

（）n

loga

（xa）.

自

a

索（）n为奇数时

己本

logax

log

（xa）即ax

4a

价

身（）n为偶数时

值

logax

loga

（xa）即x

4a

，

学例6设a

业

0,a

t

1

比较

2

log

a

t与logt

地大小,并证明你地结论.（988

a

成

有年全国高考试题）

解:

当t>0时,由均值不等式有t

t,当且仅当t=时取“=”号,所以

a

①t=时log

t=logt

a

②t时若0a

则log

a

t>logt

a

若a则

log

a

t

a

分类讨论应注意:

①对于多个参变量应分清主参变量与次参变量,②按先主后次顺序分层次讨论,③必须确定讨论地全集及分类标准,各类必须互不

相容,否则产生重复讨论各类子集地并集必须为全集,否则产生遗漏现象.

5.数形结合