线性代数二次型(课件).ppt

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1,二次型,第五章,2,本章讨论把一个n元二次齐次多项式化为仅含有完全平方项的和的形式，并研究有关的性质。

3,第一节基本概念,定义,一、二次型及其矩阵,称为一个（n元）二次型.,本书只讨论实二次型，即系数全是实数的二次型。

4,于是上述二次型可以写成如下求和形式,5,6,记,则上述二次型可以用矩阵形式表示为,A称为二次型的矩阵。

7,A的秩称为该二次型的秩。

A称为二次型的矩阵。

A是一个实对称矩阵。

事实上，由一个实对称矩阵也可构造唯一的实二次型，也就是说，实二次型与实对称矩阵是互相唯一确定的，所以，研究二次型的性质可以转化为研究A所具有的性质。

8,例1,设二次型,求二次型的矩阵A和二次型的秩。

解,所以r（A）=3，即二次型的秩等于3。

9,例2,求二次型,的矩阵A和二次型的秩，,解,所以二次型f的矩阵为,10,二、线性变换,在平面解析几何中，为了确定二次方程,所表示的曲线的性态，通常利用转轴公式：

11,定义,关系式,记,则上述线性变换可以写成矩阵形式：

12,C称为该线性变换的矩阵。

如果C为正交矩阵，则此线性变换称为正交变换。

容易验证，转轴公式,是一个正交变换。

13,三、矩阵的合同关系,由于C是可逆矩阵，所以A和B秩相等,从而两个二次型的秩相等。

14,定义,与矩阵的相似关系类似，矩阵之间的合同关系也具有以下性质。

（1）反身性：

（2）对称性：

（3）传递性：

证明,只证（3），其余留作练习。

15,练习：

P222习题五,16,END,END,