六年级数学应用题分类答案及详解.docx

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六年级数学应用题分类答案及详解

小学六年级数学应用题分类（答案及详解）

公约公倍问题

需要用公约数、公倍数来解答的应用题叫做公约数、公倍数问题。

【数量关系】绝大多数要用最大公约数、最小公倍数来解答。

【解题思路和方法】先确定题目中要用最大公约数或者最小公倍数，再求出答案。

最大公约数

和最小公倍数的求法，最常用的是“短除法”。

例 1、一张硬纸板长 60 厘米，宽 56 厘米，现在需要把它剪成若干个大小相同的最大的正方形，

不许有剩余。

问正方形的边长是多少?

解：

硬纸板的长和宽的最大公约数就是所求的边长。

60 和 56 的最大公约数是 4。

答：

正方形的边长是 4 厘米。

例 2、甲、乙、丙三辆汽车在环形马路上同向行驶，甲车行一周要 36 分钟，乙车行一周要 30

分钟，丙车行一周要 48 分钟，三辆汽车同时从同一个起点出发，问至少要多少时间这三辆汽车才

能同时又在起点相遇?

解：

要求多少时间才能在同一起点相遇，这个时间必定同时是 36、30、48 的倍数。

因为问至

少要多少时间，所以应是 36、30、48 的最小公倍数。

36、30、48 的最小公倍数是 720。

答：

至少要 720 分钟（即 12 小时）这三辆汽车才能同时又在起点相遇。

例 3、一个四边形广场，边长分别为 60 米，72 米，96 米，84 米，现要在四角和四边植树，若

四边上每两棵树间距相等，至少要植多少棵树?

解：

相邻两树的间距应是 60、72、96、84 的公约数，要使植树的棵数尽量少，须使相邻两树

的间距尽量大，那么这个相等的间距应是 60、72、96、84 这几个数的最大公约数 12。

所以，至少应植树（60+72+96+84）÷12=26（棵）

答：

至少要植 26 棵树。

例 4、一盒围棋子，4 个 4 个地数多 1 个，5 个 5 个地数多 1 个，6 个 6 个地数还多 1 个。

又知

棋子总数在 150 到 200 之间，求棋子总数。

解：

如果从总数中取出 1 个，余下的总数便是 4、5、6 的公倍数。

因为 4、5、6 的最小公倍数

是 60，又知棋子总数在 150 到 200 之间，所以这个总数为

60×3+1=181（个）

答：

棋子的总数是 181 个。

行船问题

行船问题也就是与航行有关的问题。

解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船只本身航行的速度，

也就是船只在静水中航行的速度;水速是水流的速度，船只顺水航行的速度是船速与水速之和;船只

逆水航行的速度是船速与水速之差。

【数量关系】

（顺水速度+逆水速度）÷2=船速

（顺水速度-逆水速度）÷2=水速

顺水速=船速×2-逆水速=逆水速+水速×2

逆水速=船速×2-顺水速=顺水速-水速×2

【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

例 1、一只船顺水行 320 千米需用 8 小时，水流速度为每小时 15 千米，这只船逆水行这段路

程需用几小时?

解：

由条件知，顺水速=船速+水速=320÷8，而水速为每小时 15 千米，所以，船速为每小时

320÷8-15=25（千米）

船的逆水速为 25-15=10（千米）

船逆水行这段路程的时间为 320÷10=32（小时）

答：

这只船逆水行这段路程需用 32 小时。

例 2、甲船逆水行 360 千米需 18 小时，返回原地需 10 小时;乙船逆水行同样一段距离需 15 小

时，返回原地需多少时间?

解：

由题意得甲船速+水速=360÷10=36

甲船速-水速=360÷18=20

可见（36-20）相当于水速的 2 倍，

所以，水速为每小时（36-20）÷2=8（千米）

又因为，乙船速-水速=360÷15，

所以，乙船速为 360÷15+8=32（千米）

乙船顺水速为 32+8=40（千米）

所以，乙船顺水航行 360 千米需要

360÷40=9（小时）

答：

乙船返回原地需要 9 小时。

例 3、一架飞机飞行在两个城市之间，飞机的速度是每小时 576 千米，风速为每小时 24 千米，

飞机逆风飞行 3 小时到达，顺风飞回需要几小时?

解：

这道题可以按照流水问题来解答。

（1）两城相距多少千米?

（576-24）×3=1656（千米）

（2）顺风飞回需要多少小时?

1656÷（576+24）=2。

76（小时）

列成综合算式[（576-24）×3]÷（576+24）=2.76（小时）

答：

飞机顺风飞回需要 2.76 小时。

工程问题

工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。

这类问题在已知条件中，常常不

给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，

在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。

【数量关系】解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的

倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间

三者之间的关系列出算式。

工作量=工作效率×工作时间

工作时间=工作量÷工作效率

工作时间=总工作量÷（甲工作效率+乙工作效率）

【解题思路和方法】变通后可以利用上述数量关系的公式。

例 1、一项工程，甲队单独做需要 10 天完成，乙队单独做需要 15 天完成，现在两队合作，需

要几天完成?

解：

题中的“一项工程”是工作总量，由于没有给出这项工程的具体数量，因此，把此项工程

看作单位“1”。

由于甲队独做需 10 天完成，那么每天完成这项工程的 1/10;

乙队单独做需 15 天完成，每天完成这项工程的 1/15;

两队合做，每天可以完成这项工程的（1/10+1/15）。

由此可以列出算式：

1÷（1/10+1/15）=1÷1/6=6（天）

答：

两队合做需要 6 天完成。

例 2、一批零件，甲独做 6 小时完成，乙独做 8 小时完成。

现在两人合做，完成任务时甲比乙

多做 24 个，求这批零件共有多少个?

解：

设总工作量为 1，则甲每小时完成 1/6，乙每小时完成 1/8，甲比乙每小时多完成（1/6-1/8），

二人合做时每小时完成（1/6+1/8）。

因为二人合做需要[1÷（1/6+1/8）]小时，这个时间内，甲比乙多做24 个零件，所以

（1）每小时甲比乙多做多少零件?

24÷[1÷（1/6+1/8）]=7（个）

（2）这批零件共有多少个?

7÷（1/6-1/8）=168（个）

答：

这批零件共有 168 个。

解二：

上面这道题还可以用另一种方法计算：

两人合做，完成任务时甲乙的工作量之比为 1/6∶1/8=4∶3

由此可知，甲比乙多完成总工作量的 4-3/4+3=1/7

所以，这批零件共有 24÷1/7=168（个）

例 3、一件工作，甲独做 12 小时完成，乙独做 10 小时完成，丙独做 15 小时完成。

现在甲先做 2

小时，余下的由乙丙二人合做，还需几小时才能完成?

解：

必须先求出各人每小时的工作效率。

如果能把效率用整数表示，就会给计算带来方便，因

此，我们设总工作量为 12、10、和 15 的某一公倍数，例如最小公倍数 60，则甲乙丙三人的工作效

率分别是

60÷12=560÷10=660÷15=4

因此余下的工作量由乙丙合做还需要

（60-5×2）÷（6+4）=5（小时）

答：

还需要 5 小时才能完成。

例 4、一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干个同样粗细的进水管。

当打开4

个进水管时，需要 5 小时才能注满水池;当打开 2 个进水管时，需要 15 小时才能注满水池;现在要

用 2 小时将水池注满，至少要打开多少个进水管?

解：

注（排）水问题是一类特殊的工程问题。

往水池注水或从水池排水相当于一项工程，水的流

量就是工作量，单位时间内水的流量就是工作效率。

要 2 小时内将水池注满，即要使 2 小时内的进水量与排水量之差刚好是一池水。

为此需要知道

进水管、排水管的工作效率及总工作量（一池水）。

只要设某一个量为单位 1，其余两个量便可由条件推出。

我们设每个同样的进水管每小时注水量为 1，则 4 个进水管 5 小时注水量为（1×4×5），2 个进

水管 15 小时注水量为（1×2×15），从而可知

每小时的排水量为（1×2×15-1×4×5）÷（15-5）=1

即一个排水管与每个进水管的工作效率相同。

由此可知

一池水的总工作量为 1×4×5-1×5=15

又因为在 2 小时内，每个进水管的注水量为 1×2，

所以，2 小时内注满一池水

至少需要多少个进水管?

（15+1×2）÷（1×2）=8。

5≈9（个）

答：

至少需要 9 个进水管。

正反比例问题

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比的比值

一定（即商一定），那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。

正比例应用题

是正比例意义和解比例等知识的综合运用。

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一

定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。

反比例应用题是反比例的意义和

解比例等知识的综合运用。

【数量关系】判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。

许多典型应用题都可以转化为

正反比例问题去解决，而且比较简捷。

【解题思路和方法】解决这类问题的重要方法是：

把分率（倍数）转化为比，应用比和比例的性

质去解应用题。

正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。

例 1、修一条公路，已修的是未修的 1/3，再修 300 米后，已修的变成未修的 1/2，求这条公

路总长是多少米?

解：

由条件知，公路总长不变。

原已修长度∶总长度=1∶（1+3）=1∶4=3∶12

现已修长度∶总长度=1∶（1+2）=1∶3=4∶12

比较以上两式可知，把总长度当作 12 份，则 300 米相当于（4-3）份，从而知公路总长为

300÷（4-3）×12=3600（米）

答：

这条公路总长 3600 米。

例 2、张晗做 4 道应用题用了 28 分钟，照这样计算，91 分钟可以做几道应用题?

解：

做题效率一定，做题数量与做题时间成正比例关系

设 91 分钟可以做 X 应用题则有 28∶4=91∶X

28X=91×4X=91×4÷28X=13

答：

91 分钟可以做 13 道应用题。

例 3、孙亮看《十万个为什么》这本书，每天看24 页，15 天看完，如果每天看 36 页，几天就

可以看完?

解：

书的页数一定，每天看的页数与需要的天数成反比例关系

设 X 天可以看完，就有 24∶36=X∶15

36X=24×15X=10

答：

10 天就可以看完。

按比例分配问题

所谓按比例分配，就是把一个数按照一定的比分成若干份。

这类题的已知条件一般有两种形式：

一

是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数，另一种是直接给出份数。

【数量关系】从条件看，已知总量和几个部分量的比;从问题看，求几个部分量各是多少。

总

份数=比的前后项之和

【解题思路和方法】先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几，把比的前后项相加求出总

份数，再求各部分占总量的几分之几（以总份数作分母，比的前后项分别作分子），再按照求一个数

的几分之几是多少的计算方法，分别求出各部分量的值。

例 1、学校把植树 560 棵的任务按人数分配给五年级三个班，已知一班有 47 人，二班有 48 人，

三班有 45 人，三个班各植树多少棵?

解：

总份数为 47+48+45=140

一班植树 560×47/140=188（棵）

二班植树 560×48/140=192（棵）

三班植树 560×45/140=180（棵）

答：

一、二、三班分别植树 188 棵、192 棵、180 棵。

例 2、用 60 厘米长的铁丝围成一个三角形，三角形三条边的比是3∶4∶5。

三条边的长各是多

少厘米?

解：

3+4+5=1260×3/12=15（厘米）

60×4/12=20（厘米）

60×5/12=25（厘米）

答：

三角形三条边的长分别是 15 厘米、20 厘米、25 厘米。

例 3、从前有个牧民，临死前留下遗言，要把17 只羊分给三个儿子，大儿子分总数的 1/2，二

儿子分总数的 1/3，三儿子分总数的 1/9，并规定不许把羊宰割分，求三个儿子各分多少只羊。

解：

如果用总数乘以分率的方法解答，显然得不到符合题意的整数解。

如果用按比例分配的方

法解，则很容易得到

1/2∶1/3∶1/9=9∶6∶2

9+6+2=1717×9/17=9

17×6/17=617×2/17=2

答：

大儿子分得 9 只羊，二儿子分得 6 只羊，三儿子分得 2 只羊。

方阵问题

将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫

做方阵问题。

【数量关系】

（1）方阵每边人数与四周人数的关系：

四周人数=（每边人数-1）×4

每边人数=四周人数÷4+1

（2）方阵总人数的求法：

实心方阵：

总人数=每边人数×每边人数

空心方阵：

总人数=（外边人数）?

-（内边人数）?

内边人数=外边人数-层数×2

（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：

总人数=（每边人数-层数）×层数×4

【解题思路和方法】方阵问题有实心与空心两种。

实心方阵的求法是以每边的数自乘;空心方

阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。

例 1、在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行 22 人，参加体操表演的

同学一共有多少人?

解：

22×22=484（人）

答：

参加体操表演的同学一共有 484 人。

例 2、有一个 3 层中空方阵，最外边一层有 10 人，求全方阵的人数。

解：

10-（10-3×2）=84（人）

答：

全方阵 84 人。

例 3、有一队学生，排成一个中空方阵，最外层人数是 52 人，最内层人数是 28 人，这队学生

共多少人?

解：

（1）中空方阵外层每边人数=52÷4+1=14（人）

（2）中空方阵内层每边人数=28÷4-1=6（人）

（3）中空方阵的总人数=14×14-6×6=160（人）

答：

这队学生共 160 人。

例 4、一堆棋子，排列成正方形，多余 4 棋子，若正方形纵横两个方向各增加一层，则缺少 9

只棋子，问有棋子多少个?

解：

（1）纵横方向各增加一层所需棋子数=4+9=13（只）

（2）纵横增加一层后正方形每边棋子数=（13+1）÷2=7（只）

（3）原有棋子数=7×7-9=40（只）

答：

棋子有 40 只。

例 5、有一个三角形树林，顶点上有 1 棵树，以下每排的树都比前一排多 1 棵，最下面一排有

5 棵树。

这个树林一共有多少棵树?

解：

第一种方法：

1+2+3+4+5=15（棵）

第二种方法：

（5+1）×5÷2=15（棵）

答：

这个三角形树林一共有 15 棵树。

追及问题

两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时

出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，

后面的追上前面的物体。

这类应用题就叫做追及问题。

【数量关系】

追及时间=追及路程÷（快速-慢速）

追及路程=（快速-慢速）×追及时间

【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

例 1、好马每天走 120 千米，劣马每天走 75 千米，劣马先走 12 天，好马几天能追上劣马?

解：

（1）劣马先走 12 天能走多少千米?

75×12=900（千米）

（2）好马几天追上劣马?

900÷（120-75）=20（天）

列成综合算式 75×12÷（120-75）=900÷45=20（天）

答：

好马 20 天能追上劣马。

例 2、小明和小亮在 200 米环形跑道上跑步，小明跑一圈用 40 秒，他们从同一地点同时出发，

同向而跑。

小明第一次追上小亮时跑了 500 米，求小亮的速度是每秒多少米。

解：

小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈，即 200 米，此时小亮跑了（500-200）米，要知小

亮的速度，须知追及时间，即小明跑 500 米所用的时间。

又知小明跑 200 米用 40 秒，则跑 500 米

用[40×（500÷200）]秒，

所以小亮的速度是（500-200）÷[40×（500÷200）]=300÷100=3（米）

答：

小亮的速度是每秒 3 米。

例 3、我人民解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在下午 16 点开始从甲地以每小时 10 千米的速度逃

跑，解放军在晚上 22 点接到命令，以每小时 30 千米的速度开始从乙地追击。

已知甲乙两地相距

60 千米，问解放军几个小时可以追上敌人?

解：

敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是（22-16）小时，这段时间敌人逃跑的路程是

[10×（22-6）]千米，甲乙两地相距 60 千米。

由此推知

追及时间=[10×（22-6）+60]÷（30-10）=220÷20=11（小时）

答：

解放军在 11 小时后可以追上敌人。

例 4、一辆客车从甲站开往乙站，每小时行 48 千米;一辆货车同时从乙站开往甲站，每小时行

40 千米，两车在距两站中点 16 千米处相遇，求甲乙两站的距离。

解：

这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。

从题中可知客车落后于货车（16×2）千米，

客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间，

这个时间为 16×2÷（48-40）=4（小时）

所以两站间的距离为（48+40）×4=352（千米）

列成综合算式（48+40）×[16×2÷（48-40）]=88×4=352（千米）

答：

甲乙两站的距离是 352 千米。

例 5、兄妹二人同时由家上学，哥哥每分钟走 90 米，妹妹每分钟走 60 米。

哥哥到校门口时发

现忘记带课本，立即沿原路回家去取，行至离校 180 米处和妹妹相遇。

问他们家离学校有多远?

解：

要求距离，速度已知，所以关键是求出相遇时间。

从题中可知，在相同时间（从出发到相遇）内哥哥比妹妹多走（180×2）米，这是因为哥哥比妹妹

每分钟多走（90-60）米，

那么，二人从家出走到相遇所用时间为 180×2÷（90-60）=12（分钟）

家离学校的距离为 90×12-180=900（米）

答：

家离学校有 900 米远。

例 6、孙亮打算上课前 5 分钟到学校，他以每小时 4 千米的速度从家步行去学校，当他走了 1

千米时，发现手表慢了 10 分钟，因此立即跑步前进，到学校恰好准时上课。

后来算了一下，如果

孙亮从家一开始就跑步，可比原来步行早 9 分钟到学校。

求孙亮跑步的速度。

解：

手表慢了 10 分钟，就等于晚出发 10 分钟，如果按原速走下去，就要迟到（10-5）分钟，后

段路程跑步恰准时到学校，说明后段路程跑比走少用了（10-5）分钟。

如果从家一开始就跑步，可比步行少 9 分钟，由此可知，行 1 千米，跑步比步行少用[9-（10-5）]

分钟。

所以步行 1 千米所用时间为 1÷[9-（10-5）]=0.25（小时）=15（分钟）

跑步 1 千米所用时间为 15-[9-（10-5）]=11（分钟）

跑步速度为每小时 1÷11/60=5.5（千米）

答：

孙亮跑步速度为每小时 5.5 千米。

倍比问题

有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍，解题时先求出这个倍数，再用倍比的方法

算出要求的数，这类应用题叫做倍比问题。

【数量关系】

总量÷一个数量=倍数

另一个数量×倍数=另一总量

【解题思路和方法】先求出倍数，再用倍比关系求出要求的数。

例 1、100 千克油菜籽可以榨油 40 千克，现在有油菜籽 3700 千克，可以榨油多少?

解：

（1）3700 千克是 100 千克的多少倍?

3700÷100=37（倍）

（2）可以榨油多少千克?

40×37=1480（千克）

列成综合算式 40×（3700÷100）=1480（千克）

答：

可以榨油 1480 千克。

例 2、今年植树节这天，某小学 300 名师生共植树 400 棵，照这样计算，全县 48000 名师生共

植树多少棵?

解：

（1）48000 名是 300 名的多少倍?

48000÷300=160（倍）

（2）共植树多少棵?

400×160=64000（棵）

列成综合算式 400×（48000÷300）=64000（棵）

答：

全县 48000 名师生共植树 64000 棵。

例 3、凤翔县今年苹果大丰收，田家庄一户人家 4 亩果园收入 11111 元，照这样计算，全乡 800

亩果园共收入多少元?

全县 16000 亩果园共收入多少元?

解：

（1）800 亩是 4 亩的几倍?

800÷4=200（倍）

（2）800 亩收入多少元?

11111×200=2222200（元）

（3）16000 亩是 800 亩的几倍?

16000÷800=20（倍）

（4）16000 亩收入多少元?

2222200×20=44444000（元）

答：

全乡 800 亩果园共收入 2222200 元，全县 16000 亩果园共收入 44444000 元。

溶液浓度问题

在生产和生活中，我们经常会遇到溶液浓度问题。

这类问题研究的主要是溶剂（水或其它液体）、溶

质、溶液、浓度这几个量的关系。

例如，水是一种溶剂，被溶解的东西叫溶质，溶解后的混合物叫

溶液。

溶质的量在溶液的量中所占的百分数叫浓度，也叫百分比浓度。

【数量关系】

溶液=溶剂+溶质

浓度=溶质÷溶液×100%

【解题思路和方法】简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。

例 1、爷爷有 16%的糖水 50 克，

（1）要把它稀释成 10%的糖水，需加水多少克?

（2）若要把它变

成 30%的糖水，需加糖多少克?

解：

（1）需要加水多少克?

50×16%÷10%-50=30（克）

（2）需要加糖多少克?

50×（1-16%）÷（1-30%）-50=10（克）

答：

（1）需要加水 30 克，

（2）需要加糖 10 克。

例 2、要把 30%的糖水与 15%的糖水混合，配成 25%的糖水 600 克，需要 30%和 15%的糖水各多

少克?

解：

假设全用 30%的糖水溶液，那么含糖量就会多出

600×（30%-25%）=30（克）

这是因为 30%的糖水多用了。

于是，我们设想在保证总重量 600 克不变的情况下，用 15%的溶液来“换掉”一部分 30%的溶

液。

这样，每“换掉”100 克，就会减少糖 100×（30%-15%）=15（克）所以需要“换掉”30%的溶液（即

“换上”15%的溶液）100×（30÷15）=200（克）

由此可知，需要 15%的溶液 200 克。

需要 30%的溶液 600-200=400（克）

答：

需要 15%的糖水溶液 200 克，需要 30%的糖水 400 克。

最值问题

科学的发展观认为，国民经济的发展既要讲求效率，又要节约能源，要少花钱多办事，办好事，以

最小的代价取得最大的效益。

这类应用题叫做最值问题。

【数量关系】一般是求最大值或最小值。

【解题思路和方法】按照题目的要求，求出最大值或最小值。

例 1、在火炉上烤饼，饼的两面都要烤，每烤一面需要 3 分钟，炉上只能同时放两块饼，现在

需要烤三块饼，最少需要多少分钟?

解：

先将两块饼同时放上烤，3 分钟后都熟了一面，这时将第一块饼取出，放入第三块饼，翻

过第二块饼。

再过 3 分钟取出熟了的第二块饼，翻过第三块饼，又放