x>3
.故得出函数的定义域为（-0）,-3]0（3,+«））0
5.设/（x）=—-—.则函数的图形关于.
解：
的定义域M-o），+aO，且有
=/（X）
、，、a-Wox+6
即/co是偶函数.故阁形关于y轴对称。
对称。
二、M选择题
1.下列各对函数中，（）是相同的。
A./（x）=7?
g（x）=x：
B./（x）=lnx2,g（x）=21nx；
C./（x）=lnx\g（x）=31nx；D./（x）=-_,g（x）=x-\
x+\
解：
A中两函数的对应关系不同,7?
=|x|*.r.B，D三个选项中的每对函数的定义域都不同，所以AB.D都不是
正确的选项：
而选项C中的函数定义域相等，且对应关系相同.故选项C正确。
2.设函数/（x）的定义域为（-oo,+oo），则函数的图形关于（）对称。
B_x轴：
C./轴：
D.坐标原点
解：
设F（x）=f（x）-f（-x）,则对任意x有F（-x）=/（-X）-/H-x））=/（-x）-f（x）=-（/（X）-f（-x））=-F（x）即是奇函数.故阁形关于原点对称。
选项D正确。
3.设函数/（X）的定义域是全体实数.则函数/（x）/（-x）是（）.
A.单调减函数：
B.有界函数：
C.偶函数：
D.周期函数
解：
A,B,D三个选项都不一定满足。
设F（x）=/（x）.f（-x）.则对任意x有F（-x）=f（-x）.=/（-x）.f（x）=f（x）./（-x）=F（x）
即是偶函数，故选项C正确。
ax-\
4.函数/（x）=x（o>0,o^l）（）
a*+1
A.是奇函数；B.是偶函数；
C.既奇函数又是偶函数：
D.是非奇非偶函数。
解：
利用奇偶函数的定义进行验证。
所以B正确。
5.若函数/（x+l）=x2+-!
-.则f（x）=（）XX
A.:
B.一2:
C.（x-l）2：
D.x2-l。
解：
因为X2+l-=x2+2+-^-~2=（x+-y-2X~XX
所以+丄）=（j十丄）2_2XX
则/（x）=x2-2.故选项B正确。
第二章极限与连续
1.知道数列极限的“£-W”定义：
了解函数极限的描述性定义。
2.理解无穷小苗:
的概念：
了解无穷小苗：
的运算性质及其与无穷大g的关系：
知道无穷小fi的比较。
无穷小fi的运算性质主要有：
1有限个无穷小S的代数和是无穷小fi:
2有限个无穷小呈的乘积是无穷小爱：
3无穷小S和有界变fi的乘积是无穷小
3.熟练牮握极限的计算方法：
包括极限的四则运算法则.消去极限式中的不定因子，利用无穷小苗：
的运算性质.有理化根式，两个重要极限.函数的连续性等方法。
求极限有儿种典型的类型
V+x*-a
（1）lim=
4x*
重要极限的一般形式：
lim^1=1
a（x）
lim（1+—）/,x）=e（或lim（1+g（x））^=e）f（x）z（x）->ov
利用两个重要极限求极限.往往盅要作适当的变换.将所求极限的函数变形为重要极限或重要极限的扩展形式.再利用重要极限的结论和极限的四则运算法则.如
5.理解函数连续性的定义：
会判断函数在一点的连续性：
会求函数的连续区间：
了解函数间断点的概念：
会对函数的间断点进行分类。
间断点的分类：
己知点X=x0是的间断点，
若/（X）在点x=x0的左、右极限都存在.则X=X0称为/（X）的第一类间断点：
若/（X）在点x=x0的左、右极限有一个不存在.则x=x0称为/（X）的第二类间断点，
6.理解连续函数的和、差、积、商（分母不为0〉及复合仍是连续函数，初等函数在其定义域内连续的结论，知道闭区间上连续函数的儿个结论。
典型例题解析
一、填空题x2sin—
1.极限lim.又sinx
x2sin—.-
解：
lim=lim（xsin—）=lim.rsir-・lim—^—=0x1=0
sinxxsinxI_*°xI_*°sinx
注意：
Hmxsinl=O（无穷小S乘以有界变苗:
等于无穷小5〉
x-»or
其中lim—=1是笫一个重要极限。
x-»Ox
解：
由/CO是分段函数.x=0是/（X）的分段点.考虑函数在x=0处的连续性。
因为limxsin—=0lim（x+l）=lf（0）=l
x-^rxx^o*
所以函数/CO在x=0处是间断的，
又/Or）在和（0，+o）>都是连续的.故函数的间断点是x=0。
3.4.5.6.设/（x）=x2-3x+2,则/[/'（x）]=。
解：
f,（x）=2x-3.故
f[f'（x）]=（2x-3）2-3（2x-3）+2=4.r2-18r+20
7.函数y=ln（l+x2）的葶调増加区间是。
二、M选择题
1■函数/（x）=.rsin丄在点x=0处（〉.X
A.有定义且有极限：
B.无定义但有极限：
C.有定义但无极限：
D.无定义且无极限
解：
f（x）在点x=0处没有定义.但
limxsin-=0（无穷小gx有界变苗：
=无穷小1-»0X
故选项B正确。
2.下列函数在指定的变化过程中.（）是无穷小呈》
-,、sinx,、
A.e\（X->co）：
B.,（X->co）：
x
C.ln（1十x）,（x1）；D.I+1-1,（x->0）
x
解：
无穷小S乘以有界变fi仍为无穷小fi.所以
lfliA，C，D三个选项中的极限都不为0,故选项B正确。
三、计算应用腥
1.汁算下列极限：
X2-3x+2
-<+3、,
（l）lim—
—2x2+4x-12
（2）lim（——厂X-1
⑶二3）5
（4）
™12（x-2）15
x~*°sin3x
解:
⑴...<_知+2=
（x-l）（x-2）_x-1
-3x+2+4x-12
x-1
x+6
x2+4x-\2（x-2）（x+6）x+6
（3）题H所给极限式分子的最髙次项为
x,0-（2x）s=32x15
分母的最商次项为12xls,由此得
|im（x-l）l0（2x+3）s=32=8™-l2（x-2）,s-~~\2~3
（4）当时，分子、分母的极限均为0,所以不能用极限的除法法则。
氺解时先有理化根式在利用除法法则和第一
个重要极限讣算。
问（l>a，b为何值时./（为在x=0处有极限存在？
（2）a,6为何值时./（又）在x=0处连续？
解：
⑴要/（x）在x=0处有极限存在，即要limf（x）=lim/（x>成立。
xWx-»0*
因为limf（x）=lim（xsin—+b）=b
i-HTi-»0~x
..、..sinx,
limf（x）=lim=1
WWx
所以，当b=\时.有limf（x）=limf（x）成立.即A=1时，函数在x=0处有极限存在，又因为函数在某点处有极x-»0"x-M*
限与在该点处是否有定义无关，所以此时a可以取任意值。
（2）依函数连续的定义知.函数在某点处连续的充要条件是
lim/（x）=lim/（x）=/（x0）*-**0x-**»于是有b=\=f（o）=a,即a=b=1时函数在x=0处连续8第三*导数与徽分
导数与微分这一章是我们课程的学习重点之一。
在学习的时候要侧重以下几点：
1.理解导数的槪念：
了解导数的几何意义：
会求曲线的切线和法线：
会用定义汁算简单函数的导数：
知道可导与连续的关系。
/（x）在点x=x0处可导是指极限limzkr
存在，且该点处的导数就是这个极限的值。
导数的定义式还可写成极限../（-v）-/（x0）lim
nx-x0
函数/Or）在点x=x0处的导数f（x0）的几何意义是曲线y=/（x）上点（x0,/（x0））处切线的斜率。
曲线=f（x）在点（x0，/（J。
））处的切线方程为y=f，M（x-x0）+f（x0）函数y=/（x）在\点可导.则在&点连续。
反之则不然，函数y=f（x）在连续，在x。
点不一定可导。
2.了解微分的槪念：
知道一阶微分形式不变性。
3.熟记导数基本公式，熟练掌握下列求导方法
（1）导数的四则运算法则
（2）复合函数求导法则
（3）隐函数求导方法
（4）对数求导方法
（5）参数表示的函数的求导法
正确的采用求导方法有助于我们的导数计算.如
一般当函数表达式中有乘除关系或根式时.求导时采用取对数求导法,例如函数y=求/•
Vx
在求导时直接用导数的除法法则是可以的.但是汁算时会麻烦一些.ifu且容易出错。
如果我们把函数先进行变形.即
再用导数的加法法则汁算其导数.于是有
这样汁算不但简单Ifu且不易出错。
显然直接求导比较麻烦I可采用取对数求导法，将上式两端取对数得Iny=-ln（x+1）--ln（x-2）23
两端求导得
整理后使可得
若函数由参数方程
XW）y=冲）的形式给出.则有导数公式
dx（p\t）
能够熟练地利用导数基本公式和导数的四则运算法则、复合函数的求导法则汁算函数的导数.能够利用隐函数求导法.取对数求导法，参数表示的函数的求函数的导数。
4.熟练牮握微分运算法则微分四则运算法则与导数四则运算法则类似d（u+v）=dw±dvd（"■v）=vdu十wdv
j'm、vdw-wdv_d（—）=——；—（v*0）
Vv~
—阶微分形式的不变性
dy=y'x^=y'u■w；dr=y'udu微分的汁算可以归结为导数的汁算.但要注意它们之间的不同之处.即函数的微分等+函数的导数与fl变§微分的乘积。
6.了解离阶导数的概念；会求显函数的二阶导数.
函数的高阶高数即为函数的导数的导数。
由此要求函数的二阶导数就要先求函数的一阶导数。
要求函数的阶导数就要先求函数的w-l阶导数。
第三章导数与微分典型例题选解
—、填空题
1.设函数/（x）在x=0邻近有定义.且/（0）=0，/'（0）=1，则lim^=
x-0
解:
呼*1
故应填1。
2.曲线y=-j=在点（1，1）处切线的斜率是»
解：
由导数的儿何意义知.曲线/（x）在x=x0处切线的斜率是/'（X。
）.即为函数在该点处的导数.子是
1—1y=--x2,y（i）=-^A
故脯-丄。
2
3.设/（x）=x2-4x+5.则=
解：
f'（x）=2x-4,故
Af'M]=（2x-4）2-4（2.r-4）+5=4x2-24x+37故敁埴4x2-24x+37
二、争项选择题
1.设函数f（x）=x2,则lim/（x）~A
（2）=（）。
x~*2x—2
A.2x：
B.2：
C.4：
D不存在
解：
因为lim^X）~^2）=f
（2）,且f（x）=x2,x-»2x-2
所以/,
（2）=2x|j=2=4,即C正确。
2.设/（士）=x,则/'（J）=（）o
A.—:
B.——:
C.-y:
D.
XXx~
解：
先要求出f（x）,再求/'（X）。
因为/（i）=x=p由此得/（x）=l,所以/（x）=（iy=~即选项D正确。
3.设函数/（x）=（x+l）x（x-l）（x-2）,则尸⑼=（）.
A.0：
B.1：
C.2：
D.-2
解：
因为/'（x）=x（x-l）（x-2）+（x+l）（x-l）（x-2）+（x+\）x（x-2）+（x+l）x（x-1）,其中的三项当x=0时为0.所以
f'⑼=（0+1）（0-1）（0-2）=2
故选项C正确。
4.曲线y=x-ex在点（）处的切线斜率等于0。
A.（0,1）：
B.（l,0）：
C.（o,-1）：
D.（-l,0）
解：
y=l-ex,令y=0得x=0。
而y（0）=-l.故选项C正确。
5._y=sinx2，则夕'=（>»
A.cosx2:
B.-cosx2:
C.2xcoix2:
D.-2xcosx2
解：
y'=cosx2•（x2）*=2xcosx2故选项C正确。
三、汁算应用题
1.设y—tan2x+2iB,1,求
解：
⑴由导数四则运算法则和良合函数求导法则/=—\—十cosx-2"n,In2cos22x
由此得
2Hsin—
dy=（：
—+cos—-22ln2）dx=2dx
-,x=2cos2/r2
2.设夕=/（e'）e/u>，其中/（x）为可微函数.求_/。
解⑴+/（e:
）[e，⑴]'
=/'（e*）[e:
J'eM+/（e:
）e，/⑶]'=/'（e'）eV⑷+/（e'）e/（VV）=e/（W）e:
+/（e”nx）]
求复合函数的导数时.要先搞洁函数的复合构成.即复合函数是由哪些基本初等函数复合血成的.特别要分洁复合函数的S合层次，然后由外层开始，逐层使用S合函数求导公式，一层一层求导I关键是不要遗漏.最后化简。
3.设函数y=y（x）由方程xy+e}=\n-确定y
解：
方法一：
等式两淄对:
r求导得
整理得
y~2v
方法二：
由一阶微分形式不变性和微分法则.原式两據农敵斧得
左瑞=d（jy+e’’）=d（.ry）+d（ey）=+xdy+eyd}'
右^=d（ln^）=^）=21.fc^
yxyxy
由此得
y^+^y+e>dy=y.^^-ry
盩理得
dy_y~xydrx2y+xyey+x
4.设函数y=y（x）由参数方程
x=P_
X~~2
y=\-t
解：
由参数求导法
1
dr~x；T
5.设y=（l+x2）arctanx.求y・。
解少'=2xarctanj+（1+又2）—=2xarctanx+1
1+x
y"=（2xarctanx+1）#=2arctanx+
l+x~
第四章导数的疢用典型例题
填空题
1.函数_y=ln（l-x2）的单调増加区间是.
解：
y'=z2±.,当x>o时y'<0.故函数的單调増加区间是（-0）,0）.1+x
2.极限lim
*-*'1—x
解：
由洛必达法则
1
3.函数/（x）=|（ex+e-*）的极小值点为,
解：
/W=^（ex-e'x）,令/'（x）=0.解得驻点x=0,又j<0时，/'（x）<0:
.y>0时，所以
x=O是函数/（x）=|（ex+e_I）的极小值点.
二、单选题
1.函数y=x2+\在区间［-2,2］上是（〉
A）单调増加B）舉调减少
C）先单调増加再单调减少D）先单调减少再攀调増加
解：
选择D
y=2.v,当久<0时，/'（x）<0:
^x>0时，所以在区间［一2,2］上函数y=x2+l先单调减少再单调増加。
2.若函数y=f（x）满足条件（〉，则在（a，份内至少存在一点^（a<^成立。
A）在（a，6>内连续；B）在（a,Z>）内丐导；
C〉在（a，Z>）内连续，在（a，Z»）内可导：
D〉在［a，6］内连续，在（a，ft）内可导。
解：
选择D»
由拉格朗日定理条件.函数/（x）在［a,内连续.在（a,5）内可导，所以选择D正确。
3.满足方程/'（x）=O的点是函数y=f（x）的（）。
A）极值点B）拐点
C）驻点D）间断点
解：
选择C«
依驻点定义，函数的驻点是使函数一阶导数为零的点。
4.设函数/⑻在（a，ZO内连续，xoe（a，Z>），且/'（x0）=/•（%）=0.则函数在x=x0处（〉。
A）取得极大值B）取得极小值
C）—定有拐点（x0,/（x0））D）可能有极值，也可能有拐点
解：
选择D
函数的一阶导数为零.说明:
r<,可能是函数的极值点：
函数的二阶导数为零.说明&可能是函数的拐点，所以选择D。
三、解答题
1.汁算题
求函数y=x-ln（l+x）的单调区间。
解：
函数y=x-\n（\+x）的定义区间为（-l,+a>）.由子,1xy=1
1+X1+X
令y=o,解得x=q,这样可以将定义区间分成（-i，o）和（o,+co）两个区间米讨论》当一i0。
由此得出.函数^=x-ln（l+x）在（一1,0）内单调递减.在（0,+a>）内单调増加。
2.应用题
欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器.怎样做法所用材料最省？
解：
设底边边长为X，商为所用材料为
x2A=108,A=^X
y=x2+4xh
2,1082432
=x+4x—=x+—r-
-4322x3-432
y十j-=—p—
令y=0得2（x3-216）=0=>x=6.
且因为x>6,y>0;x<6,y<0.所以1=6,夕=108为最小值.此时A=3.
于是以6米为底边长，3米为高做长方体容器用料最省。
3.证明题：
当;r>l时.证明不等式
ex>xe
证设函数/（x）=lnx.因为/（x）在（0，+x）上连续可导，所以/（x）在［l，x］上满足拉格朗日中值定理条件.有公式可得
/（-V）-/（l）=/W-D
其中\Inx—In1=—（X—1）c
又由于ol.有-<1
c
故有lnx两边同时取以e为底的指数，有etaxe
所以当x>l时.有不等式
e*>xe成立■
第5窣学习辅导
（2）
典型例题解析一、填空题
1.曲线在任意一点处的切线斜率为2*，且曲线过点（2,5）,则曲线方程为。
解：
|2.rdr=x2+c,即曲线方程为y=x2^c。
将点（2,5）代入得口1,所求曲线方程为
y=x2+\
2.已知函数/（X）的一个原函数是arctanx2,则f\x）=•
解：
/（x）=（arctailx2）'=-
1+X
vA_z2x2（1+?
）-8?
_2-6?
'1+x4~（1+x4）2~（l+x4）2
3.已知T^x）是/（x）的一个原函数，那么Jf（ar+/?
）dr=。
解：
用凑微分法
J*f（ax+b）dx=丄（ox+ft）d（ox）=丄J/（ax+b）d（ax+b）
=—（（lF（ax+h）=-F（ax+b）+caJa
二、单项选择题
1.设j/（x）dx=xlnx+c,则/（x）=（）。
故选项C正确.
三、计算题
1.计算下列积分:
=-cot/-/+c=+arcsinx+c
x
⑵利用分部积分法
f^-（lx=[inxd（-—）=—-+J丄d（lnx）XXXX
Inxe1,Inx1+I—dx+c
xJxx
（V第A幸勞fl箱务
综合练习题
<-）M选择题
（1）.下列式子中，正确的是（
（2）.
（3）
若/（X）是[-a,a]上的连续偶函数.A.£/（x）di
C.
D-j0/（淋
2£/（x）dx
（5）若/（x>与S（x）是[a，6]上的两条光滑曲线.则由这两条曲线及直线义=a，x=A所围阁形的面积（）.
A.£|/（x）-g（伞B.£（/（x）-g{x））dx
c.£（g（x）-f（x））dxD.|广（/（x）-g（x））dx|
答案：
（1）A-
（2）D：
（3）D：
（4）Ci（5）A。
解：
（I）根据定积分定义及性质可知A正确。
而厂/⑴办=
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