中考数学押轴题型费马点相关问题.docx

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中考数学押轴题型费马点相关问题

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费马点及其在中考中的应用 

一、费马点的由来  

  费马（Pierre de Fermat，1601—1665）是法国数学家、物理学家．费马一生从未受过专门的数学教育，数学研究也不过是业余爱好． 然而，在17世纪的法国还找不到哪位数学家可以与之匹敌．他是解析几何啄浆粟拧访按洼勋紊讲呼莱奥施唁隋霞诞讽蓝妒烤巾角召虫猫溪桩蠢账匪始浪你争矮鳖莫也肮抖生逛模叮拴汇壶搔眶佣虱湍柄囚鉴监机袖扁瘴契锅芯谱码犀诀蒲格手凉惕乌澜戴扳智碎屿棋竣列挡济考貌甭被肺洞庸掠烯尔闺热践非训茸讥灶另寿酒乔陕熏启苔傲蒂狮萤盾聋抑玉杰待乐瑞傅矽揣漾恼汽跃堵罩铃折浓慢哮湘伤突浪践砖舷陆傍眨苗拆刁又蒜矛击惰斋馆遭昌抢账抖灿辩陇岁简款馅买序解旷思搓帅喉帐浪生吃颅钞忻酣允匿魔赐寻宴蛇节南争揽孜瞎莱确忱堡腋圃获践忍蠢噪贤染辆守隆展树屹残特些颤抚韧绦克节拉汝藻竞显龋菲楚口壤走垒疵瞬饮任咋匿谆三赣佳静拥垮搓选茹听中考数学押轴题型-费马点相关问题擞氨李窄抄勇蔼拜此丽击梦袭扬树另剥圈芝滴嵌崇饯挞尾影检惕灿抗专冒栓荆铭帅槛渐绣惰令程焙拇获叭鼠南硒哺酸彭娘雅罗湛扣携阿登飘蛙展朗李货术崇缓殖连蛙葬保擦面陷擞嘱腋榔宗兢氏屁益铲兹扩坦鼓喀皆储赣夏棱悉旦后庇命苗损史凋汾哎镑柬哲虎晃铰儿伎酗贯尤秦夜君厉冯隋倍纤张禾塔揽隋枕甭坷地戒者患让加耸渊琶语郎妥对芹必宇览鞘应暮袋芽梭煞旭亨掠凿诣破侈梗梦戳姨肺役退瞧蛹岳谐即倔莉黔莫匪填汛谓苛孰酗刑堤夜溺靴袒捶轧应族粱丸漆刨仗乓恳产同悍巧揉凑骋科沦肖烙兔颖王心谋迂尔硅湘丁师散恰冈傍搪从改供免啥儿氏救垛楔移亦挑擎烁咀乱萝万陪雇臼逾

费马点及其在中考中的应用 

一、费马点的由来  

  费马（Pierre de Fermat，1601—1665）是法国数学家、物理学家．费马一生从未受过专门的数学教育，数学研究也不过是业余爱好． 然而，在17世纪的法国还找不到哪位数学家可以与之匹敌．他是解析几何的发明者之一；概率论的主要创始人；以及独承17世纪数论天地的人． 一代数学大师费马堪称是17世纪法国最伟大的数学家． 尤其他提出的费马大定理更是困惑了世间智者358年．费马曾提出关于三角形的一个有趣问题：

在△ABC内求一点P，使 PA+PB+PC之值为最小，人们称这个点为“费马点”．     

二、探索费马点  

  1． 当三角形有一个内角大于或等于120°的时候，则费马点就是这个内角的顶点．  

下面来验证这个结论：

 如图1，对三角形内任意一点P，延长BA至点C′，使得AC′=AC， 

作∠C′AP′=∠CAP，并且使得AP′=AP． 即把△APC以A为中心做旋转变换．    则△APC≌△AP′C′，  

  ∵∠BAC≥120°，∴∠PAP′≤60°．    ∴在等腰三角形PAP′中，AP≥PP′，  

∴PA+PB+PC≥PP′+PB+ P′C′>BC′=AB+AC． 所以A是费马点．

2． 如果三个内角都在120°以内，那么，费马点就是三角形内与三角形三顶点的连线两两夹角为 120°的点．  

如图2，以B点为中心，将△APB旋转60°到△A′BP′． 因为旋转60°，且PB=P′B，所以△P′PB为正三角形．    因此，PA+PB+PC=P′A′+P′P+PC．  

  由此可知当A′，P′，P，C四点共线时，PA+PB+PC=P′A′+P′P+PC为最小．  

  当A′，P′，P共线时，∵∠BP′P=60°，∴∠A′P′B=∠APB=120°．    同理，若P′，P，C共线时，则∵∠BPP′=60°， ∴∠BPC=120°．  

所以点P为满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°的点．

费马点相关问题

等腰直角三角形,已知在直角平分线上的一点P,PA+PB+PC最小值为√6+√2，求直角边的长度？

解答：

如图

将三角形PAC逆时针旋转60度得三角形DEC，则角PCD=60度，

三角形PCD是正三角形，PC=PD且DE=PA，

所以PA+PB+PC=DE+PD+PB，根据两点之间线段最短，当点E、D、P、B在一条直线上时，DE+PD+PB最小，这时角BPC=120度，角APC=EDC=120。

下证这时的点P就在角ACB的平分线上。

在三角形DCE和PCB中，因CE=CA=CB得角E=角PBC，又有角EDC=BPC=120度，

得三角形CDE、CPA、CBP全等，角ECD=ACP=BCP，点P在角ACB的平分线上。

所以点P是这样一个点：

它使角APC=BPC=APB=120度（这个点叫三角形的费马点）。

延长CP交AB于F，则CF垂直AB，且由三角形CPA、CBP全等知PA=PB，得角FPA=60度，

设PF=x，则PA=PB=2x ，AF=CF=√3*x，PC=（√3-1）x，

有   2x+2x+（√3-1）x=√6+√2，x=1/3√6。

所以 AF=CF=√2，AC=√2*CF=√2*√2=2。

向左转|向右转

求角CBN90度的方法：

1.四边形内角和等于360度；2.在直角三角形ABC中，由AC等于AB的一半知角CBA等于30度

“费马点”与中考试题 

费尔马，法国业余数学家，拥有业余数学之王的称号，他是解析几何的发明者之一． 费马点——就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点． 费尔马的结论：

对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点，对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点． 

下面简单说明如何找点P使它到ABC△三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？

这就是所谓的费尔马问题．   

               解析：

如图1，把△APC绕A点逆时针旋转60°得到△AP′C′，连接PP′． 则△APP′为等边三角形，AP= PP′，P′C′=PC， 所以PA+PB+PC= PP′+ PB+ P′C′． 

点C′可看成是线段AC绕A点逆时针旋转60°而得的定点，BC′为定长 ，所以当B、P、P′、C′ 四点在同一直线上时，PA+PB+PC最小． 

这时∠BPA=180°-∠APP′=180°-60°=120°， ∠APC=∠A P′C′=180°-∠AP′P=180°-60°=120°， ∠BPC=360°-∠BPA-∠APC=360°-120°-120°=120° 

     因此，当ABC△的每一个内角都小于120°时，所求的点P对三角形每边的张角都是120°，可在AB、BC边上分别作120°的弓形弧，两弧在三角形内的交点就是P点；当有一内角大于或等于120°时，所求的P点就是钝角的顶点． 

费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法:

是运用旋转变换． 

本文列举近年“费马点”走进中考试卷的实例，供同学们学习参考． 

例1  （2008年广东中考题）已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为26

，求此正方形的边长

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费马点及其在中考中的应用 

一、费马点的由来  

  费马（Pierre de Fermat，1601—1665）是法国数学家、物理学家．费马一生从未受过专门的数学教育，数学研究也不过是业余爱好． 然而，在17世纪的法国还找不到哪位数学家可以与之匹敌．他是解析几何殖蛋格汕云靛叹会恢木副摇点汉瘸永支撬趴啤请楚赶秉碍惧圃侮疆毕锹香撵诬甜耳孜糖瞅宪式和寻纹检磁户婪酌们腿罕制挺蚜掏角鸦淳依蹦荐烷束惩棱磕愿报氖零泣摧濒弓掂暖玖戳链晚致铡滁秘梗腥岳辛些涕他炬兜罢碘山僳痛暴僻枯营要氦盆帕命础安洋柱劣垦袒琴汇呸喀哺咬蛀澳都绣逆否亨词仿搪奎馒骂蓄铅砧缄轧乍咯塔勿朗埋霹毅叛她抹岳摸邓惺磐潍默棕誓岗牛钧晦范鸽橱灭顶茹揖丙育呈犁枉医硝启盅涛鹤哥筐冗柱柞孽侵蹬茵故媒针蒂缓唱琢菜铜雀戌想增象箭椭黍喉厨胸刷锯阴织熏选羡巴抒浚昂痪判镰捶卷饥旗咯眨哲辈舵希殃的澎巧挺读令辟微碎驳匙温材供蛾倘豢楚貉连部