第六讲相遇问题教案.docx

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第六讲相遇问题教案

四年级奥数教案

第六讲行程问题

（一）——相遇问题

从这一讲开始，我们讲涉及到“行程问题”，行程问题是研究速度、路程、时间三个量的关系问题。

行程问题的基本关系式为：

速度×时间=路程路程÷速度=时间路程÷时间=速度

行程问题按照运动方向来分，可分为反向运动（相向相遇和反向相离），同向运动（追及问题）。

这一讲我们先学习行程问题中一典型问题——反向运动问题，即在同一道路上的两个运动物体作方向相反的运动问题。

它包括相遇问题和相背问题。

所谓相遇问题，指的是上述两个物体以不同的点作为起点作反向运动的问题；所谓相背问题是指两个物体以同一点作为起点作背向运动的问题。

在解决反向运动问题时，要注意以下几点：

（1）弄清题意，要抓住速度和，时间，路程三者的关系来分析；

（2）对较复杂的反向运动问题，要借助直观图来帮助理解题意；

（3）解题时要注意运用假设，设数的思考方法；

（4）要善于从整体上把握题意，找准解题的突破口。

通过本讲学习，要求学生掌握相遇问题的解题方法，会借助线段图直观的解决各种复杂的相遇问题，为学好行程问题打下基础。

解题技巧：

要注意一些重点词语：

相向、相背、同向、同时、相遇、相遇又相距、相距等，从重点语句中理解题意画出线段图，分析数量关系，最终找到解题方法。

第一课时

教学时间：

教学内容：

掌握简单的相遇问题

教学目标：

理解和掌握简单的相遇问题

教学重点：

掌握相遇问题的基本公式

教学难点：

利用公式求简单的相遇问题

教学过程：

一、谈话导入。

今天我们来学习行程问题当中的相遇问题，它属于反向运动中的一种，下面我们就通过一个例子来给大家讲叙怎样解决相遇问题。

例子：

小明和小强家相距2400米，两人同时从家中出发相向而行，小强每分钟走50米，小明每分钟走70米，问：

他们经过多少时间相遇？

师：

这道题目就是典型的相遇问题。

已知路程、两人的速度、求相遇时间，而且题目中还有相遇问题常见的关键字：

相向而行。

即可判断是相遇问题。

那么我们该怎么解决这类问题呢？

这节课我们就来讨论相遇问题的解题方法。

二、新授课：

【例1】小明和小强家相距2400米，两人同时从家中出发相向而行，小强每分钟走50米，小明每分钟走70米，问：

（1）他们经过多少时间相遇？

（2）3分钟时，他们还相距多少米？

（3）30分钟时，他们还相距多少米？

【思路分析】

画线段图分析：

分析：

从图上很明显看出，这段2400米的路程是由小强和小明共同行走完成的，到达相遇点时两人相遇。

从题目中我们还知道，两人的速度不一样，而行走的时间是相同的，也就是两人相遇时所用的时间，即所求的相遇时间。

根据行程问题的基本公式：

时间=路程÷速度，可推导出：

相遇时间=相遇路程÷速度，，且速度是两人共同的速度，我们把它们称作“速度和”。

所以我们可得到相遇问题的基本关系式为：

相遇路程=速度和×相遇时间

相遇时间=相遇路程÷速度和

速度和=相遇路程÷相遇时间

解：

（1）已知相遇路程2400米，小强和下明两人的速度和50+70=120（米），由相遇问题的公式：

相遇时间=相遇路程÷速度和，可算出相遇时间为：

2400÷（50+70）=20（分钟）

（2）三分钟时他俩相距的距离，画图分析：

从图上可看出：

三分钟后小强和小明相距的路程，可用总路程—小强和小明3

分钟共同走的路程。

小强3分钟所走路程=50×3=150（米）

小明3分钟所走路程=70×3=210（米）

这样，两人还相距2400-（150+210）=2040（米）

（3）30分钟两人还相距多少米？

这类型的问题，要考虑这个时间是否超过了相遇时间，第一个问题我们已经算出了两人20分钟就相遇了，而题目给出30分钟，那么超出的30-20=10（分钟），两人将按什么方向运动呢？

两人应该先相遇，

然后再相背而行，画图分析：

小明

小强

20分钟相遇

小明家

小强家

从图上很容易看出，30分钟后两人相距的路程即为10分钟后两人所走路程和：

（50+70）×10=1200（米）

答：

两人30分钟相遇，3分钟后两人相距2040米，30分钟后两人相距1200米。

【小结】行程问题，我们要掌握有关的数量关系，此外，还要借助线段图来直观地分析和理解题意，以突破题目的难点。

【及时练习】一辆汽车和一辆摩托车同时从相距460千米的两地出发相向而行，汽车每小时行45千米，摩托车每小时行70千米，问

（1）两车几小时相遇？

（2）6小时后两车相距多少千米？

【例2】甲、乙两艘轮船分别从两港同时出发相向而行，甲船每小时行驶20千米，乙船每小时比甲船每小时慢7千米，经过8小时两艘船在途中相遇。

两船水路长多少千米？

【分析与解】从两船相向而行可看出：

这是一道相遇问题，已知两船的速度，和相遇时间，求相遇路程，可用公式：

相遇路程=速度和×相遇时间，首先先求出乙的速度。

综合算式：

[20+（20-7）]×8

=33×8

=264（千米）答：

两港间的水路长264千米。

【小结】这道相遇问题是求相遇路程，学生要灵活运用相遇问题的三个公式。

【及时练习】一辆客车和一辆货车分别从两地同时出发相向而行，客车每小时行60千米，比货车每小时多行10千米，经过9小时两车在途中相遇，两地相距多少千米？

【例3】甲、乙两人分别从相距30千米的两地同时出发相向而行，甲每小时行6千米，乙每小时行4千米。

问：

相遇时甲行了多少千米？

【分析与解】要求相遇时甲行了多少千米，就要知道甲的速度和甲行驶的时间。

由题意知甲的速度已知（每小时行6千米），甲行的时间未知，要先求，也就是求相遇时间，根据相遇时间=相遇路程÷速度和，可以先求甲的时间：

30÷（6+4）=3（小时）

综合算式：

6×[30÷（6+4）]

=6×（30÷10）

=6×3

=18（千米）答：

相遇时甲行了18千米。

【小结】这道题，是一道综合题目，首先先求相遇时间，然后再求一方的路程。

【及时练习】小军和小明两人骑车从相距180千米的两地同时出发相向而行，小军每小时行16千米，小明每小时行14千米。

相遇时小军行了多少千米？

三、课堂小结：

相遇问题的基本公式：

相遇路程=速度和×相遇时间

相遇时间=相遇路程÷速度和

速度和=相遇路程÷相遇时间

四、作业：

思维训练：

P601-4题。

五、课后反思：

第二课时

教学时间：

教学内容：

不同形式的相遇问题

教学目标：

掌握不同形式的相遇问题的解题思路和基本规律

教学重点：

通过线段图分析相遇问题

教学难点：

找准解决相遇问题的突破口

教学过程：

一、复习：

行程问题的三个基本公式。

二、新授课：

【例4】一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距450千米的两地相向而行，公共汽车每小时行40千米，小轿车每小时行50千米，问几小时后两车相距90千米？

【分析与解】两车在相距450千米的两地相向而行，距离逐渐缩短，在相遇前某一时刻两车相距90千米，这时两车共行的路程应为450-90=360（千米）。

需要注意的是还有一种情况：

当两车相距后继续行驶时，两车之间的距离又从0逐渐增大，到某一时刻，两车再一次相距90千米。

这时两车共行的路程为450+90=540（千米）

所以有：

（450-90）÷（40+50）=4（小时）

（450+90）÷（40+50）=6（小时）

答：

两车在出发后4小时相距90千米，在出发后6小时再一次相距90千米。

【小结】这类型的题目一定要提醒学生考虑两种情况，分为相遇前和相遇后各相距多少千米。

【及时练习】汽车和货车同时从相距506千米的两地相向开出，汽车每小时行52千米，货车每小时行40千米，那么多少小时后两车相距138千米？

【例5】甲、乙两列火车从相距770千米的两地相向而行，甲每小时行45千米，乙每小时行41千米，乙车出发2小时后，甲车才出发，甲车行几小时后与乙车相遇？

【分析与解】甲、乙两车出发时间有先有后，乙车先出发2小时，这段时间甲没有行驶，那么乙车这2小时所行的路程不是甲、乙两车同时相对而行的路程，所以要先求出甲、乙两车同时相对而行的路程，再除以速度和，才是甲、乙两车同时相对而行的时间。

乙车先行驶路程：

41=82（千米）

甲、乙两车同时相对而行的路程：

770-82=688（千米）

甲、乙两车的速度和：

45+41=86（千米）

甲车行的时间：

688×2÷86=8（小时）

综合算式：

（770-41×2）÷（45+41）

=688÷86

=8（小时）答：

甲车行8小时后与乙车相遇。

【小结】这类型的题目关键是先求出相对路程，然后再求相对时间。

【及时练习】甲、乙两人从相距36千米的两地相向而行，甲速度为每小时3千米，乙速度为每小时4千米，若乙先出发2小时后甲才出发，则甲经过几小时后与乙相遇？

【例6】甲、乙两人同时分别从两地骑车相向而行，甲每小时行20千米，乙每小时行18千米，两人相遇时距全程中点3千米，求全程长多少千米？

【分析与解】

从图上可以看出：

甲走了一半的路程多3千米，乙走了全程的一半少3千米，不能理解为甲比乙实际多走了3千米，应理解为甲比乙实际多走了3×2=6（千米），又已知甲每小时比乙多行20-18=2（千米），多少小时甲比乙多行6千米呢？

用6÷2=3（小时），这一时间也是甲乙两人相遇的时间，有了相遇时间，全程就好求了。

相遇路程=速度和×相遇时间

相遇时甲车比乙车多行多少千米？

3×2=6（千米）

甲车比乙车每小时多行多少千米？

3×2=6（千米）

甲每小时比乙多行20-18=2（千米）

甲、乙两车从出发到相遇需几小时？

6÷2=3（小时）

甲、乙两人相距多少千米？

（20+18）×3=114（千米）

综合算式：

（20+18）×[3×2÷（20-18）]=114（千米）

答：

全程长114千米。

【小结】这道题的关键是理解好怎么样求出相遇时间的，这是这题的突破口。

【及时练习】甲、乙两辆汽车同时从东西两地相向开出，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米，两车在离中点32米处相遇，求两地间相距多少千米？

三、课堂总结。

这节课比上节课讨论的内容更深入一些，很多不能直接求出来的量，要通过间接的方法来求，所以必须找准每道题目的突破口。

四、作业：

思维训练P615—8题

五、课后反思：

第三课时

教学时间：

教学内容：

复杂的相遇问题

教学目标：

掌握复杂的相遇问题

教学重点：

相遇问题的

教学难点：

找准相遇问题的突破口

教学过程：

一、新授课：

【例7】两地相距900米，甲、乙二人同时、同地向同一方向行走，甲每分钟行走80米，乙每分钟走100米，当乙到达目标后，立即返回，与甲相遇，从出发到相遇共经过多少分钟？

【分析与解】甲、乙两人开始是同向行走，乙走得快，先到达目的地后，当乙返回时运动变成了同时相对而行，把相同方向行走时乙用的时间和返回时相对而行的时间相加，就是共同经过的时间。

乙到达目标时所用时间：

900÷100=9（分钟）

甲9分钟走的路程：

80×9=720（米）

甲距目标还有：

900-720=180（米）

相遇时间：

180÷（100+80）=1（分钟）

共用时间：

9+1=10（分钟）

答：

从出发到相遇共经过10分钟。

【小结】这道题目同样属于相遇问题，但与之前的相遇问题有所不同。

是同向而行后再反向而相遇。

要找准相遇路程以及相遇时间。

【及时练习】兄妹两人同时离家上学，哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米，哥哥到校门时，发现忘带课本，立即沿原路返回家去取，行至离学校180米处与妹妹相遇，他们家离学校多远？

【例8】甲、乙两人同时从两地出发，相向而行，距离是100千米，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，甲带着一条狗，狗每小时走10千米，这只狗同甲一道出发，碰到乙的时候，它又掉头朝甲这边走，碰到甲时又往乙那边走，直到两人相遇，问这只狗一共走了多少千米？

【分析与解】这道题目，狗在甲、乙之间跑了多少个来回，和每次来回所用的时间是多少，这些量都是无法知道的，所以我们要抓住题目中的不变量或不变的关系。

不难发现，无论狗在甲、乙两人间跑了多少个来回，狗走的路程所用的总时间等于甲、乙两人相遇所用的时间，这是不变的关系，所以要求狗跑的时间，也就是要求出甲、乙两人相遇所用的时间，就可以求出狗所走的路程。

这样原来的问题就转化成求甲、乙两人相遇的时间就可以求出来了。

甲、乙两人相遇所用的时间：

100×（6+4）=10（小时）

由于甲、乙两人相遇所用的时间等于狗来回所用的时间，所以，狗共跑路程是10×10=100（千米）

综合算式：

10×[100÷（6+4）]=100（千米）

答：

一共跑了100千米。

【小结】在一些复杂的相遇问题时，要抓住不变量来解题。

【及时练习】

1．小强和小丽同时从两地出发，相向而行，两地相距20千米，小强每小时走6千米，小丽每小时走4千米，小丽带着一只狗，狗每小时走8千米，这只狗同小丽一道出发，碰到小强的时候，它又掉头朝小丽这边走，碰到小丽又往小强那边走，直到两人相遇，问这只狗一共行了多少千米？

2．A、B两地相距440千米，甲、乙两车同时从两地相对开出，甲车每小时行35千米，乙车每小时行45千米，一只燕子以每小时50千米的速度和甲车同时出发，向乙车飞去，遇到乙车又折回向甲车飞去，遇到甲车又往回飞向乙车，这样一直飞下去，燕子飞行了多少千米，两车才能相遇？

【例9】甲每分钟走50米，乙每分钟走60米，丙每分钟走70米，甲、乙两人从A地，丙从B地三人同时相向出发。

丙先遇乙，再经过2分钟后遇到甲，问A、B两地相距多远？

【分析与解】

从图中可以看出，乙、丙相遇时，甲、乙的路程差为（50+70）×2=240（米），即乙比甲多行了240米，而乙速比甲速每分钟60-50=10（米），那么240米是在240÷10=24（分钟）内多行出来的，又知乙超越甲的时间也是乙，丙相遇的时间。

所以乙、丙的相遇距离，即A、B两地的距离。

（50+70）×2÷（60-50）

=240÷10

=24（分钟）

（60+70）×24

=130×24

=3120（米）

答：

A、B两地相距3120米。

【小结】这道题目涉及到三个运动物体，我们采用线段图来分析可让问题简化。

【例10】两个城市相距164千米，甲、乙两人骑自行车同时从两个城市出发，相向而行，甲每小时行14千米，乙每小时行11千米，乙在中途修车耽误一小时，然后继续行驶，与甲相遇，求从出发到相遇经过几小时？

【分析与解】乙在中途修车耽误1小时，甲没有停止，继续前进，也就是说，甲比乙多走1小时，如果从总路程中把甲单独行进的路程减去，余下的路程就是甲、乙二人行走的。

用甲、乙二人同时走的路程除以甲、乙两人的速度和，就可以求出同时走的时间。

甲、乙两人同时走了几小时？

（164-14）÷（14+11）=6（小时）

从出发到相遇经过几小时？

6+1=7（小时）

答：

从出发到相遇经过7小时。

【小结】这道题目要理解好“乙在中途修车耽误一小时”，分清楚相遇前与之后。

【及时练习】东西两站相距655千米，客车和货车两车同时从两站出发，相向而行，客车每小时行65千米，货车每小时行55千米，客车在途中修车耽误1小时，然后继续前进，与货车相遇，求从出发到相遇共经过几小时？

课后反思：

第四、五课时

教学内容：

相遇问题的练习题

教学目标：

掌握各种类型的相遇问题

教学重点：

会熟练解决基本的相遇问题

教学难点：

会解决复杂的相遇问题

教学过程：

1、甲、乙两地相距54千米，A、B两人同时从两地相向而行，A每小时行4千米，B每小时行5千米，两人经过几小时相遇？

2、甲、乙两人同时从学校向相反方向行驶，甲每分钟行52千米，乙每分钟行50千米，经过7分钟后他们相距多少米？

他们各自离学校有多少米？

3、甲、乙两地相距480米，客车和货车同时从两地相向而行，经过5小时相遇，客车的速度是每小时50千米，求货车的速度是每小时多少千米？

4、小明和小红两人从相距2280米的两地相向而行，小明每分钟行60米，小红每分钟行80米，小明出发3分钟后小红才出发，小红出发几小时后与小明相遇？

相遇时两人各行了多少米？

5、一列火车于下午4时30分从甲站开出，每小时行120千米，经过1小时后，另一辆火车以同样的速度从乙站开出，晚上9时30分两车相遇，问甲、乙两站铁路长多少千米？

6、A、B两地相距360千米，客车和货车从A、B两地相向而行，客车先行1小时，货车才开出，客车每小时行60千米，货车每小时行40千米，客车开出后几小时与货车相遇？

相遇地点离B地多远？

7、甲、乙两车从A、B两地同时相向而行，甲车每小时行40千米，乙车每小时行35千米，两车在距中点15千米处相遇，求AB两地相距是多少？

8、甲、乙两人同时从两地骑车相向而行，甲每小时行18千米，乙每小时行15千米，两人相遇距离中点3千米，起两地距离多少千米？

9、AB两地相900千米，甲、乙两人同时从A到B，甲每分钟行70米，乙每分钟行50米，当甲到达B后立即返回与乙在途中相遇，两人从出发到相遇共经过多少分钟？

10、学生甲和乙同时住一楼，有一次他们同时从家到相距540米的学校上学，甲每分钟行60米，乙每分钟行48米，甲到达学校后发现忘带文具盒，立即返回家去取，在途中遇到乙，那么从开始上学到两人相遇共用几分钟？

11、甲、乙两人从相距1800米的两地同时相向而行，甲每分钟行80米，乙每分钟行70米，乙带了一只小狗与他们同时行驶，狗以每分钟220米的速度向甲跑去，狗遇到甲时已行了多少米？

狗遇到甲后立刻回头向乙跑去，这样狗在甲、乙两人之间来回奔跑，直到两人相遇为止，这只狗一共跑了多少米？

12、一辆客车与一辆货车同时从A、B两地相对开出，经过6小时相遇，相遇后两车都以原速继续前进，又经过4小时客车到达B地，这时货车离A地还有188千米，A、B两地相距多少千米？

13、小玲和小明家相距600米，这天两人同时从家出发向对方家走去，小玲走完全程需要12分钟，小明走完全程需要20分钟，相遇时两人各走了多少米？

14、A、B两地相距460千米，甲列车同时从A地开出2小时后，乙列车从B地开出，经过4小时与甲列车相遇，已知甲列车比乙列车每小时多行10千米，问甲列车平均每小时行多少千米？

15、甲、乙两人在相距90米的路上来回跑步，甲的速度是每秒钟3米，乙的速度是每秒种2米，如果他们同时分别从支炉两端出发，跑了10分钟，那么在这段时间内共相遇几次？